Fiche de mathématiques
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Bac Technologique - Sciences Médico-Sociales
La Réunion - Session Juin 2008

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Durée de l'épreuve : 2 heures - Coefficient 2
1 feuille de papier millimétré sera remise au candidat avec le sujet.
L'usage des calculatrices est autorisé (circulaire n°99-186 du 16-11-1999).
Le formulaire officiel de mathématiques est joint au sujet.
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura dévéloppée.
Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
8 points

exercice 1

Pour chacune des questions ci-dessous, une seule des réponses proposées est exacte.
Une bonne réponse rapporte un point.
Toutes les questions sont indépendantes.

Recopier et compléter sur la copie le tableau ci-dessous en indiquant la réponse jugée correcte (a, b ou c), sans justification.
Question 1 2 3a 3b 4 5 6 7
Réponse choisie                


1. Soit f la fonction définie et dérivable sur [0 ; 10], d'expression : f (x) = 3x^2-5x.
Le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de f au point A d'abscisse 0 est égal à :
a) -5 b) 3 c) 0


2. On donne la courbe d'une certaine fonction g , définie et dérivable sur [-2 ; 2].
bac SMS, La Réunion 2008 - terminale : image 1

Soit g' la fonction dérivée de g. Par lecture graphique g'(0) est égal à :
a) 3 b) 0 c) -3


3. Dans un lycée, on s'intéresse à l'ensemble des 1 000 fiches des élèves de l'établissement.
30 % de ces fiches sont celles des élèves de la filière SMS. Un tiers des fiches des élèves de la filière SMS sont celles d'élèves en terminale.
 &bsp;  a) Le nombre d'élèves en terminale SMS est de :
a) 300 b) 100 c) 900

    b) On choisit au hasard une fiche d'un élève de SMS, chaque fiche ayant la même probabilité d'être choisie. La probabilité que cette fiche soit celle d'un élève en terminale est :
a) \dfrac{1}{1000} b) \dfrac{1}{300} c) \dfrac{1}{3}


4. Soit (u_n) une suite arithmétique de raison \frac{1}{2} et de premier terme u_0=5. Le terme d'indice 13 est égal à :
a) 6,5 b) 13 c) 11,5


5. On considère la série statistique suivante :
Valeurs xi 0 1 2 3 4 5
Effectifs ni 2 4 1 2 1 2

La moyenne arithmétique de cette série est :
a) \dfrac{5}{2} b) \dfrac{13}{6} c) 1,25


6. (C) est la représentation graphique d'une fonction f définie et dérivable sur \mathbb{R}.
On suppose que : \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \, f(x) = 4
La courbe (C) admet donc :
      a) une asymptote verticale d'équation : x = 4
      b) une asymptote horizontale d'équation : y = 4
      c) une tangente d'équation : y = 4x +4

7. Soit f la fonction définie et dérivable sur \mathbb{R} d'expression : f (x) = -e^{-2x} .
La dérivée f' de la fonction f est définie par :
a) f'(x) = 2e^{-2x} b) f'(x) = -e^{-2x} c) f'(x) = 2e^{2x}



12 points

exercice 2

Partie A

Soit f la fonction définie et dérivable sur l'intervalle [0 ; 20], d'expression :
f(x) = 0,2x +0,5 \ln(2x +1)

1. Soit f' la fonction dérivée de f sur [0 ; 20]. Vérifier que : f'(x) = \dfrac{0,4x + 1,2}{2x+1}

2. a) Étudier le signe de f'(x) sur [0 ; 20].
    b) En déduire le tableau de variations de f sur [0 ; 20].

3. Reproduire et compléter le tableau suivant, en donnant les valeurs de f(x) arrondies à 0,01.
x 0 1 2 4 7 10 13 16 20
f(x)     1,20     3,52   4,95  


On appelle C la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthogonal d'unités :
1 cm sur l'axe des abscisses ;
2 cm sur l'axe des ordonnées.

4. Déterminer une équation de la tangente T au point d'abscisse 0 à la courbe C.

5. Tracer la tangente T et la courbe C .

Partie B

On définit l'indice de masse corporelle (IMC) comme le quotient du poids d'un individu par le carré de sa taille. Selon l'Organisation Mondiale de la Santé, un individu est dit en surpoids si son IMC est supérieur ou égal à 25 et il est dit obèse si son IMC est supérieur ou égal à 30.

Pour un nombre de personnes de la population française en surpoids, une étude a montré que l'on peut admettre que le nombre d'obèses est donné par : f(x) = 0,2x + 0,5\ln(2x +1)
(x et f(x) étant exprimés en millions de personnes).

1. Calculer le nombre de personnes obèses quand le nombre de personnes en surpoids est de 8,5 millions de personnes.

2. Par lecture graphique, en faisant apparaître les tracés utiles, déterminer :
    a) Le nombre de personnes obèses pour douze millions de personnes en surpoids.
    b) Le nombre de personnes en surpoids lorsque le nombre d'obèses est de deux millions.






exercice 1

Voici les réponses :
Question 1 2 3a 3b 4 5 6 7
Réponse choisie a b b c c b b a


Justifications

1. Le coefficient directeur de la droite tangente au point d'abscisse 0 est égal au nombre dérivé de la fonction f en 0, c'est-à-dire f'(0).
Or : f'(x) = 6x - 5 donc f'(0) = 6 \times 0 -5 = -5 .

2. Le nombre dérivé de g en 0, noté g'(0) est égal au coefficient directeur de la droite tangente au point d'abscisse 0.
Ici, la droite tangente au point d'abscisse 0 est horizontale, donc de coefficient directeur nul, donc g^'(0)=0.

3. a) Parmi les 1000 élèves, 30% sont en SMS : 1000 \times \dfrac{30}{100} = 300 . Et parmi ces 300 élèves, un tiers sont en terminale : 300\times\dfrac{1}{3}=100 .

3. b) D'après l'énoncé, on sait que parmi les fiches d'élèves de SMS, un tiers sont celles d'élèves de terminale.

4. On a : u_n = u_0 + nr donc u_{13} = 5 + 13 \times \dfrac{1}{2} = 5 + 6,5 = 11,5

5. La moyenne est donnée par :
m = \dfrac{2\times 0 + 4 \times 1 + 1 \times 2 + 2 \times 3 + 1 \times 4+ 2 \times 5}{2+4+1+2+1+2} \\ m = \dfrac{0+4+2+6+4+10}{12} \\ m = \dfrac{26}{12} \\ m = \dfrac{13}{6}

6. Si la limite à l'infini est égale à 4, alors cela signifie que la courbe se rapproche de plus en plus de la droite horizontale passant par 4, qui a pour équation y=4.

7. On a : (e^u)' = u'e^u donc, avec u=-2x : (-e^{-2x})' = -(-2 e^{-2x}) = 2e^{-2x}.




exercice 2

Partie A

1. Calcul de la dérivée de la fonction f
On sait que la dérivée de \ln u est donnée par : \dfrac{u'}{u}.
Donc, en prenant u(x)=2x+1, on a u'(x)=2, et la dérivée de \ln (2x+1) est égale à \dfrac{2}{2x+1}.
La dérivée de f' est : f'(x) = 0,2 + 0,5 \times \dfrac{2}{2x+1} = 0,2 + \dfrac{1}{2x+1}
En mettant au même dénominateur :
f'(x) = 0,2 + \dfrac{1}{2x+1} \\ f'(x) = \dfrac{0,2(2x+1)}{2x+1} + \dfrac{1}{2x+1} \\ f'(x) = \dfrac{0,2(2x+1)+1}{2x+1} \\ f'(x) = \dfrac{0,4x + 0,2+1}{2x+1} \\ \boxed{f'(x) = \frac{0,4x + 1,2}{2x+1}}

2. a) Etude du signe de la dérivée
Etude du signe du dénominateur
2x+1=0 \, \Longleftrightarrow \, 2x = -1 \, \Longleftrightarrow \, x = -0,5 or -0,5 \notin [0 ; 20] donc le dénominateur ne s'annule pas sur [0 ; 20].
2x+1 > 0 \, \Longleftrightarrow \, 2x > -1 \, \Longleftrightarrow \, x > -0,5 donc le dénominateur est strictement positif sur [0 ; 20].
Etude du signe du numérateur
0,4x+1,2=0 \, \Longleftrightarrow \, 0,4x = -1,2 \, \Longleftrightarrow \, x = -3 donc le numérateur ne s'annule pas sur [0 ; 20].
0,4x+1,2>0 \, \Longleftrightarrow \, 0,4x > -1,2 \, \Longleftrightarrow \, x > -3 donc le numérateur est strictement positif sur [0 ; 20].
On en déduit que la dérivée est strictement positive pour tout réel x de l'intervalle [0 ; 20].

2. b) Variations de la fonction f
La dérivée étant strictement positive, on en déduit que la fonction est sctrictement positive sur l'intervalle [0;20].
bac SMS, La Réunion 2008 - terminale : image 2

f(0) = 0,2 \times 0 + 0,5 \ln (2 \times 0 + 1) = 0 + 0,5 \ln (1) = 0 \\ f(20) = 0,2 \times 20 + 0,5 \ln (2 \times 20 + 1) = 4 + 0,5 \ln (41) \approx 5,86

3. Tableau de valeurs
x 0 1 2 4 7 10 13 16 20
f(x) 0 0,75 1,20 1,90 2,75 3,52 4,25 4,95 5,86


4. L'équation de la droite tangente au point d'abscisse a est donnée par :
y = f'(a) (x-a) + f(a)
avec a=0, on a : f(0) = 0 et f'(0) = \dfrac{0,4 \times 0 + 1,2}{2\times 0+1} = \dfrac{1,2}{1} = 1,2
Donc l'équation de la droite est :
y = 1,2 (x-0) + 0 \\\boxed{y = 1,2 x}

5. Représentation graphique
bac SMS, La Réunion 2008 - terminale : image 3


Partie B

1. On calcule f(8,5)
f(8,5) = 0,2 \times 8,5 + 0,5 \ln (2 \times 8,5 + 1) = 1,7 + 0,5 \ln (18) \approx 3,16
Donc le nombre de personnes obèses est d'environ 3,16 millions de personnes.

2. a) On cherche sur la courbe C l'ordonnée du point d'abscisse 12 ; on trouve environ 4.
Donc le nombre de personnes obèses est d'environ 4 millions de personnes.

2. b) On cherche sur la courbe C l'abscisse du point d'ordonnée 2 ; on trouve environ 4,3.
Donc le nombre de personnes en surpoids est d'environ 4,3 millions de personnes.
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