Fiche de mathématiques
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Bac Technologique - Sciences Médico-Sociales
Polynésie Française - Session Septembre 2008

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Durée de l'épreuve : 2 heures - Coefficient 2
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.
Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
2 feuilles de papier millimétré seront remises au candidat avec le sujet.
L'usage des calculatrices est autorisé.
Le formulaire officiel de mathématiques est joint au sujet.
8 points

exercice

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple.
Pour chaque question, trois réponses sont proposées. Une seule des réponses proposées est correcte.
Chaque bonne réponse rapporte 1 point Chaque réponse fausse retire 0,5 point. Une question sans réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point. Si le total des points est négatif la note attribuée à l'exercice est ramenée à 0.
Aucune justification n'est demandée.
Recopier et compléter le tableau ci-dessous en inscrivant pour chaque question la lettre a, b ou c correspondant à la réponse que vous pensez être correcte.
Question12345A5B5C5D
Réponse         


1. Les solutions de l'inéquation 3x + 2 \geqslant  9x -16 sont :
    a) tous les nombres supérieurs ou égaux à 3
    b) tous les nombres inférieurs ou égaux à 3
    c) tous les nombres inférieurs ou égaux à - 3

2. Dans une classe de 35 élèves, 32 sont allés à l'étranger, dont 16 en Angleterre, 18 en Espagne et 4 dans ces deux pays. On choisit au hasard un élève dc cette classe. La probabilité pour qu'il soit allé seulement en Angleterre est :
    a) \dfrac{1}{3}
    b) \dfrac{7}{18}
    c) \dfrac{4}{9}

3. Soit f la fonction définie sur l'intervalle [1 ; 10] par f(x) = \dfrac{4}{2x - 1}. La fonction dérivée f' est définie par :
    a) f'(x) = \dfrac{3}{2}
    b) f'(x) = \dfrac{12x + 5}{(2x - 1)^2}
    c) f'(x) = \dfrac{-8}{(2x - 1)^2}

4. Le nombre A = \dfrac{3\times 10^6 - 0,25 \times 10^5}{0,25} s'écrit sous la forme :
    a) 2,9 \times 10^6
    b) 1,19 \times 10^7
    c) 2,9^6

5. Soit f une fonction définie sur l'intervalle [-3 ; 6], dont on donne la courbe représentative ci-dessous. Répondre aux questions A, B, C et D.
bac SMS, Polynésie Française, Septembre 2008 - terminale : image 1

  A. Sur l'intervalle [0 ; 2], la fonction est :
    a) négative
    b) croissante
    c) décroissante

  B. L'inéquation f(x) \leqslant  0 a pour ensemble de solutions :
    a) [2 ; 5]
    b) [-1,6 ; 3,6]
    c) [-3 ; 0]

  C. L'équation f(x) = 0 a :
    a) une solution
    b) deux solutions
    c) trois solutions

  D. Le nombre dérivé f'(0) est :
    a) positif
    b) négatif
    c) égal à zéro


12 points

probleme

Partie A - Étude d'une fonction

Soit f la fonction définie sur l'intervalle [0 ; 10] par  f(x) = x\text{e}^{-0,25x} +   2.
On appelle \mathcal{C} sa courbe représentative.

1. Calculer f'(x)f' désigne la fonction dérivée de la fonction f et vérifier que :   f'(x) = \text{e}^{-0,25x}(1 -  0,25x).

2. Résoudre l'équation f'(x) = 0 et étudier le signe de f'(x) sur l'intervalle [0 ; 10].

3. En déduire le tableau de variations de la fonction f sur l'intervalle [0 ; 10] (les valeurs figurant dans ce tableau seront données sous forme exacte).

4. Reproduire et compléter le tableau de valeurs suivant (on donnera des valeurs arrondies à 10-2 près) :
x012345678910
f(x) 2,78 3,42  3,34   2,82


5. Sur une feuille de papier millimétré, construire la courbe \mathcal{C} dans un repère orthogonal :
    sur l'axe des abscisses, 1 cm représente une unité,
    sur l'axe des ordonnées, 10 cm représentent une unité et on graduera à partir de 2.


Partie B - Application

Dans cette partie, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
Dans un hôpital, les dépenses de téléphone par année sont données dans le tableau ci-dessous pour six années consécutives.
On désigne par x_{i} le rang de l'année et par y_{i} le montant des dépenses de téléphone en milliers d'euros pour l'année de rang x_{i}.
Année200120022003200420052006
x_{i}012345
y_{i}2,12,753,253,383,53,4


1. Représenter le nuage de points M_{i}\left(x_{i}~;~y_{i}\right) dans le repère précédent.

2. L'observation du graphique précédent nous permet d'admettre qu'une bonne estimation du montant en milliers d'euros des dépenses de téléphone pour l'année de rang x est donnée par la valeur de f(x)f est la fonction étudiée dans la partie A.
    a) Estimer par un calcul le montant des dépenses de téléphone en 2008.
    b) Estimer, par une méthode graphique, à partir de quelle année la dépense redeviendra inférieure à 3000 euros (on fera figurer les tracés utiles sur le graphique.)
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