Fiche de mathématiques

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Bac Technologique - Série Sciences et Technologies de la Gestion
Spécialités : Mercatique, Comptabilité et Finance d'Entreprise, Gestion des systèmes d'information.
La Réunion - Session 2008

Mercatique, comptabilité et finance d'entreprise
Durée de l'épreuve : 3 heures Coefficient : 3

Gestion des systèmes d'information
Durée de l'épreuve : 3 heures Coefficient : 4
L'usage de la calculatrice est autorisé.
Le sujet est composé de quatre exercices.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

5 points

exercice 1

Selon l'institut national de la statistique et des études économiques (INSEE) un indice des prix a suivi, en France, l'évolution suivante entre les années 2000 et 2006.

Année	2000	2001	2002	2003	2004	2005	2006
Rang de l'année $x_i$	1	2	3	4	5	6	7
Indice y_i	100	101,5	102,8	104,0	107,1	109,4	113,5

INSEE : formation brute de capital fixe

L'exercice a pour objet d'étudier l'évolution de cet indice en utilisant deux modèles mathématiques.
Une représentation graphique du nuage de points M_i de coordonnées $(x_i \, ; \, y_i)$ est donnée ci-dessous.

bac STG Mercatique, Comptabilité et Finance d'Entreprise, Gestion des systèmes d'information La Réunion 2008 - terminale : image 1

1. Ajustement affine
    a) A l'aide de la calculatrice, donner une équation de la droite d'ajustement de y en $x$ , obtenue par la méthode des moindres carrés (arrondir les coefficients au centième).
    b) A partir des calculs effectués ci-dessus, on retient comme ajustement affine du nuage de points la droite $\mathscr{D}$ d'équation $y = 2,2x + 96,8.$
Tracer la droite $\mathscr{D}$ sur le graphique donné ci-dessus.
    c) En supposant que ce modèle reste valable pour l'année 2007, donner une prévision de la valeur de l'indice pour 2007. Indiquer la méthode utilisée.

2. Ajustement à l'aide d'un logiciel Un logiciel de calcul propose d'ajuster le nuage de points à l'aide d'une partie de la courbe $\mathscr{C}$ d'équation $y = 0,3x^2 + 0,1x + 99,9.$
La courbe $\mathscr{C}$ est tracée sur le graphique ci-dessus.
    a) Déterminer l'ordonnée du point de la courbe $\mathscr{C}$ d'abscisse 8.
    b) On suppose que le modèle défini par la courbe $\mathscr{C}$ reste valable pour l'année 2007.
Donner, selon ce modèle, la valeur de l'indice pour 2007.

5 points

exercice 2

L'extrait de feuille de calcul ci-dessous donne partiellement le nombre de SMS^* interpersonnels émis par téléphone en France lors des années 2001 à 2007. Le format d'affichage sur la plage de cellules B3:H3 est un format numérique à zéro décimale.
(*) Un SMS ou Short Message Service est un message texte, également appelé texto, envoyé d'un téléphone à un autre.

	A	B	C	D	E	F	G	H
1	Année	2001	2002	2003	2004	2005	2006	2007
2	Nombre de SMS interpersonnels (en millions)	3234	5877	8410		12712	15023	17546
3	Indice	100	182	260	335		465	543

Source : ARCEP Volumes de la messagerie interpersonnelle

1. a) Calculer le nombre de millions de SMS interpersonnels émis au cours de l'année 2004 (arrondir à l'unité).
    b) Calculer l'indice de l'année 2005 (arrondir à l'unité).

2. Donner une formule qui, entrée dans la cellule C3, permet par recopie vers la droite d'obtenir la plage de cellules C3:H3.

3. Dans cette question les résultats seront arrondis à 1 %.
    a) Donner le taux d'évolution du nombre de SMS interpersonnels émis de l'année 2001 à l'année 2007.
    b) Calculer le taux d'évolution moyen annuel du nombre de SMS interpersonnels émis de l'année 2001 à l'année 2007.

4 points

exercice 3

Une entreprise comprend 375 salariés. Elle dispose d'un restaurant d'entreprise.
Une enquête a été réalisée sur la fréquentation de ce restaurant par les salariés de cette entreprise. Les résultats sont donnés dans le tableau ci-dessous.

	Hommes	Femmes	Total
Nombre de salariés qui mangent régulièrement au restaurant d'entreprise	110	55	165
Nombre de salariés qui mangent occasionnellement au restaurant d'entreprise	42	33	75
Nombre de salariés qui ne mangent jamais au restaurant d'entreprise	58	77	135
Nombre total de salariés	210	165	375

On choisit au hasard un salarié dans la liste des 375 salariés de cette entreprise. Tous les salariés ont la même probabilité d'être choisis.
On considère les événements suivants :
    F : "Le salarié choisi est une femme" ;
    R : "Le salarié choisi mange régulièrement au restaurant d'entreprise" ;
    O : "Le salarié choisi mange occasionnellement au restaurant d'entreprise".

1. Traduire par une phrase l'événement F $\cap$ R, puis calculer sa probabilité (arrondir le résultat au millième).

2. Traduire par une phrase l'événement R $\cup$ O, puis calculer sa probabilité.

3. Calculer la probabilité que, sachant qu'il mange occasionnellement au restaurant d'entreprise, le salarié choisi soit une femme (donner le résultat sous la forme d'une fraction irréductible).

4. Les événements F et O sont-ils indépendants ? Justifier votre réponse.

6 points

exercice 4

Cet exercice a pour objet une étude de marché pour un article donné. Cette étude de marché a montré que le nombre de personnes désirant acheter cet article est fonction du prix $x$ , en euros, auquel il est proposé à la vente.
Pour cet article et pour un prix $x$ , on note $f(x)$ est le nombre de milliers d'acheteurs. La fonction $f$ est la fonction de demande.
Une entreprise décide de fabriquer cet article. Cette entreprise pourra fabriquer $g(x)$ milliers d'articles au prix $x$ . La fonction g est la fonction d'offre.
Les courbes représentatives $C_f$ et $C_g$ des fonctions $f$ et $g$ sont données ci-dessous.

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1. On suppose que pour cet article la fonction $f$ est définie sur l'intervalle [1 ; 12] par $f(x) = 10 - 3\ln(x)$
    a) Soit $f'(x)$ la fonction dérivée de la fonction $f$ . Calculer $f'(x)$ .
    b) Etudier le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle [1 ; 12].
    c) En déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle [1 ; 12].

2. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
On suppose que pour cet article la fonction g est définie sur l'intervalle [1 ; 12] par $g(x) = 2\ln(x).$
L'entreprise pourra-t-elle vendre tous les articles qu'elle aura fabriqués si le prix de vente est fixé à 8 € ?

3. On se propose de déterminer à l'aide d'un tableur la valeur de $x$ pour laquelle $f(x) = g(x).$
Cette valeur est appelée prix d'équilibre de l'article.
La feuille de calcul ci-dessous, donne les valeurs de $f(x)$ , les valeurs de $g(x)$ et les valeurs de $g(x) - f(x)$ , pour $x$ variant de 7 à 7,5 au pas 0,01.
Sur ce tableur la fonction logarithme népérien se note LN( ) et pour les colonnes B, C et D le format d'affichage est un format numérique à trois décimales.

	A	B	C	D
1	$x$	$f(x)$	$g(x)$	$g(x) - f(x)$
2	7,00	4,162	3,892	-0,270
3	7,01	4,158	3,895	-0,263
4	7,02	4,154	3,898	-0,256
5	7,03	4,149	3,900	-0,249
6	7,04	4,145	3,903	-0,242
7	7,05	4,141	3,906	-0,235
8	7,06	4,137	3,909	-0,228
9	7,07	4,132	3,912	-0,221
10	7,08	4,128	3,915	-0,214
11	7,09	4,124	3,917	-0,207
12	7,10	4,120	3,920	-0,200
13	7,11	4,115	3,923	-0,192
14	7,23	4,111	3,926	-0,185
15	7,12	4,107	3,929	-0,178
16	7,14	4,103	3,931	-0,171
17	7,26	4,099	3,934	-0,164
18	7,16	4,094	3,937	-0,157
19	7,17	4,090	3,940	-0,150
20	7,18	4,086	3,943	-0,144
21	7,19	4,082	3,945	-0,137
22	7,20	4,078	3,948	-0,130
23	7,21	4,074	3,951	-0,123
24	7,21	4,069	3,951	-0,116
25	7,23	4,065	3,956	-0,109
26	7,24	4,061	3,959	-0,102
27	7,25	4,057	3,962	-0,095
28	7,26	4,053	3,965	-0,088
29	7,27	4,049	3,968	-0,081
30	7,28	4,045	3,970	-0,074
31	7,29	4,040	3,973	-0,067
32	7,30	4,036	3,976	-0,061
33	7,31	4,032	3,978	-0,054
34	7,32	4,028	3,981	-0,047
35	7,33	4,024	3,984	-0,040
36	7,34	4,020	3,987	-0,033
37	7,35	4,016	3,989	-0,026
38	7,36	4,012	3,992	-0,020
39	7,37	4,008	3,995	-0,013
40	7,38	4,004	3,998	-0,006
41	7,39	4,000	4,000	0,001
42	7,40	3,996	4,003	0,007
43	7,41	3,992	4,006	0,014
44	7,42	3,987	4,008	0,021
45	7,43	3,983	4,011	0,028
46	7,44	3,979	4,014	0,034
47	7,45	3,975	4,016	0,041
48	7,46	3,971	4,019	0,048
49	7,47	3,967	4,022	0,054
50	7,48	3,963	4,024	0,061
51	7,49	3,959	4,027	0,068
52	7,50	3,955	4,030	0,075

    a) Donner une formule qui, entrée dans la cellule B2, permet par recopie vers le bas d'obtenir la plage de cellules B2:B52.
    b) Donner une formule qui, entrée dans la cellule D2, permet par recopie vers le bas d'obtenir la plage de cellules D2:D52.
    c) Donner la valeur du prix d'équilibre (arrondir au centime d'euro).
    d) Déterminer le nombre d'articles qui seront achetés si le prix de vente est égal au prix d'équilibre.

Voir la correction

exercice 1

1. a) Avec une calculatrice, on trouve l'équation de droite suivante : $\boxed{y = 2,16 x+ 96,81}$

1. b) Voir graphique ci-dessous.

1. c) L'année 2007 correspond au rang $x=8$ .
Par le calcul, on a : $y = 2,2 \times 8 + 96,8 = 114,4$
Donc on prévoit que l'indice des prix sera de 114,4 en 2007 selon ce modèle.
On peut aussi trouver ce résultat graphiquement en cherchant sur la droite $\scrD$ l'ordonnée du point d'abscisse 8 (voir graphique).

2. a) Par le calcul : $y = 0,3 \times 8^2 + 0,1 \times 8 + 99,9 = 0,3 \times 64 + 0,8 + 99,9 = 119,9$
Donc l'ordonnée du point de la courbe $\scrC$ d'abscisse 8 est égale à 119,9.

2. b) L'année 2007 correspondant au rang $x=8$ , on prévoit que l'indice pour 2007 sera de 119,9 selon ce modèle.
Graphiquement, on peut aussi retrouver ce résultat (voir graphique).
(l'echelle en ordonnée est modifiée par rapport au graphique donné dans l'énoncé)

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exercice 2

1. a) Calcul du nombre de SMS émis en 2004
L'indice en 2004 est égal à 335 par rapport à l'indice 100 en 2001, donc :
$n_{2004} = 3234 \times \dfrac{335}{100} = 3234 \times 3,35 = 10833,9$
Donc le nombre de SMS émis en 2004 est de 10834.

1. b) Calcul de l'indice en 2005
Le nombre de SMS émis en 2005 est de 12712 et de 3234 en 2001, donc :
$i_{2005} = \dfrac{12712}{3234} \times 100 \approx 393,07$
Donc l'indice en 2005 est égal à 393.

2. L'indice d'une année est égal au quotient du nombre de SMS émis cette même année par le nombre de SMS émis en 2001, puis multiplié par 100.
Il faut "bloquer" la valeur de la cellule B2 pour qu'elle soit présente dans toutes les formules par recopie.
Formule à saisir dans la cellule C3 : =100*C2/$B2.
Remarque : on peut remplacer la valeur 100 par $B3 dans la formule, mais la valeur 100 est constante.

3. a) Le taux d'évolution t d'une grandeur passant de la valeur $x_1$ à $x_2$ est donné par $t = \dfrac{x_2 - x_1}{x_1}$ .
Donc, entre 2001 et 2007 : $t = \dfrac{17546 - 3234}{3234} \approx 4,425$
Le taux d'évolution est donc de 443%.
NB : On peut également calculer ce taux en utilisant les indices : on passe de l'indice 100 à l'indice 543, l'indice a donc augmenté de 443 points, ce qui représente une augmentation du nombre de SMS de 443%.

3. b) Soit $x$ le taux d'évolution moyen annuel entre 2001 et 2007, qu'on suppose constant lors de chaque évolution.
Pour chacune des 6 évolutions, on multiplie chaque année par le coefficient multiplicateur $k=1+x$ .
Donc, de 2001 à 2007, on multiplie par $(1+x)^6$ .
Le taux d'évolution global étant égal à $4,42+1=5,42$ , on obtient l'équation :
$(1+x)^6 = 1+4,42 \, \Longleftrightarrow \, 1+x = 5,42^{\frac{1}{6}} \, \Longleftrightarrow \, x = 5,42^{\frac{1}{6}} - 1 \approx 0,325$
Donc le taux d'évolution moyen annuel est égal à 33%.

exercice 3

1. $\text{F} \cap \text{R}$ : "Le salarié choisi est une femme qui mange régulièrement au restaurant d'entreprise".
Il y a 55 femmes qui mangent réguliérement au restaurant d'entreprise parmi les 375 salariès, donc :
$\boxed{P(\text{F} \cap \text{R}) = \frac{55}{375} \approx 0,147}$

2. $\text{R} \cup \text{O}$ : "le salarié choisi mange régulièrement ou occasionnellement au restaurant d'entreprise".
Il y a 165 + 75 = 240 salariés qui mangent réguliérement ou occasionnellement au restaurant d'entreprise parmi les 375 salariés, donc :
$\boxed{P(\text{R} \cup \text{O}) = \frac{240}{375} = 0,64}$

3. On cherche la probabilité $P_{\text{O}}(\text{F})$ .
Parmi les 75 salariés qui mangent occasionnellement au restaurant d'entreprise, 33 sont des femmes, donc :
$\boxed{P_{\text{O}}(\text{F}) = \frac{33}{75} = \frac{11}{25}}$
Remarque : on peut aussi utiliser la formule : $P_{\text{O}}(\text{F}) = \dfrac{P(\text{O} \cap \text{F})}{P(\text{O})}$

4. Les évenements F et O sont indépendants si et seulement si $P_{\text{O}}(\text{F}) = P(\text{F})$ .
Il y a 165 femmmes parmi les 375 salariès, donc : $P(\text{F}) = \dfrac{165}{375} = \dfrac{11}{25}$
On a $P_{\text{O}}(\text{F}) = P(\text{F})$ donc les évenements F et O sont indépendants.

exercice 4

1. a) Calcul de la dérivée de la fonction $f$
La dérivée de $\ln x$ étant $\dfrac{1}{x}$ , on a :
$\boxed{f'(x) = -\frac{3}{x}}$

1. b) Pour tout réel $x$ de l'intervalle [1 ; 12], on a $x > 0$ , donc $\boxed{f'(x) <0}$

1. c) On en déduit que la fonction $f$ est strictement décroissante sur l'intervalle [1 ; 12].

bac STG Mercatique, Comptabilité et Finance d'Entreprise, Gestion des systèmes d'information La Réunion 2008 - terminale : image 4

$f(1) = 10 - 3 \ln 1 = 10 \\ f(12) = 10 - 3 \ln 12 \approx 2,55$

2. Pour un prix de vente fixé à 8 €, l'entreprise fabrique $g(8) = 2\ln 8 \approx 4,16$ milliers d'articles.
Et pour ce prix de 8 €, la demande est de $f(8) = 10 - 3 \ln 8 \approx 3,76$ milliers d'articles.
L'offre est supérieure à la demande, donc l'entreprise ne pourra pas vendre tous les articles fabriqués.
NB: On peut retrouver ce résultat graphiquement. Pour $x=8$ , la courbe de demande $\scr C_f$ est au-dessus de la courbe d'offre $\scr C_g$ .

3. a) Les valeurs de la colonne B sont les images des valeurs de la colonne A par la fonction $f$ .
Il faut saisir dans la cellule B2 la formule : =10-3*LN(A2)

3. b) Les valeurs dans la colonne D sont les différences entres les valeurs de la colonne C et de la colonne B.
Il faut saisir dans la cellule D2 la formule : =C2-B2

3. c) On cherche dans le tableau la valeur de $x$ telle que $g(x)-f(x)$ soit le plus proche de 0.
On trouve que la valeur du prix d'équilibre est environ de 7,39 €.

3. d) Au prix d'équilibre, le nombre d'article demandé est égal au nombre d'articles fabriqués, et égal à $f(7,39)=g(7,39)=4,00$ .
Le tableau indique que le nombre d'articles vendus est alors de 4 milliers.

Publié par Cel/jamo le 26-06-2008

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