Fiche de mathématiques
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Bac Technologique - Sciences Médico-Sociales
Métropole - Session Juin 2008

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Durée de l'épreuve : 2 heures - Coefficient 2
L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
Le formulaire officiel de mathématiques est joint au sujet.
Une feuille de papier millimétré est nécessaire pour le problème.

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura dévéloppée.
Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
L'utilisation d'un dictionnaire est interdite.
8 points

exercice

Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.

Partie A :

Cette partie est un questionnaire à choix multiples (QCM).
Pour chaque question une seule des propositions est exacte, aucune justification n'est demandée.
Une réponse exacte rapporte 1 point, une réponse inexacte retire 0,5 point et l'absence de réponse n'ajoute ni ne retire aucun point.
Si le total des points obtenus dans cette partie est négatif, la note est ramenée à 0.
On inscrira sur la copie le numéro et la lettre de la reponse choisie.


1. Un article coûte 25 €, une remise de 45 % est effectuée. Son nouveau prix est obtenu en effectuant :
a) 25 × 0,55 b) 25 \times \dfrac{45}{100} c) 25 × 1,45


2. Le prix d'un article augmente de 16 % puis baisse de 16 %. Après ces deux évolutions successives :
a) il a augmenté b) il est revenu au prix de départ c) il a baissé


Pour les questions 3. et 4. on considère deux événements A et B d'un univers \Omega.
On note \bar{\text{A}} l'événement contraire de l'événement A.
On donne : p(A) = 0,32 ; p (B) = 0,24 ; p(A \cap B) = 0,13.


3. La probabilité de l'événement A \cup B est :
a) p(A \cup B) = 0,56 b) p(A \cup B) = 0,43 c) p(A \cup B) = 0,69


4. La probabilité de l'événement \bar{\text{A}} est :
a) p(\bar{\text{A}}) = 0,68 b) p(\bar{\text{A}}) = 1,24 c) p(\bar{\text{A}}) = 0,24


Partie B :

Dans une classe de Terminale sciences médico-sociales de 30 élèves, on sait que :
    80 % des élèves sont des filles,
    25 élèves désirent devenir infirmiers ou infirmières,
    3 filles veulent devenir secrétaires médicales, aucun garçon ne le veut,
    tous les garçons de la classe veulent devenir infirmiers, excepté l'un d'entre eux.

1. Compléter le tableau ci-dessous :

Métier projeté \ Sexe Garçon Fille Total
Infirmier(e)      
Secrétaire médical      
Autre      
Total      


2. On interroge au hasard un élève de cette classe. On considère les événements :
      A : " l'élève interrogé veut devenir infirmier ou infirmière ",
      B : " l'élève interrogée est une fille ".
    a) Calculer la probabilité de l'événement A et celle de l'événement B.
    b) Définir par une phrase l'événement A \cap B puis calculer sa probabilité.
    c) Calculer p(A \cup B).

3. On interroge au hasard une fille de cette classe. On considère l'événement :
      C : " la fille interrogée veut devenir secrétaire médicale ".
Calculer la probabilité de l'événement C.


12 points

probleme

Dans un laboratoire on injecte dans le sang d'un patient une certaine substance. On en mesure la concentration, en gramme par litre (g.L-1), en fonction du temps x exprimé en heures. Les résultats sont donnés dans le tableau ci-dessous :

Temps écoulé : x_i (en h) 0 1 2 3 4 5 6 7 8
Concentration : yi (en g.L-1) 3,8 4,5 4,2 3,6 3,1 3 2,9 2,9 2,8


Partie A : Ajustement affine

1. Construire, sur la feuille de papier millimétré fournie, le nuage de points représentant cette série.
On prendra comme unités graphiques :
    - 2 cm pour une heure sur l'axe des abscisses
    - 5 cm pour une unité sur l'axe des ordonnées en commençant la graduation à 2.

2. Calculer les coordonnées du point moyen G du nuage (on arrondira les résultats à 10-1 près). Placer le point G sur le graphique.

3. On considère la droite \mathscr{D} passant par le point G et dont le coefficient directeur vaut -0,2.
    a) Donner une équation cartésienne de la droite \mathscr{D}. Tracer la droite \mathscr{D} sur le graphique.
    b) On suppose que la droite \mathscr{D} réalise un ajustement affine du nuage de points. En utilisant la droite \mathscr{D}, donner une estimation de la concentration de cette substance au bout de 9 heures puis au bout de 10 heures (on arrondira les résultats à 10-1 près).

Partie B : Ajustement exponentiel

Etant donnée la forme du nuage, les biologistes de ce laboratoire en cherchent un autre ajustement. Ils considèrent la fonction f définie par f(x) = 2,75 + 2xe^{1-x} sur intervalle [0 ; 10], où x représente le temps écoulé en heures.

1. On note f' la dérivée de la fonction f. Calculer f'(x) puis vérifier que f'(x) = (2 - 2x)e^{1-x}.

2. A l'aide d'un tableau, donner le signe de la fonction f' sur l'intervalle [0 ; 10].

3. En déduire le tableau de variations de la fonction f sur l'intervalle [0 ; 10].

4. Si l'on utilisait la fonction f, quelle serait l'estimation de la concentration de cette substance au bout de 9 heures puis au bout de 10 heures ? (on arrondira les résultats à 10-1 près)

5. Afin de choisir le meilleur ajustement, les biologistes décident de construire la courbe représentative de la fonction f sur l'intervalle [0 ; 8].
    a) Compléter le tableau de valeurs ci-dessous (on arrondira ces valeurs à 10-2 près).

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8
f(x)   4,75              

    b) Tracer la courbe représentative de la fonction f dans le repère précédent, sur l'intervalle [0 ; 8].

6. Quel est l'ajustement qui paraît le mieux adapté ?








exercice

Partie A :

1. Réponse a : 25 \times 0,55
Le nouveau prix est égal à : 25 - 25 \times \dfrac{45}{100} = 25 \left( 1 - \dfrac{45}{100} \right) = 25 (1 - 0,45) = 25 \times 0,55

2. Réponse c : il a baissé
Pour augmenter un prix de 16 %, on le multiplie par 1 + 0,16 = 1,16 ; pour le diminuer de 16 %, on le multiplie par 1 - 0,16 = 0,84.
Donc on multiplie par : 1,16 \times 0,84 = 0,9744, ce qui correspond à une baisse de 2,56 %.

3. Réponse b : p(\text{A} \cup \text{B}) = 0,43
On utilise la formule : p(\text{A} \cup \text{B}) = p(\text{A}) + p(\text{B}) - p(\text{A} \cap \text{B}) = 0,32 + 0,24 - 0,13 = 0,43

4. Réponse a : p(\bar{\text{A}}) = 0,68
On utilise la formule : p(\bar{\text{A}}) = 1 - p(\text{A}) = 1- 0,32 = 0,68

Partie B :

1. 80 % des 30 élèves sont des filles, soit 30 \times 80\% = 30\times0,8=24 filles au total, etc.

Métier projeté \ Sexe Garçon Fille Total
Infirmier(e) 5 20 25
Secrétaire médical 0 3 3
Autre 1 1 2
Total 6 24 30


2. a) Parmi les 30 élèves de la classe, il y en a 25 qui veulent devenir infirmier ou infirmière, donc :
\boxed{P(\text{A}) = \dfrac{25}{30} = \dfrac{5}{6} \approx 0,83}
Parmi les 30 élèves de la classe, il y a 24 filles, donc :
\boxed{P(\text{B}) = \frac{24}{30} = \frac{12}{15} = 0,8}
NB: on peut aussi utiliser la donnée de l'énoncé : 80% des élèves sont des filles, soit P(B)=80\%=0,8.

2. b) \text{A} \cap \text{B} : " l'élève interrogé est une fille qui veut devenir infirmière ".
Parmi les 30 élèves de la classe, il y 20 filles qui veulent devenir infirmière, donc :
\boxed{P(\text{A} \cap \text{B}) = \frac{20}{30} = \frac{2}{3} \approx 0,67}

2. c) On utilise la formule :
p(\text{A} \cup \text{B}) = p(\text{A}) + p(\text{B}) - p(\text{A} \cap \text{B}) \\ p(\text{A} \cup \text{B}) = \dfrac{25}{30}+\dfrac{24}{30}-\dfrac{20}{30} \\ p(\text{A} \cup \text{B}) = \dfrac{25+24-20}{30} \\ \boxed{p(\text{A} \cup \text{B}) = \frac{29}{30} \approx 0,97}

3. Parmi les 24 filles de la classe, il y en a 3 qui veulent devenir secrétaire médicale, donc :
\boxed{P(\text{C})=\frac{3}{24}=\frac{1}{8}=0,125}




probleme

Partie A : Ajustement affine

1. Nuage de points
bac SMS, 2008 - terminale : image 1


2. Coordonnées du point moyen
x_{\text{G}} = \dfrac{0+1+2+3+...+8}{9} = \dfrac{36}{9} = 4 \\ y_{\text{G}} = \dfrac{3,8+4,5+4,2+...+2,8}{9} = \dfrac{30,8}{9} \approx 3,4
Donc le point G a pour coordonnées \boxed{\text{G}(4 ; 3,4)}

3. a) L'équation de la droite \scrD est de la forme y=mx+p avec m=-0,2, donc y=-0,2x+p.
Le pointG appartient à la droite, donc :
y_{\text{G}} = -0,2 x_G + p \\ \Longleftrightarrow \, 3,4 = -0,2 \times 4 + p \\ \Longleftrightarrow \, p = 3,4 +0,2 \times 4 \\ \Longleftrightarrow \, \boxed{p = 4,2}
Donc la droite \scrD a pour équation \boxed{y = -0,2x+4,2}

3. b) On utilise l'équation de la droite pour calculer les concentrations en prenant x=9 et x=10 :
Pour x=9, on a : y=-0,2 \times 9 + 4,2 = 2,4
Donc la concentration au bout de 9 heures est de 2,4 g.L-1.
Pour x=10, on a : y=-0,2 \times 10 + 4,2 = 2,2
Donc la concentration au bout de 10 heures est de 2,2 g.L-1.

Partie B : Ajustement exponentiel

1. Calcul de la dérivée
On utilise la formule de dérivation d'un produit.
On pose u(x)=2x et v(x)=e^{1-x}, donc u'(x)=2 et v'(x)=-e^{1-x} (en utilisant : (e^u)' = u'e^u )
Donc :
f'=u'v+uv' \\ f'(x)=2e^{1-x}-2xe^{1-x}
En factorisant par e^{1-x} :
\boxed{f'(x) = (2-2x)e^{1-x}}

2. Etude du signe de la dérivée f'
Une exponentielle étant toujours strictement positive, f'(x) est du signe de 2-2x :
2-2x = 0 \, \Longleftrightarrow \, -2x = -2 \, \Longleftrightarrow \, x = \dfrac{-2}{-2} \, \Longleftrightarrow \, x = 1
De même : 2-2x > 0 \, \Longleftrightarrow \, -2x > -2 \, \Longleftrightarrow \, x < \dfrac{-2}{-2} \, \Longleftrightarrow \, x < 1
On obtient donc le tableau de signe suivant :
bac SMS, 2008 - terminale : image 2


3. On en déduit les variations de la fonction f
bac SMS, 2008 - terminale : image 3


f(0) = 2,75 + 2 \times 0 \times e^{1-0} = 2,75 \\ f(1) = 2,75 + 2 \times 1 \times e^{1-1} = 2,75 + 2 e^0 = 2,75 + 2 = 4,75 \\ f(10) = 2,75 + 2 \times 10 \times e^{1-10} = 2,75 + 20 e^{-9} \approx 2,75

4. On utilise l'expression de f pour calculer f(9) et f(10)
f(9) = 2,75 + 2 \times 9 \times e^{1-9} = 2,75 + 18 e^{-8} \approx 2,76 \\ f(10) = 2,75 + 2 \times 10 \times e^{1-10} = 2,75 + 20 e^{-9} \approx 2,75
Donc la concentration au bout de 9 ou 10 heures est environ de 2,8 g.L-1.

5. a) Tableau de valeurs
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8
f(x) 2,75 4,75 4,22 3,56 3,15 2,93 2,83 2,78 2,76


5. b) Voir graphique dans la partie A.

6. On voit que la courbe passe davantage à proximité des points que la droite.
Donc l'ajustement exponentiel est plus adapté.
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