Bac Technologique - Sciences et Technologies de Laboratoire
Spécialité : Biochimie Génie Biologique
Métropole - Session Septembre 2008
Durée de l'épreuve : 2 heures - Coefficient 2
La clarté des raisonnements et la qualité de la rédaction interviendront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
L'usage des instruments de calcul et du formulaire officiel, distribué par le centre d'examen, est autorisé.
9 points exercice 1
On étudie en laboratoire l'action de la chaleur sur les microorganismes. On sait que celle-ci conduit à leur destruction totale ou partielle, selon son intensité et les conditions de son utilisation. Les microorganismes doivent être exposés selon une durée déterminée, à une température donnée et on considère que le but est atteint si 90 % des microorganismes existants avant l'expérience sont effectivement détruits.
On a relevé la durée en minutes et la température en degrés Celsius nécessaires pour atteindre cet objectif pour un échantillon témoin. Les résultats sont donnés dans le tableau ci-dessous :
Température : (en °C) | 105 | 108 | 111 | 114 | 117 | 120 |
Durée : (en min) | 148 | 55 | 20 | 7 | 3 | 1 |
1. Représenter graphiquement le nuage de points
)
. On prendra 1 cm pour 1°C en abscisse et 1 cm pour 10 min en ordonnée. L'origine du repère aura pour coordonnées (105 ; 0).
Un ajustement affine vous paraît-il justifié ?
2. On pose
)
.
a) Recopier et compléter le tableau suivant en donnant les résultats arrondis à 10
-1 près.
 | 105 | 108 | 111 | 114 | 117 | 120 |
) | | | | | | |
b) Représenter graphiquement le nuage de points
)
. On prendra 1 cm pour 1°C en abscisse et 1 cm pour 1 unité en ordonnée. L'origine du repère aura pour coordonnées (105 ; 0).
Un ajustement affine vous paraît-il justifié ?
c) Calculer les coordonnées du point moyen

du nuage et le placer.
d) Déterminer les coordonnées des deux points

et

, qui sont respectivement les points moyens du nuage

et du nuage

. Placer les points

et

.
e) Tracer la droite
)
et déterminer son équation réduite.
3. En utilisant l'ajustement affine de la question 2 :
a) Calculer une valeur approchée de la durée du traitement thermique à 110°C nécessaire pour détruire 90 % des bactéries (
on arrondira le résultat à la minute près).
b) Calculer une valeur approchée de la température nécessaire pour détruire 90 % des bactéries par un traitement thermique d'une durée de 90 minutes (
on arrondira le résultat à 10-1 degré près).
11 points exercice 2
Partie A
On considère la fonction

définie sur
![]0 ~;~ +\infty[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?]0 ~;~ +\infty[)
par
1. a) Calculer
b) Calculer
2. a) On note

la fonction dérivée de la fonction

sur
![]0 ~;~ +\infty[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?]0 ~;~ +\infty[)
. Calculer
)
.
b) Étudier le signe de
)
sur
![]0 ~;~ +\infty[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?]0 ~;~ +\infty[)
et en déduire le tableau de variations de

.
c) Calculer
)
et
)
(
on donnera les résultats arrondis à 10-2 près).
Conclure quant à l'existence d'une unique valeur

de l'intervalle ]0,5 ; 2[ telle que
 = 0)
.
d) À l'aide de la calculatrice, donner une valeur approchée à 10
-1 près de

.
3. Dresser le tableau de signes de la fonction

sur
![]0 ~;~ +\infty[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?]0 ~;~ +\infty[)
.
Partie B
On considère la fonction

, définie sur
![]0 ~;~ +\infty[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?]0 ~;~ +\infty[)
par
1. a) Calculer
b) Montrer que
)
peut s'écrire sous la forme
En déduire
)
.
c) Étudier
![\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \left[h(x) + 2x\right]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \left[h(x) + 2x\right])
. Que peut-on en conclure quant à une asymptote éventuelle en

à la courbe représentative de la fonction

?
2. a) On note

la fonction dérivée de la fonction

sur
![]0 ~;~ +\infty[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?]0 ~;~ +\infty[)
.
Montrer que
 = \dfrac{f(x)}{x^2})
et calculer
)
. Calculer
)
en arrondissant le résultat à 10
-1 près (
on pourra utiliser la valeur trouvée en A 2. d)).
b) Dresser le tableau de variations de la fonction

sur
![]0 ~;~ +\infty[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?]0 ~;~ +\infty[)
et tracer sa courbe représentative et son asymptote dans un repère orthonormé (unité graphique : 1 cm).