Fiche de mathématiques

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Bac Technologique - Sciences et Technologies Industrielles
Génie Electronique - Génie Electrotechnique - Génie Optique
La Réunion - Session 2008

Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 4

Le candidat traitera obligatoirement les deux exercices et le problème.
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développé.
Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

L'utilisation des calculatrices électroniques, programmables, alphanumériques ou à écran graphique est autorisée, à condition que leur fonctionnement soit autonome et qu'il ne soit fait usage d'aucune imprimante.
Chaque candidat ne peut utiliser qu'une seule machine sur sa table.
En cas de défaillance, elle pourra cependant être remplacée.
Cependant, les échanges de machines entres candidats, la consultation des notices fournies par les constructeurs ainsi que l'échange d'informations par l'intermédiaire des fontions de transmission des calculatrices sont interdits. (circulaire n°99-186 du 16 novembre 1999).
Un formulaire de mathématiques est distribué en même temps que le sujet.
Une feuille de papier millimétré sera distribuée en même temps que le sujet.

6 points

exercice 1

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct $(O \, ; \, \overrightarrow{u} \, , \, \overrightarrow{v})$ d'unité graphique 1 cm.
On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\displaystyle \frac{\pi}{2}$ .

1. Résoudre dans l'ensemble $\mathbb{C}$ des nombres complexes l'équation : $z^2 - 4\sqrt{3}z + 16 = 0$ .

2. On considère les points A, B et C d'affixes respectives : $z_{\text{A}} = 2\sqrt{3} + 2\text{i}$ ; $z_{\text{B}} = 2\sqrt{3} - 2\text{i}$ et $z_{\text{C}} = 4e^{-\text{i}\frac{\pi}{2}}$ .
   a) Donner la forme algébrique du nombre complexe z_C.
   b) Déterminer le module et un argument de chacun des nombres complexes z_A, z_B et z_C.
   c) En déduire que les points A, B et C appartiennent à un cercle de centre O dont on précisera le rayon.
   d) Placer les points A, B et C dans le repère $(O \, ; \,\overrightarrow{u} \, , \, \overrightarrow{v})$ .
   e) Démontrer que le triangle ABC est un triangle isocèle.

3. On considère la rotation r de centre O qui transforme A en B.
   a) Vérifier que $\displaystyle \frac{z_{\text{B}}}{z_{\text{A}}} = e^{-\text{i}\frac{\pi}{3}}$ . En déduire l'angle $\theta$ de la rotation r.
   b) Préciser alors la nature du triangle OAB.
   c) Etablir que le point C est l'image du point B par la rotation r.
   d) Préciser la nature du quadrilatère OABC.

4 points

exercice 2

Un hotêl de vacances propose deux types de bungalow (bungalow avec kitchenette ou bungalow sans kitchenette) à louer à la semaine.
Pour les clients qui le souhaitent, l'hotêl propose deux formules de restauration au choix :
Formule A : petit déjeuner seul,
Formule B : petit déjeuner et dîner.

Pour chaque semaine de location, chaque client décide s'il prend une formule de restauration et si oui, choisit entre les formules A et B.
Le gestionnaire de l'hotêl a constaté que, sur 100 clients :
44 clients ne prennent aucune formule de restauration.
60 clients optent pour un bungalow avec kitchenette et parmi ceux-ci, 10 % choisissent la formule B et 20 % choisissent la formule A.
35 % des clients ayant choisi un bungalow sans kitchenette prennent la formule A.

1. Compléter le tableau suivant :

Nombre de clients ayant choisi :	Bungalow avec kitchenette	Bungalow sans kitchenette	Total
Formule A
Formule B	6
Aucune formule de restauration		2
Total			100

2. On interroge un client au hasard, au sujet de ses choix.
   a) Déterminer la probabilité de l'évènement E : "le client a choisi la formule B".
   b) Déterminer la probabilité de l'évènement F : "le client a loué un bungalow sans kitchenette".
   c) Déterminer la probabilité de l'évènement G : "le client un loué un bungalow sans kitchenette ou a choisi la formule B".
   d) Déterminer la probabilité de l'évènement H : "le client a choisi une formule de restauration".

3. La location d'un bungalow sans kitchenette à la semaine coûte 415 € et celle d'un bungalow avec kitchenette 520 €. La formule A coûte 49 € à la semaine. La formule B coûte 154 € à la semaine. On appelle X la variable aléatoire qui à chacun des 6 choix possibles, associe le coût correspondant pour une semaine.
   a) Quelles sont les valeurs prises par la variable aléatoire X ?
   b) Démontrer que la probabilité de l'évènement « X prend la valeur 520 » est égale à 0,42.
   c) Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire X.
   d) Calculer l'espérance mathématique E(X) de la variable aléatoire X.
   e) Pour la prochaine saison, le gérant de l'hôtel pense qu'il louera dans les mêmes conditions 16 bungalows pendant 20 semaines. Quelle recette peut-il espérer ?

10 points

probleme

Le plan est rapporté à un repère orthonormal $(O \, ; \, \overrightarrow{i} \, ; \, \overrightarrow{j})$ d'unités graphiques 2 cm.
La représentation graphique $\mathscr{C}$ d'une fonction $f$ définie et dérivable sur l'ensemble $\mathbb{R}$ des nombres réels ainsi qu'une droite $\mathscr{T}$ sont tracées dans le repère $(O \, ; \, \overrightarrow{i} \, ; \, \overrightarrow{j})$ du plan ci-dessous.
La courbe $\mathscr{C}$ passe par les points de coordonnées (-1 ; 2) et (0 ; 4).
La droite $\mathscr{T}$ , parallèle à l'axe des abscisses, est tangente à la courbe $\mathscr{C}$ au point d'abscisse 0.

sujet bac STI génie électronique génie électrotechnique génie optique, La Réunion 2008 - terminale : image 1

Partie A : Etude graphique et détermination d'une fonction

1. Donner les valeurs des nombres réels $f(0)$ et $f(-1)$ .

2. Sachant que la courbe $\mathscr{C}$ coupe l'axe des abscisses en exactement deux points A₀ et A₁ d'abscisses respectives $x_0$ et $x_1$ avec $x_0 < x_1$ , préciser à l'aide du graphique le signe de $f(x)$ selon les valeurs de $x$ .

3. On désigne par $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ .
a) Déterminer graphiquement $f'(0)$ .
b) Déterminer par lecture graphique le signe de $f'(x)$ selon les valeurs de $x$ appartenant à l'intervalle [-1 ; 2].

4. On admet qu'il existe deux constantes réelles a et b telles que, pour tout nombre réel $x$ , on ait : $f(x) = (x + a)e^{-x} + bx^2 + 3$ . En utilisant les résultats de la question 1., déterminer les nombres réels a et b.

Partie B : Etude de la fonction $f$ sans utilisation graphique

On admet maintenant que la fonction $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = (x + 1)e^{-x} - x^2 + 3$

1. Calculer la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $-\infty$ .

2. En remarquant que $f(x) = xe^{-x} + e^{-x} - x^2 + 3$ , déterminer la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$ .

3. a) Montrer que pour tout nombre réel, $f'(x) = -x(e^{-x}+2)$ .
b) Etudier le signe de $f'(x)$ selon les valeurs de $x$ et dresser le tableau de variations de $f$ .

4. a) Démontrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution sur l'intervalle [1 ; 2]. Cette solution est l'abscisse $x_1$ du point A₁ définie dans la partie A question 2.
b) Donner un encadrement d'amplitude 10^-2 du réel $x_1$ .

Partie C : Calcul d'une aire

1. a) On considère les fonctions g et G définies sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = (x + 1)e^{-x}$ et $G(x) = (-x - 2)e^{-x}$ .
Démontrer que G est une primitive de la fonction g sur $\mathbb{R}$ .
b) En déduire une primitive F de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$ .

2. On désigne par $\mathscr{P}$ la partie du plan délimitée par la courbe $\mathscr{C}$ , l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = -1$ et $x = 1$ .
On appelle $\mathscr{A}$ la mesure, exprimée en cm², de l'aire de la partie $\mathscr{P}$ . Calculer la valeur exacte de $\mathscr{A}$ , puis en donner la valeur décimale arrondie au centième.

Voir la correction

exercice 1

1. Résolution de l'équation $z^2 - 4\sqrt{3}z + 16 = 0$ :
$\Delta = \left(4\sqrt{3}\right)^2 - 4 \times 1 \times 16 = 48 - 64 = -16$ ; donc l'équation admet deux solutions complexes conjuguées :
$z_1 = \displaystyle \frac{4\sqrt{3} + 4\text{i}}{2} = 2\sqrt{3} + 2\text{i}$ et $z_2 = \displaystyle \frac{4\sqrt{3} - 4\text{i}}{2} = 2\sqrt{3} - 2\text{i}$
$\boxed{S = \lbrace 2\sqrt{3} + 2\text{i} \, ; \, 2\sqrt{3} - 2\text{i} \rbrace}$

2. a) $z_{\text{C}} = 4e^{-\text{i}\frac{\pi}{2}} = 4(-\text{i}) = \boxed{-4\text{i}}$

2. b) $|z_{\text{A}}| = |2\sqrt{3} + 2\text{i}| = \sqrt{12 + 4} = \sqrt{16} = 4$
$|z_{\text{B}}| = |2\sqrt{3}- 2\text{i}| = \sqrt{12+4} = \sqrt{16} = 4 \\ |z_{\text{C}}| = |4e^{-\text{i}\frac{\pi}{2}}| = 4$
$\arg(z_{\text{A}}) = \arg\left(2\sqrt{3} + 2\text{i}\right) = \arg\left(4\left(\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}\text{i}\right)\right) = \arg\left(4\left(\cos\left(\displaystyle \frac{\pi}{6}\right) + \text{i}\sin\left(\displaystyle \frac{\pi}{6}\right)\right)\right) = \displaystyle \frac{\pi}{6}[2\pi] \\ \arg(z_{\text{B}}) = \arg\left(2\sqrt{3} - 2\text{i}\right) = \arg\left(4\left(\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} - \displaystyle \frac{1}{2}\text{i}\right)\right) = \arg\left(4\left(cos\left(-\displaystyle \frac{\pi}{6}\right) + \text{i}\sin\left(-\displaystyle \frac{\pi}{6}\right)\right)\right) = -\displaystyle \frac{\pi}{6} [2\pi] \\ \arg(z_{\text{C}}) = \arg\left(4e^{-\text{i}\displaystyle \frac{\pi}{2}}\right) = -\displaystyle \frac{\pi}{2}[2\pi]$
Conclusion : $\boxed{\begin{array}{l} |z_{\text{A}}| = |z_{\text{B}}| = |z_{\text{C}}| = 4\\ \arg(z_{\text{A}}) = \displaystyle \frac{\pi}{6}[2\pi]\\ \arg(z_{\text{B}}) = -\displaystyle \frac{\pi}{6}[2\pi]\\ \arg(z_{\text{C}}) = -\displaystyle \frac{\pi}{2}[2\pi] \\ \end{array}}$

2. c) On a $|z_{\text{A}}| = |z_{\text{B}}| = |z_{\text{C}}| = 4$ donc OA = OB = OC = 4, donc les points A, B et C appartiennent au cercle de centre O et de rayon 4.

2. d) Figure :

sujet bac STI génie électronique génie électrotechnique génie optique, La Réunion 2008 - terminale : image 2

2. e) $z_{\overrightarrow{AB}} = z_{\text{B}} - z_{\text{A}} = 2\sqrt{3} - 2\text{i} - 2\sqrt{3} - 2\text{i} = -4\text{i}$ donc $\text{AB} = |z_{\overrightarrow{\text{AB}}}| = 4$
$z_{\overrightarrow{\text{BC}}} = z_{\text{C}} - z_{\text{B}} = -4\text{i} - 2\sqrt{3} + 2\text{i} = -2\sqrt{3} - 2\text{i} = -z_{\text{A}}$ donc $\text{BC} = |z_{\overrightarrow{\text{BC}}}| = |-z_{\text{A}}| = |z_{\text{A}}| = 4$
On a AB = BC donc ABC est isocèle en B.

3. a) D'après la question 2.b), on déduit que : $z_{\text{A}} = 4e^{\text{i}\frac{\pi}{6}}$ et $z_{\text{B}} = 4e^{-\text{i}\frac{\pi}{6}}$ donc :
$\displaystyle \frac{z_{\text{B}}}{z_{\text{A}}} = \frac{4e^{-\text{i}\frac{\pi}{6}}}{4e^{\text{i}\frac{\pi}{6}}} = e^{-\text{i}\frac{\pi}{6} - \text{i}\frac{\pi}{6}} = \boxed{e^{-\text{i}\frac{\pi}{3}}}$
Or B = r(A) donc $\theta = \arg\left(\displaystyle \frac{z_{\text{B}}}{z_{\text{A}}}\right) = \arg\left(e^{-\text{i}\frac{\pi}{3}}\right) = \boxed{-\frac{\pi}{3}}$

3. b) B = r(A) donc OA = OB, donc OAB est isocèle en O.
De plus $(\overrightarrow{\text{OA}} \, , \, \overrightarrow{\text{OB}}) = -\displaystyle \frac{\pi}{3}$ donc OAB est un triangle isocèle dont l'angle au sommet vaut $\frac{\pi}{3}$ donc OAB est un triangle équilatéral.

3. c) Soit B' = r(B).
L'écriture complexe de la rotation est : $z' = e^{-\text{i}\frac{\pi}{3}}z$
Donc $z_B' = e^{-\text{i} \frac{\pi}{3}} \times 4 e^{-\text{i}\frac{\pi}{6}} = 4e^{-\text{i}\left(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{6}\right)} = 4e^{-\text{i} \frac{\pi}{2}} = z_{\text{C}}$ donc C = B', donc C = r(B).

3. d) On sait que : OA = OC = 4 (cf. question 2. c)) et que AB = 4.
De plus, B = r(A) et C = r(B). Or toute rotation conserve les distances, donc BC = AB = 4.
Finalement, dans OABC, on a : OA = AB = BC = OC = 4, donc OABC est un losange.

exercice 2

1. Tableau complété :

Nombre de clients ayant choisi :	Bungalow avec kitchenette	Bungalow sans kitchenette	Total
Formule A	12	14	26
Formule B	6	24	30
Aucune formule de restauration	42	2	44
Total	60	40	100

2. a) Au total, 30 clients parmi les 100 ont choisi la formule B, donc $\boxed{p(\text{E}) = \frac{30}{100} = 0,30}$ .

2. b) Au total, 40 clients parmi les 100 ont choisi un bungalow sans kitchenette, donc $\boxed{p(\text{F}) = \frac{40}{100} = 0,40}$ .

2. c) On a : $\text{G} = \text{E} \cup \text{F}$ donc $p(\text{G}) = p(\text{E} \cup \text{F}) = p(\text{E}) + p(\text{F}) - p(\text{E} \cap \text{F})$ .
Or, il y a 24 clients sur 100 qui ont choisi la formule B et loué le bungalow sans kitchenette, donc : $p(\text{E} \cap \text{F}) = \displaystyle \frac{24}{100} = 0,24$ .
Donc : $\boxed{p(\text{G}) = 0,30 + 0,40 - 0,24 = 0,46}$ .

2. d) Au total, 26 + 30 = 56 clients parmi les 100 ont choisi une formule de restauration, donc $\boxed{p(\text{H}) = \frac{56}{100} = 0,56}$ .

3. a) Si le client loue un bungalow avec kitchenette et choisit :
la formule A, il paie : 520 + 49 = 569 €
la formule B, il paie : 520 + 154 = 674 €
aucune formule, il paie : 520 €
Si le client loue un bungalow sans kitchenette et choisit :
la formule A, il paie : 415 + 49 = 464 €
la formule B, il paie : 415 + 154 = 569 €
aucune formule, il paie : 415 €
Donc $\boxed{X \in \lbrace 415 \, ; \, 464 \, ; \, 520 \, ; \, 569 \, ; \, 674 \rbrace}$

3. b) La seule façon de payer 520 € est de louer un bungalow avec kitchenette et ne pas prendre de formule de restauration. D'après le tableau de la question 1., 42 clients sur les 100 ont fait ce choix, donc $\boxed{p(X = 520) = \frac{42}{100} = 0,42}$

3. c) On procède de même pour les autres valeurs prises par X :
$p(X = 415) = p(\text{le client choisit un bungalow sans kitchenette et aucune formule}) = \displaystyle \frac{2}{100} = 0,02 \\ p(X = 464) = p(\text{ bungalow sans kitchenette et formule A}) = \displaystyle \frac{14}{100} = 0,14 \\ p(X = 569) = p(\text{ sans kitchenette et B OU avec kitchenette et A}) = \displaystyle \frac{24+12}{100} = 0,36 \\ p(X = 674) = p(\text{ avec kitchenette et B}) = \displaystyle \frac{6}{100} = 0,06$
D'où le tableau de loi de probabilité :

X	415	464	520	569	674
p(X)	0,02	0,14	0,42	0,36	0,06

3. d) $E(X) = \displaystyle \sum_i X_i p(X_i) = 0,02 \times 415 + 0,14 \times 464 + 0,42 \times 520 + 0,36 \times 569 + 0,06 \times 674 = \boxed{536,94 \text{ euros }}$

3. e) S'il loue 16 bungalows dans ces conditions, il peut espérer la recette : $16 \times E(X) \times 20= 16 \times 536,94 \times 20 = \boxed{171\,820,80 \text{ euros }}$

probleme

Partie A : Etude graphique et détermination d'une fonction

1. On lit : $\boxed{\begin{array}{l}f(0)=4\\f(-1)=2 \end{array}}$

2. Graphiquement, on lit : $\boxed{\begin{array}{l} f(x) \text{ est négative pour } x < x_0 \text{ et pour } x > x_1 \\ f(x) \text{ est positive pour } x_0 < x < x_1\\ \end{array}}$

3. a) $f'(0)$ correspond au coefficient directeur de la tangente à $\mathscr{C}$ au point d'abscisse 0. Cette droite est $\mathscr{T}$ , elle est horizontale, donc $\boxed{f'(0) = 0}$ .

3. b) $f'$ est positive quand $f$ est croissante et négative quand $f$ est décroissante.
On lit donc : $\boxed{\begin{array}{l} f'(x) \text{ est positive sur } [-1 \, ; \, 0]\\ f'(x) \text{ est négative sur } [0 \, ; \, 2] \\ \end{array}}$

4. $\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} f(0) & 4\\f(-1) & 2 \\ \end{array} \right. \: \Longleftrightarrow \: \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} (0+a)e^{0}-0+3 & 4\\left(-1+a \right)e^{-1}+b+3 & 2 \\ \end{array} \right. \: \Longleftrightarrow \: \left \lbrace \begin{array}{l} a = 1 \\ b + 3 = 2 \\ \end{array} \right. \: \Longleftrightarrow \: \boxed{\left \lbrace \begin{array}{l} a = 1 \\ b = -1 \\ \end{array} \right.}$

Partie B : Etude de la fonction $f$ sans utilisation graphique

1. On a : $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \, (x+1)e^{-x} = -\infty$ car $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \, x+1 = -\infty$ et $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \, e^{-x} = \displaystyle \lim_{X \to +\infty} \, e^X = +\infty$ ;
et : $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \, -x^2+3 = -\infty$ ;
Donc : $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \, f(x) = -\infty} \, \, \, (- \infty -\infty )$

2. $\left \lbrace \begin{array}{l} \displaystyle \lim_{x\to+\infty}xe^{-x} = \displaystyle \lim_{x\to+\infty} \displaystyle \frac{1}{\frac{e^x}{x}}=0 \text{ car } \displaystyle \lim_{x\to+\infty} \frac{e^x}{x} = +\infty \text{ d'après les croissances comparées }\\ \displaystyle \lim_{x\to+\infty} e^{-x} = \displaystyle \lim_{X\to-\infty}e^{X} = 0\\ \displaystyle \lim_{x\to+\infty}-x^2+3 = -\infty \\ \end{array} \right.$
Donc $\displaystyle \lim_{x\to+\infty} f(x) = \displaystyle \lim_{x\to+\infty} (xe^{-x}+e^{-x}-x^2+3) = '' 0 + 0 - \infty '' = \boxed{-\infty}$

3. a) En se servant des formules : $(u+v)'=u'+v'$ ; $(uv)'=u'v+uv'$ et $(e^u)'=u'e^u$ , on obtient :
$f'(x) = 1 \times e^{-x} - (x +1 )e^{-x} - 2x = e^{-x} - xe^{-x} - e^{-x} - 2x = -xe^{-x} - 2x = \boxed{-x(e^{-x}+2)}$

3. b) Une exponentielle est toujours strictement positive, donc $e^{-x} > 0$ donc $e^{-x}+2 > 0$ donc $f(x) = -x(e^{-x}+2)$ est du signe de $-x$ :
$\begin{array}{|c|ccccc|} \hline x&-\infty&&0&&+\infty \\ \hline {f'(x)}& &+&0&-& \\ \hline \hspace{1pt}&&&4&&\\ {f(x)}&&\nearrow&&\searrow&\\ \hspace{1pt}&-\infty&&&&-\infty\\ \hline \end{array}$

4. a) Sur [1 ; 2], la fonction $f$ est dérivable et strictement décroissante de $f(1) = 2e^{-1} + 2 \approx 2,74$ à $f(2) = 3e^{-2} - 1 \approx -0,59$ et $0 \in [f(2) \, ; \, f(1)]$ .
Donc il existe donc une unique solution de l'équation $f(x) = 0$ sur l'intervalle [1 ; 2].

4. b) On procède par encadrements successifs :
$1 < x_1 < 2$
$f(1,5) \approx 1,37$ donc $1,5 < x_1 < 2$ ; $f(1,8) \approx 0,22$ donc $1,8 < x_1 < 2$ ; $f(1,9) \approx -0,18$ donc $1,8 < x_1 < 1,9$ ;
$f(1,85) \approx 0,03$ donc $1,85 < x_1 < 1,9$ ; $f(1,86) \approx -0,01$ donc $\boxed{1,85 < x_1 < 1,86}$

Partie C : Calcul d'une aire

1. a) $G$ est définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ et sa dérivée vaut (on utilise les formules $(uv)' = u'v + uv'$ et $(e^u)' = u'e^u$ ) :
$G'(x) = -1 \times e^{-x} - (-x - 2)e^{-x} = (-1 + x + 2)e^{-x} = (x + 1)e^{-x} = g(x)$
Donc $G$ est une primitive de $g$ sur $\mathbb{R}$ .

1. b) On en déduit que la fonction $\boxed{F(x)=(-x-2)e^{-x} - \displaystyle \frac{x^3}{3}+3x}$ est une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$ .

2. L'unité graphique est de 2 cm, donc une unité d'aire correspond à 4 cm². De plus, $f$ est positive sur [-1 ; 1].
Donc l'aire $\mathscr{A}$ de $\mathscr{P}$ est donnée par : $\mathscr{A} = 4\displaystyle \int_{-1}^1 f(x) \text{d}x = 4[F(x)]_{-1}^1 = 4(F(1) - F(-1))$
Or, $F(1) = -3e^{-1} - \displaystyle \frac{1}{3} + 3 = \displaystyle \frac{8}{3} - 3e^{-1}$ et $F(-1) = -e + \displaystyle \frac{1}{3} - 3 = -e - \displaystyle \frac{8}{3}$
D'où $\mathscr{A} = 4\left(\displaystyle \frac{8}{3} - 3e^{-1} + e + \displaystyle \frac{8}{3}\right) = \boxed{\frac{64}{3} - 12e^{-1} + 4e \approx 27,79 \text{ cm}^2 }$

Publié par Aurélien/Aurélien le 16-02-2009

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