Fiche de mathématiques

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Bac Technologique - Sciences et Technologies Industrielles
Génie Mécanique (Option A : Productique Mécanique, Option F : Microtechniques)
Génie Energétique
Génie Civil
Métropole - Session Juin 2008

Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 4

L'usage des calculatrices est autorisé pour cette épreuve.
Le candidat doit traiter les deux exercices et le problème.
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.
Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Le formulaire officiel de mathématiques et une feuille de papier millimétré sont distribués en même temps que le sujet.

5 points

exercice 1

On considère les nombres complexes $z_{\text{A}} = 4e^{\text{i}\frac{\pi}{6}} \, , \, z_{\text{B}} = 4e^{-\text{i}\frac{2\pi}{3}} \text{ et } z_{\text{C}} = -2 + 2\text{i}.$
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal.
Les parties I et II sont indépendantes.

Partie I : Q.C.M.

Pour chacune des questions, une seule des réponses A, B, C ou D est exacte.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie.
On ne demande aucune justification.

NOTATION : chaque réponse juste rapporte 0,5 point ; une réponse fausse enlève 0,25 point. Une absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point.
Si le total des points est négatif, il est ramené à 0.

1. Le nombre complexe Z₁ = z_A z_B est :

Réponse A : un nombre réel positif	Réponse B : un nombre réel négatif
Réponse C : un nombre imaginaire pur	Réponse D : l'affixe d'un point du plan complexe pris hors des axes

2. Le nombre complexe Z₂ = z_A⁶ est :

Réponse A : un nombre réel positif	Réponse B : un nombre réel négatif
Réponse C : un nombre imaginaire pur	Réponse D : l'affixe d'un point du plan complexe pris hors des axes

3. Le nombre complexe conjugué de z_A est :

Réponse A : $-4e^{\text{i}\frac{\pi}{6}}$	Réponse B : $4e^{\text{i}\frac{7\pi}{6}}$
Réponse C : $4e^{-\text{i} \frac{\pi}{6}}$	Réponse D : $\frac{1}{4} e^{-\text{i}\frac{\pi}{6}}$

4. Le nombre z_C peut se mettre sous la forme :

Réponse A : $2\sqrt{2}e^{-\text{i}\frac{\pi}{4}}$	Réponse B : $2\sqrt{2}e^{\text{i}\frac{3\pi}{4}}$
Réponse C : $2\sqrt{2}e^{\text{i} \frac{5\pi}{4}}$	Réponse D : $4 e^{\text{i}\frac{3\pi}{4}}$

Partie II

On considère les points A, B et C d'affixes respectives z_A, z_B et z_C.

1. Soit M un point du plan d'affixe z.
    a) Interpréter géométriquement |z - z_A|.
    b) Quel est l'ensemble $\mathscr{D}$ des points M du plan dont l'affixe z vérifie l'égalité : |z - z_A| = |z - z_B|.
    c) Vérifier que le point C appartient à l'ensemble $\mathscr{D}$ .

2. Démontrer que le triangle ABC est rectangle en C.

3. Déduire des questions 1. et 2. la nature du triangle ABC.

5 points

exercice 2

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0 ; 2 $\pi$ ] par $f(x) = \cos(x) + \displaystyle \frac{1}{2} \cos(2x) + 1$ .

1. a) Déterminer la fonction dérivée $f'$ de la fonction $f$ .
b) En utilisant la relation $\sin(2a) = 2 \sin a \cos a$ , montrer que, pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle [0 ; + $\pi$ ], $f'(x) = -\sin(x)[1 + 2\cos(x)]$ .

2. Résoudre dans l'intervalle [0 ; 2 $\pi$ ], l'équation produit : $\sin(x)[1 + 2\cos(x)] = 0$ .

3. a) En s'appuyant sur la représentation graphique de la fonction dérivée $f'$ donnée ci-dessous, dresser le tableau de signes de $f'(x)$ sur l'intervalle [0 ; 2 $\pi$ ] ?

sujet bac STI génie mécanique (A et F) génie énergétique génie civil, 2008 - terminale : image 1

b) Déduire des questions 2. et 3. a) le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle [0 ; 2 $\pi$ ]. Préciser les ordonnées des points dont l'abscisse $x$ vérifie $f'(x) = 0$

4. Tracer la courbe représentative de $f$ sur l'intervalle [0 ; 2 $\pi$ ] dans le repère ci-dessus (où $f'$ est déjà représentée).

10 points

probleme

On considère la fonction $f$ , définie sur l'ensemble $\mathbb{R}$ des nombres réels par $f(x) = e^{2x} - 5e^x + 4$ .
On désigne par $\mathscr{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal $(O \, ; \, \overrightarrow{i} \, , \, \overrightarrow{j})$ (unités : 2 cm en abscisse, 1 cm en ordonnée).

Partie A : Limites aux bornes de l'ensemble de définition

1. Montrer que la droite $\mathscr{D}$ d'équation $y = 4$ est asymptote à $\mathscr{C}$ en - $\infty$ .

2. a) Montrer que, pour tout nombre réel $x$ , $f(x) = (e^x - 1)(e^x - 4)$ .
b) En déduire la limite de $f$ en + $\infty$ .

Partie B : Intersection de la courbe $\mathcal{C}$ avec l'axe des abscisses

En utilisant la forme factorisée de $f(x)$ donnée dans la partie A. 2. a), déterminer les abscisses des points d'intersection de la courbe $\mathscr{C}$ avec l'axe des abscisses.

Partie C : Etude des variations de la fonction $f$

1. a) Déterminer la dérivée $f'$ de la fonction $f$ .
b) Etudier le signe de $f'(x)$ suivant les valeurs du nombre réel $x$ .

2. Montrer en détaillant vos calculs, que $f\left(\ln \displaystyle \frac{5}{2}\right) = - \displaystyle \frac{9}{4}$ .

3. Déduire des questions précédentes le tableau de variations complet de la fonction $f$ .

4. A l'aide du tableau de variations et du résultat acquis à la partie B, donner le tableau de signes de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$ .

5. Tracer la droite $\mathscr{D}$ puis la courbe $\mathscr{C}$ , pour $x$ appartenant à l'intervalle [-4 ; 2], dans le repère défini en début de problème.

Partie D : calcul d'une aire

1. Déterminer une primitive F de $f$ sur $\mathbb{R}$ .

2. a) Déterminer l'aire de la partie du plan comprise entre la courbe $\mathscr{C}$ , l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 0$ et $x = \ln 4.$
b) Donner une valeur approchée au mm² près de cette aire.

Voir la correction

exercice 1

Partie I : Q.C.M.

1. Réponse C
Justification :
$Z_1 = z_{\text{A}} z_{\text{B}} \\ Z_1 = 4 e^{i \frac{\pi}{6}} 4 e^{-i \frac{2 \pi}{3}}\\ Z_1 = 4 \times 4 e^{i\left( \frac{\pi}{6} - \frac{2 \pi}{3} \right)} \\ Z_1 = 16 e^{i\left( \frac{\pi}{6} - \frac{4 \pi}{6} \right)} \\ Z_1 = 16 e^{-i \frac{3\pi}{6}} \\Z_1 = 16 e^{-i \frac{\pi}{2}}$
Or : $e^{-i \frac{\pi}{2}} = \cos\left( - \displaystyle \frac{\pi}{2} \right) + i \sin\left( - \displaystyle \frac{\pi}{2} \right) = 0 + i \times (-1) = -i$
Donc : $Z_1 = -16i$ qui est un imaginaire pur.

2. Réponse B
$Z_2 = z_{\text{A}}^6 \\ Z_2 = \left(4 e^{i \frac{\pi}{6}} \right)^6 \\ Z_2 = 4^6 e^{i \frac{6\pi}{6}} \\ Z_2 = 4096 e^{i \pi}$
Or : $e^{i \pi} = \cos( \pi ) + i \sin( \pi) = -1 + i \times 0 = -1$
Donc : $Z_2 = -4096$ qui est un réel négatif.

3. Réponse C
$\bar{z_{\text{A}}} = \bar{4 e^{i \frac{\pi}{6}}} = 4 \bar{e^{i \frac{\pi}{6}}} = 4 e^{-i \frac{\pi}{6}}$

4. Réponse B
Calcul du module de $z_{\text{C}}$
$|z_{\text{C}}| = |-2+2i| = \sqrt{(-2)^2 + 2^2} = \sqrt{8} = \sqrt{2 \times 4} = 2 \sqrt{2}$
Soit $\theta_{\text{C}}$ un argument de $z_{\text{C}}$ ; $\theta_{\text{C}}$ est tel que :
$\left \lbrace \begin{array}{l} \cos (\theta_{\text{C}}) = \displaystyle \frac{Re(z_{\text{C}})}{|z_{\text{C}}|} = \displaystyle \frac{-2}{2\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \\ \sin (\theta_{\text{C}}) = \displaystyle \frac{Im(z_{\text{C}})}{|z_{\text{C}}|} = \displaystyle \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \end{array} \right.$
D'où : $\theta_{\text{C}} = \displaystyle \frac{3\pi}{4}$
Donc : $z_{\text{C}} = |z_{\text{C}}| e^{i \theta_{\text{C}}} = 2\sqrt{2} e^{i \frac{3 \pi}{4}}$

Partie II

1. a) Le module $|z - z_{\text{A}}|$ est égal à la longueur AM.

1. b) De même, $|z-z_{\text{B}}|$ est égal à la longueur BM.
On a donc : $|z - z_{\text{A}}| = |z-z_{\text{B}}| \, \Longleftrightarrow \, \text{AM} = \text{BM}$ : l'ensemble $\scrD$ cherché est l'ensemble des points équidistants de A et de B, c'est donc la médiatrice du segment [AB].

1. c) Commençons par déterminer les formes algébriques de $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{B}}$
$z_{\text{A}} = 4e^{i \frac{\pi}{6}} \\ z_{\text{A}} = 4 \left( \cos\left( \displaystyle \frac{\pi}{6} \right) + i \sin\left( \displaystyle \frac{\pi}{6} \right) \right) \\ z_{\text{A}} = 4\left( \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} + i \displaystyle \frac{1}{2} \right) \\ z_{\text{A}} = 2\sqrt{3} + 2i$
$z_{\text{B}} = 4e^{-i \frac{2\pi}{3}} \\ z_{\text{B}} = 4 \left( \cos\left( - \displaystyle \frac{2\pi}{3} \right) + i \sin\left( - \displaystyle \frac{2\pi}{3} \right) \right) \\ z_{\text{B}} = 4\left( - \displaystyle \frac{1}{2} - \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} i \right) \\ z_{\text{B}} = -2 - 2\sqrt{3}i$
Donc :
$|z_{\text{C}} - z_{\text{A}}| = |-2 + 2i - (2\sqrt{3} + 2i) | \\ |z_{\text{C}} - z_{\text{A}}| = |-2 + 2i - 2\sqrt{3} - 2i | \\ |z_{\text{C}} - z_{\text{A}}| = |-2 - 2\sqrt{3} | \\ \boxed{|z_{\text{C}} - z_{\text{A}}| = 2 + 2\sqrt{3}}$
$|z_{\text{C}} - z_{\text{B}}| = |-2 + 2i - (-2 - 2\sqrt{3}i) | \\ |z_{\text{C}} - z_{\text{B}}| = |-2 + 2i +2 + 2\sqrt{3}i | \\ |z_{\text{C}} - z_{\text{B}}| = |(2+ 2\sqrt{3})i | \\ \boxed{|z_{\text{C}} - z_{\text{B}}| = 2 + 2\sqrt{3}}$
On a donc $|z_{\text{C}} - z_{\text{A}}| = |z_{\text{C}} - z_{\text{B}}|$ donc le point C appartient à l'ensemble $\scrD$ .

2. Calcul de la longueur AB
$\text{AB} = |z_{\text{B}} - z_{\text{A}}| \\ \text{AB} = |-2 - 2\sqrt{3}i - (2\sqrt{3} + 2i) | \\ \text{AB} = |-2 - 2\sqrt{3}i - 2\sqrt{3} - 2i) | \\ \text{AB} = |-2 - 2\sqrt{3} + (-2\sqrt{3}-2)i | \\ \text{AB} = |(-2 - 2\sqrt{3})(1+i) | \\ \text{AB} = (2 + 2\sqrt{3})|1+i| \\ \text{AB} = (2 + 2\sqrt{3})\sqrt{1^2+1^2} \\ \boxed{\text{AB} = (2 + 2\sqrt{3})\sqrt{2}}$
D'une part : $\text{AB}^2 = \left( (2 + 2\sqrt{3})\sqrt{2} \right)^2 = 2(2 + 2\sqrt{3})^2$
D'autre part : $\text{AC}^2 + \text{BC}^2 = (2 + 2\sqrt{3})^2 + (2 + 2\sqrt{3})^2 = 2(2 + 2\sqrt{3})^2$
Donc, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en C.

3. Le point C appartient à la médiatrice de [AB] donc AB = AC donc le triangle ABC est isocèle en C.
De plus, il est rectangle en C.
Donc le triangle ABC est rectangle isocèle en C.
Voici un graphique permettant d'illustrer l'exercice (cette figure n'était pas demandée).

sujet bac STI génie mécanique (A et F) génie énergétique génie civil, 2008 - terminale : image 2

exercice 2

1. a) Dérivée de la fonction $f$
On utilise : $\left( \cos u \right)' = -u' \sin u$ ,d'où :
$\boxed{f'(x) = -\sin(x) - \sin(2x)}$

1. b) On a donc, en factorisant par $-\sin(x)$ :
$f'(x) = -\sin(x) - \sin(2x) \\ f'(x) = -\sin(x) - 2 \cos(x) \sin(x) \\ \boxed{f'(x) = -\sin(x)[1 + 2 \cos(x) ]}$

2. Résolution de $\sin(x) [1 + 2 \cos(x) ] = 0$
$\sin(x) [1 + 2 \cos(x) ] = 0 \, \Longleftrightarrow \, \sin(x) = 0 \, \text{ ou } \, 1 + 2 \cos(x) = 0$
$\sin(x) = 0 \, \Longleftrightarrow \, x = k \pi$ avec k entier relatif.
Sur $[0 ; 2\pi]$ , on a : $x=0$ ou $x=\pi$ ou $x=2\pi$
$1 + 2 \cos(x) = 0 \, \Longleftrightarrow \, \cos(x) = - \displaystyle \frac{1}{2} \, \Longleftrightarrow \, x = \displaystyle \frac{2\pi}{3} +2k\pi \, \text{ ou } \, x = -\displaystyle \frac{2\pi}{3} + 2k\pi$ avec k entier relatif.
Sur $[0 ; 2\pi]$ , on a : $x = \displaystyle \frac{2\pi}{3}$ ou $x=- \displaystyle \frac{2\pi}{3}+ 2\pi = \frac{4 \pi}{3}$
L'ensemble des solutions sur $[0 ; 2\pi]$ est donc : $\boxed{S = \left \lbrace 0 ; \displaystyle \frac{2\pi}{3} ; \pi ; \displaystyle \frac{4\pi}{3} ; 2\pi \right \rbrace }$

3. a) Lorsque la courbe de la fonction dérivée $f'$ est au-dessus de l'axe des abscisses, $f'(x)$ est positif et lorsque la courbe de la fonction dérivée $f'$ est en-dessous de l'axe des abscisses, $f'(x)$ est négatif.
On obtient donc le tableau de signes de la fonction dérivée sur $[0;2\pi]$ :

sujet bac STI génie mécanique (A et F) génie énergétique génie civil, 2008 - terminale : image 3

3. b) On en déduit le tableau de variations de la fonction $f$ :

sujet bac STI génie mécanique (A et F) génie énergétique génie civil, 2008 - terminale : image 4

$f(0) = \cos(0) +\frac{1}{2} \cos (0) + 1 = 1 + \displaystyle \frac{1}{2} + 1 = 2,5$
$f\left( \displaystyle \frac{2\pi}{3} \right) = \cos \left( \displaystyle \frac{2\pi}{3} \right) + \displaystyle \frac{1}{2} \cos \left( \displaystyle \frac{4\pi}{3} \right) + 1 = -\displaystyle \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \times \left( - \displaystyle\frac{1}{2} \right) + 1 = 0,25$
$f(\pi) = \cos(\pi) + \displaystyle \frac{1}{2} \cos (2\pi) + 1 = -1 + \displaystyle \frac{1}{2} + 1 = 0,5$
$f\left( \displaystyle \frac{4\pi}{3} \right) = \cos \left( \displaystyle \frac{4\pi}{3} \right) + \displaystyle \frac{1}{2} \cos \left( \displaystyle \frac{8\pi}{3} \right) + 1 = -\displaystyle \frac{1}{2} + \displaystyle \frac{1}{2} \times \left( - \displaystyle\frac{1}{2} \right) + 1 = 0,25$
$f(2\pi) = \cos(2\pi) + \displaystyle \frac{1}{2} \cos (4\pi) + 1 = 1 + \displaystyle \frac{1}{2} + 1 = 2,5$

4. Courbe représentative de $f$

sujet bac STI génie mécanique (A et F) génie énergétique génie civil, 2008 - terminale : image 5

probleme

Partie A : limites aux bornes de l'ensemble de définition

1. Calcul de la limite en $-\infty$
On a : $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \, e^{2x} = 0$ et $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \, e^{x} = 0$
Donc : $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \, f(x) = 4}$
Donc la courbe $C$ admet une asymptote horizontale d'équation $y=4$ en $-\infty$ .

2. a) On développe : $(e^x-1)(e^x-4) = e^x e^x -4 e^x -e^x + 4 = e^{2x} - 5 e^x + 4 = f(x)$

2. b) Calcul de la limite en $+\infty$
On a : $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \, e^{x} -1 = +\infty$ et $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \, e^{x} -4 = +\infty$
Donc : $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \, f(x) = +\infty}$

Partie B : Intersection de la courbe $C$ avec l'axe des abscisses

Résolution de $f(x) = 0$ :
$f(x) = 0 \\ \Longleftrightarrow \, (e^x-1)(e^x-4) = 0 \\ \Longleftrightarrow \, e^x-1 = 0 \, \text{ ou } \, e^x-4= 0 \\ \Longleftrightarrow \, e^x = 1 \, \text{ ou } \, e^x=4 \\ \Longleftrightarrow \, x = \ln 1 = 0 \, \text{ ou } \, x=\ln 4$
Donc les abscisses des points d'intersection avec l'axe des abscisses sont $\boxed{0 \text{ et } \ln 4}$ .

Partie C : etude des variations de la fonction $f$

1. a) Calcul de la dérivée, en utilisant $\left( e^u \right)' = u' e^u$ :
$\boxed{f'(x) = 2 e^{2x} - 5 e^x}$

1. b) On factorise l'expression de la dérivée par $e^x$ :
$f'(x) = e^x (2e^x - 5)$
Une exponentielle étant toujours strictement positive, on a :
$f'(x) = 0 \, \Longleftrightarrow \, 2e^x - 5 = 0 \, \Longleftrightarrow \, e^x = \frac{5}{2} \, \Longleftrightarrow \, \boxed{x = \ln \left( \frac{5}{2} \right) }$
De même : $f'(x) > 0 \, \Longleftrightarrow \, 2e^x - 5 > 0 \, \Longleftrightarrow \, e^x > \frac{5}{2} \, \Longleftrightarrow \, \boxed{x > \ln \left( \frac{5}{2} \right) }$
On obtient le tableau de signe suivant pour la dérivée :

sujet bac STI génie mécanique (A et F) génie énergétique génie civil, 2008 - terminale : image 6

2. Calcul de $f\left( \ln \displaystyle \frac{5}{2} \right)$
$f\left( \ln \displaystyle \frac{5}{2} \right) = e^{2 \ln \frac{5}{2}} - 5 e^{\ln \frac{5}{2}} + 4 \\ f\left( \ln \displaystyle \frac{5}{2} \right) = e^{\ln \left( \frac{5}{2}\right)^2} - 5 \times \displaystyle \frac{5}{2} + 4 \\ f\left( \ln \frac{5}{2} \right) = e^{\ln \frac{25}{4}} - \displaystyle \frac{25}{2} + 4 \\ f\left( \ln \displaystyle \frac{5}{2} \right) = \displaystyle \frac{25}{4} - \frac{25}{2} + 4 \\ f\left( \ln \displaystyle \frac{5}{2} \right) = \displaystyle \frac{25}{4} - \frac{50}{4} + \frac{16}{4} \\ \boxed{f\left( \displaystyle \ln \frac{5}{2} \right) = - \displaystyle\frac{9}{4}}$

3. On en déduit le tableau de variations suivant :

sujet bac STI génie mécanique (A et F) génie énergétique génie civil, 2008 - terminale : image 7

4. On en déduit le tableau de signes suivant pour la fonction :

sujet bac STI génie mécanique (A et F) génie énergétique génie civil, 2008 - terminale : image 8

5. Représentation graphique

sujet bac STI génie mécanique (A et F) génie énergétique génie civil, 2008 - terminale : image 9

Partie D : calcul d'une aire

1. Soit F une primitive de $f$ :
$\boxed{F(x) = \displaystyle \frac{e^{2x}}{2} - 5 e^x + 4x}$

2. a) Soit I l'intégrale de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0 ; \ln 4]$ :
$\displaystyle I = \int_0^{\ln 4} f(x) dx \\ I = \left[ F(x) \right]_0^{\ln 4} \\ I = F(\ln 4) - F(0) \\ I = \left( \frac{e^{2 \ln 4}}{2} - 5 e^{\ln 4} + 4 \ln 4 \right) - \left( \frac{e^0}{2} - 5 e^0 + 4 \times 0 \right) \\ I = \frac{e^{\ln 4^2}}{2} - 5 \times 4 + 4 \ln 4 - \frac{1}{2} + 5 \\ I = \frac{e^{\ln 16}}{2} - 20 + 4 \ln 4 - \frac{1}{2} + 5 \\ I = \frac{16}{2} - 20 + 4 \ln 4 - \frac{1}{2} + 5 \\ I = 8 - 20 + 4 \ln 4 - \frac{1}{2} + 5 \\ \boxed{I = 4 \ln 4 - 7,5}$
On a montré dans la partie précédente que la fonction $f$ est négative sur l'intervalle $[0 ; \ln 4]$ , donc l'aire est donnée en unités d'aires par :
$\scr{A} = -I \\ \boxed{\scr{A} = 7,5 - 4 \ln 4 \, U.A.}$

2. b) L'unité d'aire est donnée par : $1 \, U.A. = 2 \times 1 = 2 \, cm^2$ donc :
$\scr{A} = 2(7,5 - 4 \ln 4) \\ \boxed{\scr{A} = 15 - 8 \ln 4 \approx 3,91 \, cm^2}$

Publié par cel/jamo le 17-02-2009

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