Fiche de mathématiques
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Bac Technologique - Sciences et Technologies de la Gestion
Communication et Gestion des Ressources Humaines
Polynésie Française - Session Septembre 2008

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Durée de l'épreuve : 2 heures         Coefficient : 2

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
Le sujet est composé de trois exercices indépendants.
Le candidat doit traiter tous les exercices.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
5 points

exercice 1

Pour chacune des quatre questions de ce QCM, une seule des trois propositions est exacte.
Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.
Une réponse exacte vaut 1 point. Une réponse inexacte enlève 0,5 point. L'absence de réponse n'apporte ni n'enlève aucun point. Si le total des points est négatif, la note de l'exercice est ramenée à 0.
On donne \mathcal{C}_{f} la représentation graphique d'une fonction f définie et dérivable sur l'intervalle \left[-3~;~\dfrac{3}{2}\right].
bac STG Communication et Gestion des Ressources Humaines Polynésie Française Septembre 2008 - terminale : image 1

\mathcal{C}_{f} admet une tangente horizontale aux points A(-2 ; 0) et C(0 ; -4).
\mathcal{D} est la tangente à \mathcal{C}_{f} au point B(-1 ; -2).
\mathcal{D} passe par le point de coordonnées (0 ; -5).

1. Le nombre de solutions sur l'intervalle \left[-3~;~\dfrac{3}{2}\right] de l'équation f(x) = 0 est :
a) 1b) 2c) 3


2. Les solutions sur l'intervalle \left[-3~;~\dfrac{3}{2}\right] de l'équation f'(x) = 0 sont :
a) -2 et 1b) -2 et 0c) -3 et 0


3. Le nombre dérivé f'(-1) est égal à :
a) 1,5b) -2c) -3


4. Une équation de la droite \mathcal{D} est :
a) y=-3xb) y=-3x+5c) y=-2x-5


5. La représentation graphique de la fonction dérivée f' de la fonction f est :
a)
bac STG Communication et Gestion des Ressources Humaines Polynésie Française Septembre 2008 - terminale : image 2
b)
bac STG Communication et Gestion des Ressources Humaines Polynésie Française Septembre 2008 - terminale : image 3
c)
bac STG Communication et Gestion des Ressources Humaines Polynésie Française Septembre 2008 - terminale : image 4



7 points

exercice 2

Le tableau ci-dessous donne le nombre d'habitants en France, exprimé en millions.
Année19851990199520002005
Nombre d'habitants (en millions)56,658,259,460,862,8
(Source INSEE)


Partie A

1. Calculer le taux d'évolution du nombre d'habitants de 1985 à 2005. Arrondir à 0,01 %
2. En déduire le taux moyen annuel entre 1985 et 2005. Arrondir à 0,01 %.
3. Calculer une estimation, en millions d'habitants, du nombre d'habitants eu 2010 si le taux moyen annuel après 2005 est de 0,5 %

Partie B

1. Construire le nuage de points M_{i}\left(x_{i}~;~ y_{i}\right) associé au tableau ci-dessous dans le repère orthogonal donné en annexe.

Année19851990199520002005
Rang de l'année x_{i}12345
Nombre d'habitants (en millions)56,658,259,460,862,8


2. On décide d'ajuster cette série statistique à deux variables par la méthode des moindres carrés.
    a) Déterminer, à l'aide de la calculatrice, une équation de la droite \mathcal{D} de régression de y en x sous la forme y = ax + b, où a et b sont des nombres réels à déterminer à 10-1 près.
Aucune justification n'est demandée.
Construire la droite \mathcal{D} dans le repère donné en annexe.
    b) On suppose que l'évolution de la population active se poursuit selon le modèle donné par la droite d'ajustement obtenue à la question précédente.
Déterminer graphiquement une estimation du nombre d'habitants en 2010.


8 points

exercice 3

Anne et Bastien comparent les étrennes qu'ils reçoivent chaque année. En 2000, Anne a reçu 80 € et Bastien 100 €.
Chaque année, les étrennes d'Anne augmentent de 6 € et celles de Bastien de 3 %.
Pour tout entier n, on note U_{n} et V_{n} les étrennes reçues par Anne et Bastien l'année 2000 + n.
On a donc U_{0} = 80 et V_{0} = 100.

1. a) Calculer les étrennes qu'ont reçues Anne et Bastien en 2001, puis en 2002.
    b) Donner la nature de la suite \left(U_{n}\right). Justifier.
En déduire U_{n} en fonction de n.
    c) Donner la nature de la suite \left(V_{n}\right). Justifier.
En déduire V_{n} en fonction de n.
    d) À l'aide de la calculatrice, déterminer en quelle année Anne reçoit pour la première fois davantage que Bastien.

2. On note S_{n} et T_{n} la somme des étrennes reçues par Anne et Bastien de l'année 2000 jusqu'à l'année 2000 + n.
On a donc S_{n} = U_{0}+U_{1} + \cdots + U_{n} et T_{n} = V_{0} + V_{1}+ \cdots + V_{n}.
Calculer S_{15} et T_{15}.


Formulaire :
    La somme S des n + 1 premiers termes d'une suite arithmétique \left(u_{n}\right) est donnée par :
S = u_{0} + u_{1} + \cdots + u_{n} = (n + 1) \times \dfrac{u_{0} + u_{n}}{2}

    La somme T des n+1 premiers termes d'une suite géométrique \left(u_{n}\right) de raison q \neq 1 est donnée par :
T = u_{0} + u_{1} + \cdots + u_{n} = u_{0} \times \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}


3. On donne ci-dessous l'extrait d'une feuille de calcul réalisée à l'aide d'un tableur :

 ABCDEF
1nAnnéeU_{n}V_{n}S_{n}T_{n}
2020008010080100
312001
422002
532003
\vdots\vdots\vdots\vdots\vdots\vdots\vdots
\vdots\vdots\vdots\vdots\vdots\vdots\vdots
17152015


    a) Quelle formule, à recopier sur la plage C4:C17, peut-on entrer dans la cellule C3 ?
    b) Quelle formule, à recopier sur la plage D4:D17, peut-on entrer dans la cellule D3 ?
    c) Quelle formule, à recopier sur la plage E4:E17, peut-on entrer dans la cellule E3 ?
ANNEXE À RENDRE
bac STG Communication et Gestion des Ressources Humaines Polynésie Française Septembre 2008 - terminale : image 5
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