Fiche de mathématiques

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Bac Technologique - Sciences et Technologies Industrielles
Génie Mécanique (Option A : Productique Mécanique, Option F : Microtechniques)
Génie Énergétique
Génie Civil
Antilles Guyane - Session Septembre 2008

Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 4

Un formulaire de mathématiques est distribué en même temps que le sujet.
Des feuilles de papier millimétré seront mises à la disposition des candidats.

4 points

exercice 1

Questionnaire à choix multiples
Pour chacune des quatre questions, une seule des réponses a, b ou c est exacte.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie.
Aucune justification n'est demandée.

Notation : une bonne réponse rapporte 1 point. Une mauvaise réponse ou une absence de réponse ne rapporte aucun point et n'en enlève aucun.

On définit la fonction $f$ sur l'ensemble $\mathbb{R}$ des nombres réels par : $f(x) = 2\text{e}^{- \dfrac{1}{2}x}$ . Le plan est rapporté au repère orthonormal $(O ; \vec{i},\vec{j})$ d'unité graphique 2 cm.

On a tracé, ci-dessous, la courbe représentative $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ dans le repère $(O ; \vec{i},\vec{j})$ .
On note A et B les points de coordonnées respectives (-3 ; 0) et (0 ; 2).
On note $\mathcal{D}$ le domaine (hachuré ci-dessous) délimité par :
    la courbe $\mathcal{C}$ ,
    l'axe des abscisses,
    l'axe des ordonnées,
    la droite d'équation : $x = 2$ .

bac STI génie mécanique (A et F) génie énergétique génie civil, Antilles Guyane Septembre 2008 - terminale : image 1

Question 1 :
La fonction $f$ est une solution de l'équation différentielle (E) :
Réponse a. : (E) : $2y'+ y = 0$
Réponse b. : (E) : $2y' - y = 0$
Réponse c. : (E) : $y' - y = 0$ .
( $y$ désigne une fonction inconnue définie sur l' ensemble des nombres réels de variable $x ; y'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $y$ .)

Question 2 :
La courbe $\mathcal{C}$ a pour asymptote la droite d'équation :
Réponse a. : $y = - 2x$ ;
Réponse b. : $x = 0$ ;
Réponse c. : $y = 0$ .

Question 3 :
La tangente T à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 0 a pour équation :
Réponse a. : $y =- 2x + 2$ ;
Réponse b. : $y = - x+ 2$ ;
Réponse c. : $y = x + 2$ .

Question 4 :
On note S le solide de révolution engendré par la rotation du domaine $\mathcal{D}$ autour de l'axe des abscisses.
La valeur V du volume du solide S est donnée par : $\displaystyle \text{V} = \pi\int_{0}^2 [f(x)]^2 \text{d}x$ (en unités de volume). La valeur V du volume du solide S, en cm³ est égale à :
Réponse a. : $4\pi \left(1 - \text{e}^{-2}\right)$ ;
Réponse b. : $16\pi \left(1 - \text{e}^{-2}\right)$ ;
Réponse c. : $32\pi \left(1 - \text{e}^{-2}\right)$ .

5 points

exercice 2

i désigne le nombre complexe de module $1$ et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$ .
On considère les nombres complexes suivants $Z_{1} = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2}\text{i}$ , $Z_{2} = \dfrac{2 + \text{i}}{3 - \text{i}}$ et $Z_{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{6}}$
1. Déterminer le module et un argument du nombre complexe $Z_{1}$ .

2. a) Écrire le nombre complexe $Z_{2}$ sous forme algébrique et montrer que : $Z_{2} = \overline{Z_{1}}$ .
    b) Déterminer la forme exponentielle du nombre complexe $Z_{2}$ .

3. Écrire le nombre complexe $Z_{3}$ sous forme algébrique.

4. On note $Z$ le nombre complexe défini par : $Z=Z_{2}Z_{3}$ .
    a) Calculer le module et un argument du nombre complexe $Z$ .
    b) Écrire le nombre complexe $Z$ sous forme algébrique.
    c) En déduire les valeurs exactes des nombres réels $\cos \left(\dfrac{\pi}{12}\right)$ et $\sin \left(\dfrac{\pi}{12}\right)$ .

11 points

probleme

La fonction $f$ est définie sur l'intervalle $]0 ; + \infty[$ par $f(x) = a \ln x + bx + \dfrac{c}{x}$ où $a, b$ et $c$ sont trois nombres réels à déterminer. On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ .
On a représenté la fonction $f$ sur la feuille annexe dans un repère orthonormal $(O ; \vec{i},\vec{j})$ d'unité graphique 2 cm. On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de cette fonction $f$ .
On note T la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 1. La tangente T passe par l'origine O du repère.
La tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $2$ est parallèle à l'axe des abscisses.

Partie A : Recherche de l'expression de $f(x)$

1. Préciser (sans justifier) les valeurs de $f(1)$ , $f'(1)$ et $f'(2)$ .

2. Déterminer $f'(x)$ , en fonction de la variable $x$ et des nombres réels $a$ , $b$ et $c$ .

3. Exprimer $f(1)$ , $f'(1)$ et $f'(2)$ en fonction des nombres réels $a$ , $b$ et $c$ .

4. En utilisant les réponses aux questions 1. et 3., montrer que les nombres réels $a$ , $b$ et $c$ sont solutions du système $S$ suivant : $S : \left \lbrace \begin{array}{r c l} b + c&=&1 \\ a + b - c&=&1 \\ 2a + 4b - c&=&0 \\ \end{array}\right.$
5. Résoudre le système $S$ . En déduire une expression de $f(x)$ .

Partie B : Étude de la fonction $f$

Dans la suite du problème la fonction $f$ est définie sur l'intervalle $]0 ; \infty[$ par : $f(x) = 8\ln x - 3x +\dfrac{4}{x}$ .
1. Déterminer par calculs la limite de $f$ en $+ \infty$ (on peut factoriser $f(x)$ par $x$ ).

2. On rappelle que : $\displaystyle\lim_{x \to 0} x \ln x = 0$ .
En écrivant $f(x)$ sous la forme d'une seule fraction, déterminer la limite de $f$ en 0. Interpréter graphiquement ce résultat.

3. Déterminer $f'(x)$ et vérifier que pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle $]0 ; \infty[$ : $f'(x) = \dfrac{(3x - 2)(2 - x)}{x^2}$ . Dresser le tableau de variations complet de la fonction $f$ (justifier avec soin le signe de $f'(x)$ ).
Montrer que, sur l'intervalle [4 ; 5] l'équation $f(x) = 0$ a une unique solution. notée $\alpha$ .
Justifier l'encadrement de la solution $\alpha$ d'amplitude 10^-1 suivant : $4,07 < \alpha < 4,08.$

Feuille annexe

bac STI génie mécanique (A et F) génie énergétique génie civil, Antilles Guyane Septembre 2008 - terminale : image 2

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EXERCICE 1

$f(x)=2\text{e}^{-\frac{1}{2}x}$
Question 1. $\boxed{\textcolor{blue}{\text{La bonne réponse est la réponse a}.}}}$

Explications : Il suffit de calculer $y'$ .

$y'=2\times \dfrac{-1}{2}\text{e}^{-\frac{1}{2}x}=-\text{e}^{-\frac{1}{2}x}$ et on vérifie donc facilement que $2y'+y=0$

Question 2. $\boxed{\textcolor{blue}{\text{La bonne réponse est la réponse c}.}}}$

Explications :

On voit sur la repéresentation graphique que l'axe des abscisses est asymptote à la courbe, ce qui correspond à la droite d'équation $y=0$ .

Question 3. $\boxed{\textcolor{blue}{\text{La bonne réponse est la réponse b}.}}}$

Explications :

Le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse $0$ sera donné par le calcul de $f'(0)$ , or :

$f'(0)=-\text{e}^{-\frac{1}{2}\times 0}=-\text{e}^0=-1$

La seule équation de droite proposée offrant un coefficient directeur égale à $-1$ est $y=-x+2$

Question 4. $\boxed{\textcolor{blue}{\text{La bonne réponse est la réponse c}.}}}$

Explications :

$V=\pi\displaystyle {\int_{0}^{2}[f(x)]^2\text{d}x=\pi\int_{0}^{2}[2\text{e}^{-\frac{1}{2}x}]^2\text{d}x =4\pi\int_{0}^{2}(\text{e}^{-\frac{1}{2}x}\times \text{e}^{-\frac{1}{2}x})\text{d}x=4\pi\int_{0}^{2}\text{e}^{-x}\text{d}x =4\pi\left[ -\text{e}^{-x}\right]_{0}^{2}=4\pi(1-\text{e}^{-2})\text{ u.v}$

Or 1 u.v=2³ cm³ donc $V=32\pi(1-\text{e}^{-2})\text{ cm}^3$

EXERCICE 2

$Z_1=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}i\text{, }Z_2=\dfrac{2+i}{3-i}\text{ et }Z_3=\frac{\sqrt{3}}{2}\text{e}^{-i\frac{\pi}{6}}$
1. Module et un argument du nombre complexe $Z_1$

$Z_1=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}i=\dfrac{1}{\sqrt{2}}(\dfrac{1}{\sqrt{2}}-i\dfrac{1}{\sqrt{2}}) =\dfrac{1}{\sqrt{2}}(\dfrac{\sqrt{2}}{2}-i\dfrac{\sqrt{2}}{2})=\dfrac{\sqrt{2}}{2}(\cos\dfrac{-\pi}{4}+i\sin\dfrac{-\pi}{4}) =\dfrac{\sqrt{2}}{2}\text{e}^{-i\frac{\pi}{4}}$

$\boxed{\textcolor{blue}{\text{Le module de }Z_1\text{ est }\dfrac{\sqrt{2}}{2}\text{ et un argument de }Z_1\text{ est }-\dfrac{\pi}{4}.}}}$

2-a. Forme algébrique du nombre complexe $Z_2$

$Z_2=\dfrac{2+i}{3-i}=\dfrac{(2+i)(3+i)}{(3-i)(3+i)}=\dfrac{6+2i+3i-1}{9-i^2}=\dfrac{5+5i}{10}=\dfrac{1}{2}(1+i)=\dfrac{1}{2}+i\dfrac{1}{2}=\bar {Z_1}$

$\boxed{\textcolor{blue}{Z_2=\dfrac{1}{2}+i\dfrac{1}{2}=\overline {Z_1}}}}$

b. Forme exponentielle du nombre complexe $Z_2$

$Z_1=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\text{e}^{-i\frac{\pi}{4}}\text{ et }Z_2 =\overline {Z_1}\text{ donc }Z_2=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\text{e}^{-(-i\frac{\pi}{4})}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\text{e}^{i\frac{\pi}{4}}$

$\boxed{\textcolor{blue}{Z_2=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\text{e}^{i\frac{\pi}{4}}}}}$

3. Forme algébrique du nombre complexe $Z_3$

$Z_3=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{e}^{-i\frac{\pi}{6}} =\dfrac{\sqrt{3}}{2}\left[ \cos(-\dfrac{\pi}{6})+i\sin(-\dfrac{\pi}{6})\right] =\dfrac{\sqrt{3}}{2}(\dfrac{\sqrt{3}}{2}-i\dfrac{1}{2})=\dfrac{3}{4}-i\dfrac{\sqrt{3}}{4}$

$\boxed{\textcolor{blue}{Z_3=\dfrac{3}{4}-i\frac{\sqrt{3}}{4}}}}$

4. Nombre complexe $Z=Z_2Z_3$

a. Module et un argument du nombre complexe $Z$

$Z=Z_2Z_3=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\text{e}^{i\frac{\pi}{4}}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{e}^{-i\frac{\pi}{6}} =\dfrac{\sqrt{6}}{4}\text{e}^{i(\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{6})}=\dfrac{\sqrt{6}}{4}\text{e}^{i\frac{\pi}{12}}$

$\boxed{\textcolor{blue}{\text{Le module de }Z\text{ est }\dfrac{\sqrt{6}}{4}\text{ et un argument de }Z\text{ est }\dfrac{\pi}{12}.}}}$

b. Forme algébrique du nombre complexe $Z$

$Z=Z_2Z_3=\left(\dfrac{1}{2}+i\dfrac{1}{2}\right)\left(\dfrac{3}{4}-i\dfrac{\sqrt{3}}{4}\right)= \dfrac{3+\sqrt{3}}{8}+i\dfrac{3-\sqrt{3}}{8}$

$\boxed{\textcolor{blue}{Z=\dfrac{3+\sqrt{3}}{8}+i\dfrac{3-\sqrt{3}}{8}}}}$

c. Valeurs exactes de $\cos\dfrac{\pi}{12}$ et de $\sin\dfrac{\pi}{12}$

$Z=\dfrac{\sqrt{6}}{4}\text{e}^{i\frac{\pi}{12}}\text{ et }Z=\dfrac{3+\sqrt{3}}{8}+i\dfrac{3-\sqrt{3}}{8}$

Donc :

$\cos\dfrac{\pi}{12}=\dfrac{4}{\sqrt{6}}\left(\dfrac{3+\sqrt{3}}{8}\right)\text{ et }\sin\frac{\pi}{12}= \dfrac{4}{\sqrt{6}}\left(\dfrac{3-\sqrt{3}}{8}\right)$

$\text{ soit } \cos\dfrac{\pi}{12}=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\text{ et }\sin\dfrac{\pi}{12}=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

$\boxed{\textcolor{blue}{\text{Les valeurs exactes sont }\cos\dfrac{\pi}{12}=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\text{ et }\sin\dfrac{\pi}{12}=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}.}}}$

PROBLEME

$f(x)=a\ln x+bx+\dfrac{c}{x}\text{ sur }]0,+\infty[\text{ avec }a\text{, }b\text{ et }c\in\mathbb{R}$

Partie A : recherche de l'expression de $f(x)$

1. Valeurs de $f(1)$ , $f'(1)$ et de $f'(2)$

La lecture graphique permet de voir que :

$\text{. }f(1)=1$

$\text{. }f'(1)=1$ car la tangente à la courbe en ce point a pour vecteur directeur $\overrightarrow{U}(1\;;1)$ et son coefficient directeur est donc égal à $1$ .

$\text{. }f'(2)=0$ car la tangente à la courbe en ce point est parralèle à l'axe des abscisses, son coefficient directeur est donc nul.

$\boxed{\textcolor{blue}{f(1)=1\text{, }f'(1)=1\text{ et }f'(2)=0.}}}$

2. Dérivée $f'(x)$

$f'(x)=a\times \dfrac{1}{x}+b-\dfrac{c}{x^2}=\dfrac{a}{x}+b-\dfrac{c}{x^2}$

$\boxed{\textcolor{blue}{f'(x)=\dfrac{a}{x}+b-\dfrac{c}{x^2}}}}$

3. $f(1)$ , $f'(1)$ et de $f'(2)$ en fonction de $a\text{, }b\text{ et }c$

$\text{. }f(x)=a\ln x+bx+\dfrac{c}{x}\Longrightarrow f(1)=a\ln 1+b\times 1+\dfrac{c}{1}=b+c$

$\text{. }f'(x)=\dfrac{a}{x}+b-\dfrac{c}{x^2}\Longrightarrow f'(1)=\dfrac{a}{1}+b-\dfrac{c}{1^2}=a+b-c$

$\text{. }f'(x)=\dfrac{a}{x}+b-\dfrac{c}{x^2}\Longrightarrow f'(2)=\dfrac{a}{2}+b-\dfrac{c}{2^2}=\dfrac{a}{2}+b-\dfrac{c}{4}$

$\boxed{\textcolor{blue}{f(1)=b+c\text{, }f'(1)=a+b-c\text{ et }f'(2)=\dfrac{a}{2}+b-\dfrac{c}{4}}}}$

4. Système $S$

$\text{. }f(1)=1\Longleftrightarrow b+c=1$

$\text{. }f'(1)=1\Longleftrightarrow a+b-c=1$

$\text{. }f'(2)=0\Longleftrightarrow\dfrac{a}{2}+b-\dfrac{c}{4}=0\Longleftrightarrow 2a+4b-c=0$

$\boxed{\textcolor{blue}{\left\lbrace\begin{array}l b+c=1 \\ a+b-c=1 \\ 2a+4b-c=0 \end{array}}}}$

5. Résolution de $S$ et expression de $f(x)$

$\left\lbrace\begin{array}l b+c=1 \\ a+b-c=1 \\ 2a+4b-c=0 \end{array} \Leftrightarrow \left\lbrace\begin{array}l 2a+4b-c=0 \\ a+b-c=1 \\ b+c=1 \end{array} \Leftrightarrow \left\lbrace\begin{array}l 2a+4b-c=0 \\ 2a+2b-2c=2 \\ b+c=1 \end{array}$

$\Leftrightarrow\left\lbrace\begin{array}l 2a+4b-c=0 \\ 2b+c=-2 \\ b+c=1 \end{array} \Leftrightarrow \left\lbrace\begin{array}l 2a+4b-c=0 \\ 2b+c=-2 \\ 2b+2c=2 \end{array} \\\\ \Leftrightarrow \left\lbrace\begin{array}l 2a+4b-c=0 \\ 2b+c=-2 \\ c=4 \end{array} \Leftrightarrow \left\lbrace\begin{array}l a=8 \\ b=-3 \\ c=4 \end{array}$

$\boxed{\textcolor{blue}{f(x)=8\ln x-3x+\dfrac{4}{x}}}}$

Partie B : étude de la fonction $f$

1. Limite de $f$ en $+\infty$

$\underset{x\to +\infty}{\lim}f(x)=\underset{x\to +\infty}{\lim}(8\ln x-3x+\dfrac{4}{x}) =\underset{x\to +\infty}{\lim}x(8\underbrace{\frac{\ln x}{x}}_{\to 0}-3+\underbrace{\dfrac{4}{x^2}}_{\to 0})=-\infty$

$\boxed{\textcolor{blue}{\underset{x\to +\infty}{\lim}f(x)=-\infty}}}$

2. Limite de $f$ en $0$ et interprétation graphique

$\underset{x\to 0}{\lim}f(x)=\underset{x\to 0}{\lim}(8\ln x-3x+\dfrac{4}{x}) =\underset{x\to 0}{\lim}\dfrac{\overbrace{8x\ln x-3x^2}^{\to 0}+4}{x}=\underset{x\to 0}{\lim}\dfrac{4}{x}=+\infty$

$\boxed{\textcolor{blue}{\underset{x\to 0}{\lim}f(x)=+\infty}}}$

Quand $x$ tend vers $0$ , $f(x)$ tend vers $+\infty$

$\boxed{\textcolor{blue}{\text{L'axe des ordonnées est donc asymptote à la courbe de }f.}}}$

3. Dérivée $f'$ , tableau de variations de $f$ et $\alpha$ solution unique de $f(x)=0$

Dérivée :

La fonction $f$ est dérivable sur $]0,+\infty[$ comme somme de fonctions dérivables sur $]0,+\infty[$ .

$f'(x)=8\times \dfrac{1}{x}-3-\dfrac{4}{x^2}=\dfrac{-3x^2+8x-4}{x^2}$

Développons l'expression donnée :

$f'(x)=\dfrac{(3x-2)(2-x)}{x^2}=\dfrac{6x-3x^2-4+2x}{x^2}=\dfrac{-3x^2+8x-4}{x^2}$

$\boxed{\textcolor{blue}{f'(x)=\dfrac{-3x^2+8x-4}{x^2}}}}$

Tableau de variations :

$f'(x)=\dfrac{(3x-2)(2-x)}{x^2}$

Le dénominateur de $f'(x)$ étant strictement positif sur $]0,+\infty[$ , $f'(x)$ est du même signe que le numérateur $(3x-2)(2-x)$ .

$(3x-2)(2-x)$ est un polynôme du second degré qui s'annule pour $\frac{2}{3}\text{ et } 2$ , et dont le signe est négatif (signe de -3) sauf entre les racines.

$\text{. Si }x\in]\dfrac{2}{3},2[\text{, alors }(3x-2)(2-x)>0 \text{ et } f'(x)>0\text{ donc f croissante} \\\\\text{. Si }x\in]0,\dfrac{2}{3}[\cup]2,+\infty[\text{, alors }(3x-2)(2-x)<0 \text{ et } f'(x)<0\text{ donc f décroissante}$

$\begin{tabvar}{|C|CCCCCCCCC|} \hline x & 0 &&& \frac{2}{3} & &2& && +\infty \\ \hline f'(x) & \dbarre& &-&0& + &0& - && \\ \hline \niveau{2}{3} f & \dbarre&+\infty &\decroit& 4+8\ln\frac{2}{3} &\croit & 8\ln 2-4 & \decroit && -\infty \\ \hline \end{tabvar}$

Solution unique : $f(\alpha)=0\text{, }\alpha\in[4,5]$

Nous avons :

$\text{. }f(4)=8\ln 4-3\times 4+\dfrac{4}{4}=8\ln 4-11\approx 0,09>0 \\\\\text{. }f(5)=8\ln 5-3\times 5+\dfrac{4}{5}=8\ln 5-\dfrac{71}{5}\approx -1,32<0$

La fonction $f$ décroît strictement d'une valeur positive en $x=4$ à une valeur négative en $x=5$ .

$\boxed{\textcolor{blue}{\text{Il existe donc une solution unique }\alpha\in [4,5]\text{ telle que }f(\alpha)=0.}}}$

Encadrement :

$f(4,07)\approx0,002 > 0\quad f(4,08)\approx -0,01 < 0$ donc :

$\boxed{\textcolor{blue}{\text{On a donc : }4,07<\alpha<4,08}}}$

Publié par jedoniezh le 25-06-2016

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