Bac Technologique - Sciences et Technologies Industrielles
Génie Electronique - Génie Electrotechnique - Génie Optique
Nouvelle Calédonie - Session Novembre 2008
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 4
Le candidat traitera obligatoirement les deux exercices et le problème.
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développé.
Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
L'utilisation des calculatrices électroniques, programmables, alphanumériques ou à écran graphique est autorisée, à condition que leur fonctionnement soit autonome et qu'il ne soit fait usage d'aucune imprimante.
Chaque candidat ne peut utiliser qu'une seule machine sur sa table.
En cas de défaillance, elle pourra cependant être remplacée.
Cependant, les échanges de machines entres candidats, la consultation des notices fournies par les constructeurs ainsi que l'échange d'informations par l'intermédiaire des fontions de transmission des calculatrices sont interdits. (circulaire n°99-186 du 16 novembre 1999).
Un formulaire de mathématiques est distribué en même temps que le sujet.
Une feuille de papier millimétré sera distribuée en même temps que le sujet.
5 points exercice 1
Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal
)
d'unité graphique 1 cm.
On désigne par i est le nombre complexe de module 1 et d'argument

.
1. Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation d'inconnue

,

.
2. Pour tout nombre complexe

on pose :
 = z^3 - 7z^2 + 11z + 123)
.
a) Calculer
)
.
b) Vérifier que
 = (z + 3)\left(z^2 - 10z + 41\right))
.
c) Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation d'inconnue

,
 = 0)
.
3. Soit I, A, B et C les points d'affixes respectives :
Soit

l'ensemble des points

d'affixe

tels que

.
a) Montrer que les points A, B et C sont dans l'ensemble

.
b) Placer les quatre points A, B, C et I dans le plan.
c) Montrer que l'ensemble

est un cercle dont on précisera le centre et le rayon.
d) Représenter l'ensemble

.
4. Soit

la transformation du plan qui à tout point

d'affixe

associe le point

d'affixe

.
a) Donner les éléments caractéristiques de la transformation

.
b) Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
Quelle est la nature dc l'ensemble

, image du cercle

par la transformation

.
Justifier la réponse et représenter l'ensemble

sur la figure.
4 points exercice 2
Un jeu consiste à miser d'abord

euros, puis à appuyer sur un bouton. Une case de couleur s'allume alors au hasard sur le tableau ci-dessous ; à chaque jeu, chaque case a la même probabilité de s'allumer.
R | R | R | R | R | R |
R | J | B | B | J | R |
R | B | V | V | B | R |
R | J | B | B | J | R |
R | R | R | R | R | R |
On convient que :
R désigne la couleur rouge
J la couleur jaune
B la couleur blanche
V la couleur verte.
Si une case rouge s'allume, l'organisateur du jeu ne rend rien au joueur.
Si une case blanche s'allume, l'organisateur du jeu rend la mise de

euros au joueur.
Si une case jaune s'allume, l'organisateur du jeu donne 5 euros au joueur.
Si une case verte s'allume, l'organisateur du jeu donne 8 euros au joueur.
1. On considère dans cette question que

= 1. Soit

la variable aléatoire représentant le gain relatif du joueur, obtenu en tenant compte de la mise initiale.
a) Justifier que les valeurs prises par

sont {-1 ; 0 ; 4 ; 7}.
b) Montrer que la probabilité pour que le gain relatif du joueur soit égal à 4 est :
c) Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire

à l'aide d'un tableau.
2. On considère dans cette question que

est un nombre positif quelconque.
Quelle devrait être la mise

pour que le jeu soit équitable ?
Toute justification ou toute explication, même non aboutie, sera prise en compte dans l'évaluation.
11 points probleme
Partie I : étude d'une fonction auxiliaire
Soit

la fonction définie sur l'intervalle ]0 ; +

[ par
 = 1- \ln x + 2x^2)
.
1. Montrer que
 = \dfrac{ (2x + 1)(2x - 1)}{x})
.
2. Étudier le signe de
)
sur l'intervalle ]0 ; +

[.
Calculer
)
.
Dresser le tableau de variation de la fonction

(sans les limites).
3. En déduire que, pour tout nombre réel

appartenant à l'intervalle ]0 ; +

[,
)
est strictement positif.
Partie II : étude de la fonction 
Soit

la fonction définie sur l'intervalle ]0 ; +

[ par
 = \dfrac{\ln x}{x} +2x - 3)
.
On appelle

la courbe représentative de la fonction

dans le plan muni d'un repère orthogonal
)
(unités graphiques 2 cm sur l'axe des abscisses et 1 cm sur l'axe des ordonnées).
1. Étudier la limite de

en 0. En déduire que la courbe

admet une asymptote que l'on précisera.
2. Étudier la limite de

en

et démontrer que la droite

d'équation

est asymptote à la courbe

en

.
3. Montrer que pour tout nombre réel

strictement positif,
 = \dfrac{g(x)}{x^2})
. En déduire le signe de
)
sur l'intervalle ]0 ; +

[.
4. Dresser te tableau de variations de la fonction

.
5. Soit A le point de

d'abscisse e et B le point de

d'abscisse

.
a) Donner les valeurs arrondies au centième des coordonnées des points A et B.
b) En déduire que la fonction

est positive sur l'intervalle
![[\sqrt{\text{e}}~;~ \text{e}]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?[\sqrt{\text{e}}~;~ \text{e}])
.
6. Tracer la droite

et la courbe

. Placer les points A et B.
7. a) Démontrer qu'au point A, la courbe

admet une tangente parallèle à la droite

.
b) Le point A est-il le seul point de la courbe

admettant une tangente parallèle à la droite

?
Partie III : calcul d'aire
1. Soit K la fonction définie sur l'intervalle ]0 ; +

[ par
 = \dfrac{1}{2} (\ln x)^2)
.
On note

la fonction dérivée de la fonction

. Calculer
)
pour tout nombre réel

strictement positif.
2. En déduire une primitive de la fonction

sur l'intervalle ]0 ; +

[.
3. Soit

l'aire du domaine compris entre l'axe des abscisses, la courbe

et les droites d'équations respectives

et

.
a) Calculer la valeur exacte de

en unité d'aire.
b) Donner une valeur approchée au mm
2 près de l'aire

.
c) Retrouver une valeur approximative de ce résultat en calculant l'aire en mm
2 d'un trapèze à préciser.