Fiche de mathématiques

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Bac Technologique - Sciences et Technologies de Laboratoire
Spécialité : Biochimie Génie Biologique
La Réunion - Session Juin 2008

Durée de l'épreuve : 2 heures - Coefficient 2

La clarté des raisonnements et la qualité de la rédaction interviendront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
L'usage des instruments de calcul et du formulaire officiel, distribué par le centre d'examen, est autorisé.

9 points

exercice 1

Le tableau suivant donne les concentrations plasmatiques (en $\mu$ g / ml) en fonction du temps (en minutes) chez un sujet ayant reçu par voie intraveineuse une dose de 1 mg / kg d'un médicament.

Temps (min) : t_i	0	10	20	30	40	50	60
Concentration (en $\mu$ g / ml) : c_i	18,2	14,9	12,2	11,0	9	8,2	5,5

1. Recopier et compléter le tableau suivant :

t_i	0	10	20	30	40	50	60
y_i = ln c_i

Dans cette question, les valeurs numériques seront arrondies au dixième.

2. Tracer dans le repère orthogonal le nuage de points M_i(t_i ; y_i).
On prendra : en abscisses 1 cm pour 5 minutes, en ordonnées 5 cm pour 1 unité.
Un ajustement affine paraît-il justifié ?

3. Recherche d'un ajustement affine :
    a) On note G₁ le point moyen du sous-nuage formé par les points M₁, M₂ et M₃ et G₂ le point moyen du sous-nuage formé par les points M₄, M₅, M₆ et M₇.
Déterminer les coordonnées des points G₁ et G₂.
    b) Placer ces points sur le graphique et tracer la droite (G₁G₂).
    c) Déterminer une équation de la droite (G₁G₂).

4. Dans cette question on utilisera l'ajustement affine d'équation y = -0,02t + 2,9. Calculer :
    a) le temps nécessaire pour atteindre une concentration plasmatique de 4 $\mu$ g / ml (on arrondira le résultat à la minute près).
    b) la concentration plasmatique au bout de 1 h 10 min (on arrondira le résultat à 10^-1 près).

11 points

exercice 2

Partie A : lecture graphique

Le graphique ci-dessous donne la courbe représentant une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle ]-1 ; + $\infty$ [, et ses tangentes aux points d'abscisses 0, 0,5 et 3. On note $f'$ la dérivée de $f$ .
Chacune des questions de cette partie A sera traitée graphiquement. Aucune justification n'est demandée.

1. Donner une approximation de $f(1)$ à 0,1 près.

2. Donner le nombre de solutions de l'équation $f(x) = -3$ , puis une valeur approchée à 0,1 près de chacune d'elles.

3. Déterminer $f'(0), \, f'(0,5) \text{ et } f'(3)$ .

4. Résoudre l'inéquation $f'(x) \leq 0$ .

bac STL Biochimie Génie Biologique, La Réunion 2008 - terminale : image 1

Partie B : étude d'une fonction

On admet que la fonction $f$ représentée dans la partie A est définie par : $f(x) = x^2 - 9x - 2 + 12\ln(x + 1)$ .

1. Déterminer la limite de $f$ en - 1. On admettra que la limite de $f$ en $+\infty$ est $+\infty$ .

2. Calculer $f'(x)$ puis montrer que $f'(x) = \dfrac{2x^2 - 7x + 3}{x + 1}$ .

3. Etudier le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle ]-1 ; + $\infty$ [.

4. En déduire le tableau de variations de $f$ .

5. Montrer qu'il existe une seule solution $\alpha$ dans l'intervalle [5 ; 6] et donner une valeur approchée de $\alpha$ à 10^-1 près.

Voir la correction

exercice 1

1. On obtient le tableau suivant.

$t_i$	0	10	20	30	40	50	60
$y_i = \ln c_i$	2,9	2,7	2,5	2,4	2,2	2,1	1,7

2. On obtient le nuage de points ci-dessous.
Les points semblent à peu prés regroupés autour d'une droite, donc un ajustement affine est justifié.

bac STL Biochimie Génie Biologique, La Réunion 2008 - terminale : image 2

3. a) Coordonnées des points G₁ et G₂.
$t_1 = \dfrac{0+10+20}{3} = \dfrac{30}{3} = 10 \\ y_1 = \dfrac{2,9+2,7+2,5}{3} = \dfrac{8,1}{3} = 2,7 \\ t_2 = \dfrac{30+40+50+60}{4} = \dfrac{180}{4} = 45 \\ y_2 = \dfrac{2,4+2,2+2,1+1,7}{4} = \dfrac{8,4}{4} = 2,1$
Donc les points ont pour coordonnées : $\boxed{\text{G}_1(10 \, ; \, 2,7) \, \, \, \text{G}_2(45 \, ; \, 2,1)}$

3. b) Voir graphique ci-dessus.

3. c) L'équation de la droite (G₁G₂) est de la forme $y=mt+p$
Calcul du coefficient directeur m :
$m = \dfrac{y_{\text{G}_2} - y_{\text{G}_1}}{t_{\text{G}_2} - t_{\text{G}_1}} = \dfrac{2,1-2,7}{45-10} = \dfrac{-0,6}{35} \approx -0,017$
Pour le calcul de l'ordonnée à l'origine p, on utilise le fait que le point G₁ appartient à la droite (G₁G₂), donc ses coordonnées vérifient l'équation de la droite :
$2,7 = -0,017 \times 10 + p \, \Longleftrightarrow \, p = 2,7 + 0,017 \times 10 = 2,87$
Donc l'équation de la droite (G₁G₂) est : $\boxed{y = -0,017 t + 2,87}$

4. a) On cherche la valeur de t pour laquelle c = 4 :
On a : c = 4 donc $y = \ln 4$
Or : $y = -0,02 t + 2,9$
Donc : $\ln 4 = -0,02 t + 2,9 \, \Longleftrightarrow \, -0,02t = \ln 4 - 2,9 \, \Longleftrightarrow \, t = \dfrac{\ln 4 - 2,9}{-0,02} \approx 75,7$
Le temps nécessaire est donc de 76 minutes.

4. b) On cherche la valeur de c pour laquelle t = 1 h 10 min = 70 min :
On a : $y = -0,02 t + 2,9 = -0,02 \times 70 + 2,9 = 1,5$
Or : $y = \ln c$
Donc : $c = e^y = e^{1,5} \approx 4,48$
La concentration est donc de 4,5 $\mu$ g/ml.

exercice 2

Partie A : lecture graphique

1. Pour trouver cette valeur, on détérmine l'ordonnée du point d'abscisse 1 de la courbe. On trouve $\boxed{f(1)=-1,7}$ . Cf. figure, tracé rouge.

2. L'équation $f(x)=-3$ admet 3 solutions, puisque la droite d'équation $y=-3$ coupe la courbe 3 fois.
Pour trouver ces solutions, on détérmine les abscisses des points d'intersection de la courbe avec la droite horizontale d'équation $y=-3$ . On trouve $\boxed{S = \lbrace -0,3 \, ; \, 2,2 \, ; \, 3,8\rbrace }$ . Cf. figure, tracés verts.

3. Pour trouver ces valeurs, on détermine les coefficient directeurs des droites tangentes à la courbe aux points d'abscisses 0, 0,5 et 3. On trouve $\boxed{f'(0)=3 \, \, \, f'(0,5)=0 \, \, \, f'(3)=0}$ puisque les tangentes aux points d'abscisse 0,5 et 3 sont horizontales (donc le coefficient directeur est nul) et la droite tangente au point d'abscisse 0 "monte" de 3 quand elle "avance" de 1.

4. $f'(x) \le 0 \, \Longleftrightarrow \, \boxed{x \in [0,5 \, ; \, 3]}$
La dérivée $f'$ est négative sur l'intervalle où la fonction $f$ est décroissante.

bac STL Biochimie Génie Biologique, La Réunion 2008 - terminale : image 3

Partie B : Etude d'une fonction

1. Limite de $f$ en -1
On a : $\displaystyle \lim_{x \to 0} \, \ln x = -\infty$ donc $\displaystyle \lim_{x \to -1} \, \ln (x+1) = -\infty$
De plus : $\displaystyle \lim_{x \to -1} \, x^2-9x-2 = (-1)^2 -9 \times (-1) - 2 = 1+9-2=8$
Donc : $\boxed{ \displaystyle \lim_{x \to -1} \, f(x) = -\infty }$

2. Calcul de la dérivée
$f'(x) = 2 x - 9 + \dfrac{12}{x+1} \\ f'(x) = \dfrac{(2 x - 9)(x+1)}{x+1} + \dfrac{12}{x+1} \\ f'(x) = \dfrac{2x^2+2x-9x-9+12}{x+1} \\ \boxed{f'(x) = \frac{2x^2-7x+3}{x+1}}$

3. Etude du signe de $f'(x)$
Résolution de $2x^2-7x+3=0$
$\Delta = b^2 - 4 ac = (-7)^2 -4 \times 2 \times 3 = 49 - 24 = 25 > 0$ donc l'équation admet deux solutions distinctes :
$x_1 = \dfrac{-b -\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{7-5}{4} = 0,5 \\ x_2 = \dfrac{-b -\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{7+5}{4} = 3$
Donc le numérateur se factorise sous la forme : $2(x-0,5)(x-3) = (2x-1)(x-3)$
On obtient donc le tableau de signe suivant pour la dérivée :

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4. On en déduit le tableau de variations de la fonction $f$ :

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Avec :
$f(0,5) = 0,5^2-9 \times 0,5 - 2 +12 \ln(0,5+1) = -6,25+12 \ln (1,5) \approx -1,38 \\ f(3) = 3^2-9 \times 3 - 2 +12 \ln(3+1) = -20+12 \ln (4) \approx -3,36$

5. Montrons que l'équation $f(x)=0$ admet une solution unique sur [5 ; 6] :
- la fonction $f$ est dérivable sur [5 ; 6] ;
- la fonction $f$ est strictement croissante sur [5 ; 6] ;
- $f(5) \approx -0,5$ ; $f(6) \approx 3,4$ et $0 \in [-0,5 \, ; \, 3,4 ]$ ;
donc l'équation $f(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ sur [5 ; 6].

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$f(5,1) \approx -0,19 < 0 \\ f(5,2) \approx 0,13 > 0$
Donc $\boxed{\alpha \approx 5,2}$

Publié par Cel/jamo le 19-02-2009

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