Fiche de mathématiques
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Bac Technologique - Sciences et Technologies Industrielles
Arts Appliqués
Antilles - Guyane - Session Septembre 2008

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Durée de l'épreuve : 2 heures - Coefficient 2

L'usage d'une calculatrice réglementaire est autorisé durant l'ensemble de l'épreuve.
Le formulaire officiel de mathématiques est joint au sujet.
Une feuille de papier millimétré est fournie.
8 points

exercice 1

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Parmi les réponses proposées, une seule est correcte. On indiquera seulement sur la copie, pour chaque question, la lettre correspondant à la réponse exacte. Aucune justification n'est demandée. Toutes les questions sont indépendantes.
Chaque réponse exacte rapporte un point. Les réponses fausses ne sont pas pénalisées.

1. La solution de l'équation : 2\ln x = 3 est :
a. 2\text{e}^{\frac{3}{2}}b. \text{e}^{\frac{3}{2}}c. \ln \dfrac{3}{2}d. 2\ln 3


2. On lance deux dés équilibrés à six faces numérotées de 1 à 6. On fait la somme des numéros sortis. La probabilité d'obtenir une somme égale à 5 est :
a. \dfrac{5}{36}b. \dfrac{1}{9}c. \dfrac{1}{6}d. \dfrac{1}{11}


3. Soit la fonction g définie sur \mathbb{R} par g(x) =  2x^3 -  6x + 1. L'équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction g au point d'abscisse 2 est :
a. y = 6x - 7b. y = 6x + 5c. y = 18x - 31d. y = 18x + 31


4. L'ensemble des solutions de l'inéquation : \text{e}^x \ge 2 est :
a. ]0~;~+ \infty[b. ]0~;~\ln 2[c. [\ln 2~;~+ \infty[d. ]- \infty~;~\text{e}^2[


5. Dans une classe de 24 élèves, 12 font de l'escalade, 9 font de la natation et 5 pratiquent les deux activités. On rencontre au hasard un élève de cette classe, la probabilité qu'il pratique au moins l'une de ces deux activités est :
a. \dfrac{11}{24}b. 0,6c. 0,875d. \dfrac{2}{3}


6. Dans un repère orthonormé (O ; \vec{i},\vec{j}) du plan, on considère les points F(3 ; 0) et F'(- 3 ; 0). On considère l'ensemble \mathcal{C} des points M du plan tels que MF + MF' = 10.
Affirmation 1 : la courbe \mathcal{C} est
a. une paraboleb. une ellipsec. une hyperboled. un cercle

Affirmation 2 : le point M est un sommet de la courbe \mathcal{C}
a. le point M (4 ; 0)b. le point M (2 ; 0)c. le point M (5 ; 0)d. le point M (0 ; 5)

Affirmation 3 : une équation cartésienne de la courbe \mathcal{C} est
a. \dfrac{x^2}{16} + \dfrac{y^2}{25} = 1b. \dfrac{x^2}{16} - \dfrac{y^2}{25} = 1c. 16x^2 + 25y^2 = 400d. 25x^2 - 16y^2 = 400



12 points

exercice

Soit f la fonction définie sur l'intervalle : ]0 ; +\infty[ par
 f(x) =  \ln x +  \ln (x + 1)
On note \mathcal{C} sa représentation graphique dans le plan rapporté à un repère orthogonal (O ; \vec{i},\vec{j}) d'unités graphiques 1 cm en abscisse et 2 cm en ordonnée.

Partie A :

1. a) Calculer \displaystyle\lim_{x \to 0} f(x). Quelle interprétation graphique peut-on en déduire pour la courbe \mathcal{C} ?
    b) Calculer \displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x).

2. On note f' la fonction dérivée de la fonction f.
Montrer que f'(x) = \dfrac{2x + 1}{x(x + 1)}.

3.
    a) Étudier, pour tout x de l'intervalle ]0 ;+\infty[, le signe de f'(x).
    b) En déduire le tableau de variations de f sur l'intervalle ]0 ; +\infty[.

4. Recopier et compléter le tableau suivant (les valeurs de f(x) seront arrondies à 10-1 près.)
x0,10,30,5124681012
f(x)   0,7      


Partie B

1. a) Résoudre dans ]0 ; +\infty[ l'équation f(x) = 0. (On vérifiera que f(x) s'écrit sous la forme f(x) = \ln [x(x + 1)] et on donnera la valeur exacte de la solution puis la valeur arrondie à 10-1 près).
    b) Interpréter graphiquement cette réponse.
    c) Montrer que la fonction f est strictement positive sur l'intervalle [1 ; +\infty[.

2. a) Montrer que la fonction F définie sur ]0 ; +\infty[ par F(x) =  x \ln x + (x + 1)\ln(x + 1) -  2x est une primitive de f sur l'intervalle.
    b) Calculer l'aire \mathcal{A} exprimée en cm2 de la partie du plan limitée par la courbe \mathcal{C}, l'axe des abscisses et les droites d'équations x =  1 et x = 12.
On donnera d'abord la valeur exacte, puis la valeur arrondie au cm2.




EXERCICE 1



1. \boxed{\textcolor{blue}{\text{La bonne réponse est la réponse b}.}}}

Explications :

2\ln x=3\Leftrightarrow \ln x=\dfrac{3}{2}\Leftrightarrow x=\text{e}^{\frac{2}{3}}


2. \boxed{\textcolor{blue}{\text{La bonne réponse est la réponse b}.}}}

Explications :

\text{Nombres d'issues possibles}=6\times 6=36

Les couples de valeurs permettant d'avoir une somme éqale à 5 à l'issue des 2 lancés sont les suivants : (1,4);(2,3);(3,2);(4,1)

Il y a donc 4 couples qui permettent d'obtenir une somme de 5 sur les 36 issues (couples) possibles, ce qui représente une probabilité de :

p(\text{somme égale à }5)=\dfrac{4}{36}=\dfrac{1}{9}


3. \boxed{\textcolor{blue}{\text{La bonne réponse est la réponse c}.}}}

Explications :

Une équation d'une tangente à une courbe de fonction f en un point d'abscisse x_0 est donnée par :

y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)

Donc au point d'abscisse x_0=2, nous avons :

y=g'(x_0)(x-x_0)+g(x_0)\Leftrightarrow y=g'(2)(x-2)+g(2)\\\\  \text{Or, }g'(x)=6x^2-6\Rightarrow g'(2)=6\times 2^2-6=18\\\\ \text{et }g(2)=2\times 2^3-6\times 2+1=5\\\\ \text{donc }y=18(x-2)+5=18x-31


4. \boxed{\textcolor{blue}{\text{La bonne réponse est la réponse c}.}}}

Explications :

\text{e}^x\geq 2\Leftrightarrow x\geq \ln 2\text{ donc }x\in[\ln 2,+\infty[


5. \boxed{\textcolor{blue}{\text{La bonne réponse est la réponse d}.}}}

Explications :

La classe comporte 24 élèves. Le nombre d'élèves N_a pratiquant au moins l'une des deux activités est égal à :

N_a=\text{Nombre d'élèves pratiquant l'escalade }+\text{ Nombre d'élèves pratiquant la natation }-\text{Nombre d'élèves pratiquant les deux } \\\\=12+9-5=16

La probabilité qu'un élève pris au hasard soit pratiquant d'au moins une des deux activités est donc donnée par :

p(\text{un élève pratique au moins une des deux activités})=\dfrac{8}{24}=\dfrac{2}{3}

6.

Affirmation 1 : \boxed{\textcolor{blue}{\text{La bonne réponse est la réponse b}.}}}

Affirmation 2 : \boxed{\textcolor{blue}{\text{La bonne réponse est la réponse c}.}}}

Affirmation 3 : \boxed{\textcolor{blue}{\text{La bonne réponse est la réponse c}.}}}

Explications :

1. MF+MF'=10 est la définition bifocale d'une ellipse (ici, vu les foyers, d'axe focal (0;\vec{i}).

2. Soit M(5,0). Alors MF+MF'=2+8=10

3. Procédons par élimination : les propositions b. et d. ne peuvent pas être retenues pour une équation d'ellipse. De plus la proposition a. n'est pas compatible avec le sommet trouvé lors de l'affirmation 2. La réponse juste est donc la réponse c.


EXERCICE 2


f(x)=\ln x+\ln (x+1)\text{ sur }]0,+\infty[

Partie A




1-a. Limite de f en 0 et interprétation graphique

\underset{x\to 0}{\lim}f(x)=\underset{x\to 0}{\lim}[\ln x+\underbrace{\ln (x+1)}_{\to 0}]=-\infty

\boxed{\textcolor{blue}{\underset{x\to 0}{\lim}f(x)=-\infty}}}

Quand x tend vers 0, f(x) tend vers -\infty

\boxed{\textcolor{blue}{\text{L'axe des ordonnées est donc asymptote à la courbe de }f.}}}


b. Limite de f en +\infty

\underset{x\to +\infty}{\lim}f(x)=\underset{x\to +\infty}{\lim}[\ln x+\ln (x+1)}]=+\infty

\boxed{\textcolor{blue}{\underset{x\to +\infty}{\lim}f(x)=+\infty}}}


2. Dérivée f'

La fonction f est dérivable sur ]0,+\infty[ comme somme et composée de fonctions dérivables sur ]0,+\infty[.

f'(x)=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x+1}=\dfrac{x+1+x}{x(x+1)}=\dfrac{2x+1}{x(x+1)}

\boxed{\textcolor{blue}{f'(x)=\dfrac{2x+1}{x(x+1)}}}}


3-a. Signe de f'

\forall x\in]0,+\infty[\text{, }x(x+1)>0

Le dénominateur de f'(x) étant strictement positif sur ]0,+\infty[, f'(x) a le même signe que le numérateur 2x+1.

Or, pour tout x appartenant à ]0,+\infty[, on a 2x+1>0 et donc f'(x)>0.

Donc f est strictement croissante sur ]0,+\infty[

\boxed{\textcolor{blue}{\forall x\in ]0,+\infty[\text{, }f'(x)>0}}}


b. Tableau de variations
 \begin{tabvar}{|C|CCCCC|}  \hline  x                      & 0   &&    &                 & +\infty      \\ \hline  f'(x)                & \dbarre&         &&   +         &       \\ \hline \niveau{2}{3} f       & \dbarre&-\infty  &&     \croit     &   +\infty   \\ \hline \end{tabvar}

4. Tableau de valeurs :

\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \cellcolor{blue!25}x&\cellcolor{blue!25} 0,1 &\cellcolor{blue!25} 0,3 &\cellcolor{blue!25} 0,5 &\cellcolor{blue!25} 1 &\cellcolor{blue!25} 2 &\cellcolor{blue!25} 4 &\cellcolor{blue!25} 6 &\cellcolor{blue!25} 8 &\cellcolor{blue!25} 10 &\cellcolor{blue!25} 12 \\ \hline \cellcolor{blue!25}f(x)& \color{blue} -2,2 & \color{blue} -0,9 & \color{blue} -0,3 & \color{black} 0,7 & \color{blue} 1,8 & \color{blue} 3,0 & \color{blue} 3,7 & \color{blue} 4,3 & \color{blue} 4,7 & \color{blue} 5,0 \\ \hline \end{tabular}


Partie B




1-a. Résolution de l'équation f(x)=0

On sait que :

Pour tout a et b strictement positifs, \ln (a\times b)=\ln a+\ln b

Donc :

\ln x+\ln (x+1)=0\Leftrightarrow \ln [x(x+1)]=0\Leftrightarrow x(x+1)=e^0\Leftrightarrow x^2+x=1 \Leftrightarrow x^2+x-1=0\\\\ \Delta=b^2-4ac=1^2-4\times 1\times (-1)=1+4=5 \\\\ x=\dfrac{-b\pm \sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-1\pm \sqrt{5}}{2} \Rightarrow \left\lbrace\begin{array}l x=\dfrac{-1+ \sqrt{5}}{2}\in ]0,+\infty[  \\\\ x=\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2}\notin ]0,+\infty[ \end{array}

\boxed{\textcolor{blue}{\text{L'équation }f(x)=0\text{ a pour solution }x=\dfrac{-1+ \sqrt{5}}{2}}}}


b. Interprétation graphique

\boxed{\textcolor{blue}{\text{La solution de l'équation }f(x)=0\text{ correspond à l'abscisse du point d'intersection entre la courbe de }f\text{ et l'axe des abscisses}.}}}


c. f strictement positive sur [1,+\infty[

On a démontré ci-dessus que la fonction f est strictement croissante sur ]0,+\infty[.

Or, on a vu que la fonction s'annule pour x=\dfrac{-1+ \sqrt{5}}{2}\approx 0,62<1, donc :

Donc :

Pour tout x>\dfrac{-1+ \sqrt{5}}{2}\text{, }f(x)>0

\boxed{\textcolor{blue}{\text{La fonction est donc strictement positive sur }[1,+\infty[.}}}


2-a. Primitive F(x)=x\ln x+(x+1)\ln (x+1)-2x

Les fonctions F \text{ et } f sont toutes deux définies sur ]0\;;+\infty[ et

F'(x)=\ln x+x\times \dfrac{1}{x}+\ln (x+1)+(x+1)\times \dfrac{1}{x+1}-2 =\ln x+1+\ln (x+1)+1-2=\ln x+\ln (x+1)=f(x)

\boxed{\textcolor{blue}{F\text{ est donc une primitive de }f \text{ sur } [0\;;+\infty[ .}}}}}


b. Aire \mathcal{A}

Sur [1 ; 12], f ne prend que des valeurs positives.

\mathcal{A}=\displaystyle {\int_{1}^{12}}f(x)dx=\left[ F(x)\right]_{1}^{12}=F(12)-F(1) =\left[ x\ln x+(x+1)\ln (x+1)-2x\right]_{1}^{12}\\\\=12\ln 12+13\ln 13-24-\cancel{1\ln 1}-2\ln 2+2  \\\\=12\ln 12+13\ln 13-2\ln 2-22\text{ unités d'aire}

\boxed{\textcolor{blue}{\mathcal{A}=12\ln 12+13\ln 13-2\ln 2-22\text{ unités d'aire}}}}}}

Le repère orthogonal ayant comme unités graphiques 1 cm en abscisse et 2 cm en ordonnée, on a :

1\text{ unité d'aire}=2\text{ cm}^2

\boxed{\textcolor{blue}{\mathcal{A}=(12\ln 12+13\ln 13-2\ln 2-22)\times 2\approx 80\text{ cm}^2.}}}}}

Représentation graphique : (non demandée)

bac STI arts appliqués, Antilles - Guyane - Septembre 2008 - terminale : image 1
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