Fiche de mathématiques

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Bac Technologique - Sciences et Technologies de Laboratoire
Spécialité : Biochimie Génie Biologique
Métropole - Session Juin 2008

Durée de l'épreuve : 2 heures - Coefficient 2

La clarté des raisonnements et la qualité de la rédaction interviendront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
L'usage des instruments de calcul et du formulaire officiel, distribué par le centre d'examen, est autorisé.

10 points

exercice 1

L'invertase est un enzyme de la muqueuse de l'intestin grêle qui catalyse l'hydrolyse du saccharose alimentaire en glucose et fructose. Ceci se fait suivant la réaction : saccharose + eau $\longleftrightarrow$ glucose + fructose Un série de cinétiques enzymatiques a été réalisée avec des conditions physico-chimiques identiques (pH, température, . . . ). Pour chaque concentration initiale en saccharose S_i, on a mesuré la vitesse initiale V_i de la réaction.

Rang de la mesure	1	2	3	4	5	6
S_i (mol.dm^-3)	1 × 10^-2	2 × 10^-2	3 × 10^-2	4 × 10^-2	10 × 10^-2	15 × 10^-2
_{V_i ( mol.min^-1)}	0,36	0,6	0,8	0,92	1,28	1,41

On pose : $X_i = \dfrac{1}{S_i}$ et $Y_i = \dfrac{1}{V_i}$ .

1. Recopier et compléter le tableau ci-dessous. Donner les valeurs arrondies à l'unité de $X_i$ et les valeurs approchées à 10^-2 près de $Y_i$ :

Rang de la mesure	1	2	3	4	5	6
X_i			33			7
Y_i	2,78			1,09

Représenter le nuage de points de coordonnées M_i(X_i ; Y_i) dans un repère orthogonal (1 cm pour 10 en abscisse, 1 cm pour 0,25 en ordonnée).

2. Déterminer les coordonnées du point moyen G du nuage. Placer G dans le repère précédent.

3.On choisit comme droite d'ajustement affine la droite d passant par G et de coefficient directeur 2,23 × 10^-2.
    a) Déterminer à 10^-2 près l'ordonnée à l'origine de la droite d.
    b) Tracer la droite d.

4. On cherche à estimer la vitesse initale V de réaction pour une concentration initiale en saccharose S telle que S = 20 × 10^-2 mol.dm^-3.
    a) Calculer $\dfrac{1}{S}$ .
    b) En déduire une valeur approchée à 10^-2 près de V.

5. Les biologistes montrent que la relation entre la vitesse initiale V de la réaction et la concentration initiale S en saccharose s'écrit $\dfrac{1}{V} = \dfrac{K}{V_{max}} \times \dfrac{1}{S} + \dfrac{1}{V_{max}}$ , relation dans laquelle K est une constante et V_max la vitesse maximale de la réaction.
    a) Déduire de ce qui précède une valeur approchée à 10^-2 près de V_max.
    b) En déduire une valeur approchée de K.

10 points

exercice 2

On considère les fonctions $f, \, g, \, h \text{ et } i$ définies sur l'intervalle [0 ; + $\infty$ [ par : $f(x) = 4 - \dfrac{1}{x+2} \hspace{15pt} g(x) = (x - 1)e^{-x} + 4 \hspace{15pt} h(x) = 3 + \ln(x + 1) \hspace{15pt} i(x) = -e^{-x} + 4$ On note $f', \, g', \, h' \text{ et } i'$ les fonctions dérivées des fonctions $f, \, g, \, h \text{ et } i$ .

Partie A

La courbe $C$ ci-dessous possède les propriétés suivantes :
Le point A de coordonnées (0 ; 3) appartient à $C$ .
la droite $\Delta$ d'équation y = 4 est asymptote à $C$ .
La droite (AB) où B est le point de coordonnées (1 ; 5) est tangente à $C$ en A.

sujet bac STL Biochimie Génie Biologique, 2008 - terminale : image 1

Le but de cette première partie est de déterminer laquelle des fonctions $f, \, g, \, h \text{ et } i$ admet pour représentation graphique la courbe $C$ . Pour cela, nous allons étudier des propriétés de ces fonctions et éliminer celles qui ne conviennent pas.

Fonction	Valeur de la fonction en 0	Limite de la fonction en + $\infty$	Valeur de la fonction dérivée en 0
$f$			*
$g$		*
$h$			*
$i$		*

1. Recopier et remplir le tableau ci-dessus. On justifiera les résultats donnés dans les cases (*).

2. A la lecture de ce tableau, déterminer la fonction représentée par la courbe $C$ .

Partie B

1. Etudier le signe de la dérivée de la fonction trouvée.

2. Dresser son tableau de variations.

Voir la correction

exercice 1

1. Tableau de valeurs et nuage de points :

Rang de la mesure	1	2	3	4	5	6
X_i	100	50	33	25	10	7
Y_i	2,78	1,67	1,25	1,09	0,78	0,71

sujet bac STL Biochimie Génie Biologique, 2008 - terminale : image 2

2. Coordonnées du point moyen G :
$x_{\text{G}} = \dfrac{100+50+33+25+10+7}{6} = \dfrac{225}{6} = 37,5 \\ y_{\text{G}} = \dfrac{2,78+1,67+1,25+1,09+0,78+0,71}{6} = \dfrac{8,28}{6} = 1,38$
Le point G a pour coordonnées : $\boxed{\text{G} (37,5 ; 1,38)}$

3. a) Une équation de droite est de la forme : $y=mx+p$
Le coefficient directeur est égal à $m=2,23 \times 10^{-2}$
Le point G appartient à la droite, donc :
$y_{\text{G}} = 2,23 \times 10^{-2} x_{\text{G}} + p \\ \Longleftrightarrow \, 1,38 = 2,23 \times 10^{-2} \times 37,5 + p \\ \Longleftrightarrow \, p = 1,38 - 2,23 \times 10^{-2} \times 37,5 \\ \Longleftrightarrow \, p = 1,38 - 0,83625 \\ \Longleftrightarrow \, \boxed{p \approx 0,54}$

3. b) Voir graphique ci-dessus.

4. a) $\dfrac{1}{S} = \dfrac{1}{20 \times 10^{-2}} = \boxed{5}$

4. b) On calcule la valeur de Y correspond à la valeur $x$ =5 :
$Y = 2,23 \times 10^{-2} \times 5 + 0,54 \approx 0,6515$
On calcule ensuite la valeur de V correspondante :
$Y = \dfrac{1}{V} \, \Longleftrightarrow \, V = \dfrac{1}{Y} = \dfrac{1}{0,6515} \approx \boxed{1,53}$

5. a) On a : $Y = 2,23 \times 10^{-2} X + 0,54$
Avec $X = \dfrac{1}{S}$ et $Y = \dfrac{1}{V}$ :
$\dfrac{1}{V} = 2,23 \times 10^{-2} \dfrac{1}{S} + 0,54$
Par identification avec : $\dfrac{1}{V} = \dfrac{K}{V_{max}} \times \dfrac{1}{S} + \dfrac{1}{V_{max}}$
On a : $\dfrac{1}{V_{max}} = 0,54$ donc $\boxed{V_{max} = \dfrac{1}{0,54} \approx 1,85}$

5. b) De même, on a : $\dfrac{K}{V_{max}} = 2,23 \times 10^{-2}$ donc $K = 2,23 \times 10^{-2} \times V_{max} = 2,23 \times 10^{-2} \times 1,85 \approx 0,041$
$\boxed{K \approx 0,041}$

exercice 2

Partie A

1. Etude de la fonction $f$ :
$f(0) = 4 - \dfrac{1}{0+2} = 4 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{7}{2} = 3,5$
$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \, x+2 = +\infty$ donc $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \, \dfrac{1}{x+2} = 0$ donc $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \, f(x) = 4 - 0 = 4$
Pour tout réel $x$ positif, on a : $f'(x) = \dfrac{1}{(x+2)^2}$ (en utilisant $\left( \dfrac{1}{u} \right)' = -\dfrac{u'}{u^2}$ )
Donc : $f'(0) = \dfrac{1}{(0+2)^2} = \dfrac{1}{4} = 0,25$

Etude de la fonction g
$g(0) = (0-1)e^0 + 4 = -1 \times 1 + 4 = -1+4 = 3 \\ g(x) = (x-1)e^{-x} + 4 = xe^{-x} - e^{-x} + 4$
$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \, xe^{-x} = 0$ et $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \, e^{-x} = 0$ donc $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \, g(x) = 0+4 = 4$
En posant $u(x) = x-1$ et $v(x) = e^{-x}$ donc : $u'(x) = 1$ et $v'(x) = -e^{-x}$ , on a :
$g'(x) = u'(x) v(x) + u(x) v'(x) = e^{-x} + (x-1)\times (-e^{-x}) = e^{-x} - (x-1) e^{-x} = (-x+2)e^{-x}$
Donc : $g'(0) = (-0+2)e^0 = 2 \times 1 = 2$

Etude de la fonction h
$h(0) = 3 + \ln(0+1) = 3 + \ln(1) = 3 + 0 = 0$
$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \, \ln(x+1) = +\infty$ donc $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \, h(x) = +\infty$
Pour tout réel $x$ positif, on a : $h'(x) = \dfrac{1}{x+1}$ (en utilisant $\left( \ln u \right)' = \dfrac{u'}{u}$ )
Donc : $h'(0) = \dfrac{1}{0+1}=\dfrac{1}{1} = 1$

Etude de la fonction i
$i(0) = -e^0 + 4 = -1+4 = 3$
$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \, e^{-x} = 0$ donc $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \, i(x) = 0+4 = 4$
Pour tout réel $x$ positif, on a : $i'(x) = e^{-x}$
Donc : $i'(0) = e^0 = 1$

On a donc le tableau suivant :

Fonction	Valeur de la fonction en 0	Limite de la fonction en + $\infty$	Valeur de la fonction dérivée en 0
$f$	3,5	4	0,25
$g$	3	4	2
$h$	0	+ $\infty$	1
$i$	3	4	1

2. D'après le graphique, le coefficient directeur de la tangente en 0 est égal à 2, qui est égal au nombre dérivé de la fonction en 0.
D'autre part, la valeur de la fonction doit également être égale à 3 (ordonnée à l'origine) et la limite en l'infini doit être égale à 4 (asymptote horizontale).
On constate donc que c'est la fonction g qui vérifie toutes les conditions.

Partie B

1. Dans la partie 1, on a détérminé la fonction dérivée de la fonction g :
$g'(x) = (-x+2)e^{-x}$
Une exponentielle étant toujours strictement positive, on a :
$g'(x) = 0 \, \Longleftrightarrow \, -x+2 = 0 \, \Longleftrightarrow \, x = 2$
De même : $g'(x) > 0 \, \Longleftrightarrow \, -x > -2 \, \Longleftrightarrow \, x < 2$
On en déduit le tableau de signe de la fonction g :
$\begin{array}{c|ccccc} x&0& &2& &+\infty \\ \hline -x+2& &+&0&-& \\ \hline e^{-x} & &+&|&+& \\ \hline g^'(x) & &+&0&-& \\ \end{array}$

2. On en déduit les variations de la fonction :
$\begin{array}{c|ccccccc} x&&0& &2&+\infty\\ \hline g(x)&&_0&\nearrow&^{4+e^{-2}}&\searrow_4\\ \end{array}$
Avec : $g(2)=(2-1)e^{-2}+4=e^{-2}+4=4+e^{-2}$

Publié par Cel/jamo le 19-02-2009

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