Le candidat traitera obligatoirement les deux exercices et le problème.
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.
Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
L'utilisation des calculatrices électroniques, programmables, alphanumériques ou à écran graphique est autorisé, à condition que leur fonctionnement soit autonome et qu'il ne soit fait usage d'aucune imprimante.
Chaque candidat ne peut utiliser qu'une seule machine sur sa table.
En cas de défaillance, elle pourra cependant être remplacée.
Cependant, les échanges de machines entre candidats, la consultation des notices fournies par les constructeurs ainsi que l'échange d'informations par l'intermédiaire des fonctions de transmission des calculatrices sont interdits.
(circulaire n°99-186 du 16 novembre 1999)
Un formulaire de mathématiques est distribué en même temps que le sujet.
Deux feuilles de papier millimétré seront distribuées en même temps que le sujet.
5 points
exercice 1
La plan est muni d'un repère orthonormal direct d'unité graphique 1 cm.
On désigne par i le nombre complexe de module 1 et l'argument
1. Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation :
2. On considère les points A, B et C d'affixes respectives : a) Déterminer le module et un argument de chacun des nombres complexes zA et zB.
b) Ecrire le nombre complexe zA sous la forme où est un nombre réel strictement positif et un nombre réel compris entre et .
c) Placer les points A, B, C dans le plan muni du repère
3. a) Déterminer la nature du triangle ABC.
b) En déduire que le quadrilatère OACB est un losange.
4. On appelle K le point du plan complexe d'ordonnée négative tel que le triangle OAK soit rectangle et isocèle en O.
On note zK l'affixe du point K.
a) Construire le point K sur la figure.
b) Par quelle rotation de centre O, le point K est-il l'image du point A ?
c) Ecrire alors zK sous la forme (où est un nombre réel strictement positif et un réel compris entre et ) puis sous forme algébrique.
4 points
exercice 2
On considère l'équation différentielle : (E) : y'' + 25y = 0
où y désigne une fonction de la variable réelle définie et deux fois dérivable sur l'ensemble des nombres réels, et y'' sa fonction dérivée seconde.
1. Résoudre l'équation (E).
2. Soit la fonction définie et dérivable sur , dont on note la fonction dérivée, vérifiant les trois conditions suivantes :
est solution de l'équation différentielle (E) ;
la courbe représentative de dans un repère du plan passe par le point de coordonnées ;
Montrer que, pour tout réel , .
3. Vérifier que, pour tout réel ,
4. Calculer la valeur moyenne de sur l'intervalle sur
11 points
probleme
Le plan est muni d'un repère orthogonal d'unités graphiques 4 cm en abscisse et 2 cm en ordonnée.
On s'intéresse dans ce problème à ia fonction définie sur l'ensemble des nombres réels par On note la courbe représentative de la fonction dans le repère
Partie A : Etude de la fonction
1. a) Déterminer la limite de lorsque tend vers b) En déduire que la courbe admet une asymptote que l'on précisera.
c) Déterminer le signe de pour tout nombre réel ; qu'en déduit-on sur la position
de la courbe par rapport à cette asymptote ?
2. On considère la droite d'équation y = 3.
a) Déterminer la limite de quand tend vers .
b) En déduire que la courbe admet la droite comme asymptote.
c) Montrer que, pour tout nombre réel , d) En déduire la position relative de la courbe et de la droite .
3. On note la fonction dérivée de la fonction .
a) Montrer que, pour tout nombre réel , b) En déduire le sens de variation de la fonction sur , puis dresser son tableau de variation.
4. Déterminer une équation de la tangente au point l'abscisse 0.
5. Dans le plan muni du repère , tracer les droites et ainsi que la courbe .
Partie B : Calcul de l'aire d'une partie du plan
1. a) On considère la fonction g définie sur par .
Déterminer une primitive G de la fonction g sur . (On pourra remarquer que la fonction g est de la forme où est une fonction que l'on précisera).
b) En utilisant la question 2. c) de la partie A, déterminer une primitive F de la fonction sur .
2. Soit a un réel strictement positif.
On note la mesure, exprimée en unités d'aire, de l'aire de la partie du plan comprise entre la courbe , l'axe des abscisses et les droites d'équations et .
a) Exprimer à l'aide d'une intégrale.
b) Etablir que .
c) En remarquant que , écrire sous la forme du logarithme népérien d'un quotient ; déterminer alors la limite de lorsque tend vers .
Dans cette question particulièrement, toute trace de recherche, même incomplète, figurant sur la copie sera prise en compte dans l'évaluation.
1.Résolution de l'équation : Calcul du discriminant : donc l'équation admet deux solutions complexes conjuguées.
De même : L'ensemble des solutions est donc :
2. a)Calcul du module et d'un argument de :
Soit un argument de ; est tel que :
Donc :
Calcul du module et d'un argument de :
Soit un argument de ; est tel que :
Donc :
2. b) On en déduit la forme exponentielle de :
2. c) Pour placer les points A et B avec précision, étant donné que OA = OB = 6, on peut les placer sur le cercle de centre O et de rayon 6, puis utiliser leurs ordonnées qui sont entières.
3. a)Calcul des longueurs AC et BC :
On a AC = BC donc le triangle ABC est isocèle en C.
De plus :
On a AB = AC = BC donc le triangle ABC est équilatéral.
3. b) On a AC = BC = OA = OB (= 6) donc OACD est un quadrilatère qui a ses quatre côtés de même longueur, c'est donc un losange.
4. a) Voir figure : on place K en disant que OAK est isocèle et rectangle en O, donc K appartient au cercle de centre O et de rayon OA (= 6) et (OA) est perpendiculaire à (OK).
4. b) Par définition du point K (tel que OAK est isocèle rectangle en O et K d'ordonnée négative), on a : OK = OA (donc il existe une rotation de centre O transformant K en A) et , donc l'angle de cette rotation est .
K est l'image de A par la rotation de centre O et d'angle .
4. c) On a donc, sous forme exponentielle :
Et sous forme algébrique :
exercice 2
1. La solution générale de l'équation différentielle est de la forme où A et B sont deux réels.
Ici, donc .
Donc, la solution générale est donnée par : où A et B sont deux réels.
2. On vérifie que la fonction donnée par vérifie les trois conditions données.
Tout d'abord, est bien de la forme donnée à la question précédente avec et donc est solution de (E).
Calculons :
Donc la courbe représentative passe par le point de coordonnées .
Calcul de la dérivée : (en utilisant et )
D'où : Conclusion : la fonction donnée vérifie bien les trois conditions.
3. On utilise la formule d'addition trigonométrique : en prenant et . On a donc :
4. Soit une primitive de : Valeur moyenne de sur l'intervalle :
probleme
Partie A : Etude de la fonction f
1. a)Limite en : On a : Donc :
1. b) On en déduit que la courbe admet la droite d'équation (axe des abscisses) comme asymptote horizontale en .
1. c) Pour tout réel , on a donc le numérateur et le dénominateur de la fonction sont strictement positifs.
Donc la fonction est strictement positive pour tout réel , donc la courbe est au-dessus de l'axe des abscisses.
2. a)Limite en : On a : Donc :
2. b) On en déduit que la courbe admet la droite d'équation comme asymptote horizontale en .
2. c) On met au même dénominateur :
2. d) On étudie le signe de :
Or, pout tout réel , on a et , donc .
On en déduit que la courbe est en dessous de la droite d'équation .
3. a) On dérive comme l'inverse d'une fonction :
On pose donc On a : donc Donc :
3. b) Pour tout réel , on a et donc .
On en déduit que la fonction est strictement décroissante sur .
4. L'équation de la droite tangente au point d'abscisse a est donnée par : Avec , on a et Donc l'équation de la droite est :
5. Représentation graphique
Partie B : Calcul de l'aire d'une partie du plan
1. a) La fonction est de la forme avec .
Or : donc une primitive est donnée par :
1. b) On a : Donc une primitive de est donnée par :
2. a) La fonction étant strictement positive sur , l'aire est donnée en unités d'aire par :
2. b) Calcul de l'intégrale :
2. c) On a : , donc :
Or, pour tous réels strictement positifs et , on a : et Donc :
En factorisant le dénominateur par , on obtient :
Or : Donc :
Publié par Cel/jamo
le
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