Fiche de mathématiques

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Bac Technologique - Sciences et Technologies Industrielles
Génie Mécanique
Option B : systèmes motorisés
Option C : structures métalliques
Option D : bois et matériaux associés
Option E : matériaux souples
Génie des matériaux
Session 2008

Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 4

L'usage des calculatrices est autorisé (circulaire n°99-186 du 16-11-1999).
Le formulaire officiel de mathématiques est joint au sujet.
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.
Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

5 points

exercice 1

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal $(O \, ; \, \overrightarrow{u} \, , \, \overrightarrow{v})$ d'unité graphique 2 cm.
On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\frac{\pi}{2}$ .

1. Résoudre dans l'ensemble $\mathbb{C}$ des nombres coomplexes l'équation : $z^2 - 2z + 4 = 0$

2. On considère les points A, B et C d'affixes respectives $z_{\text{A}} = 1 - \text{i}\sqrt{3}$ , $z_{\text{B}} = 2$ et $z_{\text{C}} = \bar{z_{\text{A}}}$ .
   a) Déterminer le module et un argument de z_A, de z_B et de z_C.
   b) Placer les points A, B et C dans le repère $(O \, ; \, \overrightarrow{u} \, , \, \overrightarrow{v})$ (on laissera apparents les traits de construction).
   c) Montrer que A, B et C sont sur un même cercle dont on précisera le centre et le rayon.

3. Soit z_D le nombre complexe : $z_{\text{D}} = 2e^{\text{i}\frac{2\pi}{3}}$
   a) Placer le point D d'affixe z_D sur le graphique précédent.
   b) Calculer z_D - z_A et z_C - z_B sous forme algébrique. En déduire que ABCD est un trapèze.

c) Calculer les distances AB et CD. Que peut-on en conclure pour le trapèze ABCD ? 5 points

exercice 2

Onze chansons différentes sont enregistrées sur un CD. La durée de chacune d'elles étant inscrite sur la pochette du CD, on a le tableau suivant :

Numéro de la chanson	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
Durée en secondes	200	185	150	200	185	215	230	215	200	230	300

Un lecteur de CD sélectionne au hasard une des onze chansons et une seule ; toutes les chansons ont le même probabilité d'être sélectionnées.
Les résultats seront donnés sous forme de fractions.

1. Quelle est la probabilité que la chanson n°7 soit sélectionnée ?

2. a) Déterminer la probabilité de l'événement A : "la chanson sélectionnée a une durée de 200 secondes".
   b) Déterminer la probabilité de l'événement B : "la chanson sélectionnée a une durée supérieure à 210 secondes".
   c) Soit $\bar{\text{B}}$ l'événement contraire de B. Décrire $\bar{\text{B}}$ par une phrase, puis déterminer sa probabilité.

3. On note X la variable aléatoire qui à chaque chanson sélectionnée associe sa durée exprimée en secondes.
   a) Déterminer les différentes valeurs prises par X.
   b) Etablir sous forme d'un tableau la loi de probabilité de la variable aléatoire X.
   c) Calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire X. Interpréter ce résultat.

10 points

probleme

Partie A - Exploitation d'un graphique

On considère la fonction $g$ définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ , dont la représentation graphique $\mathscr{C}_g$ est donnée sur la figure ci-dessous. On précise que la courbe $\mathscr{C}_g$ coupe l'axe des abscisses au seul point d'abscisse 0 et admet en ce point comme tangente la droite d tracée sur la figure ci-dessous.
Soit $g'$ la fonction dérivée de $g$ sur $\mathbb{R}$ .

sujet bac STI génie mécanique (options B, C, D, E) génie des matériaux Métropole 2008 - terminale : image 1

1. En prenant appui sur la représentation graphique ci-dessus :
   a) Indiquer à quel entier est égal $g(0).$
   b) Expliquer pourquoi $g'(0) = 2.$
   c) Préciser sur quel intervalle la fonction $g$ semble être positive.

2. On admet maintenant que $g(x) = ax + x + e^x$ où e et b sont des réels que l'on va déterminer.
   a) Déterminer b en utilisant la question 1. a).
   b) Calculer $g'(x)$ en fonction de a puis déterminer a en utilisant la question 1. b).
   c) En déduire que pour tout réel $x$ , on a : $g(x) = x - 1 + e^x$ .

Partie B - Etude d'une fonction

On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ d'expression : $f(x) = x - 4 - xe^{-x}$
Soit $C_f$ sa courbe représentative dans la plan muni d'un repère orthonormal $(O \, ; \, \overrightarrow{i} \, , \, \overrightarrow{j})$ .

1. Vérifier que, pour tout réel $x$ non nul, on a : $f(x) = x \left(1 - \frac{4}{x} - e^{-x} \right).$ En déduire $\displaystyle \lim_{x \to - \infty} f(x)$ .

2. a) Calculer $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x)$ .
   b) Démontrer que la droite $\Delta$ d'équation $y = x-4$ est une asymptote oblique à la courbe $C_f$ .
   c) Etudier la position relative de la courbe $C_f$ par rapport à la droite $\Delta$ .

3. On note $f'$ la dérivée de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$ .
   a) Pour tout réel $x$ , calculer $f'(x)$ , puis vérifier que : $f'(x) = g(x)e^{-x}$ , où $g$ est la fonction obtenue dans la partie A (question 2. c)).
   b) En utilisant la question 1. c) de la partie A, déterminer le signe de $f'(x)$ .
   c) Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$ .

4. En prenant pour unité graphique 1 cm sur chaque axe, tracer sur une feuille de papier millimétré la courbe $C_f$ et l'asymptote $\Delta$ dans le plan muni du repère $(O \, ; \, \overrightarrow{i} \, , \, \overrightarrow{j})$ .

Partie C - Calcul d'une aire

1. Soit h la fonction définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ d'expression : $h(x) = -xe^{-x}$
   a) Soit H la fonction définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ d'expression : $H(x) = (x + 1)e^{-x}$
Montrer que H est une primitive sur $\mathbb{R}$ de la fonction h.
   b) En déduire une primitive sur $\mathbb{R}$ de la fonction $f$ définie dans la partie B.

2. a) Hachurer sur le graphique le domaine délimité par la courbe $C_f$ , l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x = 2$ .
   b) Calculer l'aire $\mathscr{A}$ de la partie hachurée. Donner la valeur exacte de $\mathscr{A}$ en cm² puis sa valeur arrondie au centième.

Voir la correction

exercice 1

1. Résolution de l'équation $z^2-2z+4=0$
Calcul du discriminant : $\Delta = b^2 - 4 ac = (-2)^2 - 4 \times 1 \times 4 = 4 - 16 = -12 < 0$
Donc l'équation admet deux solutions complexes conjuguées.
$z_1 = \frac{-b-i \sqrt{-\Delta}}{2 a} = \frac{2-i \sqrt{12}}{2} = \frac{2-i \sqrt{4 \times 3}}{2} = \frac{2-i 2\sqrt{3}}{2} = 1-\sqrt{3}i$
De même : $z_2= 1+\sqrt{3}i$
Ensemble des solutions : $\boxed{S = \lbrace 1-\sqrt{3}i ; 1+\sqrt{3}i \rbrace }$

2. a) Modules de $z_{\text{A}}$ , $z_{\text{B}}$ et $z_{\text{C}}$
$|z_{\text{A}}| = |1 -i \sqrt{3}| \\ |z_{\text{A}}| = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} \\ |z_{\text{A}}| = \sqrt{1+3} \\ |z_A| = \sqrt{4} \\ \boxed{|z_A| = 2}$

$|z_{\text{B}}| = |2| \\ \boxed{|z_{\text{B}}| = 2}$

$|z_{\text{C}}| = |\bar{z_{\text{A}}}| \\ |z_{\text{C}}| = |z_{\text{A}}| \\ \boxed{|z_{\text{C}}| = 2}$
Soit $\theta_{\text{A}}$ un argument de $z_{\text{A}}$ ; $\theta_{\text{A}}$ est tel que :
$\lbrace \cos \theta_{\text{A}} = \frac{Re(z_{\text{A}})}{|z_{\text{A}}|} = \frac{1}{2} \\ \sin \theta_{\text{A}} = \frac{Im(z_{\text{A}})}{|z_{\text{A}}|} = -\frac{\sqrt{3}}{2} \.$
D'où : $\theta_{\text{A}} = \boxed{Arg(z_{\text{A}}) = -\frac{\pi}{3}}$
Soit $\theta_{\text{B}}$ un argument de $z_{\text{B}}$ ; $\theta_{\text{B}}$ est tel que :
$\lbrace \cos \theta_{\text{B}} = \frac{Re(z_{\text{B}})}{|z_{\text{B}}|} = \frac{2}{2} = 1 \\ \sin \theta_{\text{B}} = \frac{Im(z_{\text{B}})}{|z_{\text{B}}|} = \frac{0}{2} = 0 \.$
D'où : $\theta_{\text{B}} = \boxed{Arg(z_{\text{B}}) = 0}$
On a : $z_{\text{C}} = \bar{z_{\text{A}}}$ donc $\boxed{Arg(z_{\text{C}}) = - Arg(z_{\text{A}}) = \frac{\pi}{3}}$

2. b) Figure.

sujet bac STI génie mécanique (options B, C, D, E) génie des matériaux Métropole 2008 - terminale : image 2

2. c) On a $\text{OA} = |z_{\text{A}}| = 2$ , $\text{OB} = |z_{\text{B}}| = 2$ et $\text{OC} = |z_{\text{C}}| = 2$ donc A, B et C sont sur le cercle de centre O et de rayon 2.

3. a) Voir figure.

3. b) Forme algébrique de $z_{\text{D}}$
$z_{\text{D}} = 2 e^{i \frac{2\pi}{3}} \\ z_{\text{D}} = 2 \left( \cos \left( \frac{2\pi}{3} \right) + i \sin \left( \frac{2\pi}{3} \right) \right) \\ z_{\text{D}} = 2 \left( -\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} \right) \\ \boxed{z_{\text{D}} = -1 + i\sqrt{3} }$
$z_{\text{D}} - z_{\text{A}} = -1 + i\sqrt{3} - (1 - i\sqrt{3} ) \\ z_{\text{D}} - z_{\text{A}} = -1 + i\sqrt{3} - 1 + i\sqrt{3} \\ \boxed{z_{\text{D}} - z_{\text{A}} = -2 + 2i\sqrt{3}}$
$z_{\text{C}} - z_{\text{B}} = 1 + i\sqrt{3} - 2 \\ \boxed{z_{\text{C}} - z_{\text{B}} = -1 + i\sqrt{3}}$
On a : $z_{\text{D}} - z_{\text{A}} = 2 (z_{\text{C}} - z_{\text{B}})$ .
Or : $z_{\text{D}} - z_{\text{A}} = Z_{\overrightarrow{\text{AD}}}$ et $z_{\text{C}} - z_{\text{B}} = Z_{\overrightarrow{\text{BC}}}$
Donc : $\overrightarrow{\text{AD}} = 2 \overrightarrow{\text{BC}}$ donc les vecteurs $\overrightarrow{\text{AD}}$ et $\overrightarrow{\text{BC}}$ sont colinéaires donc les droites (AD) et (BC) sont parallèles donc ABCD est un trapèze.

3. c) Calcul des longueurs AB et CD
$\text{AB} = |z_{\text{B}} - z_{\text{A}}| \\ \text{AB} = |2 - (1 - i\sqrt{3} ) | \\ \text{AB} = |2 - 1 + i\sqrt{3} | \\ \text{AB} = |1 + i\sqrt{3} | \\ \text{AB} = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2 } \\ \text{AB} = \sqrt{4} \\ \boxed{\text{AB} = 2}$
$\text{CD} = |z_{\text{D}} - z_{\text{C}}| \\ \text{CD} = |-1 + i\sqrt{3} - (1 + i\sqrt{3})| \\ \text{CD} = |-1 + i\sqrt{3} - 1 - i\sqrt{3}| \\ \text{CD} = |-2| \\ \boxed{\text{CD} = 2}$
On a AB = CD donc ABCD est un trapèze isocèle.

exercice 2

1. Chaque chanson ayant la même probabilité d'être choisie, la probabilité que la chanson n°7 soit selectionnée est $\boxed{p = \frac{1}{11}}$ .

2. a) Il y a 3 chansons sur les 11 qui ont une durée de 200 secondes, donc : $\boxed{P(\text{A}) = \frac{3}{11}}$

2. b) Il y a 5 chansons sur les 11 qui ont une durée supérieure à 230 secondes, donc : $\boxed{P(\text{B}) = \frac{5}{11}}$

2. c) $\bar{\text{B}}$ : "la chanson sélectionnée a une durée inférieure à 230 secondes"
$P(\bar{\text{B}}) = 1 - P(\text{B}) \\ P(\bar{\text{B}}) = 1 - \frac{5}{11} \\ \boxed{P(\bar{\text{B}}) = \frac{6}{11}}$

3. a) Valeurs possibles pour X : $\boxed{X \, \in \, \lbrace 150;185;200;215;230;300 \rbrace }$

3. b) Loi de probabilité

$x_i$	150	185	200	215	230	300
$P(X = x_i)$	$\frac{1}{11}$	$\frac{2}{11}$	$\frac{3}{11}$	$\frac{2}{11}$	$\frac{2}{11}$	$\frac{1}{11}$

3. c) Calcul de l'espérance mathématique
$E(X) = 150 \times \frac{1}{11} + 185 \times \frac{2}{11} + ... + 300 \times \frac{1}{11} \\ E(X) = \frac{2310}{11} \\ \boxed{E(X) = 210}$
Cela signifie que si on choisit un nombre assez important de chansons au hasard, la durée moyenne est de 210 secondes.

probleme

Partie A - Exploitation d'un graphique

1. a) La courbe passe par l'origine du repère donc $\boxed{g(0)=0}$ .

1. b) Le nombre dérivé de g en 0, c'est-à-dire $g'(0)$ , est égal au coefficient directeur de la droite tangente à la courbe au point d'abscisse 0 ; on lit que ce coefficient directeur est égal à 2.

1. c) La courbe est au-dessus de l'axe des abscisses pour $x$ positif, donc la fonction semble positive pour $x$ positif.

2. a) Détermination de b
$g(0) = 0 \\ \Longleftrightarrow \, a \times 0 +b + e^0 = 0 \\ \Longleftrightarrow \, b + 1 = 0 \\ \Longleftrightarrow \, \boxed{b = -1}$

2. b) Pour tout réel $x$ , on a : $g'(x) = a + e^x$
$g'(0) = 2 \\ \Longleftrightarrow \, a + e^0 = 2 \\ \Longleftrightarrow \, a + 1 = 2 \\ \Longleftrightarrow \, \boxed{a = 1}$

2. c) On a donc : $\boxed{g(x) = x - 1 + e^x}$

Partie B - Etude d'une fonction

1. On développe : $x \left( 1 - \frac{4}{x} - e^{-x} \right) = x - \frac{4x}{x} - xe^{-x} = x - 4 - xe^{-x} = f(x)$
$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \, \frac{4}{x} = 0 \\ \displaystyle \lim_{x \to -\infty} \, e^{-x} = \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \, e^x = +\infty$
Donc : $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \, f(x) = +\infty} \, \, \, \left(-\infty[1 - 0 - (+\infty) ] \right)$

2. a) Limite en $+\infty$
$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \, x e^{-x} = \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \, \frac{x}{e^x} = 0$
Donc : $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \, f(x) = +\infty}$

2. b) On a : $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \, f(x) - (x-4) = \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \, x - 4 - xe^{-x} - (x-4) = \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \, - xe^{-x} = 0$
Donc la droite $\Delta$ d'équation $y = x-4$ est une asymptote oblique à la courbe $C_f$ en $+\infty$ .

2. c) On pose, pour tout réel $x$ , $h(x) = f(x) - (x-4) = -xe^{-x}$
Une exponentielle étant toujours strictement positive, $h(x)$ est donc du signe de $-x$ :

sujet bac STI génie mécanique (options B, C, D, E) génie des matériaux Métropole 2008 - terminale : image 3

Sur l'intervalle $]-\infty ; 0[$ , $h(x) >0$ donc $f(x) > x-4$ donc $C_f$ est au-dessus de $\Delta$ .
Sur l'intervalle $]0 ; +\infty [$ , $h(x) <0$ donc $f(x) < x-4$ donc $C_f$ est en-dessous de $\Delta$ .

3. a) Calcul de la dérivée de $f$
On pose $u(x) = -x$ et $v(x) = e^{-x}$ .
D'où : $u'(x) = -1$ et $v'(x) = -e^{-x}$ .
Donc : $f'(x) = 1 + u'(x)v(x) + u(x) v'(x)$
$f'(x) = 1 -e^{-x} + xe^{-x}$
On factorise par $e^{-x}$ :
$f'(x) = e^{-x} (e^x - 1 + x) \\ \boxed{f'(x) = g(x) e^{-x}}$

3. b) On obtient le signe de la dérivée $f'$

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3. c) On en déduit les variations de la fonction $f$

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Avec : $f(0) = 0-4-0 \times e^0 = -4$

4. Représentation graphique

sujet bac STI génie mécanique (options B, C, D, E) génie des matériaux Métropole 2008 - terminale : image 6

Partie C - Calcul d'une aire

1. a) Calcul de la dérivée de H
On pose $u(x) = x+1$ et $v(x) = e^{-x}$ .
D'où : $u'(x) = 1$ et $v'(x) = -e^{-x}$ .
Donc : $H'(x) = u'(x)v(x) + u(x) v'(x)$
$H'(x) = e^{-x} - (x+1)e^{-x} \\ H'(x) = e^{-x} - xe^{-x} - e^{-x} \\ H'(x) = - xe^{-x} \\ \boxed{H'(x) = h(x)}$
Donc H est une primitive de h.

1. b) On a : $f(x) = x- 4- xe^{-x} = x-4 + h(x)$
Donc : $F(x) = \frac{x^2}{2} - 4 x + H(x)$
$\boxed{F(x) = \frac{x^2}{2} - 4 x + (x+1)e^{-x}}$

2. a) Voir graphique

2. b) La fonction $f$ étant négative sur l'intervalle [0 ; 2] et l'unité d'aire associée au repère étant égale à 1 cm², on a :
$\scrA = - \displaystyle \int_0^2 f(x) dx \\ \scrA = - \left[F(x) \right]_0^2 \\ \scrA = - \left( F(2) - F(0) \right) \\ \scrA = F(0) - F(2) \\ \scrA = \left( \frac{0}{2} - 4 \times 0 + (0+1)e^0 \right) - \left( \frac{2^2}{2} - 4 \times 2 + (2+1)e^{-2} \right) \\ \scrA = 1 - \left( \frac{4}{2} - 8 + 3e^{-2} \right) \\ \scrA = 1 - 2 + 8 - 3e^{-2} \\ \scrA = 7 - 3e^{-2} \\ \boxed{\scrA = 7 - \frac{3}{e^2} \approx 6,59 \, \text{cm}^2 }$

Publié par Cel/jamo le 21-06-2008

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