Fiche de mathématiques
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Bac Technologique - Série Sciences et Technologies de la Gestion
Spécialités : Mercatique,
Comptabilité et Finance d'Entreprise,
Gestion des systèmes d'information.
Antilles-Guyane - Session Septembre 2008

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Mercatique, comptabilité et finance d'entreprise
Durée de l'épreuve : 3 heures         Coefficient : 3

Gestion des systèmes d'information
Durée de l'épreuve : 3 heures         Coefficient : 4

L'usage de la calculatrice est autorisé.
Le sujet est composé de quatre exercices.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
4 points

exercice 1

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM)
Pour chaque question, trois réponses sont proposées parmi lesquelles une seule est correcte.
On vous demande de recopier sur votre copie celle que vous pensez correcte. Aucune justification n'est demandée.
Chaque bonne réponse rapporte un point, chaque réponse fausse retire 0,5 point, une question sans réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point. Si le total est négatif la note attribuée à l'exercice est ramenée à zéro.

1. On place un capital de 100 euros à 3,8 % par an à intérêts composés.
Pour tout entier naturel n, on note D_{n} le capital obtenu au bout de n années. On a donc D_{0} = 100.
La suite \left(D_{n}\right) ainsi obtenue est :
a) arithmétique de raison 1,038b) géométrique de raison 1,038c) géométrique de raison 3,8


2. Le prix de l'immobilier dans une ville a augmenté de 22 % en un an.
Le taux d'évolution mensuel moyen équivalent, arrondi à 0,001 %, est de :
a) 1,833 %b) 1,017 %c) 1,671 %


3. Pour tout nombre réel x strictement positif, la fonction f définie par : f(x) = x^2- \ln (x) admet pour fonction dérivée la fonction f' définie par :
a) f'(x)  = \dfrac{2x^2-1 }{x}b) f'(x) = \dfrac{2x- 1}{ x}c) f'(x) = x^2 - \dfrac{1}{x}


4. On tire au hasard une carte dans un jeu de 32 cartes. Sachant que la carte tirée est un coeur, la probabilité que ce soit un roi est :
a) \dfrac{1}{2}b) \dfrac{1}{4}c) \dfrac{1}{8}



6 points

exercice 2

L'évolution des ventes d'un produit fabriqué par une entreprise est donnée dans le tableau suivant :
Année19992000200120022003200420052006
Rang de l'année x_{i}01234567
Ventes y_{i} (en millions d'unités)200202213225233241247252

Partie A

1. Représenter graphiquement le nuage de points M_{i}\left(x_{i}~;~y_{i}\right) dans un repère orthogonal d'unités graphiques :
    1 cm pour une année sur l'axe des abscisses ;
    1 cm pour 10 millions sur l'axe des ordonnées (graduer l'axe des ordonnées à partir de 190).

2. Déterminer les coordonnées du point moyen G de ce nuage de points. Placer G dans le repère précédent.

On cherche à faire une prévision pour l'année 2009. Dans ce but, on propose deux modèles.

Partie B : Modèle affine

1. Déterminer, à l'aide d'une calculatrice, une équation de la droite (D) d'ajustement de y en x par la méthode des moindres carrés (on arrondira les coefficients à l'unité).

2. Tracer cette droite dans le repère précédent.

Partie C : Modèle exponentiel

Soit f la fonction définie sur l'intervalle [0 ; 10] par : f(x) = 1 99 \text{e}^{0,04x}.

1. Quel est le sens de variation de f sur l'intervalle [0 ; 10] ? Justifier la réponse.

2. Recopier et compléter le tableau ci-dessous (on arrondira à l'unité) :
x012345678910
f(x)216

3. Tracer la courbe (\mathcal{C}) représentative de la fonction f dans le repère précédent.

Partie D

Indiquer pour chacun des deux modèles, les prévisions que l'on peut effectuer sur le nombre de ventes du produit durant l'année 2009.


5 points

exercice 3

Soit f la fonction définie sur l'intervalle [1 ; 13] par :      f(x) = x \ln (x) - 3x + 10.
Une entreprise fabrique du dissolvant chimique. Lorsque l'entreprise fabrique x centaines de litres par jour, le coût moyen de production du litre est égal à f(x) (x est compris entre 1 centaine et 13 centaines). Ce coût est exprimé en euros.

1. Si l'entreprise produit 500 litres par jour, quel sera le coût moyen de production du litre, en euros, arrondi au centime ?

2. Montrer que f'(x) = \ln(x) - 2f' désigne la fonction dérivée de f sur l'intervalle [1 ; 13].

3. Étudier le signe de f'(x) puis établir le tableau de variations de f sur l'intervalle [1 ; 13].

4. En déduire le nombre de litres à produire par jour pour que le coût moyen de production du litre soit minimum. On donnera la valeur exacte puis une valeur approchée au litre près.
Préciser alors la valeur arrondie au centime du coût moyen de production du litre correspondant.


5 points

exercice 4

À l'aide d'une machine, un supermarché contrôle l'authenticité de 2 000 billets de banque. Les coupures de 20 € représentent 40 % de l'ensemble des billets contrôlés.
On a détecté 5 fausses coupures. Les billets de 20 € représentent 60 % des fausses coupures.

1. Reproduire et compléter le tableau suivant. Faire figurer le détail des calculs sur votre copie.
 Coupure de 10 €Coupure de 20 €Coupure de 50 €Total
Billets falsifiés  2 
Billets authentiques600   
Total   2 000
Dans les questions suivantes, les réponses seront données sous la forme d'une fraction irréductible.
Un billet est choisi au hasard parmi les 2 000 billets contrôlés.
On considère les évènements suivants :
    F : « le billet choisi est falsifié » ;
    C : « le billet choisi est une coupure de 50 € » ;
    V : « le billet choisi est une coupure de 20 € » .

2. Définir par une phrase l'évènement V \cap F et calculer p(V \cap F).

3. Calculer la probabilité conditionnelle de F sachant C notée p_{C}(F).

4. Calculer p(F). Peut-on dire que les évènements F et C sont indépendants ?
Justifier la réponse.
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