Fiche de mathématiques
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Bac Technologique - Série Sciences et Technologies de la Gestion
Spécialités : Mercatique,
Comptabilité et Finance d'Entreprise,
Gestion des systèmes d'information.
Antilles Guyane - Session Juin 2008

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Mercatique, comptabilité et finance d'entreprise
Durée de l'épreuve : 3 heures         Coefficient : 3

Gestion des systèmes d'information
Durée de l'épreuve : 3 heures         Coefficient : 4

L'usage de la calculatrice est autorisé.
Le sujet est composé de quatre exercices.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
5 points

exercice 1

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).
Pour chaque question, trois réponses sont proposées parmi lesquelles une seule est correcte.
On vous demande de recopier sur votre copie celle que vous pensez correcte.
Chaque bonne réponse rapporte un point, chaque réponse fausse retire 0,5 point, une question sans réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point. Si le total est négatif, la note attribuée à l'exercice est ramenée à zéro.

I. Le nombre \text{e}^{\frac{2}{3}} \times \text{e}^{\frac{1}{3}} est égal à :
a) eb) 1c) \text{e}^{\frac{2}{9}}


II. Une société de crédit propose un prêt à intérêts composés dont le taux mensuel est de 0,9 %. Le taux annuel correspondant, arrondi à 0,1 %, est :
a) 10,8 %b) 12,1 %c) 11,4 %


III. Le tableau ci dessous donne les résultats d'un groupe de candidats à un examen en fonction de l'étude de leur première langue vivante.
 AnglaisAllemandRusse
Admis1176833
Refusé1697
On rencontre au hasard un candidat. Il dit qu'il est admis. La probabilité que sa première langue étudiée soit l'allemand est à 10-3 près :
a) 0,272b) 0,883c) 0,312


IV. Une entreprise étudie l'évolution du nombre de ses clients. Elle a recensé les résultats dans le tableau suivant :
Année20022003200420052006
Rang de l'année x_{i}12345
Nombre de clients y_{i}120126130135142

1. Une équation de la droite d'ajustement de y en x par la méthode des moindres carrés est :
a) y= - 0,19x+21,44b) y=5,3x+ 114,7c) y=5,3x - 10490,6


2. On choisit de réaliser un ajustement du nuage de points de la série précédente par la courbe d'équation y =115,44 \times  1,04^x. En supposant que cet ajustement reste valable pour les années suivantes, une estimation du nombre de clients en 2008 est de :
a) 158b) 152c) 840



6 points

exercice 2

Une entreprise fabrique des pièces de haute technologie. La fabrication hebdomadaire est limitée à 2000 pièces. Le prix de vente de 100 pièces est fixé à 15000 €.
La recette en milliers d'euros, obtenue pour la vente de x centaines de pièces est donc R(x) =15x.
Le graphique fourni en annexe donne la représentation graphique R_{1} de la fonction R et la représentation graphique C_{1} de la fonction coût de production notée C sur l'intervalle [0 ; 20].

Partie A : lectures graphiques

Avec la précision permise par le graphique, répondre aux questions suivantes :

1. Quel est le coût de production de 900 pièces ?

2. Quelle fabrication hebdomadaire correspond à un coût de production de 90 000 € ?

3. Combien l'entreprise doit-elle fabriquer et vendre de pièces pour être bénéficiaire ?


Partie B

On admet que la fonction C définie sur l'intervalle [0 ; 20] est donnée par :      C(x) = 0,5x^2 + 6,5x + 10 + 4,5\ln (x + 1).
On rappelle que le coût de production, en milliers d'euros, est le nombre C(x),~ x étant le nombre de centaines de pièces produites (x est compris entre 0 et 20 centaines de pièces). On admet que toutes les pièces produites sont vendues.

1. a) Montrer que le bénéfice est donné par la fonction B, définie sur [0 ; 20] par :     B(x) = - 0,5x^2 + 8,5x - 10 - 4,5\ln (x + 1).
On note B' la fonction dérivée de B sur l'intervalle [0 ; 20].
    b) Calculer B'(x).
    c) Vérifier que, pour tout réel x de l'intervalle [0 ; 20], B'(x) = \dfrac{(x + 0,5)(8 - x)}{x+1}.

2. a) Justifier que le signe de B'(x) est celui de (8 - x) sur l'intervalle [0 ; 20].
    b) En déduire le signe de B'(x) puis le tableau de variation de B sur l'intervalle [0 ; 20].

3. Pour quelle fabrication hebdomadaire le bénéfice est-il maximal ? Quel est ce bénéfice maximal à l'euro près ?
bac STG Mercatique, Comptabilité et Finance d'Entreprise, Gestion des systèmes d'information Antilles Guyane 2008 - terminale : image 1

Annexe exercice 2



5 points

exercice 3

L'entreprise Iron SA exploite un filon de minerai de fer depuis 1950.
La première année d'extraction l'entreprise a récupéré 20 000 tonnes de fer. Cependant depuis 1950, en raison des difficultés croissantes d'extraction, de l'appauvrissement du filon, les quantités extraites diminuent de 1 % par an.
On appelle T_{n} le nombre de tonnes extraites l'année (1950 + n). On a donc T_{0} = 20 000.

Les résultats seront arrondis à la tonne.

1. Justifier que T_{1} = 19 800 puis calculer T_{2} et T_{3}.

2. Exprimer T_{n+1} en fonction de T_{n}.

3. Quelle est la nature de la suite \left(T_{n}\right) ? En déduire l'expression de T_{n} en fonction de n.

4. Quelle est la quantité extraite en 2008 ?

5. Montrer que la quantité totale extraite entre 1950 et l'année (1950 + n) est :     S_{n} = \nombre{2000000}  \times  \left(1 - 0,99^{n+1}\right).

6. En 1950, les géologues estimaient que ce filon recelait 1 000 000 de tonnes de métal, En quelle année théoriquement le filon sera-t-il épuisé ?


Formulaire :
    La somme S des (n + 1) premiers termes d'une suite arithmétique \left(u_{n}\right) est donnée par :
S = u_{0}+u_{1}+ \cdots + u_{n} =(n+1)\times \dfrac{u_{0}+ u_{1}}{2}.

    La somme S des (n + 1) premiers termes d'une suite géométrique \left(u_{n}\right) de raison q~ (q > 1) est donnée par :
S = u_{0}+u_{1}+ \cdots + u_{n}= u_{0} \times \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}.



4 points

exercice 4

Évolution de la population en France
Le tableau ci-dessous est extrait d'une feuille de calcul d'un tableur.
Il donne les populations urbaine et rurale françaises, en millions de personnes, entre 1954 et 1999.
 ABCDEF
1Populations urbaine et rurale en France métropolitaine
2
3
 Population urbaine
(en millions)
Population rurale
(en millions)
Population totale
(en millions)
Taux de population urbaine
(en %)
Indice de population urbaine
4195424,518,242,757,4100
5196229,417,1   
6196834,814,9   
7197538,414,2   
8198239,914,5   
9199041,914,7   
10199944,214,3   
11      
12Source INSEE, recensement de la population

Dans cet exercice, on exprimera les taux en pourcentage et on arrondira les indices et les pourcentages au dixième.

1. Calculer pour l'année 1962 le taux de population urbaine en France par rapport à la population totale.

2. On fixe l'indice de population urbaine à la base 100 en 1954. Quel est l'indice de population urbaine en 1962 ? En 1982 ?

3. On s'intéresse dans cette question à l'évolution de la population totale.
    a) Montrer qu'avec l'arrondi fixé le taux d'évolution global de la population française entre 1954 et 1999 est 37 %.
    b) En déduire le taux annuel moyen d'augmentation entre 1954 et 1999.
    c) Donner des formules à insérer dans la feuille de calcul précédente qui, entrées dans les cellules D5, E5 et F5, permettent par recopie vers le bas d'obtenir la plage des cellules D5 : F10.
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