Fiche de mathématiques
> >

Bac Technologique - Sciences et Technologies Industrielles
Arts Appliqués
Session 2008

Partager :
Durée de l'épreuve : 2 heures - Coefficient 2

L'usage d'une calculatrice réglementaire est autorisé durant l'ensemble de l'épreuve.
Le formulaire officiel de mathématiques est joint au sujet.
Une feuille de papier millimétré est fournie.
8 points

exercice 1

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple. Parmi les réponses proposées, une seule est correcte. On indiquera sur la copie, pour chaque question, la lettre correspondant à la réponse exacte. Aucune justification n'est demandée. Toutes les questions sont indépendantes. Chaque réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse ou l'absence de réponse n'est pas pénalisée.

1. A et B sont 2 évènements. La probabilité de l'évènement A est 0,4. La probabilité de l'évènement B est 0,6. La probabilité de l'évènement A \cap B est 0,2.
La probabilité de l'événement A \cup B est :
a) 0,8 b) 1 c) 1,2 d) 0,2


2. Une urne contient six boules : deux blanches notées B1, B2, trois jaunes notées J1, J2, J3, une verte notée V. On tire 2 boules de l'urne simultanément. On pourra s'aider d'un tableau.
La probabilité de l'évènement " les 2 boules tirées ont la même couleur " est :
a) \frac{2}{30} b) \frac{14}{36} c) \frac{8}{30} d) \frac{22}{30}


3. Dans un repère orthonormé, on considère la courbe (C) d'équation : 25x^2 - 36y^2 - 900 = 0 Cette courbe est :
a) une ellipse b) un cercle c) une hyperbole d) une parabole


4. Dans un repère orthonormé, l'ellipse (E) a pour équation : \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{4} = 1
Un de ses foyers a pour coordonnées :
a) \left(2\sqrt{5} \, ; \, 0\right) b) \left(0 \, ; \, 2\sqrt{5}\right) c) \left(0 \, ; \, 2\sqrt{3}\right) d) \left(2\sqrt{3} \, ; \, 0\right)


5. Soit la fonction f définie sur \mathbb{R} par : f(x) = x^3 + x et C sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
L'aire du domaine compris entre C, l'axe des abscisses et les droites d'équation x = 0 et x = 2 est, en unités d'aire :
a) 6 b) 10 c) 13 d) -6


6. La dérivée de la fonction f définie sur ]\frac{1}{3} \, ; \, +\infty[ par : f(x) = \ln(3x - 1) est :
a) f'(x) = \dfrac{1}{3x-1} b) f'(x) = 3 c) f'(x) = \dfrac{3}{3x-1} d) f'(x) = \dfrac{1}{(3x-1)^2}


7. Une primitive de la fonction f, définie sur ]0 ; +\infty[ par : f(x) = 2x + 1 + \frac{1}{x} est :
a) F(x) = 2 - \frac{1}{x^2} b) F(x) = x^2 + x + \ln x c) F(x) = 2 + \ln x d) F(x) = 2


8. La solution de l'équation : \frac{1}{2}e^x = 5 est :
a) 2ln5 b) ln10 c) 10 d) e10



12 points

exercice 2

Pour une entreprise de production d'énergies renouvelables, un graphiste conçoit un logo dont la construction apparaît dans le problème suivant.

PARTIE A

Soit la fonction f définie sur [0 ; 2] par : f(x) = e^x + 1
C désigne sa courbe représentative dans le repère orthonormé (O \, ; \, \overrightarrow{i} \, , \overrightarrow{j}), d'unité graphique 1 cm.

1. a) Calculer la dérivée de la fonction f et étudier son signe sur l'intervalle [0 ; 2].
   b) Dresser le tableau de variations de f sur l'intervalle [0 ; 2].

2. Recopier et compléter le tableau suivant. Les résultats seront arrondis à 10-1 près.

x 0 0,5 1 1,5 2
f(x)          


3. Construire la courbe C de la fonction f. Le point O sera placé au centre de la feuille de papier millimétré.

PARTIE B

Soit la fonction g définie sur l'intervalle [0 ; 2] par : g(x) = -x^2 + 2x et C' sa courbe représentative dans le repère (O \, ; \, \overrightarrow{i} \, , \, \overrightarrow{j}).

1. Calculer la dérivée de la fonction g et dresser le tableau de variation de g sur [0 ; 2].

2. Donner une équation de la tangente T à la courbe C' en son point d'abscisse 2.

3. Construire T et C' dans le repère (O \, ; \, \overrightarrow{i} \, , \, \overrightarrow{j})

PARTIE C

On appelle D le domaine compris entre C, C' et les droites d'équations x = 0 et x = 2.
On admet que f(x) \geq g(x) pour tout x de l'intervalle [0 ; 2] et que l'aire du domaine D, en unités d'aire, est donnée par la formule A = \displaystyle \int_0^2 [f(x) - g(x)] \text{d}x
Calculer la valeur exacte de cette aire en cm², puis la valeur arrondie à 10-1 près.

PARTIE D

1. Dessiner le domaine D1, symétrique de D par rapport à O.
Colorier le domaine réunion de D1 et D.

2. Dessiner le domaine D2, obtenu par rotation de centre O et d'angle 90° du domaine colorié précédemment.






exercice 1

1. Réponse a : 0,8
On utilise la formule P(\text{A} \cup \text{B}) = P(\text{A}) + P(\text{B}) - P(\text{A} \cap \text{B}) = 0,4 + 0,6 - 0,2 = 0,8

2. Réponse c : p = \frac{8}{30}
A l'aide d'un tableau, on dénombre 8 tirages où les deux boules sont de la même couleur sur les 30 tirages possibles, donc p = \frac{8}{30}.
bac STI arts appliqués, Métropole 2008 - terminale : image 1


3. Réponse c : une hyperbole
25x^2 - 36y^2 - 900 = 0 \, \Longleftrightarrow \, \frac{25 x^2}{25 \times 36} - \frac{36 y^2}{25 \times 36} = \frac{900}{25 \times 36}  \, \Longleftrightarrow \, \frac{x^2}{6^2} - \frac{y^2}{5^2} = 1
C'est donc une équation d'hyperbole de la forme \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1

4. Réponse d : un des foyers a pour coordonnées (2\sqrt3;0)
L'équation \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{4} = 1 est de la forme \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 avec a^2 > b^2 donc les foyers sont sur l'axe des abscisses et ont pour coordonnées \text{F}(-c ; 0) et \text{F}(c;0) avec c = \sqrt{a^2-b^2} = \sqrt{16-4} = \sqrt{12} = \sqrt{4\times 3} = 2\sqrt{3}.

5. Réponse a : 6
La fonction f est strictement positive sur [0 ; 2], donc l'aire est donnée par :
A = \displaystyle \int_0^2 f(x) dx \\ A = [F(x)]_0^2 \\ A = [\frac{x^4}{4}+\frac{x^2}{2}]_0^2 \\ A = \frac{2^4}{4}+\frac{2^2}{2} - 0 \\ A = \frac{16}{4}+\frac{4}{2} \\ A = 6

6. Réponse c : f'(x)=\frac{3}{3x-1}
La dérivée de \ln u est \frac{u'}{u}. Ici, avec u=3x-1, on a u^'=3 donc f'(x) = \frac{3}{3x-1}

7. Réponse b : F(x)=x^2+x+\ln x
Une primitive de 2x est x^2 ; Une primitive de 1 est x ; Une primitive de \frac{1}{x} est \ln x

8.4 Réponse b : x=\ln 10
\frac{1}{2}e^x = 5 \, \Longleftrightarrow \, e^x = 10  \, \Longleftrightarrow \, x = \ln 10




exercice 2

PARTIE A

1. a) Calcul de la dérivée : \boxed{f'(x) = e^x}
Signe de la dérivée : Une exponentielle est toujours strictement positive, donc la fonction dérivée f' est strictement positive.
1. b) On en déduit les variations de la fonction f, avec f(0)=e^0+1=1+1=2 et f(2)=e^2+1 :
bac STI arts appliqués, Métropole 2008 - terminale : image 2


2. Tableau de valeurs

x 0 0,5 1 1,5 2
f(x) 2 2,6 3,7 5,5 8,4


3. Représentation graphique
bac STI arts appliqués, Métropole 2008 - terminale : image 4


PARTIE B

1. Etude de la fonction g :
Calcul de la dérivée : \boxed{g'(x) = -2x+2}
On a : g'(x) = 0 \, \Longleftrightarrow \, -2x+2 = 0 \, \Longleftrightarrow \, -2x = -2 \, \Longleftrightarrow \, x = \frac{-2}{-2} \, \Longleftrightarrow \, x = 1
Et : g'(x) > 0 \, \Longleftrightarrow \, -2x+2 > 0 \, \Longleftrightarrow \, -2x > -2 \, \Longleftrightarrow \, x < \frac{-2}{-2} \, \Longleftrightarrow \, x < 1
On obtient donc le tableau de signe de la fonction dérivée g' et on en déduit les variations de la fonction g sur [0 ; 2] :
bac STI arts appliqués, Métropole 2008 - terminale : image 3


2. L'équation de la droite tangente au point d'abscisse a est donnée par : y = f'(a)(x-a)+f(a)
Avec a = 2, on a : g(2)=0 et g'(2)=-2 donc l'équation est : y = -2(x-2) soit \boxed{y=-2x+4}

3. Voir graphique de la question A3.

PARTIE C

Soit h la fonction définie sur [0 ; 2] par : h(x) = f(x)-g(x) = e^x+1+x^2-2x
Soit H une primitive de la fonction h : H(x) = e^x + x +\frac{x^3}{3} - x^2
On a donc :
A = \displaystyle \int_0^2 [f(x)-g(x)]dx \\ A = [H(x)]_0^2 \\ A = H(2) - H(0) \\ A = \left( e^2 + 2 +\frac{2^3}{3} - 2^2 \right) - \left( e^0 + 0 +\frac{0^3}{3} - 0^2 \right) \\ A = e^2 + 2 +\frac{8}{3} - 4 - 1 \\ \boxed{A = e^2 - \frac{1}{3} \\ 	A \approx 7,1 \, cm^2}

PARTIE D

On obtient le dessin ci-dessous.
bac STI arts appliqués, Métropole 2008 - terminale : image 5
Publié le
ceci n'est qu'un extrait
Pour visualiser la totalité des cours vous devez vous inscrire / connecter (GRATUIT)
Inscription Gratuite se connecter
Merci à
jamo Moderateur
pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche


Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1328 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !