Fiche de mathématiques
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Bac Technologique - Sciences et Techniques de Laboratoire
Chimie de Laboratoire et de Procédés Industriels
Métropole - Session Septembre 2008

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Durée de l'épreuve : 3 heures - Coefficient 4

L'usage de la calculatrice est autorisé.
Un formulaire de mathématiques sera distribué au candidat.
4 points

exercice 1

1. Résoudre dans l'ensemble \mathbb{C} des nombres complexes, l'équation z^2 + 6z + 12 = 0.

2. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé (O ~;~ \vec{u} ~,~\vec{v}) (unité graphique : 1 cm).
On désigne par A et B les points d'affixes respectives z_{\text{A}} = -3 + \text{i}\sqrt{3} et z_{\text{B}} =  - 3- \text{i}\sqrt{3}.
Déterminer la forme trigonométrique des nombres z_{\text{A}} et z_{\text{B}}. Placer les points A et B sur une figure.

3. Soit C le point d'affixe z_{\text{C}} = 2\sqrt{3}\text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{3}}.
    a) Placer le point C sur la figure.
    b) Déterminer la forme algébrique du nombre complexe z_{\text{C}}.
    c) Quelle est la nature du triangle BOC ?


4 points

exercice 2

Dans un laboratoire de chimie, un stagiaire utilise un liquide dont l'évaporation est importante.
À l'origine, il y a 75 cL de liquide dans la bouteille. Le stagiaire referme mal cette bouteille et on considère alors que le liquide perd chaque jour 5 % de son volume par évaporation.

1. On note u_{n} la quantité de liquide, exprimée en cL, présente dans la bouteille au bout de n jours.
Ainsi, u_{0} = 75.
    a) Calculer u_{1} et u_{2}.
    b) Exprimer u_{n + 1} en fonction de u_{n}.
Quelle est la nature de la suite \left(u_{n}\right) ?
Vérifier que, pour tout nombre entier n, \, u_{n} = 75 \times (0,95)^n.
    c) Calculer la quantité de liquide restant dans la bouteille au bout de sept jours (on donnera le résultat arrondi au dixième).

2. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
Déterminer le nombre minimum de jours nécessaires pour que la bouteille contienne moins de 25 cL.


12 points

probleme

Partie A

Soit la fonction f définie sur l'ensemble \mathbb{R} des nombres réels par     f(x) = \dfrac{1}{2}(2 - x)\text{e}^{x}.
Le plan est muni d'un repère orthonormé (O ~;~\vec{i}~,~\vec{j}) (unité graphique : 2 cm).
On note \mathcal{C} la courbe représentative de la fonction f dans ce repère.

1. En observant que, pour tout nombre réel x,~ f(x) = \text{e}^{x} - \dfrac{1}{2} x\text{e}^{x}, déterminer la limite de la fonction f en - \infty.

2. Déterminer la limite de la fonction f en + \infty.

3. On note f' la fonction dérivée de la fonction f sur \mathbb{R}.
    a) Démontrer que, pour tout nombre réel x,~ f'(x) = \dfrac{1}{2}(1 - x)\text{e}^{x}.
    b) Étudier le signe de f'(x) suivant les valeurs de x.
    c) Calculer la valeur exacte de f(1). En donner une valeur approchée à 10-1 près.
    d) Dresser le tableau de variations de la fonction f sur \mathbb{R}.

Partie B

1. On note \mathcal{T} la tangente à la courbe \mathcal{C} au point d'abscisse 2.
Montrer que la droite \mathcal{T} a pour équation y = \dfrac{1}{2}\text{e}^2 (2 - x).

2. a) Vérifier que, pour tout nombre réel x,~\dfrac{1}{2}\text{e}^2 (2 - x) - f(x) = \dfrac{1}{2}(2 - x)\left(\text{e}^2 - \text{e}^x\right).
    b) Étudier le signe de \left[\dfrac{1}{2}\text{e}^2 (2 - x) - f(x)\right] suivant les valeurs de x.
    c) En déduire la position de la courbe \mathcal{C} par rapport à la droite \mathcal{T}.

3. Tracer la droite \mathcal{T} dans le repère (O~;~\vec{i}~,~\vec{j}) puis, sur le même graphique, la partie de la courbe \mathcal{C} correspondant aux valeurs de x appartenant à l'intervalle [-4 ; 3].

Partie C

Soit la fonction g définie sur \mathbb{R} par     g(x) = \dfrac{1}{2}(x - 3)\text{e}^x + \dfrac{1}{2} \text{e}^2 \left(2x - \dfrac{x^2}{2}\right).
On note g' la dérivée de la fonction g sur \mathbb{R}.
On admet que, pour tout nombre réel x,~ g'(x) = \dfrac{1}{2}(2 - x)\left(\text{e}^2 - \text{e}^x\right).
On note \mathcal{D} le domaine plan limité par la courbe \mathcal{C}, la droite \mathcal{T} et les droites d'équations respectives x = 0 et x = 2.

1. Hachurer le domaine \mathcal{D} sur le graphique représentant la droite \mathcal{T} et la courbe \mathcal{C}.

2. Calculer la valeur exacte de l'aire \mathcal{A}, exprimée en unités d'aire, du domaine \mathcal{D}. En donner la valeur arrondie au centième.
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