Bac Technologique - Sciences et Technologies Industrielles
Génie Mécanique (Option A : Productique Mécanique, Option F : Microtechniques)
Génie Energétique
Génie Civil
Métropole - Session Juin 2008
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Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 4
L'usage des calculatrices est autorisé pour cette épreuve.
Le candidat doit traiter les deux exercices et le problème.
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.
Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Le formulaire officiel de mathématiques et une feuille de papier millimétré sont distribués en même temps que le sujet.
5 points
exercice 1
On considère les nombres complexes Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal.
Les parties I et II sont indépendantes.
Partie I : Q.C.M.
Pour chacune des questions, une seule des réponses A, B, C ou D est exacte.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie.
On ne demande aucune justification.
NOTATION : chaque réponse juste rapporte 0,5 point ; une réponse fausse enlève 0,25 point. Une absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point.
Si le total des points est négatif, il est ramené à 0.
1. Le nombre complexe Z1 = zAzB est :
Réponse A : un nombre réel positif
Réponse B : un nombre réel négatif
Réponse C : un nombre imaginaire pur
Réponse D : l'affixe d'un point du plan complexe pris hors des axes
2. Le nombre complexe Z2 = zA6 est :
Réponse A : un nombre réel positif
Réponse B : un nombre réel négatif
Réponse C : un nombre imaginaire pur
Réponse D : l'affixe d'un point du plan complexe pris hors des axes
3. Le nombre complexe conjugué de zA est :
Réponse A :
Réponse B :
Réponse C :
Réponse D :
4. Le nombre zC peut se mettre sous la forme :
Réponse A :
Réponse B :
Réponse C :
Réponse D :
Partie II
On considère les points A, B et C d'affixes respectives zA, zB et zC.
1. Soit M un point du plan d'affixe z.
a) Interpréter géométriquement |z - zA|.
b) Quel est l'ensemble des points M du plan dont l'affixe z vérifie l'égalité : |z - zA| = |z - zB|.
c) Vérifier que le point C appartient à l'ensemble .
2. Démontrer que le triangle ABC est rectangle en C.
3. Déduire des questions 1. et 2. la nature du triangle ABC.
5 points
exercice 2
On considère la fonction définie sur l'intervalle [0 ; 2] par .
1. a) Déterminer la fonction dérivée de la fonction .
b) En utilisant la relation , montrer que, pour tout nombre réel de l'intervalle [0 ; +], .
2. Résoudre dans l'intervalle [0 ; 2], l'équation produit : .
3. a) En s'appuyant sur la représentation graphique de la fonction dérivée donnée ci-dessous, dresser le tableau de signes de sur l'intervalle [0 ; 2] ?
b) Déduire des questions 2. et 3. a) le tableau de variations de la fonction sur l'intervalle [0 ; 2]. Préciser les ordonnées des points dont l'abscisse vérifie
4. Tracer la courbe représentative de sur l'intervalle [0 ; 2] dans le repère ci-dessus (où est déjà représentée).
10 points
probleme
On considère la fonction , définie sur l'ensemble des nombres réels par .
On désigne par sa courbe représentative dans un repère orthogonal (unités : 2 cm en abscisse, 1 cm en ordonnée).
Partie A : Limites aux bornes de l'ensemble de définition
1. Montrer que la droite d'équation est asymptote à en -.
2. a) Montrer que, pour tout nombre réel , .
b) En déduire la limite de en +.
Partie B : Intersection de la courbe avec l'axe des abscisses
En utilisant la forme factorisée de donnée dans la partie A. 2. a), déterminer les abscisses des points d'intersection de la courbe avec l'axe des abscisses.
Partie C : Etude des variations de la fonction
1. a) Déterminer la dérivée de la fonction .
b) Etudier le signe de suivant les valeurs du nombre réel .
2. Montrer en détaillant vos calculs, que .
3. Déduire des questions précédentes le tableau de variations complet de la fonction .
4. A l'aide du tableau de variations et du résultat acquis à la partie B, donner le tableau de signes de la fonction sur .
5. Tracer la droite puis la courbe , pour appartenant à l'intervalle [-4 ; 2], dans le repère défini en début de problème.
Partie D : calcul d'une aire
1. Déterminer une primitive F de sur .
2. a) Déterminer l'aire de la partie du plan comprise entre la courbe , l'axe des abscisses et les droites d'équations et b) Donner une valeur approchée au mm² près de cette aire.
1.Réponse C Justification :
Or : Donc : qui est un imaginaire pur.
2.Réponse B Or : Donc : qui est un réel négatif.
3.Réponse C
4.Réponse B Calcul du module de Soit un argument de ; est tel que :
D'où : Donc :
Partie II
1. a) Le module est égal à la longueur AM.
1. b) De même, est égal à la longueur BM.
On a donc : : l'ensemble cherché est l'ensemble des points équidistants de A et de B, c'est donc la médiatrice du segment [AB].
1. c) Commençons par déterminer les formes algébriques de et Donc :
On a donc donc le point C appartient à l'ensemble .
2. Calcul de la longueur AB
D'une part : D'autre part : Donc, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en C.
3. Le point C appartient à la médiatrice de [AB] donc AB = AC donc le triangle ABC est isocèle en C.
De plus, il est rectangle en C.
Donc le triangle ABC est rectangle isocèle en C.
Voici un graphique permettant d'illustrer l'exercice (cette figure n'était pas demandée).
exercice 2
1. a) Dérivée de la fonction On utilise : ,d'où :
1. b) On a donc, en factorisant par :
2. Résolution de avec k entier relatif.
Sur , on a : ou ou avec k entier relatif.
Sur , on a : ou L'ensemble des solutions sur est donc :
3. a) Lorsque la courbe de la fonction dérivée est au-dessus de l'axe des abscisses, est positif et lorsque la courbe de la fonction dérivée est en-dessous de l'axe des abscisses, est négatif.
On obtient donc le tableau de signes de la fonction dérivée sur :
3. b) On en déduit le tableau de variations de la fonction :
4. Courbe représentative de
probleme
Partie A : limites aux bornes de l'ensemble de définition
1. Calcul de la limite en On a : et Donc : Donc la courbe admet une asymptote horizontale d'équation en .
2. a) On développe :
2. b) Calcul de la limite en On a : et Donc :
Partie B : Intersection de la courbe avec l'axe des abscisses
Résolution de :
Donc les abscisses des points d'intersection avec l'axe des abscisses sont .
Partie C : etude des variations de la fonction
1. a) Calcul de la dérivée, en utilisant :
1. b) On factorise l'expression de la dérivée par :
Une exponentielle étant toujours strictement positive, on a :
De même : On obtient le tableau de signe suivant pour la dérivée :
2. Calcul de
3. On en déduit le tableau de variations suivant :
4. On en déduit le tableau de signes suivant pour la fonction :
5. Représentation graphique
Partie D : calcul d'une aire
1. Soit F une primitive de :
2. a) Soit I l'intégrale de la fonction sur l'intervalle :
On a montré dans la partie précédente que la fonction est négative sur l'intervalle , donc l'aire est donnée en unités d'aires par :
2. b) L'unité d'aire est donnée par : donc :
Publié par cel/jamo
le
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