Fiche de mathématiques
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Bac Technologique - Sciences et Technologies Industrielles
Génie Mécanique (Option A : Productique Mécanique, Option F : Microtechniques)
Génie Energétique
Génie Civil
Métropole - Session Septembre 2008

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Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 4

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
Du papier millimétré est mis à la disposition des candidats.
Le candidat doit traiter les deux exercices et le problème.
6 points

exercice 1

1. Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation :      Z^2 + 2Z+4 = 0.
Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal (O ; \vec{u},\vec{v}) (unité graphique : 2 cm).
La figure sera complétée au fur et à mesure que l'énoncé le demandera.
Soit les points A, B et C d'affixes respectives :     Z_{\text{A}} =- 1 + \text{i}\sqrt{3}, \quad  Z_{\text{B}} = \overline{Z_{\text{A}}}~~ \text{et}~~Z_{\text{C}} =2.
On rappelle que \overline{Z_{\text{A}}} représente le nombre complexe conjugué de Z_{\text{A}}.

2. a) Calculer le module et un argument du nombre complexe Z_{\text{A}}.
    b) En déduire le module et un argument du nombre complexe Z_{\text{B}}.
    c) Placer les points A, B et C sur la figure.
    d) Démontrer que le triangle ABC est un triangle équilatéral.

3. Soit D le point d'affixe Z_{\text{D}} définie par : Z_{\text{D}} = \text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{3}}Z_{\text{B}}.
    a) Déterminer l'écriture algébrique de Z_{\text{D}}.
    b) Placer le point D sur la figure.
    c) Quelle est la nature du quadrilatère BDAO ? Justifier votre réponse.


5 points

exercice 2

Dans une usine, deux chaînes de montage A et B fabriquent les mêmes types d'objets. La chaîne A en fabrique trois fois plus que la chaîne B. 7 % de la production de la chaîne A est défectueuse contre 2 % pour la chaîne B.

Partie I

1. On considère une production de 1 200 objets.
Reproduire et compléter le tableau suivant :
chaîne Achaîne Btotal
nombre d'objets défectueux63  
nombre d'objets non défectueux   
total  1 200

2. On prélève au hasard un objet dans la production de l'usine et on admet que les tirages sont équiprobables.
    a) Déterminer la probabilité que l'objet prélevé soit à la fois défectueux et produit par la chaîne A.
    b) Déterminer la probabilité que l'objet prélevé ne soit pas défectueux.

Partie II

Un objet défectueux peut présenter 1, 2 ou 3 défauts.
Soit X la variable aléatoire qui, à un objet prélevé au hasard dans la production, associe le nombre de défauts.
La loi de probabilité de X est donnée par le tableau suivant :
x0123
P(X =  x)0,94250,0318...0,006

1. Reproduire sur la copie puis compléter le tableau précédent.

2. Le prix de vente d'un objet dépend du nombre de défauts qu'il présente :
nombre de défauts0123
prix de vente en euro5615101
Soit Y la variable aléatoire qui, à un objet prélevé au hasard dans la production, fait correspondre son prix de vente.
    a) Déterminer la loi de probabilité de Y.
    b) Calculer l'espérance mathématique de Y. Interpréter le résultat obtenu.


9 points

probleme

Étude de l'énergie fournie par le rayonnement solaire

Le but de ce problème est d'étudier le rayonnement solaire en un point de la surface de la Terre dont la latitude est 45° N et l'altitude 900 m.
Dans les questions 1., 2. et 3., on étudie le rayonnement solaire un 21 mars ensoleillé sur un plan perpendiculaire au rayonnement solaire d'une surface de 1 m2.

1. On suppose d'abord que le rayonnement solaire exprimé en W/m2 est donné en fonction de l'inclinaison \theta du soleil (\theta étant exprimé en degrés) par
\displaystyle p(\theta)= 1230 \text{e}^{\frac{-1}{3,8\sin (\theta + 1,6)}}.
On attire l'attention du candidat quant à l'utilisation de la calculatrice pour ces calculs : dans la formule ci-dessus le sinus porte sur un angle exprimé en degrés.
Compléter le duplicata du tableau 1 ci-dessous, fourni en annexe (à joindre à la copie).
heure solaire6 h7 h8 h9 h10 h11 h12 h13 h14 h15 h16 h17 h18 h
inclinaison \theta du soleil (en °)010,520,73037,743454337,73020,710,50
rayonnement solaire p(\theta) (en W/m2) 350 744  856      
Tableau 1


2. On veut maintenant modéliser l'évolution du rayonnement solaire en fonction de l'heure.
On définit la variable t comme étant le temps écoulé depuis le lever du soleil, qui se produit à 6 heures. Pour des raisons de symétrie entre le matin et l'après-midi, on se limitera à faire varier t dans l'intervalle [0 ; 6], ce qui correspond à des heures solaires variant entre 6 h et 12 h.
On admet que le rayonnement solaire (en W/m2) peut être exprimé en fonction de t par :
\displaystyle f(t) = 856\left(1 - \text{e}^{-0,6t}\right).

    a) Compléter le duplicata du tableau 2 ci-dessous, fourni en annexe (à joindre à la copie).
heure solaire6 h7 h8 h9 h10 h11 h12 h
temps t (en heures)0123456
rayonnement solaire f(t) (en W/m2)   715  833
Tableau 2
    b) On désigne par f' la dérivée de la fonction f.
Calculer f'(t) et étudier son signe sur l'intervalle [0 ; 6].
    c) En déduire le tableau de variations de la fonction f.
    d) Tracer la courbe représentative \mathcal{C} de la fonction f dans un repère orthogonal (2 cm pour une unité en abscisse et 1 cm pour 100 unités en ordonnée).
    e) Donner une équation de la tangente \mathcal{T} à la courbe \mathcal{C} au point d'abscisse 0. Tracer \mathcal{T} dans le même repère que \mathcal{C}.
    f) Les dernières lignes des tableaux 1 et 2 vous paraissent-elles cohérentes ?

3. La quantité d'énergie solaire E, exprimée en Wh, reçue au cours de la journée, est donnée par :
\displaystyle \text{E} = 2\int_{0}^6 f(t)\:\text{d}t = \nombre{1712}\int_{0}^6 \left(1 - \text{e}^{-0,6t}\right)\:\text{d}t.
Calculer la valeur exacte de E puis fournir la valeur arrondie à l'unité.

4. On s'intéresse maintenant à l'énergie solaire reçue sur une année.
Un logiciel de météorologie fournit une énergie solaire annuelle égale à 1 206 kWh, toujours pour une surface de 1 m2.
    a) Vérifier que cette valeur correspond environ à 161 journées telles que celle étudiée aux questions 1., 2. et 3..
    b) On suppose qu'un dispositif de production d'énergie électrique reçoit l'énergie solaire sur une surface de 1 km2 et qu'il convertit 20 % de cette énergie en électricité.
Combien d'habitants auraient leur consommation électrique domestique fournie par ce dispositif, sachant qu'un habitant consomme en moyenne 700 kWh/an d'énergie électrique domestique (hors chauffage) ?


ANNEXE RELATIVE AU PROBLÈME

(à rendre avec la copie)

heure solaire6 h7 h8 h9 h10 h11 h12 h13 h14 h15 h16 h17 h18 h
inclinaison \theta du soleil (en °)010,520,73037,743454337,73020,710,50
rayonnement solaire p(\theta) (en W/m2) 350 744  856      
Tableau 1


heure solaire6 h7 h8 h9 h10 h11 h12 h
temps t (en heures)0123456
rayonnement solaire f(t) (en W/m2)   715  833
Tableau 2
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