Fiche de mathématiques
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Bac Technologique - Sciences et Technologies de la Gestion
Communication et Gestion des Ressources Humaines
Antilles - Guyane - Session Juin 2008

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Durée de l'épreuve : 2 heures         Coefficient : 2

L'usage de la calculatrice est autorisé pour cette épreuve.
On utilisera une feuille de papier millimétré.
Le candidat doit traiter les trois exercices.
Le candidat est invité à faire figurer toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.
Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

5 points

exercice 1

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chaque question, trois réponses sont proposées parmi lesquelles une seule est correcte. On vous demande de recopier sur votre copie celle que vous pensez correcte.
Chaque bonne réponse rapporte un point, chaque réponse fausse retire 0,5 point, une question sans réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point. Si le total est négatif, la note attribuée à l'exercice est ramenée à zéro.

I. Le nombre e^{\frac{2}{3}} \times e^{\frac{1}{3}} est égal à :
a) e b) 1 c) e^{\frac{2}{9}}


II.Une société de crédit propose un prêt à intérêts composés dont le taux mensuel est de 0,9 %. Le taux annuel correspondant, arrondi à 0,1 %, est :
a) 10,8 % b) 12,1 % c) 11,4 %


III. Le tableau ci-dessous donne les résultats d'un groupe de candidats à un examen en fonction de l'étude de leur première langue vivante.
  Anglais Allemand Russe
Admis 117 68 33
Refusé 16 9 7


On rencontre au hasard un candidat. Il dit qu'il est admis. La probabilité que sa première langue étudiée soit l'allemand est à 10-3 près :
a) 0,272 b) 0,883 c) 0,312


IV. Une entreprise étudie l'évolution du nombre de ses clients. Elle a recensé les résultats dans le tableau suivant :
Année 2002 2003 2004 2005 2006
Rang de l'année x_i 1 2 3 4 5
Nombre de clients y_i 120 126 130 135 142


1. Une équation de la droite d'ajustement de y en x par la méthode des moindres carrés est :
a) y = -0,19x + 21,44 b) y = 5,3x + 114,7 c) y = 5,3x - 10 490,6


2. On choisit de réaliser un ajustement du nuage de points de la série précédente par la courbe d'équation y = 115,44 \times 1,04^x. En supposant que cet ajustement reste valable pour les années suivantes, une estimation du nombre de clients en 2008 est de :
a) 158 b) 152 c) 840



6 points

exercice 2

Une entreprise fabrique des pièces de haute technologie. La fabrication hebdomadaire est limitée à 2 000 pièces. Le prix de vente de 100 pièces est fixé à 15 000 €.
La recette en milliers d'euros, obtenue par la vente de x centaines de pièces est donc : R(x) = 15x.
Le graphique fourni ci-dessous donne la représentation graphique \mathcal{R}_1 de la fonction R et la représentation graphique \mathcal{C}_1 de la fonction coût de production notée C sur l'intervalle [0 ; 20].

bac STG Communication et Gestion des Ressources Humaines Mercatique Antilles Guyane 2008 - terminale : image 1


Partie A : Lectures graphiques

Avec la précision permise par le graphique, répondre aux questions suivantes :
1. Quel est le coût de production de 900 pièces ?
2. Quelle fabrication hebdomadaire correspond à un coût de production de 90 000 € ?
3. Combien l'entreprise doit-elle fabriquer et vendre de pièces pour être bénéficiaire ?

Partie B :

On admet que la fonction C définie sur l'intervalle [0 ; 20] est donnée par :
C(x) = 0,5x^2 + 6,5x + 10 + 4,5 \ln(x + 1).

On rappelle que le coût de production, en milliers d'euros, est le nombre C(x), x étant le nombre de centaines de pièces produites (x compris entre 0 et 20 centaines de pièces). On admet que toutes les pièces produites sont vendues.

1. a) Montrer que le bénéfice est donnée par la fonction B, définie sur [0 ; 20], par :
B(x) = -0,5 x^2 + 8,5x - 10 - 4,5\ln(x + 1).

On note B' la fonction dérivée de B sur l'intervalle [0 ; 20].
    b) Calculer B'(x).
    c) Vérifier que, pour tout réel x de l'intervalle [0 ; 20], B'(x) = \displaystyle \frac{(x + 0,5)(8 - x)}{x + 1}.

2. a) Justifier que le signe de B'(x) est celui de (8 - x) sur l'intervalle [0 ; 20].
    b) En déduire le signe de B'(x) puis le tableau de variation de B sur l'intervalle [0 ; 20].

3. Pour quelle fabrication hebdomadaire le bénéfice est-il maximal ? Quel est ce bénéfice maximal à l'euro près ?


5 points

exercice 3

L'entreprise Iron SA exploite un filon de minerai de fer depuis 1950. La première année d'extraction l'entreprise a récupéré 20 000 tonnes de fer. Cependant depuis 1950, en raison des difficultés croissantes d'extraction, de l'appauvrissement du filon, les quantités extraites diminuent de 1 % par an.
On appelle Tn le nombre de tonnes extraites l'année (1950 + n). On a donc T0 = 20 000.

Les résultats seront arrondis à la tonne.

1. Justifier que T1 = 19 800 puis calculer T2 et T3.
2. Exprimer Tn + 1 en fonction de Tn.
3. Quelle est la nature de la suite (Tn) ? En déduire l'expression de Tn en fonction de n.
4. Quelle est la quantité extraite en 2008 ?
5. Montrer que la quantité extraite entre l'année 1950 et l'année (1950 + n) est : S_n = 2\,000\,000 \times (1 - 0,99^{n+1}).
6. En 1950, les géologues estimaient que ce filon recelait 1 000 000 tonnes de métal. En quelle année théoriquement le filon sera-t-il épuisé ?

Formulaire :
La somme S des (n + 1) premiers termes d'une suite arithmétique (un) est donnée par :
S = u_0 + u_1 + ... + u_n = (n + 1) \times \displaystyle \frac{u_0 + u_n}{2}


La somme S des (n + 1) premiers termes d'une suite géométrique (un) de raison q (q ≠ 1) est donnée par :
S = u_0 + u_1 + ... + u_n = u_0 \times \displaystyle \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}




4 points

exercice 4

Evolution de la population en France


Le tableau ci-dessous est extrait d'une feuille de calcul d'un tableur. Il donne les populations urbaine et rurale françaises, en millions de personnes, entre 1954 et 1999.

  A B C D E F
1 Populations urbaine et rurale en France métropolitaine
2
3
  Population urbaine (en millions) Population rurale (en millions) Population totale (en millions) Taux de population urbaine (en %) Indice de population urbaine
4 1954 24,5 18,2 42,7 57,4 100
5 1962 29,4 17,1      
5 1962 29,4 17,1      
6 1968 34,8 14,9      
7 1975 38,4 14,2      
8 1982 39,9 14,5      
9 1990 41,9 14,7      
10 1999 44,2 14,3      
11            
12 Source INSEE, recensement de la population


Dans cet exercice, on exprimera les taux en pourcentage et on arrondira les indices et les pourcentages au dixième.

1. Calculer pour l'année 1962 le taux de population urbaine en France par rapport à la population totale.

2. On fixe l'indice de population urbaine à 100 en 1954. Quel est l'indice de population urbaine en 1962 ? en 1982 ?

3. On s'intéresse dans cette question à l'évolution de la population totale.
    a) Montrer qu'avec l'arrondi fixé le taux d'évolution global de la population française entre 1954 et 1999 est de 37%.
    b) En déduire le taux annuel moyen d'augmentation entre 1954 et 1999.
    c) Donner des formules à insérer dans la feuille de calcul précédente qui, entrées dans les cellules D5, E5 et F5, permettent par recopie vers le bas d'obtenir la plage de cellules D5:F10.





exercice 1

I. Réponse a : e^{\frac{2}{3}}\times e^{\frac{1}{3}} = e^{\frac{2}{3}+\frac{1}{3}} = e^1 = \boxed{e} car e^a \times e^b = e^{a+b}

II. Réponse c : le taux mensuel correspond à un coefficient multiplicateur de 1,009 appliqué tous les mois. Au cours de l'année, on applique ce taux 12 fois, le coefficient multiplicateur global est donc de 1,00912 = 1,1135, ce qui correspond à un taux 1,1135 - 1 = 0,1135 soit \boxed{11,4 \%}

III. Réponse c : 68 élèves ont étudié l'allemand parmi les 117 + 68 + 33 = 218 élèves admis, soit une probabilité de \frac{68}{218} = \boxed{0,312}

IV. 1. Réponse b : la tendance est à la hausse, on peut donc éliminer la réponse a, dont le coefficient directeur de la droite est négatif. On élimine également la réponse c à cause de son "10490,6" beaucoup trop élevé. La bonne réponse est donc la réponse b : \boxed{y = 5,3x + 114.7}

IV. 2. Réponse b : l'année 2008 correspond au rang x_i = 7 donc y = 115,44 \times 1,04^7 = 152




exercice 2

Partie A : Lectures graphiques

1. Le coût de production de 900 pièces (= 9 centaines de pièces) est de 120 000 € (tracé rouge).

2. Le coût de production de 90 000 € correspond à la production de 600 pièces (tracé vert).

3. L'entreprise est bénéficiaire dès lors que sa recette est supérieur à son coût de production, c'est-à-dire lorsque \mathcal{R}_1 est au-dessus de \mathcal{C}_1. Cela se produit pour une production comprise entre 200 et 1 380 pièces (tracé bleu).

bac STG Communication et Gestion des Ressources Humaines Mercatique Antilles Guyane 2008 - terminale : image 2


Partie B

1. a) Le bénéfice correspond à la différence entre la recette et le coût de production :
B(x) = R(x) - C(x) = 15x - 0,5x^2 - 6,5x - 10 - 4,5 \ln(x + 1) = \boxed{-0,5x^2 + 8,5x - 10 - 4,5 \ln(x + 1)}

1. b). B est définie est dérivable sur [0 ; 20] et sa dérivée vaut :
B'(x) = -0,5 \times 2x + 8,5 - 4,5 \times \displaystyle \frac{1}{x+1} = -x + 8,5 - \displaystyle \frac{4,5}{x+1}\\ B'(x) = \displaystyle \frac{(-x + 8,5)(x + 1) - 4,5}{x + 1} = \displaystyle \frac{-x^2 - x + 8,5x + 8,5 - 4,5}{x + 1}\\ \boxed{B'(x) = \displaystyle \frac{-x^2 + 7,5x + 4}{x + 1}}

1. c) (x + 0,5)(8 - x) = 8x - x^2 + 4 - 0,5x = -x^2 + 7,5x + 4 donc \boxed{B'(x) = \frac{(x + 0,5)(8 - x)}{x + 1}}

2. a) Sur [0 ; 20], x \ge 0 donc \left \lbrace \begin{array}{l} x + 0,5 \ge 0,5 > 0 \\ x+1 \ge 1 > 0 \end{array} \right. donc B'(x) = \displaystyle \frac{(x+0,5)(8-x)}{x+1} est du signe de 8-x.

2. b) On a donc :
\begin{tabvar}{|C|CCCCC|} \hline  x & 0 & & 8 & & 20 \\ \hline  B'(x) & & + & 0 & & - \\ \hline \niveau{2}{3} B(x) & \niveau{1}{3} -10 & \croit & \niveau{3}{3} 26 - 4,5 \ln 9 & \decroit & \niveau{1}{3} \small{-40-4,5\ln{21}}  \\ \hline \end{tabvar}

avec
B(0) = 0-10 - 4,5\ln1 = -10\\ B(8) = -0,5 \times 64 + 8,5 \times 8 - 10 - 4,5 \ln9 = 26 - 4,5 \ln 9 \approx 16,112\\ B(20) = -0,5 \times 400 + 8,5 \times 20 - 10 - 4,5 \ln 21 = -40 - 4,5 \ln 21 \approx -53,700

3. On déduit de ce tableau que le bénéfice maximal est atteint pour une production de 8 centaines de pièces, soit 800 pièces, et ce bénéfice s'élève alors à 16 112 €.




exercice 3

1. Les quantités extraites diminuent de 1 % par an, ce qui correspond à un coefficient multiplicateur de 0,99 d'une année sur l'autre :
T_1 = 0,99 \, T_0 = 0,99 \times 20000 = \boxed{19800}
De même : T_2 = 0,99 \, T_1 = 0,99 \times 19800 = \boxed{19602} et T_3 = 0,99 \, T_2 = 0,99 \times 19602 = \boxed{19406}

2. D'une manière générale : \boxed{T_{n+1} = 0,99 \, T_n}

3. Il s'agit donc d'une suite géométrique de premier terme T0 = 20 000 et de raison q = 0,99.
Ainsi, l'expression générale de Tn est : \boxed{T_n = T_0 \times q^n = 20\,000 \times 0,99^n}

4. 2008 = 1950 + 58 correspond au rang 58. La quantité extraite en 2008 est donc : T_{58} = 20\,000 \times 0,99^{58} = \boxed{11\,165 \text{ tonnes}}

5. En appliquant la formule de la somme des (n + 1) premiers termes d'une suite géométriques, on obtient que la quantité extraite de 1950 (rang 0) à 1950 + n (rang n) est égale à :
S_n = T_0 + ... + T_n = T_0 \times \displaystyle \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q} = 20\,000 \times \displaystyle \frac{1 - 0,99^{n+1}}{1 - 099} = 20\,000 \times \displaystyle \frac{1 - 0,99^{n+1}}{0,01} \\ \boxed{S_n = 2\,000\,000 \times (1 - 0,99^{n+1})}

6. Le filon sera épuisé dès lors qu'on atteindra S_n = 1\,000\,000 :
S_n = 1\,000\,000 \Longleftrightarrow 2\,000\,000 \times (1 - 0,99^{n+1}) = 1\,000\,000 \\ \Longleftrightarrow 1 - 0,99^{n+1} = 0,5 \\ \Longleftrightarrow 0,99^{n+1} = 0,5 \\ \Longleftrightarrow (n + 1) \ln 0,99 = \ln 0,5 \\ \Longleftrightarrow n + 1 = \displaystyle \frac{\ln 0,5}{\ln 0,99} \\ \Longleftrightarrow \boxed{n = \frac{\ln0,5}{\ln0,99} - 1 \approx 67,96}

Le filon s'épuisera donc à la fin de la 67ème année, c'est-à-dire fin 2017.




exercice 4

1. En 1962, la population urbaine est de 29,4 millions d'habitants pour une population totale de 29,4 + 17,1 = 46,5 millions d'habitants, soit un taux de population urbaine en France de \displaystyle \frac{29,4}{46,5} = \boxed{63,2 \%}.

2. Entre 1954 et 1962, la population urbaine a augmenté de \displaystyle \frac{29,4-24,5}{24,5} = 0,2 = 20 \%. L'indice correspondant à 1962 est donc 100 + 20 = \boxed{120}.
De même, entre 1954 et 1982, la population urbaine a augmenté de \displaystyle \frac{39,9-24,5}{24,5} = 0,628 = 62,8 \%. L'indice correspondant à 1982 est donc 100 + 62,8 = \boxed{162,8}.

3. a) En 1999, la population globale est de 44,2 + 14,3 = 57,5 millions d'habitants contre 42,7 millions en 1954, ce qui représente une hausse de \displaystyle \frac{58,5-42,7}{42,7} = 0,370 = \boxed{37,0 \%}.

3. b) Entre 1954 et 1999, il s'est écoulé 1999 - 1954 = 45 ans. L'augmentation globale de 37 % correspond à un coefficient multiplicateur global M de 1,37.
Le coefficient multiplicateur annuel m est alors tel que m^{45} = M soit m = M^{\frac{1}{45}} = 1,37^{\frac{1}{45}} = 1,0070, ce qui correspond à une augmentation anuelle de 1,007 - 1 = 0,007 = \boxed{0,7 \%}.

3. c) La colonne D permet de calculer la population totale en additionnant les populations urbaine (B) et rurale (C), d'où, dans la cellule D5 : \boxed{=\text{B}5+\text{C}5}.
La colonne E permet de calculer le taux de population urbaine en divisant la population urbaine (B) par la population totale (D) et en multipliant par 100 pour l'obtenir en pourcentage, d'où, dans la cellule E5 : \boxed{=\text{B}5/\text{D}5*100}.
La colonne F permet de calculer l'augmentation de la population urbaine de l'année n (Bn) par rapport à celui de l'année 1954 (B4). Pour fixer cette valeur, on utilise le signe $. On écrit donc, dans la cellule F5 : \boxed{=\text{B}5/\text{B}\$4*100}.
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