Fiche de mathématiques

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Bac Technologique - Sciences et Technologies Industrielles
Génie Mécanique (Option A : Productique Mécanique, Option F : Microtechniques)
Génie Energétique
Génie Civil
Polynésie Française - Session 2008

Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 4

L'usage des calculatrices est autorisé selon les termes de la circulaire n°99-186 du 16 novembre 1999.
Un formulaire de mathématiques est distribué en même temps que le sujet.
Des feuilles de papier millimétré seront mises à la disposition des candidats.
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.
Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Le candidat traitera obligatoirement les deux exercices et le problème.

4 points

exercice 1

Un jeu est organisé de la manière suivante : le joueur mise 3 € puis fait tourner une roue partagée en 6 secteurs circulaires. Lorsque la roue s'immobilise, un repère situé devant la roue indique le secteur circulaire désigné. On suppose que la roue est lancée suffisamment vite pour que la position du repère corresponde à un tirage aléatoire ; la probabilité que le repère indique un secteur donné est donc proportionnelle à l'angle au centre de ce secteur.

Sur chacun des secteurs circulaires est affichée une somme que le joueur reçoit :
le secteur 1 mesure 150° et indique la somme 0 € : le joueur ne reçoit rien ;
le secteur 2 mesure 100° et affiche 3 € ;
le secteur 3 mesure 50° et affiche 4 € ;
le secteur 4 mesure 35° et affiche 6 € ;
le secteur 5 mesure 15° et affiche 10 € ;
le secteur 6 qui est le dernier mesure 10° et affiche 15 €.

On appelle "gain" du joueur la somme, positive eu négative, que le joueur obtient après le lancer de la roue : cette somme prend en compte la mise de 3 €. Ainsi, par exemple, le gain correspondant au secteur 5 égal à 7 €.
On note X la variable aléatoire qui, à chaque tirage, associe le gain du joueur.
Les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles.

1. Déterminier la loi de probabilité de la variable X.

2. Quelle est la probabilité d'obtenir un gain d'au moins 3 € ?

3. a) Calculer l'espérance mathématique de la variable X.
   b) Le jeu est-il équitable ?

4. Dans cette question, les cinq premiers secteurs soit inchangés, mais le sixième affiche une somme de a € où a est un nombre un réel positif. On note encore X la variable aléatoire qui, à chaque tirage, associe le gain du joueur.
   a) Calculer l'espérance mathématique de la variable X en fonction du réel a.
   b) Déterminer la valeur de a pour que cette espérance soit nulle. 4 points

exercice 2

On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\frac{\pi}{2}$ .
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal (0 ; $\overrightarrow{u}$ ; $\overrightarrow{v}$ ).
L'unité graphique est 1 cm ; on construira une figure que l'on complètera au fur et à mesure de l'exercice.

1. On note A, B et C les points d'affixes respectives : $a=2\sqrt{2}e^{\text{i}\frac{\pi}{4}}, \, \, b = 5 - 3\text{i }\text{ et } c = 11 + 4\text{i}$ .
   a) Ecrire le nombre complexe a sous forme algébrique.
   b) Placer les points A, B et C sur la figure.

2. Démontrer que le triangle ABC est isocèle.

3. Soit z un nombre complexe quelconque et M le point du plan d'affixe z.
   a) Donner l'interprétation géométrique des nombres |z - a| et |z - b|.
   b) Déterminer l'ensemble $\Delta$ des points M du plan tel que l'on ait : |z - a| = |z - b|.
Tracer cet ensemble $\Delta$ sur la figure.
   c) On note D le point d'affixe d = 6 + i. Les points C et D appartiennent-ils à l'ensemble $\Delta$ ?

4. Démonter que le triangle ABD est rectangle.

5. On considère le point H tel que ADBH soit un carré. Déterminer l'affixe h de ce point H.

12 points

probleme

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle ]0 ; $+ \infty$ [ par : $f(x) = 2 - \frac{1}{x} - \ln x$ .
On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal $(O \, ; \, \overrightarrow{i} \, , \, \overrightarrow{j})$ ; la courbe $\mathcal{C}$ est donnée ci-dessous.

sujet bac STI génie mécanique (A et F) génie énergétique génie civil, Polynésie Française 2008 - terminale : image 1

Partie A - Etude de la fonction $f$

1. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$ .

2. On rappelle le résultat suivant : $\displaystyle \lim_{x\to0} x\ln{x} =0$ .
   a) En remarquant que $f(x) = \frac{2x-1-x\ln{x}}{x}$ , déterminer la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers 0.
   b) En déduire l'existence d'une asymptote à la courbe $\mathcal{C}$ et en donner une équation.

3. a) Calculer $f'(x)$ et montrer que pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle ]0 ; $+\infty$ [ on a : $f'(x)=\frac{1-x}{x^2}$ .
   b) Déterminer le tableau des variations de $f$ sur l'intervalle ]0 ; $+\infty$ [. Indiquer la valeur de l'extremum.

4. a) Démontrer que, sur l'intervalle [0,1 ; 10], la fonction $f$ s'annule pour deux valeurs exactement. On note $x_1$ et $x_2$ ces deux valeurs avec $x_1 < x_2$ .
   b) Placer $x_1$ et $x_2$ sur l'axe $(O \, ; \, \overrightarrow{i})$ représenté sur le graphique ci-dessus, et donner les valeurs approchées arrondies au centième de ces deux nombres.

Partie B - Etude d'une tangente

On désigne par $\mathcal{T}$ la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point A d'abscisse 2.

1. Démontrer qu'une équation de la droite $\mathcal{T}$ est : $y=-\frac{1}{4}x+2-\ln{2}$ .

2. On considère la fonction $h$ définie sur ]0 ; $+\infty$ [ par : $h(x)=f(x)-\left(-\frac{1}{4}x+2-\ln{2}\right)$ .
   a) Calculer $h'(x)$ et vérifier que, pour tout $x$ de ]0 ; $+\infty$ [, on a : $h'(x)=\frac{(x-2)^2}{4x^2}$
   b) En déduire le sens de variation de la fonction $h$ sur l'intervalle ]0 ; $+\infty$ [.
   c) Calculer $h(2)$ et en déduire le signe de la fonction $h$ sur l'intervalle ]0 ; $+\infty$ [.

3. A l'aide des questions précédentes, déterminer la position relative de la courbe $\mathcal{C}$ et de la tangente $\mathcal{T}$ .

4. Tracer la droite $\mathcal{T}$ sur le graphique, en tenant compte du résultat obtenu dans la question précédente.

Partie C - Calcul d'une aire

1. On note $G$ la fonction définie sur l'intervalle ]0 ; $+\infty$ [ par : $G(x)=x-x\ln{x}$ . Calculer $G'(x)$ .

2. En déduire une primitive $F$ de la fonction $f$ sur l'intervalle ]0 ; $+\infty$ [.

3. On considère la partie du plan comprise entre les droites d'équation $x=1$ et $x=6$ d'une part, entre l'axe horizontal et la courbe $\mathcal{C}$ d'autre part. On note $\mathcal{A}$ l'aire de cette partie du plan, exprimée en unités d'aire.
a) Hachurer cette partie de plan sur le graphique.
b) Donner la valeur exacte de l'aire $\mathcal{A}$ , puis sa valeur arrondie au centième.

Voir la correction

exercice 1

1. Loi de probabilité

sujet bac STI génie mécanique (A et F) génie énergétique génie civil, Polynésie Française 2008 - terminale : image 2

Le calcul des gains se calcule en soustrayant la mise de 3 € aux valeurs affichées sur les secteurs de la roue.
Les probabilités sont proportionnelles aux angles des secteurs, pour un total de 360° pour la roue complète.
On obtient donc la loi de probabilité suivante :

$x_i$	-3	0	1	3	7	12
$P(X=x_i)$	$\frac{150}{360}=\frac{5}{12}$	$\frac{100}{360}=\frac{5}{18}$	$\frac{50}{360}=\frac{5}{36}$	$\frac{35}{360}=\frac{7}{72}$	$\frac{15}{360}=\frac{1}{24}$	$\frac{10}{360}=\frac{1}{36}$

2. Probabilité de gagner au moins 3 €
$P(X \ge 3) = P(X=3) + P(X=7) + P(X=12) = \frac{35}{360} + \frac{15}{360} + \frac{10}{360} = \frac{60}{360} = \frac{1}{6}$
Donc la probabilité de gagner au moins 3 € est égale à $\boxed{\frac{1}{6}}$

3. a) Calcul de l'espérance mathématique
$E(X) = -3 \times \frac{150}{360} + 0 \times \frac{100}{360} + 1 \times \frac{50}{360} + 3 \times \frac{35}{360} + 7 \times \frac{15}{360} + 12 \times \frac{10}{360} \\E(X) = \frac{-450 + 0 + 50 + 105 + 105 + 120}{360} \\E(X) = - \frac{70}{360} \\\boxed{E(X) = - \frac{7}{36} \approx -0,194}$

3. b) Un jeu est équitable lorsque l'espérance mathématique est nulle.
Ici, sur un grand nombre de parties, un joueur perd en moyenne 0,194 € par partie, donc le jeu n'est pas équitable.

4. a) Le gain pour le 6ème secteur est égal à $a - 3$ .
On reprend le calcul de l'espérance mathématique :
$E(X) = -3 \times \frac{150}{360} + 0 \times \frac{100}{360} + 1 \times \frac{50}{360} + 3 \times \frac{35}{360} + 7 \times \frac{15}{360} + (a-3) \times \frac{10}{360} \\E(X) = \frac{-450 + 0 + 50 + 105 + 105 + 10(a-3)}{360} \\\boxed{E(X) = \frac{10a -220}{360}}$

4. b) Résolution de l'équation $E(X) = 0$
$E(X) = 0 \\ \Longleftrightarrow \, 10a-220 = 0 \\ \Longleftrightarrow \, 10a=220 \\ \Longleftrightarrow \, \boxed{a=22}$
Pour que le jeu soit équitable, la valeur affichée sur le dernier secteur doit donc être égale à 22 €.

exercice 2

1.a) Forme algébrique du nombre complexe a
$a = 2\sqrt{2} e^{i\frac{\pi}{4}} \\a = 2\sqrt{2} (\cos(\frac{\pi}{4}) + i \sin(\frac{\pi}{4})) \\a = 2\sqrt{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2}) \\ \boxed{a = 2 + 2 i}$

1. b) On place les points de coordonnées : $A(2;2) \, \, B(5;-3) \, \, C(11;4)$

2. Démontrons que le triangle ABC est isocèle.
$\text{AC} = |c - a| \\ \text{AC} = |11+4i - (2+2i)| \\ \text{AC} = |9+2i| \\ \text{AC}= \sqrt{9^2+2^2} \\ \text{AC} = \sqrt{81+4} \\ \boxed{\text{AC} = \sqrt{85}}$

$\text{BC} = |c-b| \\ \text{BC} = |11+4i - (5-3i)| \\ \text{BC} = |6-7i| \\ \text{BC} = \sqrt{6^2+(-7)^2} \\ \text{BC} = \sqrt{36+49} \\ \boxed{\text{BC} = \sqrt{85}}$
On a AC = BC donc ABC est isocèle en C.

3. a) Le module $|z-a|$ est égal à la longueur AM, et Le module $|z-b|$ est égal à la longueur BM.

3. b) Détermination de l'ensemble $\Delta$
$M \in \Delta \, \Longleftrightarrow \, |z - a| = |z - b| \, \Longleftrightarrow \, AM = BM \, \Longleftrightarrow$ M appartient à la médiatrice du segment [AB], car la médiatrice d'un segment est l'ensemble des points équidistants des extrémités du segment.
Donc $\Delta$ est la médiatrice du segment [AB].

3. c) On a démontré que le triangle ABC est isocèle en C, donc AB = AC donc C appartient à la droite $\Delta$ .
Calcul des longueurs AD et BD :
$\text{AD} = |d-a| \\ \text{AD} = |6+i - (2+2i)| \\ \text{AD} = |4-i| \\ \text{AD} = \sqrt{4^2+(-1)^2} \\ \text{AD} = \sqrt{16+1} \\ \boxed{\text{AD} = \sqrt{17}}$

$\text{BD} = |d-b| \\ \text{BD} = |6+i - (5-3i)| \\ \text{BD} = |1+4i| \\ \text{BD} = \sqrt{1^2+4^2} \\ \text{BD} = \sqrt{1+16} \\ \boxed{\text{BD} = \sqrt{17}}$
On a AD = BD donc D appartient à la droite $\Delta$ .

4. Calcul de la longueur AB
$\text{AB} = |b-a| \\ \text{AB} = |5-3i - (2+2i)| \\ \text{AB} = |3-5i| \\ \text{AB} = \sqrt{3^2+(-5)^2} \\ \text{AB} = \sqrt{9+25} \\ \boxed{\text{AB} = \sqrt{34}}$
On a : $\text{AB}^2 = 34$ et $\text{AD}^2 + \text{BD}^2 = 17+17 = 34$
Donc, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABD est rectangle en D.

5. ABD est un triangle rectangle isocèle en D. Pour que ADBH soit un carré, il suffit de placer le point H tel que $\overrightarrow{\text{AH}} = \overrightarrow{\text{DB}}$ :
$\overrightarrow{\text{AH}} = \overrightarrow{\text{DB}} \\ \Longleftrightarrow \, h-a = b-d \\ \Longleftrightarrow \, h = b-d+a \\ \Longleftrightarrow \, h = 5-3i-(6+i)+2+2i \\ \Longleftrightarrow \, \boxed{h = 1-2i}$

sujet bac STI génie mécanique (A et F) génie énergétique génie civil, Polynésie Française 2008 - terminale : image 3

probleme

Partie A

1. Limite de $f$ en $+\infty$
$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0 \\\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \ln x = +\infty$
Donc : $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty} \, \, (2 - 0 - \infty)$

2. a) Limite de $f$ en $-\infty$
On a : $f(x) = 2 - \frac{1}{x} - \ln x = \frac{2x}{x} - \frac{1}{x} - \frac{x \ln x}{x} = \frac{2x-1-x\ln x}{x}$
$\displaystyle \lim_{x \to 0} x \ln x = 0 \\\displaystyle \lim_{x \to 0} 2x-1 = -1$
Donc : $\displaystyle \lim_{x \to 0} 2x-1 -x \ln x= -1$
Donc : $\displaystyle \lim_{x \to 0^+} f(x) = \displaystyle \lim_{x \to 0^+} \frac{-1}{x} = \boxed{-\infty}$

2. b) On en déduit que la courbe admet la droite d'équation $x=0$ comme asymptote verticale (axe des ordonnées).

3. a) Calcul de la dérivée
$f'(x) = \frac{1}{x^2} - \frac{1}{x} \\ f'(x) = \frac{1}{x^2} - \frac{x}{x^2} \\ \boxed{f'(x) = \frac{1-x}{x^2}}$

3. b) Etude du signe de la dérivée
$f'(x) = 0 \, \Longleftrightarrow \, 1-x=0 \, \Longleftrightarrow \, x=1 \\ f(1) = 2 - \frac{1}{1}- \ln 1 = 2 - 1 - 0 = 1$

sujet bac STI génie mécanique (A et F) génie énergétique génie civil, Polynésie Française 2008 - terminale : image 4

4. a) Démontrons que l'équation $f(x) = 0$ admet deux solutions sur $[0,1 ; 10]$
la fonction $f$ est dérivable sur $[0,1 ; 1]$ ;
la fonction $f$ est strictement croissante sur $[0,1;1]$ ;
0 est compris entre $f(0,1)\approx -5,7$ et $f(1) = 1$ ;
Donc l'équation $f(x)=0$ admet une solution unique $x_1$ sur $[0,1;1]$ .
la fonction $f$ est dérivable sur $[1;10]$ ;
la fonction $f$ est strictement décroissante sur $[1;10]$ ;
0 est compris entre $f(10) \approx -0,4$ et $f(1) = 1$ ;
Donc l'équation $f(x)=0$ admet une solution unique $x_2$ sur $[1;10]$ .

4. b) Encadrement des solutions
$\. f(0,3) \approx -0,13 < 0 \\ f(0,4) \approx 0,42 > 0 \rbrace$ donc $0,3 \le x_1 \le 0,4$
$\. f(0,31) \approx -0,05 < 0 \\ f(0,32) \approx 0,01 > 0 \rbrace$ donc $\boxed{0,31 \le x_1 \le 0,32}$
$\. f(6,3) \approx 0,0007 > 0 \\ f(6,4) \approx -0,01 < 0 \rbrace$ donc $6,3 \le x_2 \le 6,4$
$\. f(6,30) \approx 0,0007 > 0 \\ f(6,31) \approx -0,0006 < 0 \rbrace$ donc $\boxed{6,30 \le x_2 \le 6,31}$

Partie B

1. Equation de la tangente au point d'abscisse 2
On utilise la formule : $y=f'(a) (x-a) + f(a)$ avec $a=2$
$f(2) = 2 - \frac{1}{2} - \ln 2 = \frac{3}{2} - \ln 2 \\ f'(2) = \frac{1-2}{2^2} = -\frac{1}{4}$
L'équation de la droite est donc donnée par :
$y = -\frac{1}{4} (x-2) + \frac{3}{2} - \ln 2 \\ y = -\frac{1}{4} x + \frac{2}{4} + \frac{3}{2} - \ln 2 \\ \boxed{y = -\frac{1}{4} x + 2 - \ln 2}$

2. a) Calcul de la dérivée de h
$h'(x) = f'(x) - (-\frac{1}{4}) \\ h'(x) = \frac{1-x}{x^2} + \frac{1}{4} \\ h'(x) = \frac{4-4x}{4x^2} + \frac{x^2}{4x^2} \\ h'(x) = \frac{x^2-4x+4}{4x^2} \\ \boxed{h'(x) = \frac{(x-2)^2}{4x^2}}$

2. b) Etude du signe de $h'(x)$ et des variations de h
$h'(x) = 0 \, \Longleftrightarrow \, (x-2)^2 = 0 \, \Longleftrightarrow \, x = 2$

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2. c) Calcul de $h(2)$
$h(2) = f(2) - \left(-\frac{1}{4} \times 2 + 2 - \ln 2\right) \\h(2) = \frac{3}{2} - \ln 2 + \frac{1}{2} - 2 + \ln 2 \\ \boxed{h(2) = 0}$
On en déduit le signe de $h(x)$ :

sujet bac STI génie mécanique (A et F) génie énergétique génie civil, Polynésie Française 2008 - terminale : image 6

3. Position relative de la courbe $\scrC$ et de la droite tangente $\scrT$
Sur $]0;2[$ , on a $h(x) < 0$ donc la courbe $\scrC$ est en-dessous de la droite $\scrT$ .
Sur $]2;+\infty[$ , on a $h(x) > 0$ donc la courbe $\scrC$ est au-dessus de la droite $\scrT$ .

4. Voir courbe ci-dessous.

Partie C

1. Calcul de la dérivée de G
On pose : $u = x$ et $v= \ln x$
Donc : $u'= 1$ et $v = \frac{1}{x}$
$G'(x) = 1 - (u'v + uv') \\ G'(x) = 1 - \left(\ln x + x \frac{1}{x}\right) \\ G'(x) = 1 - \ln x -1 \\ \boxed{G'(x) = - \ln x}$

2. Primitive de $f$ >
$f(x) = 2 - \frac{1}{x} - \ln x \\f(x) = 2 - \frac{1}{x} + G'(x)$
Donc :
$F(x) = 2x - \ln x + G(x) \\ F(x) = 2x - \ln x + x - x \ln x \\ \boxed{F(x) = 3x - \ln x - x \ln x}$

3. a) Voir figure.

3. b) La fonction $f$ est positive sur l'intervalle [1 ; 6] donc l'aire $\scrA$ est donnée par :
$\scrA = \displaystyle \int_1^6 f(x) dx \\ \scrA = [F(x)]_1^6 \\ \scrA = F(6) - F(1) \\ \scrA = 3 \times 6 - \ln 6 - 6 \ln 6 - (3 \times 1 - \ln 1 - \ln 1) \\ \scrA = 18 - 7 \ln 6 - (3 \times 1 - 0 - 0) \\ \boxed{\scrA = 15 - 7 \ln 6 \approx 2,46}$

sujet bac STI génie mécanique (A et F) génie énergétique génie civil, Polynésie Française 2008 - terminale : image 7

Publié par tom_pascal/jamo le 08-06-2008

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