Fiche de mathématiques
> >

Bac Technologique - Sciences et Technologies Industrielles
Génie Mécanique
Option B : systèmes motorisés
Option C : structures métalliques
Option D : bois et matériaux associés
Option E : matériaux souples
Génie des matériaux
Session Septembre 2008

Partager :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 4

L'usage des calculatrices est autorisé (circulaire n°99-186 du 16-11-1999).
Le formulaire officiel de mathématiques est joint au sujet.
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.
Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
5 points

exercice 1

On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument \dfrac{\pi}{2}.

Partie A

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal (O ; \vec{i},\vec{j}). On prendra pour unité graphique 2 cm sur chaque axe.
Soit P le polynôme défini par :
P(z) = z^3 - z^2 - 2z - 12

1. a) Calculer P(3). Que peut-on en déduire pour le polynôme P ?
    b) Déterminer les réels a,{} b et c tels que P(z) =(z- 3)\left(az^2 + bz + c\right).

2. a) Résoudre dans l'ensemble \mathbb{C} des nombres complexes l'équation : z^2 + 2z + 4 = 0.
    b) En déduire les solutions de l'équation P(z) = 0 dans l'ensemble \mathbb{C} des nombres complexes.

Partie B

Soit A, B, C et D les points du plan complexe d'affixes respectives :
z_{\text{A}} = - 1 + \text{i}\sqrt{3}\quad  ; \quad z_{\text{B}} = 2\text{e}^{-2\text{i}\frac{\pi}{3}}  \quad  ; \quad z_{\text{C}}= 3 - \left(3\sqrt{3}\right)\text{i} \quad  ;\quad  z_{\text{D}}=3

1. a) Calculer le module et un argument de z_{\text{A}} puis écrire z_{\text{A}} sous forme trigonométrique.
    b) Écrire z_{\text{B}} sous forme algébrique.

2. Placer sur la feuille de papier millimétré les points A, B, C et D dans le repère (O ; \vec{i},\vec{j}).
    a) Montrer que : \overrightarrow{\text{DC}} = \dfrac{3}{2}\overrightarrow{\text{AB}}.
    b) En déduire la nature du quadrilatère ABCD.


4 points

exercice 2

Un industriel se fournit en pièces détachées chez deux fournisseurs différents : le producteur Lavigne et le producteur Olivier. Les pièces fournies ont trois niveaux de qualité différents, en fonction des utilisations prévues. Ces niveaux de qualité influent sur la durée de vie estimée des pièces selon le tableau 1 où les durées de vie estimées sont exprimées en années.
 Qualité
supérieure
Qualité
ordinaire
Qualité
« premier prix »
Producteur
Lavigne
532
Producteur
Olivier
321

Tableau 1 : durées de vie estimées des pièces en années.

Un lot est constitué de 2 000 pièces indiscernables suivant le tableau 2 ci-dessous :
 Qualité
supérieure
Qualité
ordinaire
Qualité
« premier prix »
Total
Producteur Lavigne100 500800
Producteur Olivier400500  
Total   2000
Tableau 2 : répartition des pièces en fonction de leur origine et de leur qualité.


1. a) Recopier et compléter le tableau 2.
    b) Montrer que 1 000 pièces ont une durée de vie estimée de deux ans.

2. On choisit une pièce au hasard, chaque pièce ayant la même probabilité d'être choisie.
    a) Déterminer la probabilité que la durée de vie estimée de la pièce choisie soit de deux ans.
    b) On suppose que la pièce choisie provient du producteur Lavigne. Quelle est alors la probabilité que sa durée de vie estimée soit de deux ans ?

3. On note X la variable aléatoire qui, pour chaque pièce du lot considéré, associe sa durée de vie estimée.
    a) Déterminer la probabilité de l'évènement «X = 3».
    b) Établir sous forme d'un tableau la loi de probabilité de X.
    c) Calculer l'espérance de X. Interpréter ce nombre.


11 points

probleme

Soit f la fonction définie et dérivable sur \mathbb{R}, d'expression :     f(x) = \ln \left(1 + \text{e}^x\right) - 1.
On note \mathcal{C}_{f} la courbe représentative de la fonction f dans le plan rapporté à un repère orthonormal (O ; \vec{i},\vec{j}).

Partie A Étude de la fonction f


1. a) Déterminer la limite de f en - \infty. Donner une interprétation graphique du résultat.
    b) Déterminer la limite de f en + \infty.

2. Soit f' la fonction dérivée de f sur \mathbb{R}. Vérifier que, pour tout x de \mathbb{R}, on a : f'(x) = \dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^x + 1}.
    a) Étudier le signe de f'(x) et établir le tableau de variations de f sur \mathbb{R}.
    b) Déterminer une équation de la tangente T à \mathcal{C}_{f} au point E d'abscisse 0.

3. a) Montrer que, pour tout x de \mathbb{R}, on a : f(x) -(x - 1) = \ln \left(1 +\text{e}^x \right) - \ln \left(\text{e}^x \right).
En déduire que pour tout x de \mathbb{R} on a : f(x) - (x - 1) = \ln\left(\text{e}^{-x} + 1\right).
    b) Déterminer la limite de f(x) - (x - 1) en +\infty. Donner une interprétation graphique du résultat.
    c) Soit \Delta la droite d'équation : y = x - 1.
Étudier la position de \mathcal{C}_{f} par rapport à la droite \Delta.

4. En prenant comme unité graphique 2 cm sur chaque axe, construire sur une feuille de papier millimétré la droite T, la droite \Delta, la droite d'équation : x = 1, et la courbe \mathcal{C}_{f}.

Partie B Encadrement d'une aire


1. Hachurer sur le graphique la partie du plan délimitée par la courbe \mathcal{C}_{f}, l'axe des abscisses et les droites d'équations : x = 1 et x = 2.
On va déterminer un encadrement de la valeur de l'aire \mathcal{A}, de cette surface en unités d'aire.

2. Tracer la droite D d'équation : y = 0,8x - 0,2.

3. Par lecture graphique préciser la position relative de la courbe \mathcal{C}_{f} et de la droite D sur l'intervalle [1 ; 2].

4. On admet que :
\displaystyle \int_{1}^2 (x - 1)\:\text{d}x  \leqslant \int_{1}^2 f(x)\:\text{d}x \leqslant \int_{1}^2 (0,8x-0,2)\:\text{d}x.
    a) Calculer I = \displaystyle\int_{1}^2 (x - 1)\:\text{d}x et J = \displaystyle\int_{1}^2 (0,8x-0,2)\:\text{d}x.
    b) En déduire un encadrement de \mathcal{A}.




Bac Technologique
Sciences et Technologies Industrielles - Génie Mécanique
Option B : systèmes motorisés
Option C : structures métalliques
Option D : bois et matériaux associés
Option E : matériaux souples
Génie des matériaux
Session Septembre 2008

Partager :

EXERCICE 1


Partie A


\mathcal{P}(z)=z^3-z^2-2z-12

1-a)- \mathcal{P}(3)=3^3-3^2-2\times 3-12=27-9-6-12=27-27=0

\boxed{\textcolor{blue}{\mathcal{P}(3)=0}}}

\boxed{\textcolor{blue}{z=3\text{ est racine}\text{, on peut donc factoriser }\matchcal{P}(z)\text{ par }(z-3).}}}


1-b)- a,b,c\in\mathbb{R}

On a \mathcal{P}(z)=z^3-z^2-2z-12 et \mathcal{P}(z)=(z-3)(az^2+bz+c), donc :

D'où en développant, on obtient :

\mathcal{P}(z)=(z-3)(az^2+bz+c)=az^3+bz^2+cz-3az^2-3bz-3c=az^3+z^2(-3a+b)+z(c-3b)-3c

donc pour tout z de C ,

az^3+z^2(-3a+b)+z(c-3b)-3c=z^3-z^2-2z-12

et en identifiant terme à terme :

\left\lbrace\begin{array}l a=1 \\ -3a+b=-1  \\  c-3b=-2  \\  -3c=-12 \end{array}  \Leftrightarrow  \left\lbrace\begin{array}l a=1 \\ -3\times 1+b=-1  \\  c=4   \end{array} \Leftrightarrow  \left\lbrace\begin{array}l a=1 \\ b=2  \\  c=4   \end{array}

\boxed{\textcolor{blue}{\mathcal{P}(z)=(z-3)(z^2+2z+4)}}}


2-a)- Résolution dans \mathbb{C} de z^2+2z+4=0

\Delta=b^2-4ac=2^2-4\times 1\times 4=4-16=-12 \\\\ z_1=\dfrac{-b-i\sqrt{-\Delta}}{2a}=\dfrac{-2-i\sqrt{-(-12)}}{2\times 1}=\dfrac{2-i\sqrt{12}}{2}=\dfrac{2-2i\sqrt{3}}{2}=1-i\sqrt{3} \\\\ z_2=\dfrac{-b+i\sqrt{-\Delta}}{2a}=\dfrac{-2+i\sqrt{-(-12)}}{2\times 1}=\dfrac{2+i\sqrt{12}}{2}=\dfrac{2+2i\sqrt{3}}{2}=1+i\sqrt{3}

Les solutions de l'équation sont :

\boxed{\textcolor{blue}{\mathcal{S}=\lbrace 1-i\sqrt{3},1+i\sqrt{3}\rbrace}}}}


2-b)- Solutions dans \mathbb{C} de \mathcal{P}(z)=0

\boxed{\textcolor{blue}{\mathcal{S}=\lbrace 3,1-i\sqrt{3},1+i\sqrt{3}\rbrace}}}}


Partie B



1-a)- Module, argument et forme trigonométrique de z_A

\mid z_A\mid=\mid-1+i\sqrt{3}\mid=\sqrt{(-1)^{2}+(\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{1+3}=\sqrt{4}=2

\boxed{\textcolor{blue}{\text{Le module de }z_A\text{ est }2}}}

z_A=-1+i\sqrt{3}=2\left( -\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) =2\left(\cos\dfrac{2\pi}{3}+i\sin\dfrac{2\pi}{3} \right)

\boxed{\textcolor{blue}{\text{Un argument de }z_A\text{ est }\dfrac{2\pi}{3}}}}

\boxed{\textcolor{blue}{\text{La forme trigonométrique de }z_A \text{ est }z_A=2\left(\cos\dfrac{2\pi}{3}+i\sin\dfrac{2\pi}{3} \right)}}}


1-b)- Forme algébrique de z_B

z_B=2\text{e}^{-2i\frac{\pi}{3}}=\overline{z_A}=-1-i\sqrt{3}

\boxed{\textcolor{blue}{\text{La forme algébrique de }z_B\text{ est }z_B=-1-i\sqrt{3}}}}


2-a)- Affixe des points A,B,C et D :

z_A=-1+i\sqrt{3}\quad z_B=-1+-i\sqrt{3}\quad z_C=3-3i\sqrt{3}\quad z_D=3

Le vecteur \overrightarrow{AB} a pour affixe z_B-z_A.

Le vecteur \overrightarrow{DC} a pour affixe z_C-z_D.

On a :

z_C-z_D=\cancel{3}-3i\sqrt{3}-\cancel{3}=-3i\sqrt{3}

et

\dfrac{3}{2}\left(z_B-z_A \right)=\dfrac{3}{2}\left[ -1+-i\sqrt{3}-\left( -1+i\sqrt{3}\right)\right]  =\dfrac{3}{2}\left[ -\cancel{1}+-i\sqrt{3}+\cancel{1}-i\sqrt{3}\right] =\dfrac{3}{\cancel{2}}\left[ -i\cancel{2}\sqrt{3}\right]=-3i\sqrt{3}

Donc :

\boxed{\textcolor{blue}{\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}}}}


2-b)- Nature du quadrilatère ABCD

Le quadrilatère ABCD possède deux côtés opposés parallèles, donc :

\boxed{\textcolor{blue}{\text{Le quadrilatère ABCD est une trapèze.}}}}

Représentation graphique :

Remarque : pour la construction, on remarque que z_C=6\text{e}^{-i\frac{\pi}{3}} et donc que OC=6
bac STI génie mécanique (options B, C, D, E) génie des matériaux Métropole Septembre 2008 - terminale : image 7



EXERCICE 2


1-a)- Tableau
bac STI génie mécanique (options B, C, D, E) génie des matériaux Métropole Septembre 2008 - terminale : image 3


1-b)- Les durées de vie en fonction des niveaux de qualité sont indiquées dans le tableau 1.
Ainsi, celles qui ont une durée de vie de 2 ans sont :
- chez le Producteur Lavigne : celles de qualité "premiers prix", lesquelles sont au nombre de 500,
- chez le Producteur Olivier : celles de qualité ordinaire, lesquelles sont aussi au nombre de 500,
soit un total de 1000 pièces.

\boxed{\textcolor{blue}{\text{1000 pièces ont une durée de vie de 2 ans.}}}}

2-a)- Probabilité que la durée de vie estimée de la pièce soit de deux ans

On a vu à la question 1-b) que 1000 pièces ont une durée de vie de 2 ans.
Au total, on sait qu'il y a 2000 pièces, donc la probabilité que la durée de vie estimée de la pièce choisie soit de
deux ans pour une une pièce tirée au hasard est de :

p(\text{durée de vie de 2 ans})=\dfrac{1000}{2000}=\dfrac{1}{2}=0,5

\boxed{\textcolor{blue}{\text{La probabilité que la durée de vie de la pièce choisie soit de 2 ans est de }\dfrac{1}{2}.}}}

2-b)- Probabilité que la durée de vie estimée soit de deux ans si la pièce choisie provient du producteur Lavigne

Chez le producteur Lavigne, il y a 800 pièces au total.

Dans ces 800 pièces, celles qui ont une durée de vie de 2 ans sont celles classées en "premier prix", lesquelles sont
au nombre de 500, donc la probabilité que la durée de vie estimée de la pièce choisie au hasard soit de deux ans, c'est à
dire une de qualité "premier prix" est de :

p_{\text{Lavigne}}(\text{durée de vie de 2 ans})=p_{\text{Lavigne}}(\text{premier prix}) =\dfrac{500}{800}=\dfrac{5}{8}=0,625

\boxed{\textcolor{blue}{\text{La probabilité que la durée de vie de la pièce choisie soit de 2 ans chez Lavigne est de }\dfrac{5}{8}.}}}

Arbre pondéré (non demandé) :
bac STI génie mécanique (options B, C, D, E) génie des matériaux Métropole Septembre 2008 - terminale : image 1


3-a)- Les durées de vie en fonction des niveaux de qualité sont indiquées dans le tableau 1.
Ainsi, celles qui ont une durée de vie de 3 ans sont :
- chez le Producteur Lavigne : celles de qualité ordinaire, lesquelles sont au nombre de 200,
- chez le Producteur Olivier : celles de qualité supérieure, lesquelles sont aussi au nombre de 400,
soit 600 pièces sur un total de 2000 pièces existantes chez les deux producteurs, donc :

p(X=3)=\dfrac{600}{2000}=\dfrac{3}{10}=0,3

\boxed{\textcolor{blue}{p(X=3)=\dfrac{3}{10}}}}

3-b)- Loi de probabilité de X

\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|} \hline  x_i & 1 & 2 & 3 & 5 \\ \hline  p(X=x_i)&  3/20 & 1/2 & 3/10 & 1/20   \\ \hline  \end{tabular}

Remarque (non demandé) :

On vérifiera lors de l'élaboration du tableau de la loi de probabilité de X que :

\sum{p(X=x_i)}=p(X=1)+p(X=2)+p(X=3)+p(X=5)=\dfrac{3}{20}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{10}+\dfrac{1}{20}=1

3-c)- Espérance de X

E(X)=\sum{p_ix_i}=(1\times\dfrac{3}{20})+(2\times\dfrac{1}{2})+(3\times\dfrac{3}{10})+(5\times\dfrac{1}{20}) =\dfrac{3+20+18+5}{20}=\dfrac{46}{20}=2,3

\boxed{\textcolor{blue}{E(X)=2,3}}}

En effectuant un grand nombre de tirages de pièces, la moyenne des résultats trouvés, et concernant la durée de vie des pièces tirées, va tendre vers la valeur 2,3.


PROBLÈME

f(x)=\ln (1+\text{e}^x)-1



Partie A : Étude de la fonction f


1-a)- Limite en -\infty

 \underset{x\to -\infty}{\lim}e^x = 0 \Rightarrow  \underset{x\to -\infty}{\lim}(e^x+1) = 1 \Rightarrow  \underset{x\to -\infty}{\lim}\ln (e^x+1) = 0 \Rightarrow  \underset{x\to -\infty}{\lim}[\ln (e^x+1)-1] = -1

\boxed{\textcolor{blue}{\underset{x\to -\infty}{\lim}f(x)=-1\text{, la courbe }\mathcal{C}_f \text{ admet donc la droite d'équation }y=-1\text{ comme asymptote.} }}}

1-b)- Limite en +\infty

 \underset{x\to +\infty}{\lim}e^x = +\infty \Rightarrow  \underset{x\to +\infty}{\lim}(e^x+1) = +\infty \Rightarrow  \underset{x\to +\infty}{\lim}\ln (e^x+1) = +\infty \Rightarrow  \underset{x\to +\infty}{\lim}[\ln (e^x+1)-1] = +\infty

\boxed{\textcolor{blue}{\underset{x\to +\infty}{\lim}f(x)=+\infty}}


2- La fonction est dérivable sur \mathbb{R} comme somme et composée de fonctions dérivables sur \mathbb{R} .

On a une fonction de la forme f(x)=\ln(g(x))+1 avec g(x)=1+\text{e}^{x}. Or \ln(g(x))'=\dfrac{g'(x)}{g(x)}

Donc :

\boxed{\textcolor{blue}{ \forall x\in\mathbb{R},f'(x)=\dfrac{\text{e}^{x}}{1+\text{e}^{x}} }}}


2-a)- Signe de la dérivée et tableau de variations

\forall x\in\mathbb{R},\text{e}^{x}>0\Longrightarrow\forall x\in\mathbb{R} \text{, } f'(x)=\dfrac{\text{e}^{x}}{1+\text{e}^{x}}>0

Donc :

\boxed{\textcolor{blue}{\text{La fonction }f\text{ est strictement croissance sur }\mathbb{R}. }}}

On remarquera (non demandé) que :

f(x)=0\Leftrightarrow \ln (1+\text{e}^{x})-1=0\Leftrightarrow \ln (1+\text{e}^{x})=1 \Leftrightarrow 1+\text{e}^{x}=e\Leftrightarrow \text{e}^{x}=e-1\Leftrightarrow x=\ln(e-1)\approx 0,54

\begin{tabvar}{|C|CCCC|}  \hline  x                       & -\infty   &&      +\infty  & \\ \hline  f'(x)                & &      +    & &           \\ \hline  f       & _{-1}   &  \nearrow       &  ^{+\infty}  & \\ \hline \end{tabvar}



2-b)- Equation de la tangente T à \mathcal{C}_{f} au point E d'abscisse 0.

Une équation de la tangente en E est donnée par :

y=f'(x_E)(x-x_E)+f(x_E)\Leftrightarrow y=f'(0)(x-0)+f(0) \Leftrightarrow y=\dfrac{\text{e}^{0}}{1+\text{e}^{0}}x+\ln(1+\text{e}^{0})-1 \Leftrightarrow y=\dfrac{1}{2}x+\ln 2-1

\boxed{\textcolor{blue}{\text{Equation de la tangente T en E : } y=\dfrac{1}{2}x+\ln 2-1 }}}


3-a)- f(x)-(x-1)=\ln (1+\text{e}^x)-\cancel{1}-x+\cancel{1}=\ln (1+\text{e}^x)-\ln \text{e}^x

\boxed{\textcolor{blue}{ f(x)=\ln (1+\text{e}^x)-\ln \text{e}^x }}}

On sait que :

\forall a,b\in\mathbb{R}^*_+\text{, }\ln a-\ln b=\ln\dfrac{a}{b}

Donc :

f(x)=\ln (1+\text{e}^x)-\ln \text{e}^x =\ln\dfrac{1+\text{e}^x}{\text{e}^x} =\ln\left[ \left( 1+\text{e}^x\right)\text{e}^{-x}\right]=\ln \left( \text{e}^{-x}+\text{e}^x\times \text{e}^{-x}\right) =\ln ( \text{e}^{-x}+\text{e}^{x-x})=\ln ( \text{e}^{-x}+1)

\boxed{\textcolor{blue}{ f(x)-(x-1)=\ln ( \text{e}^{-x}+1) }}}


3-b)- \underset{x\to +\infty}{\lim}\left[ f(x)-(x-1)\right]= \underset{x\to +\infty}{\lim}\left[ \ln ( \text{e}^{-x}+1)\right]= \underset{x\to +\infty}{\lim}[ \ln ( \underbrace{\dfrac{1}{\text{e}^{x}}}_{\to 0}+1)]=0

\boxed{\textcolor{blue}{\underset{x\to +\infty}{\lim}[f(x)-(x-1)]=0\text{, la courbe }\mathcal{C}_f \text{ admet donc la droite d'équation }y=x-1\text{ comme asymptote en }+\infty. }}}


3-c)- \Delta droite d'équation y=x-1

\forall x\in\mathbb{R} \text{, } \ln ( \text{e}^{x})= x\Rightarrow \ln ( \text{e}^{x}+1)>x \Rightarrow \ln ( \text{e}^{x}+1)-1>x-1\Rightarrow \ln ( \text{e}^{x}+1)-1-(x-1)>0

\boxed{\textcolor{blue}{\mathcal{C}_f\text{ est donc au-dessus de la droite }\Delta. }}}


4- Représentation graphique
bac STI génie mécanique (options B, C, D, E) génie des matériaux Métropole Septembre 2008 - terminale : image 2



Partie B : Encadrement d'une aire



1-2- Représentation graphique

bac STI génie mécanique (options B, C, D, E) génie des matériaux Métropole Septembre 2008 - terminale : image 4



3-

\boxed{\textcolor{blue}{\text{La courbe }\mathcal{C}_f\text{ est sous la droite }D\text{ sur l'intervalle }[1,2]. }}}


4-a)- Calcul de I et J

I=\int_{1}^{2}\left(x-1 \right)\text{d}x=\left[\dfrac{1}{2}x^2-x \right]_{1}^{2} =\dfrac{1}{2}\times 2^2-2-\dfrac{1}{2}\times 1^2+1=\dfrac{1}{2}\text{ unité d'aire}

\boxed{\textcolor{blue}{ I=\dfrac{1}{2}\text{ unité d'aire} }}}

J=\int_{1}^{2}\left(0,8x-0,2 \right)\text{d}x=\left[0,4x^2-0,2x \right]_{1}^{2} =0,4\times 2^2-0,2\times 2-0,4\times 1^2+0,2=1 \text{ unité d'aire}

\boxed{\textcolor{blue}{ J=1\text{ unité d'aire} }}}


4-b)- Encadrement de \mathcal{A}

\boxed{\textcolor{blue}{ \dfrac{1}{2}\leq \mathcal{A}\leq 1 }}}

Publié le
ceci n'est qu'un extrait
Pour visualiser la totalité des cours vous devez vous inscrire / connecter (GRATUIT)
Inscription Gratuite se connecter
Merci à
Jedoniezh
pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche


Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1348 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !