Fiche de mathématiques
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Bac Technologique - Série Sciences et Technologies de la Gestion
Spécialités : Mercatique, Comptabilité et Finance d'Entreprise, Gestion des systèmes d'information.
Polynésie Française - Session 2008

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Durée de l'épreuve : 3 heures         Coefficient : 3
L'usage des calculatrices et des instruments de géométrie est indispensable.
L'usage des formulaires de mathématiques n'est pas autorisé.
Une feuille de papier millimétré est fournie.
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.
Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
4 points

exercice 1

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).
Pour répondre, on demande de noter le numéro de la question et d'indiquer la réponse exacte (A, B ou C).

Pour chaque question une seule des trois réponses est correcte.
Une réponse juste rapporte 1 point ; une réponse fausse enlève 0,25 point et l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point.
Si le total des points est négatif, la note attribuée à l'exercice est ramenée à 0.

Question 1 : Un article subit une diminution de 20 %. Pour qu'il retrouve son prix inital, il faut :
Réponse A : L'augmenter de 20 %Réponse B : Diviser par 0,8Réponse C : Ajouter 0,8


Question 2 : Le prix d'un article a d'abord été doublé puis ensuite triplé. Le taux d'évolution global est :
Réponse A : 600 %Réponse B : 500 %Réponse C : 400 %


Question 3 :
Année 2005 2006
Chiffre d'affaires (milliers d'euros) 25 000 42 000

Le taux annuel d'évolution du chiffre d'affaires (arrondi au dixième) entre 2005 et 2006 est :
Réponse A : 0,30Réponse B : 1,68Réponse C : 0,68


Question 4 : Le nombre d'internautes en Europe était en 2001 de 143,3 millions d'individus. En prenant ce nombre pour base 100, on obtient pour 2002 un indice égal à 133,2. Le nombre d'internautes en Europe, en millions, en 2002 est d'environ :
Réponse A : 176,5Réponse B : 190,9Réponse C : 107,6
4 points

exercice 2

Monsieur François va ouvrir un marché "puces et brocante" sur son terrain. Il y a délimité 120 emplacements. L'installation des exposants commencera à 6h, le dernier exposant devra avoir fini de s'installer à 8h.
Il prévoit que chaque exposant arrivant :
avec une voiture, paiera 10 euros de redevance et disposera de deux emplacements pour installer son stand,
avec un fourgon, paiera 16 euros de redevance et disposera de trois emplacements.
Il faut en moyenne 1 min à une voiture pour se garer et 4 min à un fourgon.
Pour des raisons de sécurité, chaque exposant ne peut commencer à se garer que lorsque le précédent a fini de se garer.

Monsieur François souhaite déterminer le nombre de voitures et le nombre de fourgons nécessaires pour que sa recette soit maximale.

Partie A :

On note x le nombre de voitures et y le nombre de fourgons.

1. Ecrire un système d'inéquations correspondant aux contraintes du problème.

2. En utilisant la feuille de papier millimétré fournie, déterminer graphiquement l'ensemble des points M du plan dont les coordonnées vérifient le système (S) suivant avec comme unité graphique : 1 cm pour 5 unités sur les deux axes. On hachurera la partie du plan qui ne convient pas.
(\text{S}) \lbrace x \geq 0\\ y \geq 0 \\ y \leq -\frac23 x + 40 \\ y \leq -\frac14 x + 30 \.

3. Après avoir justifié le lien entre les questions 1 et 2, préciser si Monsieur François peut accueillir :
   a) 50 voitures et 20 fourgons ?
   b) 30 voitures et 15 fourgons ?
   c) 24 voitures et 24 fourgons ?

Partie B :

On note R la recette de la journée.

1. Exprimer R en fonction de x et y.

2. Montrer que la droite D d'équation y = -\frac58 x + 10 correspond à une recette de 160 euros.

3. a) Représenter la droite D dans le repère précédent.
   b) Trouver le couple d'entiers (x \, ; \, y) qui permet d'obtenir la recette maximale.
   c) Calculer alors cette recette maximale et répondre au problème posé. 6 points

exercice 3

Ulysse, Victor et Walter sont nés tous les trois le 1er Janvier 2008.
A leur naissance, leurs pères respectifs ont décidé de leur mettre de l'argent de côté.
Le père d'ulysse dépose 100 euros le 1er Janvier 2008 dans son coffre-fort et y ajoutera 200 euros tous les ans.
Le père de Victor place 2000 euros le 1er Janvier 2008 à intérêts composés au taux annuel de 3 %.
Le père de Walter met 1 euro dans une tirelire le 1er Janvier 2008 puis y mettra 2 euros en 2009, 4 euros en 2010, 8 euros en 2011, 16 euros en 2012 ... Il déposera donc dans la tirelire chaque année, le double de la somme versée l'année précédente.

On note Un, Vn, Wn, les capitaux acquis par Ulysse, VIctor et Walter à l'année 2008 + n.

Partie A :

On s'intéresse aux suites (Un) et (Vn).
On utilise un tableur. Voici un tableau représentant l'écran, les résultats ayant été demandés à 0,1 près.

  A B C
1 n Un Vn
2 0 100 2000
3 1 300 2060
4 2 500 2121.8
5 3 700 2185.5
6 4 900 2251
7 5 1100 2318.5


1. Quelle formule faut-il entrer en B3 pour obtenir par recopie vers le bas, les valeurs des termes de la suite (Un) ? Quelle formule faut-il entrer en C3 pour obtenir, par recopie vers le bas, les valeurs des termes de la suite (Vn) ?

2. a) Justifier que (Un) est une suite arithmétique dont on précisera me terme initial et la raison.
   b) Justifier que (Vn) est une suite géométtrique dont on précisera le terme inital et la raison.

3. A 5 ans, Victor dit à Ulysse : " Je suis deux fois plus riche que toi ". Et à 10 ans, est-ce encore vrai ? Justifier votre réponse.

4. a) Exprimer Un et Vn en fonction de n.
   b) A 18 ans, Ulysse et Victor veulent acheter chacun une moto qui coûte 3500 euros. Qui pourra le faire ? Justifier.

Partie B :

On s'intéresse à la suite (Wn).

1. Calculer les termes W1, W2, W3 et W4.

2. Exprimer Wn en fonction de n.

3. Walter affirme qu'à 18 ans, il pourra acheter 149 motos à 3500 euros. Vrai ou Faux ?
Justifier votre réponse. 6 points

exercice 4

Une entreprise de maroquinerie fabrique des sacs.
On désigne par x, le nombre de centaines de sacs fabriqués par jour dans l'entreprise.
Le coût de fabrication de x centaines de sacs, exprimé en centaines d'euros, est donné par C(x) = 2x + e^{0,5x}.
Chaque sac est vendu 10 euros, on note R(x) la recette, exprimée en centaines d'euros, correspondant à la vente de x centaines de sacs : R(x) = 10x

Partie 1 : Lecture graphique

Voici les représentations graphiques des fonctions C et R :

bac STG Mercatique, Comptabilité et Finance d'Entreprise, Gestion des systèmes d'information Polynésie Française 2008 - terminale : image 1


1. Parmi ces deux représentations graphiques, quelle est celle de la fonction R ?

2. A l'aide du graphique, recopier et compléter le tableau suivant :

x     8
C(x) 10    
R(x)   40  


3. Arrondi à la centaine de sacs, combien de centaines de sacs faut-il fabriquer pour que l'entreprise soit certaine d'être bénéficiaire ?

Partie 2 :

On note B(x) le bénéfice journalier, exprimé en centaines d'euros, réalisé par l'entreprise.

1. Montrer que B(x) = 8x - e^{0,5x}.

2. a) Calculer B'(x). La notation B' désigne la fonction dérivée de la fonction B.
   b) Montrer que dans [0 ; 15], résoudre B'(x) \leq 0 revient à résoudre l'inéquation e^{0,5x} \geq 16.
   c) Dresser le tableau de variation de la fonction B sur [0 ; 15].
   d) En déduire la valeur exacte de x pour laquelle B admet un maximum. On donnera une valeur arrondie de cette valeur exacte à 10-2.

3. En déduire la valeur maximale du bénéfice arrondi à l'euro.



exercice 1

Question 1 Réponse : B
Justification : On cherche le coefficient multiplicateur réciproque correspondant à une baisse de 20 %.
Le coefficient multiplicateur correspond à cette baisse est égal à k = 1 - 20\% = 0,8.
Le coefficient multiplicateur réciproque est tel que : k \times k' = 1 \, \Longleftrightarrow \, k' = \frac{1}{k} = \frac{1}{0,8}

Question 2 Réponse : B
Justification : Le prix de l'article a été multiplié par 6, ce qui correspond au coefficient multiplicateur k. Le taux d'évolution correspondant est égal à t=k-1=5=500\%.

Question 3 Réponse : C
Justification : Le taux d'évolution d'un nombre qui passe d'une valeur y1 à une valeur y2 est donné par : t=\frac{y_2 - y_1}{y_1}.
Donc : t = \frac{42000- 25000}{25000} = 0,68

Question 4 Réponse : B
Justification : Il y a proportionnalité entre l'indice et le nombre d'internautes, donc :
143,3 \times \frac{133,2}{100} \approx 190,88

exercice 2

Partie A

1. Un exposant arrivant en voiture dispose de 2 emplacements, et un exposant en fourgon de 3 emplacements, donc, étant donné qu'il y a 120 emplacements au maximum, on a : \boxed{2x+3y \le 120}.
La durée d'installation est de 2 heures (entre 6H et 8H), soit 120 minutes. Une voiture a besoin de 1 minute et un fourgon de 4 minutes, donc : \boxed{x+4y \le 120}.
De plus, le nombre de voitures et de fourgons étant des nombres positifs, on a le système :
\boxed{\lbrace  2x+3y \le 120  \\ x+4y \le 120 \\ x \ge 0 \\ y \ge 0 \.}

2. On peut facilement vérifer que le système donné dans cette question est bien équivalent au système trouvé à la question précédente. En effet :
2x+3y \le 120 \, \Longleftrightarrow \, 3y \le -2x + 120 \, \Longleftrightarrow \, y \le -\frac{2}{3} x + \frac{120}{3}  \, \Longleftrightarrow \, y \le -\frac{2}{3} x + 40 \\ x+4y \le 120 \, \Longleftrightarrow \, 4y \le -x + 120 \, \Longleftrightarrow \, y \le -\frac{1}{4} x + \frac{120}{4}  \, \Longleftrightarrow \, y \le -\frac{1}{4} x + 30
On trace les 4 droites qui correspondent à chacune des 4 inéquations du système :
D1 : x=0 (axe des ordonnées)
D2 : y=0 (axe des abscisses)
D3 : y = -\frac{2}{3} x + 40
D4 : y = -\frac{1}{3} x + 30
Pour les droites D1 et D2, la partie du plan à hachurer est évidente.
Pour les droites D3 et D4, on prend un point du plan, par exemple l'origine du repère de coordonnées (0;0), et on vérifie si ce point appartient à la zone à conserver ou non.
On obtient alors le graphique suivant.
bac STG Mercatique, Comptabilité et Finance d'Entreprise, Gestion des systèmes d'information Polynésie Française 2008 - terminale : image 2


3. On a expliqué dans la question 2 que le système trouvé à la question 1 et celui donné dans la question 2 étaient équivalents.
Donc la zone non hachurée correspond à l'ensemble des couples (x;y) qui conviennent au problème, avec x le nombre de voitures et y le nombre de fourgons.

3. a) Vérifions si le couple (50 ; 20) est solution ou non du système.
Les deux premières inéquations sont vérifiées (50 \ge 0 et 20 \ge 0).
On a : -\frac{2}{3} \times 50 + 40 \approx 6,7 or 20 > 6,7 donc la 3ème inéquation n'est pas vérifiée.
Donc il n'est pas possible d'accueillir 50 voitures et 20 fourgons.
Graphiquement, on vérifie que le point A(50;20) ne fait pas partie de la zone solution.

3. b) Vérifions si le couple (30 ; 15) est solution ou non du système.
Les deux premières inéquations sont vérifiées (30 \ge 0 et 15 \ge 0).
On a : -\frac{2}{3} \times 30 + 40 = 20 or 15 < 20 donc la 3ème inéquation est vérifiée.
On a : -\frac{1}{4} \times 30 + 30 = 22,5 or 15 < 22,5 donc la 4ème inéquation est vérifiée.
Donc il est possible accueillir 30 voitures et 15 fourgons.
Graphiquement, on vérifie que le point B(30;15) fait partie de la zone solution.

3. c) Vérifions si le couple (24;24) est solution ou non du système.
Les deux premières inéquations sont vérifiées (24 \ge 0 et 24 \ge 0).
On a : -\frac{2}{3} \times 24 + 40 = 24 or 24 \le 24 donc la 3ème inéquation est vérifiée.
On a : -\frac{1}{4} \times 24 + 30 = 24 or 24 \le 24 donc la 4ème inéquation est vérifiée.
Donc il est possible accueillir 24 voitures et 24 fourgons.
Graphiquement, on vérifie que le point C(24;24) se situe à la frontière de la zone solution.

Partie B

1. M. François touche 10 euros par voiture et 16 euros par fourgon, donc la recette est donnée par :
\boxed{R = 10 x + 16 y}

2. Si la recette est égale à 160 euros, on a alors :
10 x + 16 y = 160 \, \Longleftrightarrow \, 16 y = -10 x + 160 \, \Longleftrightarrow \, y = -\frac{10}{16} x + \frac{160}{16}  \, \Longleftrightarrow \, \boxed{y = -\frac{5}{8} x + 10}

3. a) Voir la droite D tracée dans le graphique ci-dessus.

3. b) Soit R_M la recette maximale. On a :
10 x + 16 y = R_M \, \Longleftrightarrow \, 16 y = -10 x + R_M \, \Longleftrightarrow \, \boxed{y = -\frac{5}{8} x + \frac{R_M}{16}}
Donc, pour avoir la recette maximale, on cherche la droite parallèle à D (car elle a le même coefficient directeur -\frac{5}{8}) et qui possède la plus grande ordonnée à l'origine, car celle-ci est proportionnelle à la recette.
Sur le graphique, on s'apercoit que c'est la droite qui passe par le point C.
C'est donc le couple (24 ; 24) qui permet d'obtenir la recette maximale.

3. c) On a : R = 10 \times 24 + 16 \times 24 = 624
Donc la recette maximale est de 624 Euros pour 24 voitures et 24 fourgons.

exercice 3

Partie A

1. Pour Ulysse, on ajoute 200 euros tous les ans ; donc le capital d'une année est égal au capital de l'année précédente auquel on ajoute 200.
Dans la cellule B3, on entre donc la formule : =B2+200.
Pour Victor, on ajoute tous les ans 3 % du capital précédent, ce qui revient à le multiplier par 1,03.
Dans la cellule C3, on entre donc la formule : =C2*1,03.

2. a) On a la relation U_{n+1} = U_n + 200, ce qui correspond à la définition d'une suite arithmétique de raison 200 ; le premier terme est U_0=100.

2. b) On a la relation V_{n+1} = 1,03 V_n, ce qui correspond à la définition d'une suite géométrique de raison 1,03 ; le premier terme est V_0=2000.

3. A 5 ans, on a V_5 \approx 2318,5 et U_5 = 1100, donc le capital de Victor est effectivement à peu prés le double de celui d'Ulysse.
On a : U_{10} = U_0 + 10 \times 200 = 100 + 2000 = 2100 et V_{10} = V_0 \times 1,03^{10} = 2000 \times 1,03^{10} \approx 2687,8
Donc c'est faux, le capital de Victor n'est plus égal au double du capital d'Ulysse lorsqu'ils auront 10 ans.

4. a) Expressions de U_n et V_n en fonction de n
\boxed{U_n = U_0 + n \times 200 = 200 n + 100}\\ \boxed{V_n = V_0 \times 1,03^n = 2000 \times 1,03^n}

4. b) On calcule U_{18} et V_{18}
U_{18} = 200 \times 18 + 100 = 3700 \\ V_{18} = 2000 \times 1,03^{18} \approx 3404,9
Donc Ulysse pourra se payer une moto à 3500 euros, mais pas Victor.

Partie B

1. On a W_0 = 1
W_1 = W_0 + 2 = 1 + 2 = 3 \\ W_2 = W_1 + 4 = 3 + 2^2 = 3 + 4 = 7 \\ W_3 = W_2 + 8 = 7 + 2^3 = 7 + 8 = 15 \\ W_4 = W_3 + 16 = 15 + 2^4 = 15 + 16 = 31

2. Expression de W_n en fonction de n
D'après le calcul des termes précédents, on en déduit que :
W_n = 1 + 2 + 4 + 8 + ... + 2^n
Cela correspond à la somme des termes d'une suite géométriques de raison 2.
Or, on sait que : 1 + q + q^2 + ... + q^n = \frac{1 - q^{n+1}}{1-q}
Donc : W_n = \frac{1 - 2^{n+1}}{1-2} = \frac{1 - 2^{n+1}}{-1} = \boxed{2^{n+1} - 1}

3. A 18 ans, Walter aura : W_{18} = 2^{18+1} - 1 = 2^{19} - 1 = 524 287 euros
Or : \frac{524 287}{3500} \approx 149,8
Donc Walter pourra effectivement se payer 149 motos à 3500 euros pour ses 18 ans.

exercice 4

Partie 1

1. La fonction R est une fonction affine, donc sa représentation graphique est la droite.

2.
x 3 4 8
C(x) 10 15 70
R(x) 30 40 80


3. L'entreprise est bénéficiaire lorsque la recette est supérieure au coût de fabrication.
L'abscisse du point d'intersection des deux courbes est à peu près égale à 8,5. Lorsque x est inférieur à 8,5, la courbe correspondant à la recette est au-dessus de celle correspondant au coût de fabrication.
Donc l'entreprise est bénéficiaire si elle fabrique moins de 800 sacs.

Partie 2

1. Le bénéfice est égal à la recette à laquelle on soustrait le coût de fabrication :
B(x) = R(x) - C(x) \\ B(x) = 10x - (2x + e^{0,5x}) \\ \boxed{B(x) = 8x - e^{0,5x}}

2.a. Pour le calcul de la dérivée de l'exponentielle, on utilise la formule (e^u)' = u' e^u
\boxed{B'(x) = 8 - 0,5 e^{0,5x}}

2.b. Etude du signe de la dérivée
B'(x) \le 0 \\ \Longleftrightarrow \, 8 - 0,5 e^{0,5x} \le 0 \\ \Longleftrightarrow \, - 0,5 e^{0,5x} \le -8 \\ \Longleftrightarrow \, e^{0,5x} \ge \frac{-8}{-0,5} \\ \Longleftrightarrow \, \boxed{e^{0,5x} \ge 16}

2.c. Résolution de l'inéquation précédente :
e^{0,5x} \ge 16 \\ \Longleftrightarrow \, \ln (e^{0,5x}) \ge \ln (16) \\ \Longleftrightarrow \, 0,5x \ge \ln (16) \\ \Longleftrightarrow \, x \ge \frac{\ln (16)}{0,5} \\ \Longleftrightarrow \, \boxed{x \ge 2 \ln (16) \approx 5,55}
On en déduit le tableau de signe de la dérivée et les variations de la fonction B sur [0 ; 15] :
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2.d. La fonction B admet donc un maximum pour \boxed{x = 2 \ln 16 \approx 5,55}.

3. La valeur maximale du bénéfice est égale à B(2 \ln 16) \approx 28 soit 2800 euros.
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