Bac Technologique - Sciences et Technologies de Laboratoire
Spécialité : Biochimie Génie Biologique
Métropole - Session Septembre 2008
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Durée de l'épreuve : 2 heures - Coefficient 2
La clarté des raisonnements et la qualité de la rédaction interviendront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
L'usage des instruments de calcul et du formulaire officiel, distribué par le centre d'examen, est autorisé.
9 points
exercice 1
On étudie en laboratoire l'action de la chaleur sur les microorganismes. On sait que celle-ci conduit à leur destruction totale ou partielle, selon son intensité et les conditions de son utilisation. Les microorganismes doivent être exposés selon une durée déterminée, à une température donnée et on considère que le but est atteint si 90 % des microorganismes existants avant l'expérience sont effectivement détruits.
On a relevé la durée en minutes et la température en degrés Celsius nécessaires pour atteindre cet objectif pour un échantillon témoin. Les résultats sont donnés dans le tableau ci-dessous :
Température : (en °C)
105
108
111
114
117
120
Durée : (en min)
148
55
20
7
3
1
1. Représenter graphiquement le nuage de points . On prendra 1 cm pour 1°C en abscisse et 1 cm pour 10 min en ordonnée. L'origine du repère aura pour coordonnées (105 ; 0).
Un ajustement affine vous paraît-il justifié ?
2. On pose .
a) Recopier et compléter le tableau suivant en donnant les résultats arrondis à 10-1 près.
105
108
111
114
117
120
b) Représenter graphiquement le nuage de points . On prendra 1 cm pour 1°C en abscisse et 1 cm pour 1 unité en ordonnée. L'origine du repère aura pour coordonnées (105 ; 0).
Un ajustement affine vous paraît-il justifié ?
c) Calculer les coordonnées du point moyen du nuage et le placer.
d) Déterminer les coordonnées des deux points et , qui sont respectivement les points moyens du nuage et du nuage . Placer les points et .
e) Tracer la droite et déterminer son équation réduite.
3. En utilisant l'ajustement affine de la question 2 :
a) Calculer une valeur approchée de la durée du traitement thermique à 110°C nécessaire pour détruire 90 % des bactéries (on arrondira le résultat à la minute près).
b) Calculer une valeur approchée de la température nécessaire pour détruire 90 % des bactéries par un traitement thermique d'une durée de 90 minutes (on arrondira le résultat à 10-1 degré près).
11 points
exercice 2
Partie A
On considère la fonction définie sur par 1. a) Calculer b) Calculer
2. a) On note la fonction dérivée de la fonction sur . Calculer .
b) Étudier le signe de sur et en déduire le tableau de variations de .
c) Calculer et (on donnera les résultats arrondis à 10-2 près).
Conclure quant à l'existence d'une unique valeur de l'intervalle ]0,5 ; 2[ telle que .
d) À l'aide de la calculatrice, donner une valeur approchée à 10-1 près de .
3. Dresser le tableau de signes de la fonction sur .
Partie B
On considère la fonction , définie sur par
1. a) Calculer b) Montrer que peut s'écrire sous la forme En déduire .
c) Étudier . Que peut-on en conclure quant à une asymptote éventuelle en à la courbe représentative de la fonction ?
2. a) On note la fonction dérivée de la fonction sur .
Montrer que et calculer . Calculer en arrondissant le résultat à 10-1 près (on pourra utiliser la valeur trouvée en A 2. d)).
b) Dresser le tableau de variations de la fonction sur et tracer sa courbe représentative et son asymptote dans un repère orthonormé (unité graphique : 1 cm).
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)
. On prendra 1 cm pour 1°C en abscisse et 1 cm pour 10 min en ordonnée. L'origine du repère aura pour coordonnées (105 ; 0).
)
.
)
. On prendra 1 cm pour 1°C en abscisse et 1 cm pour 1 unité en ordonnée. L'origine du repère aura pour coordonnées (105 ; 0).
du nuage et le placer.
et 
, qui sont respectivement les points moyens du nuage 
et du nuage 
. Placer les points )
et déterminer son équation réduite.
définie sur ![]0 ~;~ +\infty[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?]0 ~;~ +\infty[)
par  = - \ln (3) + 2 - 2\ln (x) - 2x^2)
)
)
la fonction dérivée de la fonction )
.
)
et )
(on donnera les résultats arrondis à 10-2 près).
de l'intervalle ]0,5 ; 2[ telle que  = 0)
.
, définie sur  = \dfrac{\ln \left(3x^2\right) - 2x^2}{x})
)
)
peut s'écrire sous la forme  = \ln (3)\dfrac{1}{x} + 2 \dfrac{\ln (x)}{x} -2 x.)
)
.
![\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \left[h(x) + 2x\right]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \left[h(x) + 2x\right])
. Que peut-on en conclure quant à une asymptote éventuelle en 
à la courbe représentative de la fonction 
la fonction dérivée de la fonction  = \dfrac{f(x)}{x^2})
et calculer )
. Calculer )
en arrondissant le résultat à 10-1 près (on pourra utiliser la valeur trouvée en A 2. d)).
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