Fiche de mathématiques
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Bac Technologique - Sciences et Technologies Industrielles
Génie Electronique - Génie Electrotechnique - Génie Optique
Polynésie Française - Session 2008

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Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 4

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée. (Circulaire n°99-186 du 16 novembre 1999)
Le sujet est composé de deux exercices indépendants et d'un problème.
Le candidat doit traiter les 2 exercices et le problème.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Le formulaire officiel et une feuille de papier millimétré sont distribués avec le sujet.
6 points

exercice 1

Le plan complexe est muni du repère orthonormal (O \, ; \, \overrightarrow{u} \, , \, \overrightarrow{v}) d'unité graphique 2 cm.

1. Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation d'inconnue z : z² + 2z + 2 = 0.

2. Soient A et C deux points du plan complexe, d'affixes respectives : zA = -1 + i et zC = \left(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac12\right) + \left(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac12\right)\text{i}.
   a) Déterminer le module de zA et le module de zC.
   b) Donner un argument de zA.

3. a) On pose Z = \frac{z_{\text{C}}}{z_{\text{A}}}. Démontrer que Z = \frac{1 - \text{i}\sqrt{3}}{2}.
   b) Démontrer que Z = e^{-\text{i}\frac{\pi}{3}.
   c) En déduire que le point C est l'image du point A par la rotation de centre O et d'angle -\frac{\pi}{3} (en radian).
   d) Placer le point A puis construire le point C en utilisant le résultat de la question précédente. Décrire la construction. Toute rédaction, même partielle, sera prise en compte dans l'évaluation.

4. Soit B l'image du point O par la translation de vecteur \overrightarrow{\text{CA}}.
Constuire le point B et démontrer que OCAB est un losange. 4 points

exercice 2

Un professeur d'une classe de terminale S.T.I. donne à ses élèves trois questions dans une interrogation écrite et propose deux réponses par question : l'une juste et l'autre fausse.

On désignera par J une réponse juste et par F une réponse fausse.
On suppose que les élèves répondent à chaque question en indiquant soit la réponse juste, soit la réponse fausse. A chaque élève, on associe le résultat de son interrogation, sous la forme d'un triplet constitué des réponses données aux trois questions. Par exemple, si un élève a répondu juste à la première, faux à la deuxième et à la troisième, on lui associera le résultat (J, F, F).

I. Déterminer à l'aide d'un arbre l'ensemble des résultats possibles. Combien y a-t-il de résultats possibles ?

II. On considère un élève qui répond au hasard à chaque question et de façon indépendante pour chacune d'elles. Le professeur fait l'hypothèse d'équiprobabilité des résultats.

1. Démontrer que la probabilité de l'évènement A "le résultat contient exactement une réponse juste" est égale à \frac38.

2. Déterminer la probabilité de l'évènement B "le résultat contient au moins une réponse juste".

3. Dans cette question, le professeur note les copies de la manière suivante : il donne 1 point pour une réponse juste et 0 pour une réponse fausse.
On appelle X la variable aléatoire qui à chaque résultat associe la note obtenue par l'élève.
   a) Quelles sont les valeurs prises par la variable aléatoire X ?
   b) Donner la loi de probabilité de X.
   c) Calculer l'espérance mathématique E(X) de X.

4. Dans cette question, le professeur note les copies de la manière suivante : il donne 1 point pour une réponse juste et enlève 0,25 point pour une réponse fausse.
Si le total des points ainsi obtenu est négatif, la note attribuée est 0.

On appelle Y la variable aléatoire qui à chaque résultat associe la note obtenue par l'élève. Calculer l'espérance mathématiques E(Y) de Y.


10 points

probleme

Partie A - Etude de la représentation graphique d'une fonction f

On donne, ci-dessous, la représentation graphique \mathcal{C_f} d'une fonction f, définie et dérivable sur l'ensemble \mathbb{R} des nombres réels.

Le plan est muni d'un repère orthogonal (O \, ; \, \overrightarrow{i} \, , \, \overrightarrow{j}) d'unités graphiques 1,5 cm en abscisse et 1 cm en ordonnée.

sujet bac STI génie électronique génie électrotechnique génie optique, Polynésie Française 2008 - terminale : image 1

La courbe \mathcal{C_f} admet une tangente horizontale au point d'abscisse ln 2.
La droite d'équation y = 6 est asymptote horizontale à la courbe \mathcal{C_f} en - \infty.
La courbe \mathcal{C_f} admet une tangente de coefficient directeur -2 au point A(0 ; 3).
Par lecture graphique et en utilisant les informations ci-dessus, répondre aux questions suivantes :

1. Quelles sont les valeurs f(ln 2) et f(0) ?

2. Déterminer, en le justifiant, f'(ln 2) et f'(0).

3. Quelle est la limite de f en - \infty ?

Partie B - Etude de la fonction f

On admettra maintenant que f est la fonction définie sur \mathbb{R} par :   f(x) = e^{2x} - 4e^{x} + 6
et on se propose dans cette partie de retrouver par le calcul les résultats obtenus graphiquement dans la partie A.

1. Vérifier que pour tout nombre réel x : f(x)=(e^x-2)^2+2.

2. Calculer f(ln 2).

3. a) Déterminer la limite de f en -\infty.
   b) Quelle propriété de la courbe \mathcal{C_f} présentée dans la partie A, est ainsi confirmée ?

4. Déterminer la limite de f en +\infty en utilisant l'expression de f(x) donnée en B.1..

5. a) Déterminer la fonction dérivée f' de la fonction f et vérifier que pour tout nombre réél x,   f'(x)=2e^x(e^x-2)
   b) Résoudre sur \mathbb{R} l'équation f'(x) = 0.
   c) Résoudre sur \mathbb{R} l'équation f'(x) > 0.
   d) En déduire sur \mathbb{R}, le tableau de signe de f'(x), puis les variations de la fonction f.
Dresser le tableau de variations de la fonction f. Indiquer la valeur exacte de f(ln 2) et les limites trouvées en B.3.a) et B.4..

6. Montrer que l'équation f(x)=7 admet une unique solution \alpha sur \mathbb{R}. Donner, en le justifiant un encadrement de \alpha à 10-1 près.

Partie C - Calcul d'une aire



1. Montrer que la fonction F définie sur \mathbb{R} par :   F(x) = \frac{1}{2} e^{2x} - 4e^{x} + 6x   est une primitive de la fonction f sur \mathbb{R}.

2. Hachurer sur la figure la partie du plan comprise entre la courbe \mathcal{C_f}, l'axe des abscisses et les droites d'équation x=0 et x=1.

3. Soit \mathcal{A} l'aire en cm² de la partie hachurée précédemment. Calculer la valeur exacte de \mathcal{A}, puis en donner une valeur arrondie au centième.



exercice 1

1. Résolution de l'équation du 2nd degré z^2+2z+2=0
Calcul du discriminant : \Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \times 1 \times 2 = 4 - 8 = -4 = (2 i)^2
Donc l'équation admet deux solutions complexes conjuguées :
z_1 = \frac{-2 + 2 i}{2 \times 1} = -1 + i \hspace{25pt} z_2 = -1 - i
Ensemble des solutions : \boxed{S= \lbrace -1+i \, ; \, -1-i \rbrace }

2. a) Calcul du module de z_A
|z_A| = \sqrt{(-1)^2+1^2} \\\boxed{|z_A| = \sqrt{2}}
Calcul du module de z_C
|z_C| = \sqrt{ \left(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}\right)^2 } \\ |z_C| = \sqrt{ \frac{3}{4} + \frac{1}{4} - 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{1}{2} + \frac{3}{4} + \frac{1}{4} + 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{1}{2} } \\ |z_C| = \sqrt{ \frac{3}{4} + \frac{1}{4} + \frac{3}{4} + \frac{1}{4} } \\ \boxed{|z_C| = \sqrt{ 2}}

2. b) Soit \theta_A un argument du nombre complexe z_A. \theta_A est tel que :
\. \cos \theta_A = \frac{\text{Re}(z_A)}{|z_A|} = \frac{-1}{\sqrt {2}} = -\frac{\sqrt {2}}{2}  \\ \sin \theta_A = \frac{\text{Im}(z_A)}{|z_A|} = \frac{1}{\sqrt {2}} = \frac{\sqrt {2}}{2} \rbrace Donc \theta_A = \boxed{ Arg(z_A) = \frac{3 \pi}{4}}

3. a) Détermination de la forme algébrique de Z
Z = \frac{z_C}{z_A} \\ Z = \frac{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}\right) + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}\right)i}{-1+i} \\ Z = \frac{ \left( \left(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}\right) + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}\right)i \right)(-1-i)}{(-1+i)(-1-i)} \\ Z = \frac{ -\left(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}\right) - \left(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}\right)i - \left(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}\right)i - \left(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}\right)i^2 }{(-1)^2+1^2} \\ Z = \frac{ -\left(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}\right) + \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}\right)i + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}\right) }{2} \\ Z = \frac{ \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}\right) + \left(-\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}\right)i }{2} \\ Z = \frac{ \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\right) - \left(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}\right)i }{2} \\ \boxed{Z = \frac{ 1 - i \sqrt{3}}{2}}

3. b) Démontrons que Z = e^{-i\frac{\pi}{3}}
e^{-i\frac{\pi}{3}} = \cos \left(-\frac{\pi}{3}\right) + i \sin \left(-\frac{\pi}{3}\right) \\ e^{-i\frac{\pi}{3}} = \frac{1}{2} + i \times \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \\ e^{-i\frac{\pi}{3}} = \frac{1 - i \sqrt {3}}{2}
Donc : \boxed{Z = e^{-i\frac{\pi}{3}}}

3. c) On a : Z = e^{-i\frac{\pi}{3}} donc \frac{z_C}{z_A} = e^{-i\frac{\pi}{3}} donc z_C = z_A e^{-i\frac{\pi}{3}}
Donc C est l'image de A par la rotation de centre O et d'angle -\frac{\pi}{3}.

3. d) Méthode de construction
On place le point A de coordonnées (-1 ; 1) car z_A=-1+i.
On trace le cercle de centre O passant par A ; ce cercle a pour rayon \sqrt{2} car |z_A|=\sqrt{2}.
On sait que |z_A|=|z_C| et que C est l'image de A par la rotation de centre O et d'angle -\frac{\pi}{3} ; on en déduit que le triangle OAC est équilatéral.
On obtient donc le point C à l'aide d'un compas en traçant le triangle équilatéral OAC.
sujet bac STI génie électronique génie électrotechnique génie optique, Polynésie Française 2008 - terminale : image 2


4. Le point B est l'image de O par la translation de vecteur \overrightarrow{CA} donc \overrightarrow{OB}=\overrightarrow{CA} donc OCAB est un parallélogramme.
De plus, on a OA = OC ; or un parallélogramme avec deux côtés consécutifs de mêmes longueurs est un losange.
Donc OCAB est un losange.

exercice 2

I. En utilisant un arbre, on dénombre 8 résultats possibles :
(J ; J ; J)   (J ; J ; F)   (J ; F ; J)   (J ; F ; F)   (F ; J ; J)   (F ; J ; F)   (F ; F ; J)   (F ; F ; F)
sujet bac STI génie électronique génie électrotechnique génie optique, Polynésie Française 2008 - terminale : image 3


II. 1. Sur les 8 résultats possibles, on en dénombre 3 dans lesquels il y a une seule réponse juste : (J ; F ; F)   (F ; J ; F)   (F ; F ; J), donc :
\boxed{P(A) = \frac{3}{8}}

II. 2. Le contraire de "Avoir au moins une réponse juste" est "Avoir les 3 réponses fausses", ce qui correspond au seul résultat (F ; F ; F), donc p(\bar B)=\frac{1}{8} et p(B)=1-p(\bar B) :
\boxed{P(B) = \frac{7}{8}}

II. 3. a) Avec cette méthode de notation, la note peut prendre les valeurs 0, 1, 2 ou 3. Donc : \boxed{X \, \in \, \lbrace 0;1;2;3 \rbrace  }

II. 3. b) On associe à chaque valeur possible pour X la probabilité correspondante :
x_i 0 1 2 3
P(X=x_i) \frac{1}{8} \frac{3}{8} \frac{3}{8} \frac{1}{8}


II. 3. c) Calcul de l'espérance mathématique
E(X) = 0 \times \frac{1}{8} + 1 \times \frac{3}{8} + 2 \times \frac{3}{8} + 3 \times \frac{1}{8} \\ E(X) = \frac{0+3+6+3}{8} \\ E(X) = \frac{12}{8} \\\boxed{E(X) = 1,5}
Donc, sur un grand nombre de copies, la moyenne avec une telle notation est de 1,5.

II. 4. Avec cette autre méthode de notation, la note peut prendre les valeurs :
- pour 3 réponses justes : 3
- pour 2 réponses justes et 1 réponse fausse : 2-0,25 = 1,75
- pour 1 réponse juste et 2 réponses fausses : 1-2 \times 0,25 = 0,5
- pour 3 réponses fausses : 0
On obtient alors pour la loi de probabilité :
y_i 0 0,5 1,75 3
P(Y=y_i) \frac{1}{8} \frac{3}{8} \frac{3}{8} \frac{1}{8}

Calcul de l'espérance mathématique :
E(Y) = 0 \times \frac{1}{8} + 0,5 \times \frac{3}{8} + 1,75 \times \frac{3}{8} + 3 \times \frac{1}{8} \\ E(Y) = \frac{0+1,5+5,25+3}{8} \\ E(Y) = \frac{9,75}{8} \\ \boxed{E(Y) \approx 1,22}




probleme

Partie A

1. La courbe passe par le point de coordonnées (\ln 2 ; 2) donc \boxed{f(\ln 2) = 2}.
La courbe passe par le point de coordonnées A(0 ; 3) donc \boxed{f(0) = 3}.

2. La courbe admet une tangente horizontale au point d'abscisse \ln 2 donc \boxed{f'(\ln 2) = 0}.
La courbe admet une tangente de coefficient directeur -2 d'abscisse 0 donc \boxed{f^'(0) = -2}.

3. La courbe admet une asymptote horizontale d'équation y = 6 en -\infty donc \boxed{ \displaystyle \lim_{x \to -\infty} f(x) = 6 }.

Partie B

1. On développe :
(e^x - 2)^2 + 2 = (e^x)^2 + 2^2 - 2 \times e^x \times 2 + 2 \\ (e^x - 2)^2 + 2 = e^{2x} + 4 - 4 e^x + 2 \\ (e^x - 2)^2 + 2 = e^{2x} - 4 e^x + 6
Donc : \boxed{f(x) = (e^x - 2)^2 + 2}

2. Calcul de f(\ln 2)
f(\ln 2) = (e^{\ln 2} - 2)^2 + 2 \\ f(\ln 2) = (2 - 2)^2 + 2 \\f(\ln 2) = 0 + 2 \\ \boxed{f(\ln 2) = 2}

3. a) Calcul de la limite en -\infty
On a : \displaystyle \lim_{x \to -\infty} e^x = 0 donc :
\displaystyle \lim_{x \to -\infty} f(x) = (0-2)^2+2 \\ \displaystyle \lim_{x \to -\infty} f(x) = 4+2 \\ \boxed{\displaystyle \lim_{x \to -\infty} f(x) = 6}

3. b) Le calcul de cette limite prouve l'existence de l'asymptote horizontale à la courbe d'équation y=6 en -\infty.

4. Calcul de la limite en +\infty
On a : \displaystyle \lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty donc : \displaystyle \lim_{x \to +\infty} (e^x - 2)^2 = +\infty donc \boxed{\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty}

5. a) Calcul de la dérivée (on utilise (e^u)' = u' e^u )
f'(x) = 2e^{2x} - 4 e^x \\ f'(x) = 2e^x \times e^x - 4 e^x \\ \boxed{f'(x) = 2e^x (e^x - 2)}

5. b) Résolution de f'(x) = 0
Pour tout réel x, on a e^x > 0 donc :
f'(x) = 0 \\ \Longleftrightarrow \, 2e^x (e^x - 2) = 0 \\ \Longleftrightarrow \, e^x - 2 = 0 \\ \Longleftrightarrow \, e^x = 2 \\ \Longleftrightarrow \, \boxed{x = \ln 2 }

5. c) Résolution de f'(x) > 0
Pour tout réel x, on a e^x > 0 donc :
f'(x) > 0 \\ \Longleftrightarrow \, 2e^x (e^x - 2) > 0 \\ \Longleftrightarrow \, e^x - 2 > 0 \\ \Longleftrightarrow \, e^x > 2 \\\Longleftrightarrow \, \boxed{x > \ln 2}

5. d) Signe de f'(x) et variations de f
sujet bac STI génie électronique génie électrotechnique génie optique, Polynésie Française 2008 - terminale : image 4


6. Démontrons que l'équation f(x) = 7 admet une solution unique sur \mathbb{R}
- la fonction f est dérivable sur [\ln 2 ; +\infty [ ;
- la fonction f est strictement croissante sur [\ln 2 ; +\infty [ ;
- 7 est compris entre f(\ln2) = 2 et \displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty ;
Donc, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation f(x) = 7 admet une solution unique \alpha sur [\ln 2 ; +\infty [.
L'équation f(x) = 7 n'admet pas de solution sur ]-\infty;\ln2] car f est dérivable et strictement décroissante sur ]-\infty ; \ln2] de 6 à 2, et 7 n'appartient pas à l'intervalle [2 ; 6].
En conclusion, l'équation f(x) = 7 admet une unique solution sur \mathbb{R}.
Encadrement de la solution
\. f(1) \approx 2,5  \\ f(2) \approx 31 \rbrace donc 1 \le \alpha \le 2
\. f(1,4) \approx 6,2  \\ f(1,5) \approx 8,2 \rbrace donc \boxed{1,4 \le \alpha \le 1,5}

Partie C

1. Calcul de la dérivée de F
F'(x) = \frac{1}{2} \times 2 \times e^{2x} - 4 e^x + 6 \\ F'(x) = e^{2x} - 4 e^x + 6
On a pour tout réel x : F'(x) = f(x) donc F est une primitive de f sur \mathbb{R}.

2. Voir courbe ci-dessous.

3. Calcul de l'intégrale de la fonction f sur l'intervalle [0 ; 1]
I = \displaystyle \int_0^1 f(x) dx\\ I = [F(x)]_0^1 \\ I = F(1) - F(0) \\ I = \frac{1}{2} e^2 - 4 e + 6 - \left(\frac{1}{2} e^0 - 4 e^0 + 0\right) \\ I = \frac{1}{2} e^2 - 4 e + 6 - \left(\frac{1}{2} - 4\right) \\ \boxed{I = \frac{1}{2} e^2 - 4 e + 9,5}
La fonction étant positive sur [0 ; 1], l'aire du domaine hachuré est donné par :
A = U.A. \times I \\A = 1 \times 1,5 \times \left(\frac{1}{2} e^2 - 4 e + 9,5\right) \\ \boxed{A = \frac{3}{4} e^2 - 6 e + 14,25 \approx 3,48 \, cm^2}
sujet bac STI génie électronique génie électrotechnique génie optique, Polynésie Française 2008 - terminale : image 5
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