Fiche de mathématiques

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Bac Technologique - Sciences et Technologies de la Gestion
Communication et Gestion des Ressources Humaines
Polynésie Française - Session Juin 2008

Durée de l'épreuve : 2 heures Coefficient : 2

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
Le sujet est composé de 3 exercices indépendants.
Le candidat doit traiter tous les exercices.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

8 points

exercice 1

On a relevé le prix trimestriel, en dollars, de la tonne de blé sur le marché mondial du premier trimestre 2005 au deuxième trimestre 2007. Les prix ont été insérés dans la feuille de calcul ci-dessous.

	A	B	C
1	Trimestre	Rang $x_i$	prix y_i en dollars par tonne
2	1^er 2005	1	116,1
3	2^e 2005	2	117,7
4	3^e 2005	3	120,0
5	4^e 2005	4	118,3
6	1^er 2006	5	129,7
7	2^e 2006	6	138,0
8	3^e 2006	7	145,5
9	4^e 2006	8	182,6
10	1^er 2007	9	171,6
11	2^e 2007	10	189
12	3^e 2007	11
13	4^e 2007	12
14	1^er 2008	13
15	2^e 2008	14
16	3^e 2008	15
17	4^e 2008	16

(Source INSEE)

Partie I

1. Calculer le taux d'évolution du prix du blé du 1^er trimestre 2005 au 2^e trimestre 2005.

2. a) Calculer le taux d'évolution global du prix du blé entre le 1^er trimestre 2005 et le 2^e trimestre 2007.
b) En déduire le taux d'évolution trimestriel moyen sur cette période.

Partie II

Ci-dessous, on a représenté, par un nuage de points, la série statistique double des rangs $x_i$ des trimestres et des prix y_i du blé.

bac STG Communication et Gestion des Ressources Humaines Polynésie Française 2008 - terminale : image 1

1. A l'aide de la calculatrice déterminer, par la méthode des moindres carrés, une équation de la droite de régression de y en $x$ sous la forme $y = ax+b$ , on arrondira les coefficients a et b à 0,01 près.

2. On décide d'ajuster le nuage avec la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = 8,7 x + 95$ .
Tracer $\mathcal{D}$ .

3. En utilisant cette droite, estimer graphiquement le prix du blé en dollars par tonne au 4^e trimestre 2008.
Faire apparaître sur le graphique les tracés.

Partie III

1. Si l'on admet que le prix du blé augmente de 5 % par trimestre après le 2^e trimestre 2007, quelle formule, à recopier vers le bas, faut-il placer en cellule C12 pour obtenir les prix au-delà du 2^e trimestre 2007 ?

2. a) Calculer la valeur contenue dans la cellule C12.
b) Calculer la valeur contenue dans la cellule C17.

6 points

exercice 2

Un étude de marché s'intéresse à l'évolution de l'offre et de la demande d'un certain produit en fonction du prix unitaire $x$ , exprimé en euros.
Pour un prix unitaire de $x$ euros, compris entre 2 et 30, le nombre de produits demandés est modélisé par : $f(x) = 0,05x^2 - 4x + 80,8$
et le nombre de produits offerts est modélisé par : $g(x) = 2x + 16$ .
Les courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ , tracées sur le graphique ci-dessous, représentent repectivement les fonctions $f$ et g.

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1. Déterminer graphiquement le nombre de produits offerts et le nombre de produits demandés lorsque le prix du produit est de 18 €.
Vous ferez apparaître sur le graphique les tracés utiles.

2. a) Calculer la dérivée $f'$ de la fonction $f$ .
   b) Etudier le signe de $f'$ et en déduire les variations de $f$ sur [2 ; 30].
   c) Donner une interprétation économique des variations de $f$ .

3. On appelle prix d'équilibre d'un produit, le prix pour lequel l'offre et la demande sont égales.
   a) Déterminer graphiquement le prix d'équilibre de produit.
   b) On se place au prix d'équilibre, quel est alors le nombre de produits demandés (et donc aussi offerts) et le chiffre d'affaires réalisé ?

6 points

exercice 3

Un vendeur de jeux vidéo a proposé en 2007 une carte de fidélité à ses clients ; 60 % d'entre eux ont pris la carte.
Parmi les clients munis d'une carte de fidélité, 70 % ont dépensé plus de 300 € dans l'année, alors que seuls 40 % des clients sans carte ont dépensé plus de cette somme annuellement.
A la fin de l'année 2007, le vendeur consulte le fichier de tous ses clients.
Il choisit au hasard un des clients de l'année 2007.

On nomme :
F l'évènement : "le client choisi possède une carte de fidélité",
D l'événement : "le client choisi a dépensé plus de 300 € dans l'année 2007".

1. Recopier et compléter l'arbre pondéré de probabilités ci-dessous.

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2. Montrer que la probabilité de l'événement $\text{F} \cap \text{D}$ est égale à 0,42.

3. Quelle est la probabilité que le client choisi ne possède pas de carte de fidélité et a dépensé plus de 300 € dans l'année 2007 ? En déduire la probabilité de l'évènement D.

4. Calculer la probabilité de F sachant D.

5. Les évènements F et D sont-ils indépendants ? Justifier la réponse.

Voir la correction

exercice 1

Partie I

1. Le taux d'évolution d'un prix qui passe d'une valeur y₁ à une valeur y₂ est donné par : $t = \dfrac{y_2 - y_1}{y_1}$ .
Donc : $t = \dfrac{117,7 - 116,1}{116,1} \approx 0,0138 \approx 1,38\%$
Donc le prix a augmenté d'environ 1,38 % entre le 1^er et le 2^nd trimestre 2005.

2. a) En appliquant la même question que la question précédente, on a :
$t = \dfrac{189- 116,1}{116,1} \approx 0,6280 \approx 62,80 \%$
Donc le prix a augmenté d'environ 62,8 % entre le 1^er trimestre 2005 et le 2^nd trimestre 2007.

2. b) Il y a 9 évolutions entre le 1^er trimestre 2005 et le 2^nd trimestre 2007.
Soit t le taux d'évolution moyen, qu'on suppose donc le même entre chaque trimestre. Le coefficient multiplicateur correspond est égal à 1 + t.
Le coefficient multiplicateur global est égal à 1 + 62,8 % = 1,628.
On a donc l'équation :
$(1+t)^9 = 1,628 \\ \Longleftrightarrow \, 1+t = 1,628^{\frac{1}{9}} \\ \Longleftrightarrow \, t = 1,628^{\frac{1}{9}} - 1 \\ \Longleftrightarrow \, \boxed{t \approx 0,0556 \approx 5,56\%}$
Donc le taux d'évolution moyen est de 5,56 %.

Partie II

1. Avec une calculatrice, on trouve : $\boxed{a \approx 8,70 \, \, \, b \approx 94,97}$

2. Voir graphique ci-dessous.

3. Le 4^ème trimestre correspond à l'abscisse $x = 16$ .
Graphiquement, on trouve que le prix du blé est de 235 dollars.
Remarque : par le calcul, on trouve : $y = 8,7 \times 16 + 95 = 234,2$ .

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Partie III

1. Chaque trimestre, le prix augmente de 5 %, ce qui correspond à un coefficient multiplicateur de 1,05.
Pour obtenir le nouveau prix, il faut donc multiplier le précédent par 1,05.
Donc la formule à placer dans la cellule C12 est : =1,05*C11.

2. a) La valeur dans la cellule C12 est égale à la valeur de la cellule C11 multipliée par 1,05 :
$\boxed{1,05 \times 189 = 198,45}$

2. b) Pour aller de la cellule C11 à la cellule C17, on multiplie 6 fois par 1,05 :
$\boxed{(1,05)^6 \times 189 \approx 253,28}$

exercice 2

1. Graphiquement, on trouve que :
le nombre de produits demandés est de 25 ; (par le calcul, on peut vérifier que $f(18) = 25$ )
le nombre de produits offerts est de 52. (par le calcul, on peut vérifier que $g(18)=52$ )

2. a) Calcul de la fonction dérivée :
$f'(x) = 0,05 \times 2 x - 4 \\ \boxed{f'(x) = 0,1 x - 4}$

2. b) Etude du signe de la dérivée
$f'(x) = 0 \\ \Longleftrightarrow \, 0,1x-4 = 0 \\ \Longleftrightarrow \, 0,1x=4 \\ \Longleftrightarrow \, x = \frac{4}{0,1} \\ \Longleftrightarrow \, \boxed{x = 40}\\ f'(x) \ge 0 \\ \Longleftrightarrow \, 0,1x-4 \ge 0 \\ \Longleftrightarrow \, 0,1x \ge 4 \\ \Longleftrightarrow \, x \ge \frac{4}{0,1} \\ \Longleftrightarrow \, \boxed{x \ge 40}$
On en déduit que la dérivée est strictement négative pour tout $x$ de l'intervalle [2 ; 30], donc que la fonction $f$ est strictement décroissante sur [0 ; 30].
$\begin{tabvar}{|C|LCR|} \hline x & 2 & & 30\\ \hline f'(x) & & - & \\ \hline \niveau{2}{3} f(x) & 73 & \decroit & 5,8 \\ \hline \end{tabvar}$

2. c) On traduit la décroissance de la fonction $f$ par le fait que plus le prix d'un produit augmente, plus la demande diminue.

3. a) L'abscisse du point d'intersection des deux courbes est égale à 12. Donc le prix d'équilibre est de 12 Euros.

3. b) Au prix d'équilibre, le nombre de produits demandés est égal au nombre de produits offerts, qui sont égaux à 40. (on peut vérifier par le calcul que $f(12) = g(12) = 40$ )
Le chiffre d'affaires est égal au nombre de produits multiplié par le prix d'un produit : $40 \times 12 = \boxed{480}$ Euros.

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exercice 3

1. Il y a 60 % de clients qui ont une carte de fidélité, donc $P(\text{F}) = 0,6$ et $P(\bar{\text{F}}) = 1 - 0,6 = 0,4$ .
Parmi les clients qui ont une carte de fidélité, 70 % ont dépensé plus de 300 € donc $P_{\text{F}}(\text{D}) = 0,7$ et $P_{\text{F}}(\bar{\text{D}}) = 1 - 0,7 = 0,3$ .
Parmi les clients qui n'ont pas de carte de fidélité, 40 % ont dépensé plus de 300 € donc $P_{\bar{\text{F}}}(\text{D}) = 0,4$ et $P_{\bar{\text{F}}}(\bar{\text{D}})=1-0,4=0,6$ .

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2. On a : $P(\text{F} \cap \text{D}) = P(\text{F}).P_{\text{F}}(\text{D}) = 0,6 \times 0,7 = \boxed{0,42}$

3. La probabilité que le client ne possède pas de carte de fidélité et a dépensé plus de 300 € est égale à $P(\bar{\text{F}} \cap \text{D})$ :
$P(\bar{\text{F}} \cap \text{D}) = P(\bar{\text{F}}).P_{\bar{\text{F}}}(\text{D}) = 0,4 \times 0,4 = \boxed{0,16}$
D'après la formule des probabilités totales, on a :
$P(\text{D}) = P(\text{F} \cap \text{D}) + P(\bar{\text{F}} \cap \text{D}) \\ P(\text{D}) = 0,42 + 0,16 \\ \boxed{P(\text{D}) = 0,58}$

4. On a : $P(\text{F} \cap \text{D}) = P_{\text{D}}(\text{F}).P(\text{D})$ donc :
$P_{\text{D}}(\text{F}) = \dfrac{P(\text{F} \cap \text{D})}{P(\text{D})} \\ P_{\text{D}}(\text{F}) = \dfrac{0,42}{0,58} \\ \boxed{P_{\text{D}}(\text{F}) \approx 0,724}$

5. Si les événements F et D< sont indépendants, alors on a $P(\text{F} \cap \text{D}) = P(\text{F}).P(\text{D})$ .
Or : $P(\text{F} \cap \text{D}) = 0,42$ et $P(\text{F}).P(\text{D}) = 0,6 \times 0,58 = 0,348$
On a donc $P(\text{F} \cap \text{D}) \neq P(\text{F}).P(\text{D})$ donc les événements F et D ne sont pas indépendants.

Publié par Cel/jamo le 13-03-2009

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