Fiche de mathématiques
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Bac Technologique - Série Sciences et Technologies de la Gestion
Spécialités : Mercatique,
Comptabilité et Finance d'Entreprise,
Gestion des systèmes d'information.
Nouvelle Calédonie - Session Novembre 2008

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Mercatique, comptabilité et finance d'entreprise
Durée de l'épreuve : 3 heures         Coefficient : 3

Gestion des systèmes d'information
Durée de l'épreuve : 3 heures         Coefficient : 4

L'usage de la calculatrice est autorisé.
Le sujet est composé de quatre exercices.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
6 points

exercice 1

La feuille de calcul ci-dessous présente les indices de référence des loyers mensuels pour les années 2002 à 2006 (base 100 en 2004). Source INSEE
M. Lasserre y a porté le montant des loyers mensuels de l'appartement qu'il loue ; ce montant évolue chaque année en fonction de l'indice de référence.
 ABCDEF
1Année20022003200420052006
2Indice de référence95,597,7100 105,5
3Loyer334,25341,95350359,10369,25
4Taux d'évolution annuel en pourcentageX    

Partie A : Questionnaire à Choix Multiples

Pour chaque question, une seule proposition est exacte.
Indiquez sur votre copie le numéro de la question et la lettre indiquant la réponse choisie.
Une réponse exacte rapporte 1 point ; une réponse fausse ou l'absence de réponse est comptée 0 point.


1. L'indice 105,5 en 2006 signifie :
    A : le montant du loyer mensuel a augmenté de 5,50 € entre 2004 et 2006.
    B : le montant du loyer mensuel a augmenté de 5,5 % entre 2002 et 2006.
    C : le montant du loyer mensuel a augmenté de 10 % entre 2002 et 2006.
    D: le montant du loyer mensuel a augmenté de 5,5 % entre 2004 et 2006.

2. Le taux d'évolution du loyer mensuel entre 2002 et 2003 (à 10-2 près) est égal à :
    A : + 2,20 %
    B : + 2,30 %
    C : + 7,70 %
    D : + 2,25 %

3. On souhaite compléter la ligne 4 ; quelle formule faut-il entrer dans la cellule C4, pour obtenir, par recopie vers la droite, le taux d'évolution annuel des loyers ?
    A : =($C3 - $B3)* 100/ $B3
    B : =C$3 - B$3)* 100/C$3
    C : =(C$3 - B$3) * 100/ B$3
    D : =(C$3 - B$3) * B$3 / 100


Partie B

1. Calculer l'indice de référence pour l'année 2005.
2. Calculer le taux moyen annuel d'évolution des loyers mensuels entre 2002 et 2006, arrondi à 10-2 près.


6 points

exercice 2

Un grand journal a fait réaliser en 2006 une enquête sur un échantillon représentatif de la population française des 18-34 ans.
35 % des personnes interrogées indiquent que leur principale source d'information est la télévision ; parmi elles, 40 % lisent aussi la presse écrite.
25 % des personnes interrogées indiquent que leur principale source d'information est la radio ; parmi elles, 60 % lisent aussi la presse écrite.
Les autres personnes interrogées indiquent que leur principale source d'information est l'Internet ; parmi elles, 75 % lisent aussi la presse écrite.

On choisit une personne au hasard dans l'échantillon et on note :
T l'évènement : « la personne a pour principale source d'information la télévision ».
R l'évènement: « la personne a pour principale source d'information la radio ».
I l'évènement : « la personne a pour principale source d'information l'Internet ».
E l'évènement : « la personne lit la presse écrite ».
Pour tout évènement A, on notera \overline{\text{A}} l'évènement contraire et P(A) sa probabilité.

1. À l'aide des informations fournies par le texte, indiquer la valeur de la probabilité conditionnelle P_{\text{T}}(\text{E}) puis calculer la probabilité conditionnelle P_{\text{R}}\left(\overline{\text{E}}\right).

2. Recopier et compléter l'arbre de probabilités ci-dessous :
bac STG Mercatique, Comptabilité et Finance d'Entreprise, Gestion des systèmes d'information Nouvelle Calédonie Novembre 2008 - terminale : image 1

3. a) Décrire à l'aide d'une phrase l'évènement T \cap E, puis démontrer que P(T \cap E) = 0,14.
    b) Calculer la probabilité des évènements R \cap E et I \cap E.
En déduire que P(E) = 0,59.

4. Calculer la probabilité conditionnelle P_{\text{E}}(\text{I}), en donnant un résultat approché arrondi à 10-2 près.
Les évènements E et I sont-ils indépendants ? Justifier sa réponse.


8 points

exercice 3

Les parties A et B sont largement indépendantes et peuvent être traitées séparément.
Le tableau ci-dessous donne à partir de 1998 le nombre de tués sur les routes françaises.
(Les valeurs données sont arrondies à la dizaine.)
Années199819992000200120022003200420052006
Rang de l'année : x_{i}012345678
Nombre de tués : y_{i}8 4408 0307 6407 7207 2405 8005 5905 3204 700
Insee mars 2007

On donne en ANNEXE le nuage de points \text{M}_{i}\left(x_{i}~;~ y_{i}\right) dans un repère orthogonal.


Partie A : Recherche d'un ajustement affine

1. Calculer les coordonnées du point moyen G. Placer G sur le graphique de l'ANNEXE.

2. a) Déterminer à l'aide d'une calculatrice une équation de la droite d'ajustement de y en x par la méthode des moindres carres sous la forme y =  ax + b. (Les valeurs de a et b seront arrondies à 0,1 près).
    b) Tracer la droite (D) d'équation y = - 485 x + 8 660 sur le graphique de l'ANNEXE.

3. On admet que la droite (D) réalise un ajustement affine du nuage de points.
Déterminer graphiquement une estimation du nombre de tués en 2009.
On fera apparaître sur le graphique les traits de construction nécessaires.


Partie B : Recherche d'un ajustement à l'aide d'une fonction exponentielle

On considère la fonction f définie sur l'intervalle [0 ; 20] par f(x) = 8 890\text{e}^{-0,075x}.

1. Étude de la fonction f
    a) Calculer la fonction dérivée f' de f sur l'intervalle [0 ; 20].
    b) Justifier que la fonction dérivée f' est strictement négative sur l'intervalle [0 ; 20].
    c) En déduire le sens de variations de la fonction f sur l'intervalle [0 ; 20].
    d) Dresser le tableau de variation de la fonction f sur l'intervalle [0 ; 20].

2. Représentation de la fonction f
    a) Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant ; on donnera les valeurs approchées entières arrondies à la dizaine la plus proche.
x02468101214161820
f(x) 7 6506 590 4 880  3 110   
    b) En utilisant les valeurs du tableau de la question précédente, construire la courbe représentative de la fonction f sur le graphique de l'ANNEXE.
    c) On admet que la fonction f réalise un deuxième ajustement du nuage de points.
Estimer par la méthode de son choix le nombre de tués en 2009.
On fera apparaître sur le graphique les traits de construction nécessaires.


Partie C : Comparaison des deux ajustements

1. À l'aide de l'ajustement affine de la partie A, estimer, par un calcul, en quelle année le nombre de tués sera inférieur à 2 500.

2. À l'aide de l'ajustement de la partie B, estimer, par un calcul, en quelle année le nombre de tués sera inférieur à 2 500.

3. Quel est, parmi les deux ajustements étudiés, celui qui semble le plus réaliste ?
Expliquer son choix.


ANNEXE : nuage de points de l'exercice 3
À RENDRE AVEC LA COPIE
bac STG Mercatique, Comptabilité et Finance d'Entreprise, Gestion des systèmes d'information Nouvelle Calédonie Novembre 2008 - terminale : image 2

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