Bac Technologique - Sciences et Techniques de Laboratoire
Chimie de Laboratoire et de Procédés Industriels
Métropole - Session Septembre 2008
Durée de l'épreuve : 3 heures - Coefficient 4
L'usage de la calculatrice est autorisé.
Un formulaire de mathématiques sera distribué au candidat.
4 points exercice 1
1. Résoudre dans l'ensemble

des nombres complexes, l'équation
2. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé
)
(unité graphique : 1 cm).
On désigne par A et B les points d'affixes respectives

et

.
Déterminer la forme trigonométrique des nombres

et

. Placer les points A et B sur une figure.
3. Soit C le point d'affixe

.
a) Placer le point C sur la figure.
b) Déterminer la forme algébrique du nombre complexe

.
c) Quelle est la nature du triangle BOC ?
4 points exercice 2
Dans un laboratoire de chimie, un stagiaire utilise un liquide dont l'évaporation est importante.
À l'origine, il y a 75 cL de liquide dans la bouteille. Le stagiaire referme mal cette bouteille et on considère alors que le liquide perd chaque jour 5 % de son volume par évaporation.
1. On note

la quantité de liquide, exprimée en cL, présente dans la bouteille au bout de

jours.
Ainsi,

.
a) Calculer

et

.
b) Exprimer

en fonction de

.
Quelle est la nature de la suite
)
?
Vérifier que, pour tout nombre entier
^n)
.
c) Calculer la quantité de liquide restant dans la bouteille au bout de sept jours (on donnera le résultat arrondi au dixième).
2. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
Déterminer le nombre minimum de jours nécessaires pour que la bouteille contienne moins de 25 cL.
12 points probleme
Partie A
Soit la fonction

définie sur l'ensemble

des nombres réels par
Le plan est muni d'un repère orthonormé
)
(unité graphique : 2 cm).
On note

la courbe représentative de la fonction

dans ce repère.
1. En observant que, pour tout nombre réel
 = \text{e}^{x} - \dfrac{1}{2} x\text{e}^{x})
, déterminer la limite de la fonction

en

.
2. Déterminer la limite de la fonction

en

.
3. On note

la fonction dérivée de la fonction

sur

.
a) Démontrer que, pour tout nombre réel
 = \dfrac{1}{2}(1 - x)\text{e}^{x})
.
b) Étudier le signe de
)
suivant les valeurs de

.
c) Calculer la valeur exacte de
)
. En donner une valeur approchée à 10
-1 près.
d) Dresser le tableau de variations de la fonction

sur

.
Partie B
1. On note

la tangente à la courbe

au point d'abscisse 2.
Montrer que la droite

a pour équation
)
.
2. a) Vérifier que, pour tout nombre réel
 - f(x) = \dfrac{1}{2}(2 - x)\left(\text{e}^2 - \text{e}^x\right))
.
b) Étudier le signe de
![\left[\dfrac{1}{2}\text{e}^2 (2 - x) - f(x)\right]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\left[\dfrac{1}{2}\text{e}^2 (2 - x) - f(x)\right])
suivant les valeurs de

.
c) En déduire la position de la courbe

par rapport à la droite

.
3. Tracer la droite

dans le repère
)
puis, sur le même graphique, la partie de la courbe

correspondant aux valeurs de

appartenant à l'intervalle [-4 ; 3].
Partie C
Soit la fonction

définie sur

par
On note

la dérivée de la fonction

sur

.
On admet que, pour tout nombre réel
 = \dfrac{1}{2}(2 - x)\left(\text{e}^2 - \text{e}^x\right))
.
On note

le domaine plan limité par la courbe

, la droite

et les droites d'équations respectives

et

.
1. Hachurer le domaine

sur le graphique représentant la droite

et la courbe

.
2. Calculer la valeur exacte de l'aire

, exprimée en unités d'aire, du domaine

. En donner la valeur arrondie au centième.