Bac Technologique - Sciences et Technologies Industrielles
Arts Appliqués
Session 2008
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Durée de l'épreuve : 2 heures - Coefficient 2
L'usage d'une calculatrice réglementaire est autorisé durant l'ensemble de l'épreuve.
Le formulaire officiel de mathématiques est joint au sujet.
Une feuille de papier millimétré est fournie.
8 points
exercice 1
Cet exercice est un questionnaire à choix multiple. Parmi les réponses proposées, une seule est correcte. On indiquera sur la copie, pour chaque question, la lettre correspondant à la réponse exacte. Aucune justification n'est demandée. Toutes les questions sont indépendantes. Chaque réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse ou l'absence de réponse n'est pas pénalisée.
1. A et B sont 2 évènements. La probabilité de l'évènement A est 0,4. La probabilité de l'évènement B est 0,6. La probabilité de l'évènement A B est 0,2.
La probabilité de l'événement A B est :
a) 0,8
b) 1
c) 1,2
d) 0,2
2. Une urne contient six boules : deux blanches notées B1, B2, trois jaunes notées J1, J2, J3, une verte notée V. On tire 2 boules de l'urne simultanément. On pourra s'aider d'un tableau.
La probabilité de l'évènement " les 2 boules tirées ont la même couleur " est :
a)
b)
c)
d)
3. Dans un repère orthonormé, on considère la courbe d'équation : Cette courbe est :
a) une ellipse
b) un cercle
c) une hyperbole
d) une parabole
4. Dans un repère orthonormé, l'ellipse (E) a pour équation : Un de ses foyers a pour coordonnées :
a)
b)
c)
d)
5. Soit la fonction définie sur par : et sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
L'aire du domaine compris entre , l'axe des abscisses et les droites d'équation et est, en unités d'aire :
a) 6
b) 10
c) 13
d) -6
6. La dérivée de la fonction définie sur par : est :
a)
b)
c)
d)
7. Une primitive de la fonction , définie sur ]0 ; +[ par : est :
a)
b)
c)
d)
8. La solution de l'équation : est :
a) 2ln5
b) ln10
c) 10
d) e10
12 points
exercice 2
Pour une entreprise de production d'énergies renouvelables, un graphiste conçoit un logo dont la construction apparaît dans le problème suivant.
PARTIE A
Soit la fonction définie sur [0 ; 2] par : désigne sa courbe représentative dans le repère orthonormé , d'unité graphique 1 cm.
1. a) Calculer la dérivée de la fonction et étudier son signe sur l'intervalle [0 ; 2].
b) Dresser le tableau de variations de sur l'intervalle [0 ; 2].
2. Recopier et compléter le tableau suivant. Les résultats seront arrondis à 10-1 près.
0
0,5
1
1,5
2
3. Construire la courbe de la fonction . Le point O sera placé au centre de la feuille de papier millimétré.
PARTIE B
Soit la fonction g définie sur l'intervalle [0 ; 2] par : et sa courbe représentative dans le repère .
1. Calculer la dérivée de la fonction g et dresser le tableau de variation de g sur [0 ; 2].
2. Donner une équation de la tangente à la courbe en son point d'abscisse 2.
3. Construire et dans le repère
PARTIE C
On appelle D le domaine compris entre , et les droites d'équations et .
On admet que pour tout de l'intervalle [0 ; 2] et que l'aire du domaine D, en unités d'aire, est donnée par la formule Calculer la valeur exacte de cette aire en cm², puis la valeur arrondie à 10-1 près.
PARTIE D
1. Dessiner le domaine D1, symétrique de D par rapport à O.
Colorier le domaine réunion de D1 et D.
2. Dessiner le domaine D2, obtenu par rotation de centre O et d'angle 90° du domaine colorié précédemment.
2.Réponse c : A l'aide d'un tableau, on dénombre 8 tirages où les deux boules sont de la même couleur sur les 30 tirages possibles, donc .
3.Réponse c : une hyperbole C'est donc une équation d'hyperbole de la forme
4.Réponse d : un des foyers a pour coordonnées L'équation est de la forme avec donc les foyers sont sur l'axe des abscisses et ont pour coordonnées et avec .
5.Réponse a : 6 La fonction est strictement positive sur [0 ; 2], donc l'aire est donnée par :
6.Réponse c : La dérivée de est . Ici, avec , on a donc
7.Réponse b : Une primitive de est ; Une primitive de 1 est ; Une primitive de est
8.4 Réponse b :
exercice 2
PARTIE A
1. a)Calcul de la dérivée : Signe de la dérivée : Une exponentielle est toujours strictement positive, donc la fonction dérivée est strictement positive.
1. b) On en déduit les variations de la fonction , avec et :
2. Tableau de valeurs
0
0,5
1
1,5
2
2
2,6
3,7
5,5
8,4
3. Représentation graphique
PARTIE B
1.Etude de la fonction g : Calcul de la dérivée : On a : Et : On obtient donc le tableau de signe de la fonction dérivée g' et on en déduit les variations de la fonction g sur [0 ; 2] :
2. L'équation de la droite tangente au point d'abscisse a est donnée par : Avec a = 2, on a : et donc l'équation est : soit
3. Voir graphique de la question A3.
PARTIE C
Soit h la fonction définie sur [0 ; 2] par : Soit H une primitive de la fonction h : On a donc :
PARTIE D
On obtient le dessin ci-dessous.
Publié par Cel/jamo
le
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B est 0,2.
B est :
)
d'équation : 
Cette courbe est :
définie sur 
par :  = x^3 + x)
et 
sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
et 
est, en unités d'aire :
![]\frac{1}{3} \, ; \, +\infty[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?]\frac{1}{3} \, ; \, +\infty[)
par :  = \ln(3x - 1))
est :
[ par :  = 2x + 1 + \frac{1}{x})
est :
est :
 = e^x + 1)
)
, d'unité graphique 1 cm.
 = -x^2 + 2x)
et 
sa courbe représentative dans le repère )
.
à la courbe  \geq g(x))
pour tout 
de l'intervalle [0 ; 2] et que l'aire du domaine D, en unités d'aire, est donnée par la formule ![A = \displaystyle \int_0^2 [f(x) - g(x)] \text{d}x](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A = \displaystyle \int_0^2 [f(x) - g(x)] \text{d}x)
 = P(\text{A}) + P(\text{B}) - P(\text{A} \cap \text{B}) = 0,4 + 0,6 - 0,2 = 0,8)
)
avec 
donc les foyers sont sur l'axe des abscisses et ont pour coordonnées )
et )
avec 
.
![A = \displaystyle \int_0^2 f(x) dx \\ A = [F(x)]_0^2 \\ A = [\frac{x^4}{4}+\frac{x^2}{2}]_0^2 \\ A = \frac{2^4}{4}+\frac{2^2}{2} - 0 \\ A = \frac{16}{4}+\frac{4}{2} \\ A = 6](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A = \displaystyle \int_0^2 f(x) dx \\ A = [F(x)]_0^2 \\ A = [\frac{x^4}{4}+\frac{x^2}{2}]_0^2 \\ A = \frac{2^4}{4}+\frac{2^2}{2} - 0 \\ A = \frac{16}{4}+\frac{4}{2} \\ A = 6)
=\frac{3}{3x-1})
est 
. Ici, avec 
, on a 
donc  = \frac{3}{3x-1})
=x^2+x+\ln x)
est 
; Une primitive de 1 est 
est 
 = e^x})
est strictement positive.
=e^0+1=1+1=2)
et =e^2+1)
:
 = -2x+2})
 = 0 \, \Longleftrightarrow \, -2x+2 = 0 \, \Longleftrightarrow \, -2x = -2 \, \Longleftrightarrow \, x = \frac{-2}{-2} \, \Longleftrightarrow \, x = 1)
 > 0 \, \Longleftrightarrow \, -2x+2 > 0 \, \Longleftrightarrow \, -2x > -2 \, \Longleftrightarrow \, x < \frac{-2}{-2} \, \Longleftrightarrow \, x < 1)
(x-a)+f(a))
=0)
et =-2)
donc l'équation est : )
soit 
 = f(x)-g(x) = e^x+1+x^2-2x)
 = e^x + x +\frac{x^3}{3} - x^2)
![A = \displaystyle \int_0^2 [f(x)-g(x)]dx \\ A = [H(x)]_0^2 \\ A = H(2) - H(0) \\ A = \left( e^2 + 2 +\frac{2^3}{3} - 2^2 \right) - \left( e^0 + 0 +\frac{0^3}{3} - 0^2 \right) \\ A = e^2 + 2 +\frac{8}{3} - 4 - 1 \\ \boxed{A = e^2 - \frac{1}{3} \\ A \approx 7,1 \, cm^2}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A = \displaystyle \int_0^2 [f(x)-g(x)]dx \\ A = [H(x)]_0^2 \\ A = H(2) - H(0) \\ A = \left( e^2 + 2 +\frac{2^3}{3} - 2^2 \right) - \left( e^0 + 0 +\frac{0^3}{3} - 0^2 \right) \\ A = e^2 + 2 +\frac{8}{3} - 4 - 1 \\ \boxed{A = e^2 - \frac{1}{3} \\ A \approx 7,1 \, cm^2})
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