Fiche de mathématiques
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Bac Technologique - Sciences et Technologies Industrielles
Génie Mécanique (Option A : Productique Mécanique, Option F : Microtechniques)
Génie Energétique
Génie Civil
Nouvelle - Calédonie - Session Novembre 2008

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Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 4

Un formulaire de mathématiques est distribué en même temps que le sujet.
Des feuilles de papier millimétré seront mises à la disposition des candidats.
5 points

exercice 1

Le plan complexe est rapporté un repère orthonormal direct (O ; \vec{u},\vec{v}). L'unité graphique est 2 cm.
On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument \dfrac{\pi}{2}.
On note P le polynôme défini pour tout nombre complexe z par :     P(z) = 4z^4 - 7z^3  + 11z^2 + 10z -12.

1. Résolution de l'équation P(z) = 0.
    a) Déterminer les deux nombres réels \alpha et \beta tels que pour tout nombre complexe z :
P(z) =  \left(z^2 - 2z + 4\right)\left(4z^2 + \alpha z + \beta \right).

    b) Résoudre dans l'ensemble \mathbb{C} des nombres complexes l'équation P(z) = 0.

2. On considère les points A, B, C, D d'affixes respectives :
a = -1,b = 1+\text{i}\sqrt{3},c = 1-\text{i}\sqrt{3},d = \dfrac{3}{4}.
    a) Déterminer le module et un argument de chacun des nombres complexes b et c.
    b) Placer les points A, B, C et D dans le repère (O ; \vec{u},\vec{v}).
    c) Démontrer que les points A, B et C sont situés sur un cercle \mathcal{C} de centre D dont on précisera le rayon r. Construire ce cercle.
    d) Déterminer les affixes e et f des deux points E et F situés sur \mathcal{C} et tels que les triangles ABE et ABF soient rectangles, respectivement en B et en A. Placer les points E et F sur le cercle \mathcal{C}.


4 points

exercice 2

À l'instant t =  0, une bille est lâchée à la surface d'une colonne de liquide.
On note v(t) la vitesse instantanée de cette bille, exprimée en m.s-1, à un instant t donné.
On admet que la fonction v est définie et dérivable sur l'intervalle [0 ; +\infty[ et qu'elle est solution de l'équation différentielle
(\text{E})~~:\quad  y' + 140y =  5,88.

1. Résoudre l'équation différentielle (H) : \quad  z' + 140z = 0, où z désigne une fonction inconnue de la variable t, dérivable sur l'intervalle [0 ; +\infty[.

2. On pose, pour tout nombre réel t appartenant à l'intervalle [0 ; +\infty[, y(t) =  z(t) + 0,042, où la fonction z est une solution de l'équation différentielle (H).
    a) Démontrer que la fonction y est une solution de l'équation différentielle (E).
    b) Parmi les fonctions y précédentes, démontrer que celle, notée v, qui s'annule pour t = 0, est définie par : v(t) = 0,042\left(1 - \text{e}^{- 140t}\right).

3. Deux utilisations de l'expression trouvée de v(t).
    a) Démontrer, en étudiant la limite de v(t) lorsque t tend vers + \infty, que la vitesse de la bille admet une valeur limite notée \ell dont on donnera la valeur numérique.
    b) À quel instant t la bille atteint-elle 95 % de sa vitesse limite ?


11 points

probleme

Le plan \mathcal{P} est rapporté au repère orthonormal (O ; \vec{i},\vec{j}). (L'unité graphique est 4 cm.)
Le but du problème est l'étude de la fonction f définie sur l'intervalle [0 ; +\infty[ par :
 f(x) = \dfrac{\text{e}^x +1}{\text{e}^x + x}.
On note \mathcal{C} la courbe représentative de la fonction f dans le plan \mathcal{P}.

I - Étude d'une fonction auxiliaire

On note g la fonction définie sur l'intervalle [0 ; +\infty[ par :
g(x) = \text{e}^x(x - 2) - 1.

1. Déterminer la limite de la fonction g en +\infty.

2. Étude des variations de g
    a) Calculer la fonction dérivée g' de la fonction g et étudier son signe sur l'intervalle [0 ; +\infty[.
    b) Dresser le tableau de variations de la fonction g sur l'intervalle [0 ; +\infty[.

3. Résolution de l'équation g(x) = 0
    a) Démontrer que l'équation g(x) =  0 possède une unique solution, notée \alpha, appartenant à l'intervalle [1 ; 3].
    b) Donner un encadrement de \alpha d'amplitude 10-1.

4. Déterminer le signe de g(x) pour x appartenant à l'intervalle [0 ; +\infty[.

II - Étude de la fonction f

1. Étude de la limite en + \infty.
    a) Démontrer que pour tout nombre réel x appartenant à l'intervalle [0 ; +\infty[,
\displaystyle f(x) = \dfrac{1+ \text{e}^{-x}}{1 + x\text{e}^{-x}}.
    b) En déduire la limite de f en +\infty et interpréter graphiquement cette limite.

2. Étudier la position relative de la courbe \mathcal{C} et de la droite \mathcal{D} d'équation y = 1 sur l'intervalle [0 ; +\infty[.

3. Étude des variations de f
    a) On note f' la fonction dérivée de la fonction f. Démontrer que, pour tout réel x appartenant à l'intervalle [0 ; +\infty[, f'(x) = \dfrac{g(x)}{\left(\text{e}^x + x \right)^2}g est la fonction définie en 1.
    b) Déduire de la question I. 4., le sens de variations de f sur l'intervalle [0 ; +\infty[.

4. Construire la courbe \mathcal{C} et la droite \mathcal{D} dans le repère (O ; \vec{i},\vec{j}).

III - Calcul d'aire

On note \mathcal{B} l'aire, exprimée en cm2 du domaine limitée par la courbe \mathcal{C}, la droite \mathcal{D}, l'axe des ordonnées et la droite d'équation x = 1.

1. Hachurer sur le graphique le domaine \mathcal{B}.

2. Déterminer une primitive F de la fonction f sur l'intervalle [0 ; +\infty[.

3. En déduire la valeur exacte de \mathcal{B}, puis une valeur approchée arrondie au mm2.





EXERCICE 1

P\left(z \right)=4z^4-7z^3+11z^2+10z-12


1-a.

\text{Pour tout }z\text{ de }\textbf{ C }\;,\left(z^2-2z+4 \right)\left(4z^2+\alpha z+\beta \right)=4z^4-7z^3+11z^2+10z-12 \\\\\Leftrightarrow 4z^4+z^3\left(\alpha-8 \right)+z^2\left(-2\alpha+\beta+16\right)+z\left(4\alpha-2\beta \right) +4\beta=4z^4-7z^3+11z^2+10z-12

En identifiant :

\left\lbrace\begin{array}l \alpha-8=-7 \\ -2\alpha+\beta+16=11  \\ 4\alpha-2\beta=10 \\ 4\beta=-12 \end{array}\Longleftrightarrow  \left\lbrace\begin{array}l \alpha=1 \\ \beta=-3   \end{array}

Remarque : les valeurs trouvées pour \alpha\text{ et }\beta sont réelles donc conviennent.

\boxed{\textcolor{blue}{\alpha=1 \text{ et } \beta=-3}}}


b. P(z)=0\Longleftrightarrow \left(z^2-2z+4 \right)\left(4z^2+z-3 \right)=0


Résolvons : \text{. }z^2-2z+4=0

\Delta=b^2-4ac=(-2)^2-4\times 1\times 4=4-16=-12=\left(2i\sqrt{3} \right)^{2} \\\\ z=\dfrac{2\pm 2i\sqrt{3}}{2}=1\pm i\sqrt{3}


Résolvons : \text{. }4z^2+z-3=0

\Delta=b^2-4ac=1^2-4\times 4\times (-3)=49=7^{2} \\\\ z=\dfrac{-b\pm \sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-1\pm 7}{8}\text{ soit }  z=-1 \text{ ou } z=\dfrac{3}{4}

\boxed{\textcolor{blue}{\mathcal{S}=\lbrace -1 \text{ , } \dfrac{3}{4} \text{ , } 1-i\sqrt{3} \text{ , } 1+i\sqrt{3} \rbrace}}}


2. A, B et C d'affixes respectives :

a=-1  \text{, }b=1+i\sqrt{3}} \text{ et }c=1-i\sqrt{3}\text{ et }d=\dfrac{3}{4}


a. Module et un argument de chacun des nombres b et c

On remarque que c=\bar{b}

\text{. }b=1+i\sqrt{3}=2\left(\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)=2\left(\cos\dfrac{\pi}{3}+i\sin\dfrac{\pi}{3} \right)=2\text{e}^{i\frac{\pi}{3}}

\text{On en déduit : }c=2\text{e}^{-i\frac{\pi}{3}} (même module et argument opposé)

\boxed{\textcolor{blue}{\text{Le nombre  } c \text{  a pour module }2 \text{ et un argument }\dfrac{\pi}{3} \text{ et le nombre  } d \text{  a pour module }2 \text{ et un argument }-\dfrac{\pi}{3}. }}


b. Voir figure ci-dessous

Les point B et C appartiennent donc au cercle de centre O et de rayon 2, tous deux ont pour abscisse 1.


c. Calculons les distances DA\;,DB \text{ et } DC.

\text{. }DA=\mid z_A-z_D\mid=\mid a-d\mid=\mid=\mid -1-\dfrac{3}{4}\mid=\mid -\dfrac{7}{4}\mid=\dfrac{7}{4}

\text{. }DB=\mid z_B-z_D\mid=\mid b-d\mid=\mid 1+i\sqrt{3}-\dfrac{3}{4}\mid=\mid \dfrac{1}{4}+i\sqrt{3}\mid=\sqrt{\left(\dfrac{1}{4} \right)^{2}+\left( \sqrt{3}\right)^{2} \right)}=\sqrt{\dfrac{1}{16}+3}=\sqrt{\dfrac{49}{16}}=\dfrac{7}{4}

\text{. }DC=\mid z_C-z_D\mid=\mid c-d\mid=\mid 1-i\sqrt{3}-\dfrac{3}{4}\mid=\mid \dfrac{1}{4}-i\sqrt{3}\mid=\sqrt{\left(\dfrac{1}{4} \right)^{2}+\left( -\sqrt{3}\right)^{2} \right)}=\sqrt{\dfrac{1}{16}+3}=\sqrt{\dfrac{49}{16}}=\dfrac{7}{4}

\boxed{\textcolor{blue}{A\text{, }B\text{ et }C\text{ sont sur le cercle }\mathcal{C}\text{ de centre }D\text{ et de rayon }r=\dfrac{7}{4}.}}


d. Pour que ABE soit rectangle en B, il suffit que E soit le point diamétralement opposé au point A sur le cercle.

AD=\dfrac{7}{4} donc l'affixe de E est e=\dfrac{3}{4}+\dfrac{7}{4}=\dfrac{5}{2}

\boxed{\textcolor{blue}{\text{L'affixe du point }E\text{ est donc }e=\dfrac{5}{2}}}}


Pour que BAF soit rectangle en A, il suffit que F soit le point diamétralement opposé au point B sur le cercle.

\overrightarrow{DF}=\overrightarrow{BD}\text{ soit }f-z_D=z_D-z_B

ce qui donne : f=2z_D-z_B=\dfrac{3}{2}-1-i\sqrt{3}=\dfrac{1}{2}-i\sqrt{3}

\boxed{\textcolor{blue}{\text{L'affixe du point }F\text{ est donc }f=\dfrac{1}{2}-i\sqrt{3} }}}

bac STI génie mécanique (A et F) génie énergétique génie civil, Nouvelle Calédonie Novembre 2008 - terminale : image 1


EXERCICE 2


\left(E \right)\text{ : }y'+140y=5,88


1. \left(H \right)\text{ : }z'+140z=0

La solution de cette équation différentielle du premier ordre est donc la fonction z définie sur R+ par :

\boxed{\textcolor{blue}{z(t)=k\text{e}^{-140t}\text{ avec } k\in\mathbb{R}}}}


2-a. y(t)=z(t)+0,042

Regardons si y(t) vérifie l'équation \left(H \right).

Nous avons :

y(t)=z(t)+0,042=k\text{e}^{-140t}+0,042\text{ et }y(t)'=-140k\text{e}^{-140t}

Donc :

y(t)'+140y(t)=-140k\text{e}^{-140t}+140\left( k\text{e}^{-140t}+0,042\right)=\cancel{-140k\text{e}^{-140t}}+\cancel{140k\text{e}^{-140t}}+140\times 0,042=5,88

\boxed{\textcolor{blue}{y(t)=z(t)+0,042\text{ et } y \text{ est donc solution de l'équation différentielle}\left(E \right).}}}


b. La fonction v est solution de l'équation différentielle \left(E \right), son expression est donc de la forme :

v(t)=z(t)+0,042=k\text{e}^{-140t}+0,042

Cette fonction v recherchée s'annule pour t=0, soit :

v(0)=0\Leftrightarrow k\text{e}^{-140\times 0}+0,042=0\Leftrightarrow k+0,042=0\Leftrightarrow k=-0,042

\boxed{\textcolor{blue}{v(t)=-0,042\text{e}^{-140t}+0,042=0,042(1-\text{e}^{-140t})}}}}


3-a.\underset{t\to +\infty}{\lim}\text{e}^{-140t}=0

donc \underset{t\to +\infty}{\lim}0,042(1-\text{e}^{-140t}) =0,042

\boxed{\textcolor{blue}{l=0,042 }}}


b. On cherche donc à résoudre l'équation suivante :

v(t)=95\%\times l \\\\ 0,042(1-\text{e}^{-140t})=95\%\times 0,042\\\\   1-\text{e}^{-140t}=\dfrac{95}{100} \\\\  \text{e}^{-140t}=0,05\\\\  -140t=\ln 0,05\\\\   t=-\dfrac{\ln0,05}{140}\approx 0,0214

\boxed{\textcolor{blue}{95\%\text{ de la valeur limite est atteinte en }0,0214\quad s.}}}



PROBLEME


I - Étude d'une fonction auxiliaire

g(x)=\text{e}^x\left(x- 2\right)-1


1. \underset{x\to +\infty}{\lim}g(x)=\underset{x\to +\infty}{\lim}   \underbrace{\text{e}^x}_{\to +\infty}\underbrace{\left(x- 2\right)}_{\to +\infty}-1 =+\infty

\boxed{\textcolor{blue}{\underset{x\to +\infty}{\lim}g(x)=+\infty}}}


2-a. La fonction g est dérivable sur [0,+\infty[ comme produit et somme de fonctions dérivables sur [0,+\infty[.

g'(x)=\left( x-2 \right)+\text{e}^x}\left(x- 2\right)=\text{e}^x\left(x-2+1 \right)=\left(x-1 \right)\text{e}^x

\boxed{\textcolor{blue}{\underset{x\to +\infty}{\lim}g(x)=g'(x)=\left(x-1 \right)\text{e}^x}}}


Pour tout x\in[0,+\infty[,\quad \text{e}^x>0, donc g'(x) est du même signe que (x-1), donc :

.\quad g'(x)< 0\Leftrightarrow x\in[0,1[ \\\\.\quad g'(x)>0\Leftrightarrow x\in]1,+\infty[

\boxed{\textcolor{blue}{\text{La fonction }g\text{ est donc décroissante sur }[0,1[\text{ et croissante sur }]1,+\infty[.}}}


b.

g(1)=\text{e}^1\left(1- 2\right)-1=-\text{e}-1\approx -3,72

 \begin{tabvar}{|C|CCCCCC|}  \hline  x                       & 0   &&  1  &&    +\infty  & \\ \hline  g'(x)                & &   -      &  0  &   +    & &           \\ \hline \niveau{2}{3} g       & -3   &  \decroit  &  -\text{e}-1  &\croit     &   +\infty  & \\ \hline \end{tabvar}



3-a. On a vu ci-dessus que la fonction g est strictement croissante sur ]1,+\infty[, donc strictement croissante sur [1,3], et on a :

.\quad g(1)\approx -3,72<0 \\\\.\quad g(3)=\text{e}^3\left(3- 2\right)-1=\text{e}^3-1\approx 19,09>0

La fonction g croît strictement d'une valeur strictement négative g(1) à une valeur strictement positive g(3).

\boxed{\textcolor{blue}{\text{Il existe donc une valeur unique }\alpha\in[1,3]\text{ telle que }g(\alpha)=0.}}}


b. A la calculatrice, on trouve :

\boxed{\textcolor{blue}{2,1<\alpha<2,2}}}


4.

Sur [0,1], la fonction g ne prend que des valeurs strictement négatives (cf tableau de variations)

Sur [1,\alpha[, la fonction g est croissante ; pour 1<x<\alpha, g(x) [tex]g(x)<0.

Sur ]\alpha,+\infty[, la fonction g est positive.

\boxed{\textcolor{blue}{\forall x\in[0,\alpha],\quad g(x)\leq 0\text{, et }\forall x\in[\alpha,+\infty[,\quad g(x)\geq 0.}}}


II - Étude de la fonction f


1-a. f(x)=\dfrac{\text{e}^{x}+1}{\text{e}^{x}+x}=\dfrac{\text{e}^{x}\left(1+\dfrac{1}{\text{e}^{x}} \right)}{\text{e}^{x}\left(1+\dfrac{x}{\text{e}^{x}} \right)}=\dfrac{1+\text{e}^{-x}}{1+x\text{e}^{-x}}

\boxed{\textcolor{blue}{\forall x\in[0,+\infty[,\quad f(x)=\dfrac{1+\text{e}^{-x}}{1+x\text{e}^{-x}}}}}


b. \underset{x\to +\infty}{\lim}f(x)=\underset{x\to +\infty}{\lim}\left(\dfrac{\text{e}^{x}+1}{\text{e}^{x}+x} \right)=\underset{x\to +\infty}{\lim}\left( \dfrac{1+\text{e}^{-x}}{1+x\text{e}^{-x}}\right)=1

car :

\underset{x\to +\infty}{\lim}x\text{e}^{-x}}=\underset{x\to +\infty}{\lim}\left(\dfrac{x}{\text{e}^{x}}} \right)=0

\boxed{\textcolor{blue}{\text{La courbe de la fonction  }f\text{ admet comme asymptote la droite d'équation }y=1\quad .}}}}


2. Étudions le signe de l'expression f(x)-1

f(x)-1=\dfrac{\text{e}^{x}+1}{\text{e}^{x}+x}-1=\dfrac{\text{e}^{x}+1}{\text{e}^{x}+x}-\dfrac{\text{e}^{x}+x}{\text{e}^{x}+x}=\dfrac{1-x}{\text{e}^{x}+x}

x étant positif, \text{e}^{x}+x> 0 et f(x)-1 a le même signe que 1-x

\text{. }x<1\Leftrightarrow 0<1-x\Leftrightarrow 0<f(x)-1\Leftrightarrow 1<f(x)

\boxed{\textcolor{blue}{\text{Si }0\le x<1\text{, la courbe de la fonction  }f\text{ est au-dessus de la droite d'équation }y=1\quad .}}}}

\text{. }x>1\Leftrightarrow 0>1-x\Leftrightarrow 0>f(x)-1\Leftrightarrow f(x)<1

\boxed{\textcolor{blue}{\text{Si }x>1\text{, la courbe de la fonction  }f\text{ est en dessous de la droite d'équation }y=1\quad .}}}}

Notons que le point de coordonnées (1,1) est un point d'intersection entre la courbe de f et la droite \mathcal{D}.


3-a. La fonction f est dérivable sur [0,+\infty[ comme quotients de fonctions dérivables sur [0,+\infty[ (dont le dénominateur ne s'annule pas sur l'ensemble de définition).

f'(x)=\dfrac{\text{e}^{x}\left(\text{e}^{x}+x \right)-\left( \text{e}^{x}+1\right)\left( \text{e}^{x}+1\right)}{\left(\text{e}^{x}+x} \right)^2} =\frac{\cancel{\text{e}^{2x}}+x\text{e}^{x}-\cancel{\text{e}^{2x}}-2\text{e}^{x}-1}{\left(\text{e}^{x}+x \right)^2} =\frac{\text{e}^{x}\left(x-2 \right)-1}{\left(\text{e}^{x}+x \right)^2}=\frac{g(x)}{\left(\text{e}^{x}+x \right)^2}

\boxed{\textcolor{blue}{\forall x\in [0,+\infty[,\quad f'(x)=\frac{g(x)}{\left(\text{e}^{x}+x \right)^2}}}}}


b. Pour tout x\in [0,+\infty[, on a \left(\text{e}^{x}+x \right)^2>0, donc f'(x) et g(x) sont de même signe, donc :

\boxed{\textcolor{blue}{\forall x\in[0,\alpha],\quad f'(x)\leq 0\text{ et }f\text{ décroissante et : }\forall x\in[\alpha,+\infty[,\quad f'(x)\geq 0\text{ et }f\text{ croissante. }}}}


4. Voir figure ci-dessous


III - Calcul d'aire



1. Représentation graphique
bac STI génie mécanique (A et F) génie énergétique génie civil, Nouvelle Calédonie Novembre 2008 - terminale : image 9



2. On a l'expression de la fonction f de la forme :

f(x)=\dfrac{\text{e}^{x}+1}{\text{e}^{x}+x}=\dfrac{U'(x)}{U(x)}

Donc une primitive F de f peut s'écrire : F(x)=\ln \mid U(x)\mid

Or :

\forall x\in[0,+\infty[,\quad U(x)=\text{e}^x+x>0\Rightarrow \mid U(x)\mid =U(x)

Donc :

F(x)=\ln \mid U(x)\mid=\ln U(x)=\ln\left(\text{e}^x+x \right)

\boxed{\textcolor{blue}{\text{Une primitive de }f\text{ sur }[0,+\infty[\text{ est }F(x)=\ln\left(\text{e}^x+x \right)\quad .}}}}}


2. La fonction f ne prend que des valeurs positives pour x\text{ dans }[0\;;1]. L'aire du domaine \mathcal{B} est donc égale à :

A(\mathcal{B})=\displaystyle {\int_{0}^{1}f(x)\text{d}x=\left[F(x) \right]_{0}^{1} =F\left( 1\right)-F\left(0 \right)=\ln\left(\text{e}^1}+1 \right)-\underbrace{\ln\left(\text{e}^0+0\right)}_{=\ln1=0} =\ln\left(1+\text{e} \right)\text{ u.a}

\boxed{\textcolor{blue}{A(\mathcal{B})=\ln\left(1+\text{e} \right)\text{ unité d'aire}}}}}}

L'unité graphique étant de 4 cm, l'aire recherchée est donc de :

A(\mathcal{B})=[\ln\left(1+\text{e} \right)]\times 16\approx 21,01\text{ cm}^2

\boxed{\textcolor{blue}{A(\mathcal{B})\approx21,01\text{ cm}^2}}}}}

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