Bac Technologique - Sciences et Technologies Industrielles
Génie Mécanique
Option B : systèmes motorisés
Option C : structures métalliques
Option D : bois et matériaux associés
Option E : matériaux souples
Génie des matériaux
Session 2008
Partager :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 4
L'usage des calculatrices est autorisé (circulaire n°99-186 du 16-11-1999).
Le formulaire officiel de mathématiques est joint au sujet.
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.
Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
5 points
exercice 1
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal d'unité graphique 2 cm.
On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d'argument .
1. Résoudre dans l'ensemble des nombres coomplexes l'équation :
2. On considère les points A, B et C d'affixes respectives , et .
a) Déterminer le module et un argument de zA, de zB et de zC.
b) Placer les points A, B et C dans le repère (on laissera apparents les traits de construction).
c) Montrer que A, B et C sont sur un même cercle dont on précisera le centre et le rayon.
3. Soit zD le nombre complexe : a) Placer le point D d'affixe zD sur le graphique précédent.
b) Calculer zD - zA et zC - zB sous forme algébrique. En déduire que ABCD est un trapèze.
c) Calculer les distances AB et CD. Que peut-on en conclure pour le trapèze ABCD ?
5 points
exercice 2
Onze chansons différentes sont enregistrées sur un CD. La durée de chacune d'elles étant inscrite sur la pochette du CD, on a le tableau suivant :
Numéro de la chanson
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Durée en secondes
200
185
150
200
185
215
230
215
200
230
300
Un lecteur de CD sélectionne au hasard une des onze chansons et une seule ; toutes les chansons ont le même probabilité d'être sélectionnées.
Les résultats seront donnés sous forme de fractions.
1. Quelle est la probabilité que la chanson n°7 soit sélectionnée ?
2. a) Déterminer la probabilité de l'événement A : "la chanson sélectionnée a une durée de 200 secondes".
b) Déterminer la probabilité de l'événement B : "la chanson sélectionnée a une durée supérieure à 210 secondes".
c) Soit l'événement contraire de B. Décrire par une phrase, puis déterminer sa probabilité.
3. On note X la variable aléatoire qui à chaque chanson sélectionnée associe sa durée exprimée en secondes.
a) Déterminer les différentes valeurs prises par X.
b) Etablir sous forme d'un tableau la loi de probabilité de la variable aléatoire X.
c) Calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire X. Interpréter ce résultat.
10 points
probleme
Partie A - Exploitation d'un graphique
On considère la fonction définie et dérivable sur , dont la représentation graphique est donnée sur la figure ci-dessous. On précise que la courbe coupe l'axe des abscisses au seul point d'abscisse 0 et admet en ce point comme tangente la droite d tracée sur la figure ci-dessous.
Soit la fonction dérivée de sur .
1. En prenant appui sur la représentation graphique ci-dessus :
a) Indiquer à quel entier est égal b) Expliquer pourquoi c) Préciser sur quel intervalle la fonction semble être positive.
2. On admet maintenant que où e et b sont des réels que l'on va déterminer.
a) Déterminer b en utilisant la question 1. a).
b) Calculer en fonction de a puis déterminer a en utilisant la question 1. b).
c) En déduire que pour tout réel , on a :.
Partie B - Etude d'une fonction
On considère la fonction définie et dérivable sur d'expression : Soit sa courbe représentative dans la plan muni d'un repère orthonormal .
1. Vérifier que, pour tout réel non nul, on a : En déduire .
2. a) Calculer .
b) Démontrer que la droite d'équation est une asymptote oblique à la courbe .
c) Etudier la position relative de la courbe par rapport à la droite .
3. On note la dérivée de la fonction sur .
a) Pour tout réel , calculer , puis vérifier que : , où est la fonction obtenue dans la partie A (question 2. c)).
b) En utilisant la question 1. c) de la partie A, déterminer le signe de .
c) Dresser le tableau de variation de la fonction sur .
4. En prenant pour unité graphique 1 cm sur chaque axe, tracer sur une feuille de papier millimétré la courbe et l'asymptote dans le plan muni du repère .
Partie C - Calcul d'une aire
1. Soit h la fonction définie et dérivable sur d'expression : a) Soit H la fonction définie et dérivable sur d'expression : Montrer que H est une primitive sur de la fonction h.
b) En déduire une primitive sur de la fonction définie dans la partie B.
2. a) Hachurer sur le graphique le domaine délimité par la courbe , l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation .
b) Calculer l'aire de la partie hachurée. Donner la valeur exacte de en cm² puis sa valeur arrondie au centième.
1. Résolution de l'équation Calcul du discriminant : Donc l'équation admet deux solutions complexes conjuguées.
De même : Ensemble des solutions :
2. a) Modules de , et
Soit un argument de ; est tel que :
D'où : Soit un argument de ; est tel que :
D'où : On a : donc
2. b) Figure.
2. c) On a , et donc A, B et C sont sur le cercle de centre O et de rayon 2.
3. a) Voir figure.
3. b) Forme algébrique de On a : .
Or : et Donc : donc les vecteurs et sont colinéaires donc les droites (AD) et (BC) sont parallèles donc ABCD est un trapèze.
3. c) Calcul des longueurs AB et CD
On a AB = CD donc ABCD est un trapèze isocèle.
exercice 2
1. Chaque chanson ayant la même probabilité d'être choisie, la probabilité que la chanson n°7 soit selectionnée est .
2. a) Il y a 3 chansons sur les 11 qui ont une durée de 200 secondes, donc :
2. b) Il y a 5 chansons sur les 11 qui ont une durée supérieure à 230 secondes, donc :
2. c) : "la chanson sélectionnée a une durée inférieure à 230 secondes"
3. a) Valeurs possibles pour X :
3. b) Loi de probabilité
150
185
200
215
230
300
3. c) Calcul de l'espérance mathématique
Cela signifie que si on choisit un nombre assez important de chansons au hasard, la durée moyenne est de 210 secondes.
probleme
Partie A - Exploitation d'un graphique
1. a) La courbe passe par l'origine du repère donc .
1. b) Le nombre dérivé de g en 0, c'est-à-dire , est égal au coefficient directeur de la droite tangente à la courbe au point d'abscisse 0 ; on lit que ce coefficient directeur est égal à 2.
1. c) La courbe est au-dessus de l'axe des abscisses pour positif, donc la fonction semble positive pour positif.
2. a) Détermination de b
2. b) Pour tout réel , on a :
2. c) On a donc :
Partie B - Etude d'une fonction
1. On développe : Donc :
2. a) Limite en Donc :
2. b) On a : Donc la droite d'équation est une asymptote oblique à la courbe en .
2. c) On pose, pour tout réel , Une exponentielle étant toujours strictement positive, est donc du signe de :
Sur l'intervalle , donc donc est au-dessus de .
Sur l'intervalle , donc donc est en-dessous de .
3. a) Calcul de la dérivée de On pose et .
D'où : et .
Donc : On factorise par :
3. b) On obtient le signe de la dérivée
3. c) On en déduit les variations de la fonction Avec :
4. Représentation graphique
Partie C - Calcul d'une aire
1. a) Calcul de la dérivée de H On pose et .
D'où : et .
Donc : Donc H est une primitive de h.
1. b) On a : Donc :
2. a) Voir graphique
2. b) La fonction étant négative sur l'intervalle [0 ; 2] et l'unité d'aire associée au repère étant égale à 1 cm2, on a :
Publié par Cel/jamo
le
ceci n'est qu'un extrait
Pour visualiser la totalité des cours vous devez vous inscrire / connecter (GRATUIT) Inscription Gratuitese connecter
Merci à jamo pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche
Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !