Fiche de mathématiques

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Bac Technologique - Série Sciences et Technologies de la Gestion
Spécialités : Mercatique, Comptabilité et Finance d'Entreprise, Gestion des systèmes d'information.
Session 2008

Mercatique, comptabilité et finance d'entreprise
Durée de l'épreuve : 3 heures Coefficient : 3

Gestion des systèmes d'information
Durée de l'épreuve : 3 heures Coefficient : 4

Calculatrice autorisée, conformément à la circulaire N°99-186 du 16 novembre 1999.

Le candidat doit traiter les quatre exercices.

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.
Il sera tenu compte de la clarté des raisonnements et de la qualité de la rédacion dans l'appréciation des copies.

5 points

exercice 1

Cet exercice est un questionnaire a choix multiples (QCM).
Pour chaque question, trois réponses sont proposées parmi lesquelles une seule est correcte.
On vous demande de recopier sur votre copie celle que vous pensez correcte. Aucune justification n'est demandée.
Chaque bonne réponse rapporte un point, chaque réponse fausse retire 0,5 point, une question sans réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point. Si le total est négatif, la note attribuée à l'exercice est ramenée à zéro.

I. On considère l'arbre de probabilité suivant, dans lequel $\bar{A}$ et $\bar{E}$ sont les événements contraires respectivement des événements A et E.

sujet du bac STG Mercatique, Comptabilité et Finance d'Entreprise, Gestion des systèmes d'information Pondichéry 2008 - terminales : image 1

1. La probabilité de l'événement A $\cap$ E est :

a) 0,85

b) 0,105

c) 0,1425

2. La probabilité de l'événement E est :

a) 0,2125

b) 0,95

c) 0,3175

II. On place 300 euros à intérêts composés au taux annuel de 4%. A l'aide du tableau ci-dessous, répondre aux questions suivantes.

	A	B	C
1	Année n	Taux	Capital
2	0	4	300
3	1		312
4	2		324,48
5	3		337,4592
6	4		350,957568
7	5		364,995871
8	6		379,595706
9	7		394,779534
10	8		410,570715

1. Dans la cellule C3, on a entré une formule que l'on a recopiée vers le bas. Cette formule est :

a) =C2*(1+$B$2/100)

b) =C$2*(1+B2/100)

c) =$C$2*(1+$B$2/100)

2. Les intérêts, arrondis au centime d'euro, acquis au bout de 7 ans s'élèvent à :

a) 94,78

b) 379,60

c) 394,78

III. L'inéquation $e^{x-3} \leq 4$ a pour ensemble de solutions dans $\mathbb{R}$ :

a) S = ]- $\infty$ ; 4 + ln(3)]

b) S = ]- $\infty$ ; 7]

c) S = ]- $\infty$ ; 3 + ln(4)]

5 points

exercice 2

Hélène est salariée de la même entreprise depuis maintenant quinze ans. Elle regarde l'évolution de son salaire qui dépend à la fois de la variation des cotisations, des changements d'échelons et des augmentations personnelles. Elle observe les résultats suivants sur les huit dernières années.

Année	2000	2001	2002	2003	2004	2005	2006	2007
Rang de l'année x_i	1	2	3	4	5	6	7	8
Salaire mensuel y_i (en €)	1650	1725	1740	1750	1825	1850	1950	1960

1. Tracer le nuage de points associé à cette série statistique dans un repère d'unités graphiques :
1 cm pour une année sur l'axe des abscisses,
2 cm pour 100 € sur l'axe des ordonnées (graduer l'axe des ordonnées à partir de 1 600 €).

2. a) Déterminer les coordonnées du point moyen G et le placer dans le repère précédent.
   b) Avec la calculatrice, déterminer une équation de la droite $(\Delta)$ d'ajustement de y en x de ce nuage de points par la méthode des moindes carrés : les coefficients de l'équation seront arrondis à l'unité.
   c) Tracer la droite $(\Delta)$ dans le repère de la question 1..

3. On considère que cette droite permet un ajustement de la série statistique valable jusqu'en 2015.
   a) Estimer, à l'aide du graphique, le salaire moyen mensuel d'Hélène en 2010 en laissant apparents sur le graphique les traits de rappel (arrondir à la dizaine d'euros).
   b) Son salaire atteindra-t-il 2 400 € avant 2015 ? Justifier la réponse. 5 points

exercice 3

Partie A

Sur la figure 1 ci-dessous, on a tracé les droites :
d₁ d'équation y = 5 ;
d₂ d'équation $y = -\frac{3x}{7} + \frac{250}{21}$ ;
d₃ d'équation $y = -x + 17$ ;
d₄ d'équation $x = 4$ .

sujet du bac STG Mercatique, Comptabilité et Finance d'Entreprise, Gestion des systèmes d'information Pondichéry 2008 - terminales : image 2

Déterminer graphiquement, en hachurant la partie du plan qui ne convient pas, l'ensemble des points M du plan dont les coordonnées $(x \, ; y\, )$ vérifient le système suivant :
$\lbrace x \geq 4\\ y \geq 5 \\ y \leq -x + 17 \\ y \leq \frac{-3x}{7} + \frac{250}{21} \.$

Partie B

Les propriétaires d'un magasin situé en bord de mer souhaitent acheter des planches à voile pour les proposer à la location.
Ils doivent acheter deux types de planche à voile :
des planches, au coût unitaire de 900 €, destinées aux débutants.
des planches, au coût unitaire de 2 100 €, destinées aux utilisateurs confirmés.
Les contraintes sont les suivantes :
Ils doivent avoir au moins 4 planches pour débutants et 5 planches pour utilisateurs confirmés.
Pour des raisons de difficulté de stockage, ils ne peuvent acheter au maximum que 17 planches.
Le budget maximum pour l'achat de l'ensemble des planches est de 25 000 €.
On note $x$ le nombre de planches pour débutants et y Ie nombre de planches pour utilisateurs confirmés achetées par les propriétaires.

1. Justifier que les contraintes d'achat sont caracterisées par Ie système de la partie A avec $x$ et y entiers.

2. Le magasin peut-il acheter 6 planches pour débutants et 10 planches pour utilisateurs confirmés ? Justifier la réponse.

3. Les planches pour débutants seront louées 15 € l'heure ; les planches pour utilisateurs confirmés seront louées 20 € l'heure.
On suppose que toutes les planches seront louées.
a) Exprimer, en fonction de $x$ et y, le chiffre d'affaire horaire R du magasin.
b) Les propriétaires souhaitent déterminer le couple $(x ; y)$ qui fournira le chiffre d'affaire horaire maximum. A l'aide d'un tableur, ils obtiennent la feuille de calcul donnée ci-dessous.

	A	B	C	D	E	F	G	H
1	x\y	5	6	7	8	9	10	11
2	4	160	180	200	220	240	260	280
3	5	175	195	215	235	255	275	295
4	6	190	210	230	250	270	290	310
5	7	205	225	245	265	285	305	325
6	8	220	240	260	280	300	320	340
7	9	235	255	275	295	315	335	355
8	10	250	270	290	310	330	350	370
9	11	265	285	305	325	345	365	385
10	12	280	300	320	340	360	380	400

Parmi les formules suivantes, indiquer celle qui est à saisir dans la cellule B2 afin de compléter le tableau par recopie :
Formule 1 : =15*$A$2+20*$B$1
Formule 2 : =15*A$2+20*$Bl
Formule 3 : =15*$A2+20*B$1
c) Donner, parmi les couples $(x;y)$ qui vérifient les contraintes, celui qui correspond au chiffre d'affaire maximum. Quel est ce chiffre d'affaire maximum ? 5 points

exercice 4

Partie A

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0 ; 15] par $f(x) = 2\ln(x+1) + 1$ .

1. On désigne par $f'$ la fonction derivée de $f$ sur l'intervalle [0 ; 15].
a) Calculer $f'(x)$ et étudier son signe sur l'intervalle [0 ; 15].
b) Etablir le tableau de variation de $f$ sur l'intervalle [0 ; 15].

2. Recopier et compléter le tableau de valeurs ci-dessous (arrondir au dixième) :

$x$	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
$f(x)$			3,2		4,2	4,6	4,9	5,2			5,8		6,1	6,3

3. Tracer la courbe $\scr{C}$ représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal (unité : 1 cm).

4. Soit (D) la droite d'équation $y = 0,8x$ . Tracer la droite (D) dans le repère précédent.

Partie B

Une entreprise fabrique des pièces pour avions. On note $x$ le nombre de pièces fabriquées par mois $(0 \leq x \leq 15).$
Chaque mois, les coûts de production, exprimés en milliers d'euros, sont donnés par : $f(x) = 2\ln(x + 1) + 1.$
Le prix de vente d'une piece est 0,8 milliers d'euros.

1. Si l'entreprise vend $x$ pièces, déterminer la recette exprimée en milliers d'euros.

2. Vérifier que le bénéfice mensuel est : $B(x) = 0,8x - 1 - 2\ln(x+1).$

3. Calculer une valeur approchée de B(3) et B(14), puis préciser pour chacun de ces cas si l'entreprise est bénéficiaire.

4. En justifiant graphiquement la réponse, donner le nombre minimal de pièces qu'il faut fabriquer et vendre pour que l'entreprise soit bénéficiaire.

Correction

exercice 1

I. Complétons l'arbre des probabilités sachant que la somme des probabilités sur les branches partant d'un noeud est égale à 1 :

sujet du bac STG Mercatique, Comptabilité et Finance d'Entreprise, Gestion des systèmes d'information Pondichéry 2008 - terminales : image 3

1. Réponse : b) 0,105
Justifcation : $P(A \cap E) = P(A) \times P_A(E) = 0,15 \times 0,7 = 0,105$

2. Réponse : c) 0,3175
Justifcation : On a : $E = (E \cap A) \cup (E \cap \bar A)$ donc $P(E) = P(E \cap A) + P(E \cap \bar A) = 0,15 \times 0,7 + 0,85 \times 0,25 = 0,3175$

II.
1. Réponse : a) =C2*(1+$B$2*100)
Justifcation : c'est une suite géométrique de raison b : $u_{n+1} = u_n \times b = u_n \times (1 + t)$
Ainsi, chaque terme de la suite est égal au précédent multiplié par 1 + t où t est le taux d'intérêts.

2. Réponse : a) 94,78
Justifcation : au bout de 7 ans, le capital est égal à 394,78, c'est à dire 94,78 € de plus que le capital initial de 300 €.

III. Réponse : c) $S = ] - \infty \, ; \, 3 + \ln 4 ]$
Justifcation :
$e^{x-3} \le 4 \\ x-3 \le \ln 4 \\ x \le 3 + \ln 4$

exercice 2
1. Voici le nuage de points :

2. a) Calcul des coordonnées du point moyen G :
$x_G = \frac{1+2+3+4+5+6+7+8}{8} = \frac{36}{8} = 4,5 \\ y_G = \frac{1650+1725+ ... +1960}{8} = \frac{14450}{8} = 1806,25$
Donc le point G a pour coordonnées : $\boxed{G ( 4,5 ; 1806,25 )}$

2. b) Détermination de la droite d'ajustement avec une calculatrice :
L'équation de la droite d'ajustement de y en x est de la forme $y = a x + b$ .
Avec une calculatrice, on trouve : $a \approx 44,05$ et $b \approx 1608,04$ .
En arrondissant les coefficient à l'unité, on a donc : $\boxed{y = 44 x + 1608}$ .

2. c) Voir le graphique ci-dessus.

3. a) Estimation graphique du salaire en 2010 :
L'année 2010 correspond au rang 11.
On détermine l'ordonnée du point de la droite d'ajustement d'abscisse 11. On trouve environ 2090 €.

3. b) Pour savoir si le salaire atteindra 2400 € avant 2015, on peut le vérifier graphiquement, ou par le calcul en résolvant l'inéquation :
$44 x + 1608 \ge 2400 \\ \Longleftrightarrow \, 44 x \ge 2400 - 1608 \\ \Longleftrightarrow \, 44 x \ge 792 \\ \Longleftrightarrow \, x \ge \frac{792}{44} \\ \Longleftrightarrow \, x \ge 18$
Le rang 18 correspond à l'année 2017, donc la salaire d'Hélène n'atteindra 2400 € qu'en 2017, et non pas en 2015.

exercice 3

Partie A
Pour chacune des quatre droites, il faut chercher lequel des deux demi-plans qu'elle délimite est à retenir ou non.
Pour cela, on peut utiliser l'origine du repère de coordonnées (0 ; 0) et tester si ce point vérifie ou non l'inégalité.
En hachurant les parties qui ne convient pas, on obtient le résultat suivant (les inégalités étant larges, les segments délimitant la zone solution font aussi partie de la solution) :

Partie B
1. Mise en équation du problème
Soit x le nombre de planches pour débutants et y le nombre de planches pour utilisateurs confirmés.
Traduisons les informations de l'énoncé en équations :
- le nombre de planches pour débutants est au minimum de 4 donc : $x \ge 4$
- le nombre de planches pour utilisateurs confirmés est au minimum de 5 donc : $y \ge 5$
- le nombre de planches est au maximum de 17 donc : $x+y \le 17 \, \Longleftrightarrow \, y \le -x + 17$
- Le budget maximum est de 25 000 € donc : $900 x + 2100 y \le 25000 \, \Longleftrightarrow \, y \le -\frac{900 x}{2100} + \frac{25000}{2100} \, \Longleftrightarrow \, y \le -\frac{3 x}{7} + \frac{250}{21}$
On obtient donc bien le système d'inéquations proposé dans la partie A.
De plus, x et y sont des entiers naturels.

2. Vérifions si le couple x = 6 et y = 10 est solution du système d'inéquations.
On vérifie facilement que les 3 premières inéquations sont bien vérifiées : $6 \ge 4$ , $10 \ge 5$ et $10+6 \le 17$ .
Pour la dernière équation, on a : $-\frac{3 \times 4}{7} + \frac{250}{21} = \frac{214}{21} \approx 10,19 > 10$ .
La dernière inéquation n'est pas vérifiée donc le magasin ne peut pas acheter 6 planches pour débutants et 10 planches pour utilisateurs confirmés.
Une autre méthode consiste à vérifier que le point de coordonnées (6 ; 10) n'est pas dans la zone solution du plan délimitée dans la partie A.

3. a) Déterminons le chiffre d'affaire R du magasin en fonction de x et de y.
Le magasin gagne 15 € par planche pour les x planches pour débutants, et 20 € par planche pour les y utilisateurs confirmés, donc : $\boxed{R = 15 x + 20 y}$

3. b) La bonne formule à saisir dans la cellule B2 est la formule 3 : =15*$A2+20*B$1
En effet, dans le formule, il faut "bloquer" la colonne A qui contient les valeurs de x et la ligne 1 qui contient les valeirs de y.

3. c) Recherche du chiffre d'affaire maximal.
On considère la droite d'équation $15 x + 20 y = R$ ou sous forme réduite $y = -\frac{3 x }{4} + \frac{R}{20}$ .
L'ordonnée à l'origine $\frac{R}{20}$ de cette droite est directement proportionnelle au chiffre d'affaire R.
Donc, parmi toutes les droites de coefficient directeur $-\frac{3}{4}$ , on cherche celle qui a la plus grande ordonnée à l'origine et qui passe par un des points à coordonnées entières dans la zone solution.
On trouve qu'il faut prendre la droite qui passe par le point de coordonnées (9;8) (voir graphique).
Le chiffre d'affaires correspondant est égal à : $R = 15 \times 9 + 20 \times 8 = 295$
Conclusion : le chiffre d'affaire maximal est de 295 € pour 9 planches pour débutants et 8 planches pour utilisateurs confirmés.

exercice 4

Partie A
1. a) Détermination de la dérivée f ' de la fonction f :
$f'(x) = 2 \times \frac{1}{x+1} \\ \boxed{f'(x) = \frac{2}{x+1}}$
Sur l'intervalle [0 ; 15], on a $x+1 > 0$ donc $\boxed{f'(x) > 0}$ .

1. b) La dérivée étant strictement positive sur [0 ; 15], on en déduit que la fonction f est strictement croissante sur [0 ; 15] :

$f(0) = 2 \ln(1) + 1 = 0+1 = 1 \\ f(15) = 2 \ln(16) + 1 \approx 6,5$

2. Tableau de valeurs :

$x$ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

$f(x)$ 1 2,4 3,2 3,8 4,2 4,6 4,9 5,2 5,4 5,6 5,8 6,0 6,1 6,3 6,4 6,5

3. Courbe représentative

Partie B
1. La recette est égale au nombre de pièces vendues multiplié par le prix d'une pièce. Donc la recette est donnée en fonction de x par la fonction R définie par : $\boxed{R(x) = 0,8x}$ .

2. Le bénéfice est égal à la recette auquel on soustrait les coûts de production. Donc le bénéfice est donné en fonction de x par la fonction B définie par : $\boxed{B(x) = R(x) - f(x) = 0,8x - 1 - 2\ln(x+1)}$ .

3. Calcul de B(3) et de B(14)
$B(3) = 0,8 \times 3 - 1 - 2\ln(3+1) \approx -1,37 \\ B(14) = 0,8 \times 14 - 1 - 2\ln(14+1) \approx 4,78$
Si l'entreprise vend 3 pièces, alors le bénéfice est négatif, donc l'entreprise n'est pas bénéficiaire.
Si l'entreprise vend 14 pièces, alors le bénéfice est positif, donc l'entreprise est bénéficiaire.

4. Graphiquement, on trouve que si x est inférieur ou égal à 6, alors la droite $\scrD$ est en-dessous de la courbe $\scrC$ , donc les coûts de production sont supérieurs à la recette, donc l'entreprise n'est pas bénéficiaire.
Par contre, si x est supérieur ou égal à 7, alors la droite $\scrD$ est au-dessus de la courbe $\scrC$ , donc la recette est supérieure aux coûts de production, donc l'entreprise est bénéficiaire.
Donc l'entreprise doit fabriquer et vendre au minimum 7 pièces pour être bénéficiaire.

Publié par Cel/jamo le 10-05-2008

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7	9	235	255	275	295	315	335	355
8	10	250	270	290	310	330	350	370
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$x$	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
$f(x)$	1	2,4	3,2	3,8	4,2	4,6	4,9	5,2	5,4	5,6	5,8	6,0	6,1	6,3	6,4	6,5

	A	B	C	D	E	F	G	H
1	x\y	5	6	7	8	9	10	11
2	4	160	180	200	220	240	260	280
3	5	175	195	215	235	255	275	295
4	6	190	210	230	250	270	290	310
5	7	205	225	245	265	285	305	325
6	8	220	240	260	280	300	320	340
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Bac Technologique - Série Sciences et Technologies de la Gestion Spécialités : Mercatique, Comptabilité et Finance d'Entreprise, Gestion des systèmes d'information. Session 2008

exercice 1

exercice 2

exercice 3

Partie A

Partie B

exercice 4

Partie A

Partie B

exercice 1

exercice 2

exercice 3

Partie A

Partie B

exercice 4

Partie A

Partie B

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Session 2008

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4	6	190	210	230	250	270	290	310
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