Fiche de mathématiques
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Bac Technologique - Sciences et Technologies Industrielles
Génie Mécanique (Option A : Productique Mécanique, Option F : Microtechniques)
Génie Énergétique
Génie Civil
Antilles Guyane - Session Septembre 2008

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Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 4

Un formulaire de mathématiques est distribué en même temps que le sujet.
Des feuilles de papier millimétré seront mises à la disposition des candidats.


4 points

exercice 1

Questionnaire à choix multiples

Pour chacune des quatre questions, une seule des réponses a, b ou c est exacte.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie.
Aucune justification n'est demandée.

Notation : une bonne réponse rapporte 1 point. Une mauvaise réponse ou une absence de réponse ne rapporte aucun point et n'en enlève aucun.

On définit la fonction f sur l'ensemble \mathbb{R} des nombres réels par :
f(x)  = 2\text{e}^{- \dfrac{1}{2}x}.
Le plan est rapporté au repère orthonormal (O ; \vec{i},\vec{j}) d'unité graphique 2 cm.

On a tracé, ci-dessous, la courbe représentative \mathcal{C} de la fonction f dans le repère (O ; \vec{i},\vec{j}).
On note A et B les points de coordonnées respectives (-3 ; 0) et (0 ; 2).
On note \mathcal{D} le domaine (hachuré ci-dessous) délimité par :
    la courbe \mathcal{C},
    l'axe des abscisses,
    l'axe des ordonnées,
    la droite d'équation : x  =  2.
bac STI génie mécanique (A et F) génie énergétique génie civil, Antilles Guyane Septembre 2008 - terminale : image 1

Question 1 :
La fonction f est une solution de l'équation différentielle (E) :
Réponse a. : (E) : 2y'+ y =  0
Réponse b. : (E) : 2y'  - y = 0
Réponse c. : (E) : y' - y = 0.
(y désigne une fonction inconnue définie sur l' ensemble des nombres réels de variable x ; y' désigne la fonction dérivée de la fonction y.)

Question 2 :
La courbe \mathcal{C} a pour asymptote la droite d'équation :
Réponse a. : y =  - 2x ;
Réponse b. : x = 0 ;
Réponse c. : y = 0.

Question 3 :
La tangente T à la courbe \mathcal{C} au point d'abscisse 0 a pour équation :
Réponse a. : y =- 2x + 2 ;
Réponse b. :  y = - x+ 2 ;
Réponse c. : y = x + 2.

Question 4 :
On note S le solide de révolution engendré par la rotation du domaine \mathcal{D} autour de l'axe des abscisses.
La valeur V du volume du solide S est donnée par :
\displaystyle \text{V} = \pi\int_{0}^2 [f(x)]^2 \text{d}x (en unités de volume).
La valeur V du volume du solide S, en cm3 est égale à :
Réponse a. : 4\pi \left(1 - \text{e}^{-2}\right) ;
Réponse b. : 16\pi \left(1 - \text{e}^{-2}\right) ;
Réponse c. : 32\pi \left(1 - \text{e}^{-2}\right).


5 points

exercice 2

i désigne le nombre complexe de module 1 et d'argument \dfrac{\pi}{2}.
On considère les nombres complexes suivants
Z_{1} =  \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2}\text{i}, Z_{2} = \dfrac{2 + \text{i}}{3 - \text{i}} et Z_{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{6}}

1. Déterminer le module et un argument du nombre complexe Z_{1}.

2. a) Écrire le nombre complexe Z_{2} sous forme algébrique et montrer que : Z_{2} = \overline{Z_{1}}.
    b) Déterminer la forme exponentielle du nombre complexe Z_{2}.

3. Écrire le nombre complexe Z_{3} sous forme algébrique.

4. On note Z le nombre complexe défini par : Z=Z_{2}Z_{3}.
    a) Calculer le module et un argument du nombre complexe Z.
    b) Écrire le nombre complexe Z sous forme algébrique.
    c) En déduire les valeurs exactes des nombres réels \cos \left(\dfrac{\pi}{12}\right) et \sin \left(\dfrac{\pi}{12}\right).


11 points

probleme

La fonction f est définie sur l'intervalle ]0 ;  + \infty[ par
f(x)  = a \ln x +  bx + \dfrac{c}{x}
a, b et c sont trois nombres réels à déterminer. On note f' la fonction dérivée de la fonction f.
On a représenté la fonction f sur la feuille annexe dans un repère orthonormal (O ; \vec{i},\vec{j}) d'unité graphique 2 cm. On note \mathcal{C} la courbe représentative de cette fonction f.
On note T la tangente à la courbe \mathcal{C} au point d'abscisse 1. La tangente T passe par l'origine O du repère.
La tangente à la courbe \mathcal{C} au point d'abscisse 2 est parallèle à l'axe des abscisses.

Partie A : Recherche de l'expression de f(x)

1. Préciser (sans justifier) les valeurs de f(1), f'(1) et f'(2).

2. Déterminer f'(x), en fonction de la variable x et des nombres réels a, b et c.

3. Exprimer f(1), f'(1) et f'(2) en fonction des nombres réels a, b et c.

4. En utilisant les réponses aux questions 1. et 3., montrer que les nombres réels a, b et c sont solutions du système S suivant :
S : \left \lbrace \begin{array}{r c l} b + c&=&1 \\  a + b - c&=&1 \\  2a + 4b - c&=&0 \\ \end{array}\right.

5. Résoudre le système S. En déduire une expression de f(x).

Partie B : Étude de la fonction f

Dans la suite du problème la fonction f est définie sur l'intervalle ]0 ; \infty[ par :
f(x) = 8\ln x - 3x +\dfrac{4}{x}.

1. Déterminer par calculs la limite de f en + \infty (on peut factoriser f(x) par x).

2. On rappelle que : \displaystyle\lim_{x \to 0} x \ln x = 0.
En écrivant f(x) sous la forme d'une seule fraction, déterminer la limite de f en 0. Interpréter graphiquement ce résultat.

3. Déterminer f'(x) et vérifier que pour tout nombre réel x de l'intervalle ]0 ; \infty[ :
f'(x) = \dfrac{(3x - 2)(2 - x)}{x^2}.
Dresser le tableau de variations complet de la fonction f (justifier avec soin le signe de f'(x)).
Montrer que, sur l'intervalle [4  ; 5] l'équation f(x) = 0 a une unique solution. notée \alpha.
Justifier l'encadrement de la solution \alpha d'amplitude 10-1 suivant :
 4,07 < \alpha < 4,08.


Feuille annexe
bac STI génie mécanique (A et F) génie énergétique génie civil, Antilles Guyane Septembre 2008 - terminale : image 2





EXERCICE 1


f(x)=2\text{e}^{-\frac{1}{2}x}

Question 1. \boxed{\textcolor{blue}{\text{La bonne réponse est la réponse a}.}}}

Explications : Il suffit de calculer y'.

y'=2\times \dfrac{-1}{2}\text{e}^{-\frac{1}{2}x}=-\text{e}^{-\frac{1}{2}x} et on vérifie donc facilement que 2y'+y=0


Question 2. \boxed{\textcolor{blue}{\text{La bonne réponse est la réponse c}.}}}

Explications :

On voit sur la repéresentation graphique que l'axe des abscisses est asymptote à la courbe, ce qui correspond à la droite d'équation y=0.


Question 3. \boxed{\textcolor{blue}{\text{La bonne réponse est la réponse b}.}}}

Explications :

Le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse 0 sera donné par le calcul de f'(0), or :

 f'(0)=-\text{e}^{-\frac{1}{2}\times 0}=-\text{e}^0=-1

La seule équation de droite proposée offrant un coefficient directeur égale à -1 est y=-x+2


Question 4. \boxed{\textcolor{blue}{\text{La bonne réponse est la réponse c}.}}}

Explications :

V=\pi\displaystyle {\int_{0}^{2}[f(x)]^2\text{d}x=\pi\int_{0}^{2}[2\text{e}^{-\frac{1}{2}x}]^2\text{d}x =4\pi\int_{0}^{2}(\text{e}^{-\frac{1}{2}x}\times \text{e}^{-\frac{1}{2}x})\text{d}x=4\pi\int_{0}^{2}\text{e}^{-x}\text{d}x =4\pi\left[ -\text{e}^{-x}\right]_{0}^{2}=4\pi(1-\text{e}^{-2})\text{ u.v}

Or 1 u.v=2³ cm³ donc V=32\pi(1-\text{e}^{-2})\text{ cm}^3


EXERCICE 2


Z_1=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}i\text{, }Z_2=\dfrac{2+i}{3-i}\text{ et }Z_3=\frac{\sqrt{3}}{2}\text{e}^{-i\frac{\pi}{6}}

1. Module et un argument du nombre complexe Z_1

Z_1=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}i=\dfrac{1}{\sqrt{2}}(\dfrac{1}{\sqrt{2}}-i\dfrac{1}{\sqrt{2}}) =\dfrac{1}{\sqrt{2}}(\dfrac{\sqrt{2}}{2}-i\dfrac{\sqrt{2}}{2})=\dfrac{\sqrt{2}}{2}(\cos\dfrac{-\pi}{4}+i\sin\dfrac{-\pi}{4}) =\dfrac{\sqrt{2}}{2}\text{e}^{-i\frac{\pi}{4}}

\boxed{\textcolor{blue}{\text{Le module de }Z_1\text{ est }\dfrac{\sqrt{2}}{2}\text{ et un argument de }Z_1\text{ est }-\dfrac{\pi}{4}.}}}


2-a. Forme algébrique du nombre complexe Z_2

Z_2=\dfrac{2+i}{3-i}=\dfrac{(2+i)(3+i)}{(3-i)(3+i)}=\dfrac{6+2i+3i-1}{9-i^2}=\dfrac{5+5i}{10}=\dfrac{1}{2}(1+i)=\dfrac{1}{2}+i\dfrac{1}{2}=\bar {Z_1}

\boxed{\textcolor{blue}{Z_2=\dfrac{1}{2}+i\dfrac{1}{2}=\overline {Z_1}}}}


b. Forme exponentielle du nombre complexe Z_2

Z_1=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\text{e}^{-i\frac{\pi}{4}}\text{ et }Z_2 =\overline {Z_1}\text{ donc }Z_2=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\text{e}^{-(-i\frac{\pi}{4})}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\text{e}^{i\frac{\pi}{4}}

\boxed{\textcolor{blue}{Z_2=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\text{e}^{i\frac{\pi}{4}}}}}


3. Forme algébrique du nombre complexe Z_3

Z_3=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{e}^{-i\frac{\pi}{6}} =\dfrac{\sqrt{3}}{2}\left[ \cos(-\dfrac{\pi}{6})+i\sin(-\dfrac{\pi}{6})\right] =\dfrac{\sqrt{3}}{2}(\dfrac{\sqrt{3}}{2}-i\dfrac{1}{2})=\dfrac{3}{4}-i\dfrac{\sqrt{3}}{4}

\boxed{\textcolor{blue}{Z_3=\dfrac{3}{4}-i\frac{\sqrt{3}}{4}}}}


4. Nombre complexe Z=Z_2Z_3

a. Module et un argument du nombre complexe Z

Z=Z_2Z_3=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\text{e}^{i\frac{\pi}{4}}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{e}^{-i\frac{\pi}{6}} =\dfrac{\sqrt{6}}{4}\text{e}^{i(\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{6})}=\dfrac{\sqrt{6}}{4}\text{e}^{i\frac{\pi}{12}}

\boxed{\textcolor{blue}{\text{Le module de }Z\text{ est }\dfrac{\sqrt{6}}{4}\text{ et un argument de }Z\text{ est }\dfrac{\pi}{12}.}}}


b. Forme algébrique du nombre complexe Z

Z=Z_2Z_3=\left(\dfrac{1}{2}+i\dfrac{1}{2}\right)\left(\dfrac{3}{4}-i\dfrac{\sqrt{3}}{4}\right)=  \dfrac{3+\sqrt{3}}{8}+i\dfrac{3-\sqrt{3}}{8}

\boxed{\textcolor{blue}{Z=\dfrac{3+\sqrt{3}}{8}+i\dfrac{3-\sqrt{3}}{8}}}}


c. Valeurs exactes de \cos\dfrac{\pi}{12} et de \sin\dfrac{\pi}{12}

Z=\dfrac{\sqrt{6}}{4}\text{e}^{i\frac{\pi}{12}}\text{ et }Z=\dfrac{3+\sqrt{3}}{8}+i\dfrac{3-\sqrt{3}}{8}

Donc :

\cos\dfrac{\pi}{12}=\dfrac{4}{\sqrt{6}}\left(\dfrac{3+\sqrt{3}}{8}\right)\text{ et }\sin\frac{\pi}{12}= \dfrac{4}{\sqrt{6}}\left(\dfrac{3-\sqrt{3}}{8}\right)

 \text{ soit } \cos\dfrac{\pi}{12}=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\text{  et  }\sin\dfrac{\pi}{12}=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}

\boxed{\textcolor{blue}{\text{Les valeurs exactes sont }\cos\dfrac{\pi}{12}=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\text{ et }\sin\dfrac{\pi}{12}=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}.}}}


PROBLEME


f(x)=a\ln x+bx+\dfrac{c}{x}\text{ sur }]0,+\infty[\text{ avec }a\text{, }b\text{ et }c\in\mathbb{R}

Partie A : recherche de l'expression de f(x)


1. Valeurs de f(1), f'(1) et de f'(2)

La lecture graphique permet de voir que :

\text{. }f(1)=1

\text{. }f'(1)=1 car la tangente à la courbe en ce point a pour vecteur directeur \overrightarrow{U}(1\;;1) et son coefficient directeur est donc égal à 1.

\text{. }f'(2)=0 car la tangente à la courbe en ce point est parralèle à l'axe des abscisses, son coefficient directeur est donc nul.

\boxed{\textcolor{blue}{f(1)=1\text{, }f'(1)=1\text{ et }f'(2)=0.}}}


2. Dérivée f'(x)

f'(x)=a\times \dfrac{1}{x}+b-\dfrac{c}{x^2}=\dfrac{a}{x}+b-\dfrac{c}{x^2}

\boxed{\textcolor{blue}{f'(x)=\dfrac{a}{x}+b-\dfrac{c}{x^2}}}}


3. f(1), f'(1) et de f'(2) en fonction de a\text{, }b\text{ et }c

\text{. }f(x)=a\ln x+bx+\dfrac{c}{x}\Longrightarrow f(1)=a\ln 1+b\times 1+\dfrac{c}{1}=b+c

\text{. }f'(x)=\dfrac{a}{x}+b-\dfrac{c}{x^2}\Longrightarrow f'(1)=\dfrac{a}{1}+b-\dfrac{c}{1^2}=a+b-c

\text{. }f'(x)=\dfrac{a}{x}+b-\dfrac{c}{x^2}\Longrightarrow f'(2)=\dfrac{a}{2}+b-\dfrac{c}{2^2}=\dfrac{a}{2}+b-\dfrac{c}{4}

\boxed{\textcolor{blue}{f(1)=b+c\text{, }f'(1)=a+b-c\text{ et }f'(2)=\dfrac{a}{2}+b-\dfrac{c}{4}}}}



4. Système S

\text{. }f(1)=1\Longleftrightarrow b+c=1

\text{. }f'(1)=1\Longleftrightarrow a+b-c=1

\text{. }f'(2)=0\Longleftrightarrow\dfrac{a}{2}+b-\dfrac{c}{4}=0\Longleftrightarrow 2a+4b-c=0

\boxed{\textcolor{blue}{\left\lbrace\begin{array}l b+c=1 \\ a+b-c=1 \\ 2a+4b-c=0 \end{array}}}}



5. Résolution de S et expression de f(x)

\left\lbrace\begin{array}l b+c=1 \\ a+b-c=1 \\ 2a+4b-c=0 \end{array} \Leftrightarrow \left\lbrace\begin{array}l 2a+4b-c=0  \\ a+b-c=1 \\ b+c=1 \end{array} \Leftrightarrow \left\lbrace\begin{array}l 2a+4b-c=0  \\ 2a+2b-2c=2 \\ b+c=1 \end{array}

\Leftrightarrow\left\lbrace\begin{array}l 2a+4b-c=0  \\ 2b+c=-2 \\ b+c=1 \end{array} \Leftrightarrow \left\lbrace\begin{array}l 2a+4b-c=0  \\ 2b+c=-2 \\ 2b+2c=2 \end{array} \\\\ \Leftrightarrow   \left\lbrace\begin{array}l 2a+4b-c=0  \\ 2b+c=-2 \\ c=4 \end{array} \Leftrightarrow   \left\lbrace\begin{array}l a=8 \\ b=-3 \\ c=4 \end{array}

\boxed{\textcolor{blue}{f(x)=8\ln x-3x+\dfrac{4}{x}}}}


Partie B : étude de la fonction f



1. Limite de f en +\infty

\underset{x\to +\infty}{\lim}f(x)=\underset{x\to +\infty}{\lim}(8\ln x-3x+\dfrac{4}{x}) =\underset{x\to +\infty}{\lim}x(8\underbrace{\frac{\ln x}{x}}_{\to 0}-3+\underbrace{\dfrac{4}{x^2}}_{\to 0})=-\infty

\boxed{\textcolor{blue}{\underset{x\to +\infty}{\lim}f(x)=-\infty}}}


2. Limite de f en 0 et interprétation graphique

\underset{x\to 0}{\lim}f(x)=\underset{x\to 0}{\lim}(8\ln x-3x+\dfrac{4}{x}) =\underset{x\to 0}{\lim}\dfrac{\overbrace{8x\ln x-3x^2}^{\to 0}+4}{x}=\underset{x\to 0}{\lim}\dfrac{4}{x}=+\infty

\boxed{\textcolor{blue}{\underset{x\to 0}{\lim}f(x)=+\infty}}}

Quand x tend vers 0, f(x) tend vers +\infty

\boxed{\textcolor{blue}{\text{L'axe des ordonnées est donc asymptote à la courbe de }f.}}}


3. Dérivée f', tableau de variations de f et \alpha solution unique de f(x)=0

Dérivée :

La fonction f est dérivable sur ]0,+\infty[ comme somme de fonctions dérivables sur ]0,+\infty[.

f'(x)=8\times \dfrac{1}{x}-3-\dfrac{4}{x^2}=\dfrac{-3x^2+8x-4}{x^2}

Développons l'expression donnée :

f'(x)=\dfrac{(3x-2)(2-x)}{x^2}=\dfrac{6x-3x^2-4+2x}{x^2}=\dfrac{-3x^2+8x-4}{x^2}

\boxed{\textcolor{blue}{f'(x)=\dfrac{-3x^2+8x-4}{x^2}}}}

Tableau de variations :

f'(x)=\dfrac{(3x-2)(2-x)}{x^2}

Le dénominateur de f'(x) étant strictement positif sur ]0,+\infty[, f'(x) est du même signe que le numérateur (3x-2)(2-x).

(3x-2)(2-x) est un polynôme du second degré qui s'annule pour \frac{2}{3}\text{ et } 2, et dont le signe est négatif (signe de -3) sauf entre les racines.

\text{. Si }x\in]\dfrac{2}{3},2[\text{, alors }(3x-2)(2-x)>0 \text{ et } f'(x)>0\text{ donc f croissante} \\\\\text{. Si }x\in]0,\dfrac{2}{3}[\cup]2,+\infty[\text{, alors }(3x-2)(2-x)<0 \text{ et } f'(x)<0\text{ donc f décroissante}

 \begin{tabvar}{|C|CCCCCCCCC|}  \hline  x                      & 0   &&&  \frac{2}{3}  &          &2&       && +\infty      \\ \hline  f'(x)                & \dbarre&         &-&0&   +    &0&  -   &&       \\ \hline \niveau{2}{3} f       & \dbarre&+\infty  &\decroit&  4+8\ln\frac{2}{3}  &\croit  & 8\ln 2-4   & \decroit  &&   -\infty   \\ \hline \end{tabvar}


Solution unique : f(\alpha)=0\text{, }\alpha\in[4,5]

Nous avons :

\text{. }f(4)=8\ln 4-3\times 4+\dfrac{4}{4}=8\ln 4-11\approx 0,09>0 \\\\\text{. }f(5)=8\ln 5-3\times 5+\dfrac{4}{5}=8\ln 5-\dfrac{71}{5}\approx -1,32<0

La fonction f décroît strictement d'une valeur positive en x=4 à une valeur négative en x=5 .

\boxed{\textcolor{blue}{\text{Il existe donc une solution unique }\alpha\in [4,5]\text{ telle que }f(\alpha)=0.}}}


Encadrement :

f(4,07)\approx0,002 > 0\quad f(4,08)\approx -0,01 < 0 donc :


\boxed{\textcolor{blue}{\text{On a donc : }4,07<\alpha<4,08}}}

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