Fiche de mathématiques
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Bac Technologique - Sciences et Technologies Industrielles
Génie Électronique - Génie Électrotechnique - Génie Optique
Antilles Guyane - Session Septembre 2008

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Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 4

Le candidat traitera obligatoirement les deux exercices et le problème.
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développé.
Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

L'utilisation des calculatrices électroniques, programmables, alphanumériques ou à écran graphique est autorisée, à condition que leur fonctionnement soit autonome et qu'il ne soit fait usage d'aucune imprimante.
Chaque candidat ne peut utiliser qu'une seule machine sur sa table.
En cas de défaillance, elle pourra cependant être remplacée.
Cependant, les échanges de machines entres candidats, la consultation des notices fournies par les constructeurs ainsi que l'échange d'informations par l'intermédiaire des fontions de transmission des calculatrices sont interdits. (circulaire n°99-186 du 16 novembre 1999).
Un formulaire de mathématiques est distribué en même temps que le sujet.
Une feuille de papier millimétré sera distribuée en même temps que le sujet.
5 points

exercice 1

Cet exercice est un vrai/faux : il s'agit donc de préciser si chacune des affirmations proposées est vraie ou fausse.

À chaque bonne réponse est attribuée 0,5 point. Toute réponse incorrecte on enlève 0,25 point.
L'absence de réponse n'enlève aucun point. En cas de total négatif, la note attribuée à l'exercice sera 0.

Pour chaque affirmation, le candidat donnera la réponse sur sa copie en écrivant en toutes lettres « vrai » ou « faux ». On ne demande aucune justification.
Les questions 1., 2., 3. sont indépendantes.

1. On considère le polynôme P défini pour tout réel x par
P(x) = (x - 1)(x - 3)(2x + 3).
a. L'équation P(x) = 0 admet dans \mathbb{R} trois solutions qui sont 1, 3 et - \dfrac{3}{2}.
b. Pour tout réel x,~P(x) = 2x^3 - 5x^2 - 6x.
c. L'équation \left(\text{e}^x - 1 \right)\left(\text{e}^x - 3 \right)\left(2\text{e}^x + 3 \right) = 0 admet trois solutions dans \mathbb{R}.


2. Dans l'ensemble \mathbb{C} des nombres complexes, i désigne le nombre complexe de module 1 et d'argument \dfrac{\pi}{2}.
On considère les nombres z_{1} = \sqrt{2} + \text{i}\sqrt{2} et z_{2} =  \sqrt{2} - \text{i}\sqrt{2}.
a. Les nombres z_{1} et z_{2} sont solutions dans \mathbb{C} de l'équation z^2 - 2z\sqrt{2} + 4 = 0.
b. Un argument de z_{2} est - \dfrac{3\pi}{4}.
c. Le module de z_{1} est \sqrt{2}.


3. Soit l'équation différentielle (E) : 4y'' + 49y = 0 dans laquelle l'inconnue y est une fonction de la variable réelle x définie et deux fois dérivable sur \mathbb{R}, et y'' sa dérivée seconde.
a. La fonction f définie pour tout réel x par f(x) = A\cos \dfrac{7x}{2}+ B \sin \dfrac{7x}{2}, où A et B sont deux constantes réelles, est solution de (E).
b. La fonction h définie pour tout réel x par h(x) = 3 \cos \left(\dfrac{7x}{2} - \dfrac{3\pi}{4} \right) est solution de (E).
c. La fonction k définie pour tout réel x par k(x) =  - \sqrt{2}\cos \dfrac{7x}{2} - \sqrt{2}\sin \dfrac{7x}{2} est la solution de (E) qui vérifie k(0) = \sqrt{2} et k'(0) = 0.



5 points

exercice 2

Une boîte contient 140 tiges métalliques de forme cylindrique, de dimensions variées, issues de la production d'un atelier. Le tableau suivant donne leur répartition suivant leur longueur \ell et leur diamètre d, exprimée en millimètres.
84
dl\15,81616,116,3
5960
851519214
86126127
876765
Par exemple il y a 12 tiges métalliques de longueur 86 mm et de diamètre 16,1 mm.
On tire au hasard une tige de la boîte, les tirages étant équiprobables.
Dans tout l'exercice, les probabilités seront données sous forme de fraction.

1. Calculer les probabilités respectives p_{1}, p_{2} et p_{3} des évènements suivants :
    a) « obtenir une tige de longueur 86 mm et de diamètre 16 mm » ;
    b) « obtenir une tige de longueur 85 mm » ;
    c) « obtenir une tige de longueur inférieure ou égale à 86 mm » .

2. Selon les normes imposées par la production, une tige métallique est conforme lorsque sa longueur \ell et son diamètre d exprimés en millimètres, vérifient :
84,5 \le \ell \le 85,5 et 15,9 \le d \le 16,2
Calculer la probabilité de l'évènement : « obtenir une tige conforme ».

3. Soit X la variable aléatoire qui à chacun des tirages possibles, associe la longueur en millimètres de la tige obtenue.
    a) Quelle est la probabilité de l'évènement « X = 84 » ?
    b) Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire X.
    c) Calculer la probabilité de l' évènement « X \ge 85 ».
    d) Calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire X. En donner un arrondi au centième.


10 points

probleme

Le plan est rapporté à un repère orthonormal (O ; \vec{i},\vec{j}) d'unité graphique 2 cm.
On appelle \mathcal{C} la courbe représentative dans le repère orthonormal (O ; \vec{i},\vec{j}) de la fonction f définie pour tout réel x par
f(x) = \left( ax^2 + bx + c\right)\text{e}^x, où a, b et c désignent trois nombres réels tels que :
    le point A de coordonnées (0 ; -1) appartient à la courbe \mathcal{C} ;
    la courbe \mathcal{C} admet au point A une tangente parallèle à l'axe des abscisses ;
    f(1) = 2\text{e}.

Partie A

1. Démontrer que c = -1.

2. Soit f' la fonction dérivée de la fonction f sur \mathbb{R}.
    a) En remplaçant c par sa valeur, donner pour tout réel x, l'expression de f'(x) en fonction de a et de b.
    b) Calculer a et b.

Partie B

On admet que pour tout réel x, f(x) = \left (2x^2 + x - 1\right)\text{e}^x.

1. a) Déterminer la limite de f en +\infty.
    b) Déterminer la limite de f en - \infty (on rappelle que, pour tout entier naturel n, \displaystyle\lim_{x \to - \infty} x^n\text{e}^x = 0).
Interpréter graphiquement ce résultat.

2. a) Vérifier que, pour tout réel x, f'(x) = x(2x + 5)\text{e}^x.
    b) Étudier le signe de f'(x) selon les valeurs du réel x.
    c) Dresser le tableau de variations de la fonction f.

3. Déterminer par le calcul les coordonnées des points d'intersection de la courbe \mathcal{C} avec l'axe des abscisses.

4. Tracer la courbe \mathcal{C} dans le repère (O ; \vec{i},\vec{j}).
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