Bac Technologique - Sciences et Technologies Industrielles
Génie Mécanique
Option B : systèmes motorisés
Option C : structures métalliques
Option D : bois et matériaux associés
Option E : matériaux souples
Génie des matériaux
Session Septembre 2008
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Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 4
L'usage des calculatrices est autorisé (circulaire n°99-186 du 16-11-1999).
Le formulaire officiel de mathématiques est joint au sujet.
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.
Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
5 points
exercice 1
On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument .
Partie A
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal . On prendra pour unité graphique 2 cm sur chaque axe.
Soit le polynôme défini par :
1. a) Calculer . Que peut-on en déduire pour le polynôme ?
b) Déterminer les réels et tels que .
2. a) Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation : .
b) En déduire les solutions de l'équation dans l'ensemble des nombres complexes.
Partie B
Soit A, B, C et D les points du plan complexe d'affixes respectives :
1. a) Calculer le module et un argument de puis écrire sous forme trigonométrique.
b) Écrire sous forme algébrique.
2. Placer sur la feuille de papier millimétré les points A, B, C et D dans le repère .
a) Montrer que : .
b) En déduire la nature du quadrilatère ABCD.
4 points
exercice 2
Un industriel se fournit en pièces détachées chez deux fournisseurs différents : le producteur Lavigne et le producteur Olivier. Les pièces fournies ont trois niveaux de qualité différents, en fonction des utilisations prévues. Ces niveaux de qualité influent sur la durée de vie estimée des pièces selon le tableau 1 où les durées de vie estimées sont exprimées en années.
Qualité supérieure
Qualité ordinaire
Qualité « premier prix »
Producteur Lavigne
5
3
2
Producteur Olivier
3
2
1
Tableau 1 : durées de vie estimées des pièces en années.
Un lot est constitué de 2 000 pièces indiscernables suivant le tableau 2 ci-dessous :
Qualité supérieure
Qualité ordinaire
Qualité « premier prix »
Total
Producteur Lavigne
100
500
800
Producteur Olivier
400
500
Total
2000
Tableau 2 : répartition des pièces en fonction de leur origine et de leur qualité.
1. a) Recopier et compléter le tableau 2.
b) Montrer que 1 000 pièces ont une durée de vie estimée de deux ans.
2. On choisit une pièce au hasard, chaque pièce ayant la même probabilité d'être choisie.
a) Déterminer la probabilité que la durée de vie estimée de la pièce choisie soit de deux ans.
b) On suppose que la pièce choisie provient du producteur Lavigne. Quelle est alors la probabilité que sa durée de vie estimée soit de deux ans ?
3. On note la variable aléatoire qui, pour chaque pièce du lot considéré, associe sa durée de vie estimée.
a) Déterminer la probabilité de l'évènement « = 3».
b) Établir sous forme d'un tableau la loi de probabilité de .
c) Calculer l'espérance de . Interpréter ce nombre.
11 points
probleme
Soit la fonction définie et dérivable sur , d'expression : .
On note la courbe représentative de la fonction dans le plan rapporté à un repère orthonormal .
Partie A Étude de la fonction
1. a) Déterminer la limite de en . Donner une interprétation graphique du résultat.
b) Déterminer la limite de en .
2. Soit la fonction dérivée de sur . Vérifier que, pour tout de , on a : .
a) Étudier le signe de et établir le tableau de variations de sur .
b) Déterminer une équation de la tangente T à au point E d'abscisse .
3. a) Montrer que, pour tout de , on a : .
En déduire que pour tout de on a : .
b) Déterminer la limite de en . Donner une interprétation graphique du résultat.
c) Soit la droite d'équation : .
Étudier la position de par rapport à la droite .
4. En prenant comme unité graphique 2 cm sur chaque axe, construire sur une feuille de papier millimétré la droite T, la droite , la droite d'équation : , et la courbe .
Partie B Encadrement d'une aire
1. Hachurer sur le graphique la partie du plan délimitée par la courbe , l'axe des abscisses et les droites d'équations : et .
On va déterminer un encadrement de la valeur de l'aire , de cette surface en unités d'aire.
2. Tracer la droite D d'équation : .
3. Par lecture graphique préciser la position relative de la courbe et de la droite D sur l'intervalle [1 ; 2].
4. On admet que :
.
a) Calculer et .
b) En déduire un encadrement de .
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Option E : matériaux souples
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EXERCICE 1
Partie A
1-a)-
1-b)-
On a et , donc :
D'où en développant, on obtient :
donc pour tout de C ,
et en identifiant terme à terme :
2-a)- Résolution dans de
Les solutions de l'équation sont :
2-b)- Solutions dans de
Partie B
1-a)- Module, argument et forme trigonométrique de
1-b)- Forme algébrique de
2-a)- Affixe des points A,B,C et D :
Le vecteur a pour affixe .
Le vecteur a pour affixe .
On a :
et
Donc :
2-b)- Nature du quadrilatère ABCD
Le quadrilatère ABCD possède deux côtés opposés parallèles, donc :
Représentation graphique :
Remarque : pour la construction, on remarque que et donc que
EXERCICE 2
1-a)- Tableau
1-b)- Les durées de vie en fonction des niveaux de qualité sont indiquées dans le tableau 1.
Ainsi, celles qui ont une durée de vie de 2 ans sont :
- chez le Producteur Lavigne : celles de qualité "premiers prix", lesquelles sont au nombre de 500,
- chez le Producteur Olivier : celles de qualité ordinaire, lesquelles sont aussi au nombre de 500,
soit un total de 1000 pièces.
2-a)- Probabilité que la durée de vie estimée de la pièce soit de deux ans
On a vu à la question 1-b) que 1000 pièces ont une durée de vie de 2 ans.
Au total, on sait qu'il y a 2000 pièces, donc la probabilité que la durée de vie estimée de la pièce choisie soit de
deux ans pour une une pièce tirée au hasard est de :
2-b)- Probabilité que la durée de vie estimée soit de deux ans si la pièce choisie provient du producteur Lavigne
Chez le producteur Lavigne, il y a 800 pièces au total.
Dans ces 800 pièces, celles qui ont une durée de vie de 2 ans sont celles classées en "premier prix", lesquelles sont
au nombre de 500, donc la probabilité que la durée de vie estimée de la pièce choisie au hasard soit de deux ans, c'est à
dire une de qualité "premier prix" est de :
Arbre pondéré (non demandé) :
3-a)- Les durées de vie en fonction des niveaux de qualité sont indiquées dans le tableau 1.
Ainsi, celles qui ont une durée de vie de 3 ans sont :
- chez le Producteur Lavigne : celles de qualité ordinaire, lesquelles sont au nombre de 200,
- chez le Producteur Olivier : celles de qualité supérieure, lesquelles sont aussi au nombre de 400,
soit 600 pièces sur un total de 2000 pièces existantes chez les deux producteurs, donc :
3-b)- Loi de probabilité de
Remarque (non demandé) :
On vérifiera lors de l'élaboration du tableau de la loi de probabilité de que :
3-c)- Espérance de
En effectuant un grand nombre de tirages de pièces, la moyenne des résultats trouvés, et concernant la durée de vie
des pièces tirées, va tendre vers la valeur 2,3.
PROBLÈME
Partie A : Étude de la fonction
1-a)- Limite en
1-b)- Limite en
2- La fonction est dérivable sur comme somme et composée de fonctions dérivables sur .
On a une fonction de la forme avec . Or
Donc :
2-a)- Signe de la dérivée et tableau de variations
Donc :
On remarquera (non demandé) que :
2-b)- Equation de la tangente à au point
d'abscisse .
Une équation de la tangente en E est donnée par :
3-a)-
On sait que :
Donc :
3-b)-
3-c)- droite d'équation
4- Représentation graphique
Partie B : Encadrement d'une aire
1-2- Représentation graphique
3-
4-a)- Calcul de et
4-b)- Encadrement de
Publié par malou/Jedoniezh
le
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