Bac Technologique - Sciences Médico-Sociales
La Réunion - Session Juin 2008
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Durée de l'épreuve : 2 heures - Coefficient 2 1 feuille de papier millimétré sera remise au candidat avec le sujet.
L'usage des calculatrices est autorisé (circulaire n°99-186 du 16-11-1999).
Le formulaire officiel de mathématiques est joint au sujet.
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura dévéloppée.
Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
8 points
exercice 1
Pour chacune des questions ci-dessous, une seule des réponses proposées est exacte.
Une bonne réponse rapporte un point.
Toutes les questions sont indépendantes.
Recopier et compléter sur la copie le tableau ci-dessous en indiquant la réponse jugée correcte (a, b ou c), sans justification.
Question
1
2
3a
3b
4
5
6
7
Réponse choisie
1. Soit la fonction définie et dérivable sur [0 ; 10], d'expression : .
Le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de au point A d'abscisse 0 est égal à :
a) -5
b) 3
c) 0
2. On donne la courbe d'une certaine fonction g , définie et dérivable sur [-2 ; 2].
Soit g' la fonction dérivée de g. Par lecture graphique est égal à :
a) 3
b) 0
c) -3
3. Dans un lycée, on s'intéresse à l'ensemble des 1 000 fiches des élèves de l'établissement.
30 % de ces fiches sont celles des élèves de la filière SMS. Un tiers des fiches des élèves de la filière SMS sont celles d'élèves en terminale.
&bsp; a) Le nombre d'élèves en terminale SMS est de :
a) 300
b) 100
c) 900
b) On choisit au hasard une fiche d'un élève de SMS, chaque fiche ayant la même probabilité d'être choisie. La probabilité que cette fiche soit celle d'un élève en terminale est :
a)
b)
c)
4. Soit une suite arithmétique de raison et de premier terme . Le terme d'indice 13 est égal à :
a) 6,5
b) 13
c) 11,5
5. On considère la série statistique suivante :
Valeurs xi
0
1
2
3
4
5
Effectifs ni
2
4
1
2
1
2
La moyenne arithmétique de cette série est :
a)
b)
c) 1,25
6. (C) est la représentation graphique d'une fonction définie et dérivable sur .
On suppose que : La courbe (C) admet donc :
a) une asymptote verticale d'équation : b) une asymptote horizontale d'équation : c) une tangente d'équation :
7. Soit la fonction définie et dérivable sur d'expression : .
La dérivée de la fonction est définie par :
a)
b)
c)
12 points
exercice 2
Partie A
Soit la fonction définie et dérivable sur l'intervalle [0 ; 20], d'expression :
1. Soit la fonction dérivée de sur [0 ; 20]. Vérifier que :
2. a) Étudier le signe de sur [0 ; 20].
b) En déduire le tableau de variations de sur [0 ; 20].
3. Reproduire et compléter le tableau suivant, en donnant les valeurs de arrondies à 0,01.
0
1
2
4
7
10
13
16
20
1,20
3,52
4,95
On appelle C la courbe représentative de la fonction dans un repère orthogonal d'unités :
1 cm sur l'axe des abscisses ;
2 cm sur l'axe des ordonnées.
4. Déterminer une équation de la tangente T au point d'abscisse 0 à la courbe C.
5. Tracer la tangente T et la courbe C .
Partie B
On définit l'indice de masse corporelle (IMC) comme le quotient du poids d'un individu par le carré de sa taille. Selon l'Organisation Mondiale de la Santé, un individu est dit en surpoids si son IMC est supérieur ou égal à 25 et il est dit obèse si son IMC est supérieur ou égal à 30.
Pour un nombre de personnes de la population française en surpoids, une étude a montré que l'on peut admettre que le nombre d'obèses est donné par : ( et étant exprimés en millions de personnes).
1. Calculer le nombre de personnes obèses quand le nombre de personnes en surpoids est de 8,5 millions de personnes.
2. Par lecture graphique, en faisant apparaître les tracés utiles, déterminer :
a) Le nombre de personnes obèses pour douze millions de personnes en surpoids.
b) Le nombre de personnes en surpoids lorsque le nombre d'obèses est de deux millions.
1. Le coefficient directeur de la droite tangente au point d'abscisse 0 est égal au nombre dérivé de la fonction en 0, c'est-à-dire .
Or : donc .
2. Le nombre dérivé de g en 0, noté est égal au coefficient directeur de la droite tangente au point d'abscisse 0.
Ici, la droite tangente au point d'abscisse 0 est horizontale, donc de coefficient directeur nul, donc .
3. a) Parmi les 1000 élèves, 30% sont en SMS : . Et parmi ces 300 élèves, un tiers sont en terminale : .
3. b) D'après l'énoncé, on sait que parmi les fiches d'élèves de SMS, un tiers sont celles d'élèves de terminale.
4. On a : donc
5. La moyenne est donnée par :
6. Si la limite à l'infini est égale à 4, alors cela signifie que la courbe se rapproche de plus en plus de la droite horizontale passant par 4, qui a pour équation .
7. On a : donc, avec : .
exercice 2
Partie A
1. Calcul de la dérivée de la fonction On sait que la dérivée de est donnée par : .
Donc, en prenant , on a , et la dérivée de est égale à .
La dérivée de est : En mettant au même dénominateur :
2. a) Etude du signe de la dérivée
Etude du signe du dénominateur or donc le dénominateur ne s'annule pas sur [0 ; 20].
donc le dénominateur est strictement positif sur [0 ; 20].
Etude du signe du numérateur donc le numérateur ne s'annule pas sur [0 ; 20].
donc le numérateur est strictement positif sur [0 ; 20].
On en déduit que la dérivée est strictement positive pour tout réel de l'intervalle [0 ; 20].
2. b) Variations de la fonction La dérivée étant strictement positive, on en déduit que la fonction est sctrictement positive sur l'intervalle [0;20].
3. Tableau de valeurs
0
1
2
4
7
10
13
16
20
0
0,75
1,20
1,90
2,75
3,52
4,25
4,95
5,86
4. L'équation de la droite tangente au point d'abscisse a est donnée par :
avec a=0, on a : et Donc l'équation de la droite est :
5. Représentation graphique
Partie B
1. On calcule Donc le nombre de personnes obèses est d'environ 3,16 millions de personnes.
2. a) On cherche sur la courbe C l'ordonnée du point d'abscisse 12 ; on trouve environ 4.
Donc le nombre de personnes obèses est d'environ 4 millions de personnes.
2. b) On cherche sur la courbe C l'abscisse du point d'ordonnée 2 ; on trouve environ 4,3.
Donc le nombre de personnes en surpoids est d'environ 4,3 millions de personnes.
Publié par jamo/jamo
le
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