Fiche de mathématiques

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Bac Technologique - Sciences et Technologies Industrielles
Génie Electronique - Génie Electrotechnique - Génie Optique
Nouvelle Calédonie - Session Novembre 2008

Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 4

Le candidat traitera obligatoirement les deux exercices et le problème.
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développé.
Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

L'utilisation des calculatrices électroniques, programmables, alphanumériques ou à écran graphique est autorisée, à condition que leur fonctionnement soit autonome et qu'il ne soit fait usage d'aucune imprimante.
Chaque candidat ne peut utiliser qu'une seule machine sur sa table.
En cas de défaillance, elle pourra cependant être remplacée.
Cependant, les échanges de machines entres candidats, la consultation des notices fournies par les constructeurs ainsi que l'échange d'informations par l'intermédiaire des fontions de transmission des calculatrices sont interdits. (circulaire n°99-186 du 16 novembre 1999).
Un formulaire de mathématiques est distribué en même temps que le sujet.
Une feuille de papier millimétré sera distribuée en même temps que le sujet.

5 points

exercice 1

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal $(O ; \vec{u},\vec{v})$ d'unité graphique 1 cm.
On désigne par i est le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$ .

1. Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation d'inconnue $z$ , $z^2 - 10z + 41 = 0$ .

2. Pour tout nombre complexe $z$ on pose : $P(z) = z^3 - 7z^2 + 11z + 123$ .
    a) Calculer $P(-3)$ .
    b) Vérifier que $P(z) = (z + 3)\left(z^2 - 10z + 41\right)$ .
    c) Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation d'inconnue $z$ , $P(z) = 0$ .

3. Soit I, A, B et C les points d'affixes respectives :

$z_{\text{I}} = 2$

$z_{\text{A}} = -3$

$z_{\text{B}} = 5 + 4\text{i}$

$z_{\text{C}} = 5 - 4\text{i}$

Soit $\mathcal{C}$ l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que $|z - 2| = 5$ .
    a) Montrer que les points A, B et C sont dans l'ensemble $\mathcal{C}$ .
    b) Placer les quatre points A, B, C et I dans le plan.
    c) Montrer que l'ensemble $\mathcal{C}$ est un cercle dont on précisera le centre et le rayon.
    d) Représenter l'ensemble $\mathcal{C}$ .

4. Soit $\mathcal{R}$ la transformation du plan qui à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z' = z \times \text{e}^{- \frac{\pi}{4}\text{i}}$ .
    a) Donner les éléments caractéristiques de la transformation $\mathcal{R}$ .
    b) Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
Quelle est la nature dc l'ensemble $\mathcal{C}'$ , image du cercle $\mathcal{C}$ par la transformation $\mathcal{R}$ .
Justifier la réponse et représenter l'ensemble $\mathcal{C}'$ sur la figure.

4 points

exercice 2

Un jeu consiste à miser d'abord $q$ euros, puis à appuyer sur un bouton. Une case de couleur s'allume alors au hasard sur le tableau ci-dessous ; à chaque jeu, chaque case a la même probabilité de s'allumer.

R	R	R	R	R	R
R	J	B	B	J	R
R	B	V	V	B	R
R	J	B	B	J	R
R	R	R	R	R	R

On convient que :
R désigne la couleur rouge
J la couleur jaune
B la couleur blanche
V la couleur verte.
    Si une case rouge s'allume, l'organisateur du jeu ne rend rien au joueur.
    Si une case blanche s'allume, l'organisateur du jeu rend la mise de $q$ euros au joueur.
    Si une case jaune s'allume, l'organisateur du jeu donne 5 euros au joueur.
    Si une case verte s'allume, l'organisateur du jeu donne 8 euros au joueur.

1. On considère dans cette question que $q$ = 1. Soit $X$ la variable aléatoire représentant le gain relatif du joueur, obtenu en tenant compte de la mise initiale.
    a) Justifier que les valeurs prises par $X$ sont {-1 ; 0 ; 4 ; 7}.
    b) Montrer que la probabilité pour que le gain relatif du joueur soit égal à 4 est : $P(X = 4) = \dfrac{2}{15}$
    c) Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ à l'aide d'un tableau.

2. On considère dans cette question que $q$ est un nombre positif quelconque.
Quelle devrait être la mise $q$ pour que le jeu soit équitable ?
Toute justification ou toute explication, même non aboutie, sera prise en compte dans l'évaluation.

11 points

probleme

Partie I : étude d'une fonction auxiliaire

Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle ]0 ; + $\infty$ [ par $g(x) = 1- \ln x + 2x^2$ .

1. Montrer que $\displaystyle g'(x) = \dfrac{ (2x + 1)(2x - 1)}{x}$ .

2. Étudier le signe de $g'(x)$ sur l'intervalle ]0 ; + $\infty$ [.
Calculer $\displaystyle g\left(\dfrac{1}{2}\right)$ .
Dresser le tableau de variation de la fonction $g$ (sans les limites).

3. En déduire que, pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle ]0 ; + $\infty$ [, $g(x)$ est strictement positif.

Partie II : étude de la fonction $f$

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle ]0 ; + $\infty$ [ par $\displaystyle f(x) = \dfrac{\ln x}{x} +2x - 3$ .
On appelle $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le plan muni d'un repère orthogonal $(O ; \vec{i},\vec{j})$ (unités graphiques 2 cm sur l'axe des abscisses et 1 cm sur l'axe des ordonnées).

1. Étudier la limite de $f$ en 0. En déduire que la courbe $\mathcal{C}$ admet une asymptote que l'on précisera.

2. Étudier la limite de $f$ en $+ \infty$ et démontrer que la droite $\Delta$ d'équation $y = 2x - 3$ est asymptote à la courbe $\mathcal{C}$ en $+\infty$ .

3. Montrer que pour tout nombre réel $x$ strictement positif, $\displaystyle f'(x) = \dfrac{g(x)}{x^2}$ . En déduire le signe de $f(x)$ sur l'intervalle ]0 ; + $\infty$ [.

4. Dresser te tableau de variations de la fonction $f$ .

5. Soit A le point de $\mathcal{C}$ d'abscisse e et B le point de $\mathcal{C}$ d'abscisse $\sqrt{\text{e}}$ .
    a) Donner les valeurs arrondies au centième des coordonnées des points A et B.
    b) En déduire que la fonction $f$ est positive sur l'intervalle $[\sqrt{\text{e}}~;~ \text{e}]$ .

6. Tracer la droite $\Delta$ et la courbe $\mathcal{C}$ . Placer les points A et B.

7. a) Démontrer qu'au point A, la courbe $\mathcal{C}$ admet une tangente parallèle à la droite $\Delta$ .
    b) Le point A est-il le seul point de la courbe $\mathcal{C}$ admettant une tangente parallèle à la droite $\Delta$ ?

Partie III : calcul d'aire

1. Soit K la fonction définie sur l'intervalle ]0 ; + $\infty$ [ par $\displaystyle K(x) = \dfrac{1}{2} (\ln x)^2$ .
On note $K'$ la fonction dérivée de la fonction $K$ . Calculer $K'(x)$ pour tout nombre réel $x$ strictement positif.

2. En déduire une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle ]0 ; + $\infty$ [.

3. Soit $\mathcal{A}$ l'aire du domaine compris entre l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}$ et les droites d'équations respectives $x = \sqrt{\text{e}}$ et $x = \text{e}$ .
    a) Calculer la valeur exacte de $\mathcal{A}$ en unité d'aire.
    b) Donner une valeur approchée au mm² près de l'aire $\mathcal{A}$ .
    c) Retrouver une valeur approximative de ce résultat en calculant l'aire en mm² d'un trapèze à préciser.

Publié par TP/ le 30-11--0001

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