Fiche de mathématiques
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Bac Technologique - Sciences et Techniques de Laboratoire
Chimie de Laboratoire et de Procédés Industriels
Antilles Guyane - Session Juin 2008

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Durée de l'épreuve : 3 heures - Coefficient 4

L'usage de la calculatrice est autorisé.
Deux feuilles de papier millimétré seront distribuées aux candidats.
Un formulaire de mathématiques sera distribué au candidat.


4 points

exercice 1

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal (O ; \overrightarrow{u},\overrightarrow{v}) (unité graphique : 1 cm).
On considère trois points A, B et C d'affixes respectives :
z_{\text{A}} = 6\text{e}^{\frac{\text{i}\pi}{6}}    ;    z_{\text{B}} = 4\text{e}^{-\frac{\text{i}\pi}{2}}    ;    z_{\text{C}} = 5\sqrt{3} - 5\text{i}.


1. Montrer que z_{\text{A}} =3\sqrt{3} + 3\text{i} et écrire z_{\text{B}} sous forme algébrique.

2. Déterminer la forme trigonométrique de z_{\text{C}}.

3. Placer les points A, B et C sur une figure.

4. Dans cette question toute trace de recherche même incomplète ou d'initiative même non fructueuse sera prise en compte dans l'évaluation.
Quelle est la nature du triangle ABC ?


5 points

exercice 2

On considère deux urnes notées respectivement U et V.
L'urne U contient trois boules marquées respectivement : 0, 1 et 2.
L'urne V contient quatre boules marquées respectivement : 0, 1, 2 et 3.
Ces boules sont indiscernables au toucher.
Une expérience aléatoire consiste à tirer au hasard une boule de l'urne U puis une boule de l'urne V.
On considère que tous les tirages de ces deux boules sont équiprobables.

1. a) Représenter tous les tirages possibles dans un tableau à double entrée.
    b) Montrer que la probabilité d'obtenir deux boules portant le même nombre est égale à \dfrac{1}{4}.

2. Un jeu consiste à tirer au hasard une boule de l'urne U, puis une boule de l'urne V.
Le joueur doit miser 1 €.
L'organisateur du jeu remet alors au joueur un montant (en €) égal au produit des deux nombres figurant sur les deux boules tirées (ce montant peut être nul).
On appelle X la variable aléatoire qui, à chaque jeu, associe le gain algébrique (c'est-à-dire positif, nul ou négatif) du joueur.
Par exemple, si le joueur tire 2 dans l'urne U, puis 3 dans l'urne V, le gain algébrique du joueur est alors 5 ; si le joueur tire 0 dans l'urne U, puis 2 dans l'urne V, le gain algébrique du joueur est alors -1.
    a) Déterminer les valeurs prises par la variable aléatoire X.
    b) Présenter dans un tableau la loi de probabilité de la variable aléatoire X.
    c) Calculer la probabilité que le gain du joueur soit strictement supérieur à 2.
    d) On note E(X) l'espérance mathématique de la variable aléatoire X. Calculer E(X).
On dit qu'un jeu est équitable si l'espérance de gain est nulle. Ce jeu est-il équitable ?


11 points

probleme

On considère la fonction f définie sur l'ensemble \mathbb{R} des nombres réels par
f(x) = \left(- x + \dfrac{7}{4} \right)\text{e}^{2x}
On note \mathcal{C} la courbe représentative de la fonction f dans le plan muni d'un repère orthonormal (O ; \overrightarrow{i},\overrightarrow{j}) (unités graphiques : 2 cm sur l'axe des abscisses, 1 cm sur l'axe des ordonnées).

Partie I

1. Déterminer la limite de la fonction f en +\infty.

2. a) Vérifier que, pour tout nombre réel x, f(x) = \left(- x\text{e}^x + \dfrac{7}{4}\text{e}^x\right)\text{e}^x.
    b) Déterminer la limite de la fonction f en -\infty. En déduire que la courbe \mathcal{C} admet pour asymptote une droite \mathcal{D}. Donner une équation de cette droite \mathcal{D}.
    c) Calculer f\left(\dfrac{7}{4}\right). Que peut-on en déduire pour la courbe \mathcal{C} ?

3. On note f' la fonction dérivée de la fonction f.
    a) Montrer que pour tout nombre réel x, f'(x) =  \left(- 2x + \dfrac{5}{2}\right)\text{e}^{2x}.
    b) Étudier le signe de f'(x) suivant les valeurs de x.

4. Établir le tableau de variations de la fonction f. On reportera dans ce tableau les limites et la valeur du maximum.

5. On note \mathcal{T} la tangente à la courbe \mathcal{C} au point d'abscisse 0.
Donner le coefficient directeur de la droite \mathcal{T}.

6. Construire la tangente \mathcal{T} et la courbe \mathcal{C}.

Partie II

1. On note F la fonction définie sur \mathbb{R} par
F(x) =  \left(- \dfrac{x}{2} + \dfrac{9}{8}\right)\text{e}^{2x}.
On note F' la fonction dérivée de la fonction F.
Calculer F'(x).
Que peut-on en déduire pour la fonction F ?

2. On note \mathcal{D} le domaine limité par la courbe \mathcal{C}, l'axe des abscisses, les droites d'équations respectives x = 0 et x = \dfrac{7}{4}.
    a) Hachurer \mathcal{D} sur le graphique représentant la tangente \mathcal{T} et la courbe \mathcal{C}.
    b) Calculer l'aire \mathcal{A}, exprimée en unités d'aire, du domaine \mathcal{D}. En donner la valeur arrondie au centième.




EXERCICE 1


A\text{, }B\text{ et }C\text{ d'affixes respectives }z_A=6\text{e}^{i\frac{\pi}{6}}\text{, }z_B=4\text{e}^{-i\frac{\pi}{2}}\text{, }z_C=5\sqrt{3}-5i


1. z_A=6\text{e}^{i\frac{\pi}{6}}=6\left(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin \frac{\pi}{6} \right)=6\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}+i\dfrac{1}{2} \right)=3\sqrt{3}+3i

\boxed{\textcolor{blue}{z_A=3\sqrt{3}+3i}}}


z_B=4\text{e}^{-i\frac{\pi}{2}}=4\left[ \cos\left(- \dfrac{\pi}{2}\right)+i\sin\left( -\dfrac{\pi}{2}\right)\right]  =4\left(0-i \right)=-4i

\boxed{\textcolor{blue}{z_B=-4i}}}


2. z_C=5\sqrt{3}-5i=5\left(\sqrt{3}-i \right)=10\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}-i\dfrac{1}{2}\right)=10\left(\cos\frac{-\pi}{6} +i\sin\frac{-\pi}{6} \right)

\boxed{\textcolor{blue}{z_C=10\left(\cos\frac{-\pi}{6} +i\sin\frac{-\pi}{6} \right)}}}


3. Voir figure ci-dessous


4. Nature du triangle \left(ABC \right)

 BA=\mid-4i-3\sqrt{3}-3i\mid=\mid 3\sqrt{3}+7i\mid=\sqrt{\left(3\sqrt{3} \right)^2+\left(-7 \right)^2}=\sqrt{27+49}=\sqrt{76}=2\sqrt{19} \\\\  AC=\mid5\sqrt{3}-5i-3\sqrt{3}-3i\mid=\mid 2\sqrt{3}-8i\mid=\sqrt{\left(2\sqrt{3} \right)^2+\left(-8 \right)^2}=\sqrt{12+64}=\sqrt{76}=2\sqrt{19} \\\\  BC=\mid5\sqrt{3}-5i+4i\mid=\mid 5\sqrt{3}-i\mid = \sqrt{\left(5\sqrt{3} \right)^2+\left(-1 \right)^2}=\sqrt{75+1}=\sqrt{76}=2\sqrt{19}

AB=AC=BC, donc :

\boxed{\textcolor{blue}{\text{Le triangle }ABC \text{ est équilatéral}.}}}

Construction de la figure :
Le point A appartient au cercle de centre O et de rayon 6, son ordonnée est 3 ; son abscisse est positive.
Le point C appartient au cercle de centre O et de rayon 10, son ordonnée est -6, et son abscisse est positive.
Le point B a pour affixe -4i.

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EXERCICE 2



1-a. Tableau à double entrée :

\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|} \hline  U \backslash V & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline 0 & \color{blue} (0,0) & \color{blue} (0,1) & \color{blue} (0,2) & \color{blue} (0,3) \\ \hline 1 & \color{blue} (1,0) & \color{blue} (1,1) & \color{blue} (1,2) & \color{blue} (1,3) \\ \hline 2 & \color{blue} (2,0) & \color{blue} (2,1) & \color{blue} (2,2)& \color{blue} (2,3)  \\ \hline \end{tabular}



b. Le nombres d'issues possibles de cette expérience est de :

3\times 4=12

Les couples de boules aux numéros identiques sont (0,0);(1,1);(2,2), soit 3 issues possibles sur les 12, donc :

\boxed{\textcolor{blue}{\text{La probabilité d'obtenir deux nombres identiques est de }\dfrac{1}{4}}.}}}


2-a. Valeurs prises par la variable aléatoire X

On peut reprendre le tableau précédent, en remplaçant le couple obtenu lors du tirage par le gain.

\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|} \hline  U \backslash V & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline 0 & \color{blue} -1 & \color{blue} -1 & \color{blue} -1 & \color{blue} -1 \\ \hline 1 & \color{blue} -1 & \color{blue} 0 & \color{blue} 1 & \color{blue} 2 \\ \hline 2 & \color{blue} -1 & \color{blue}1 & \color{blue} 3 & \color{blue} 5  \\ \hline \end{tabular}


\boxed{\textcolor{blue}{\text{Les valeurs prises par la variable }X\text{ sont : }-1\text{, }0\text{, }1\text{, }2\text{, }3\text{ et }5}.}}}

Une organisation avec un arbre était également réalisable.
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b. Loi de probabilité de la variable aléatoire X

Nous avons :

p\left(X=-1 \right)=6\times \dfrac{1}{3}\times \dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{2} \\\\ p\left(X=0 \right)=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{12} \\\\ p\left(X=1 \right)=2\times \dfrac{1}{3}\times \dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{6} \\\\ p\left(X=2 \right)=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{12} \\\\ p\left(X=3 \right)=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{12} \\\\ p\left(X=5 \right)=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{12}

\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \cellcolor{blue!25}x_i&\cellcolor{blue!25} -1 &\cellcolor{blue!25} 0 &\cellcolor{blue!25} 1 &\cellcolor{blue!25} 2 &\cellcolor{blue!25} 3 &\cellcolor{blue!25} 5  \\ \hline \cellcolor{blue!25}p(X=x_i)& \color{blue} 6/12 & \color{blue} 1/12 & \color{blue} 2/12 & \color{blue} 1/12 & \color{blue} 1/12 & \color{blue} 1/12  \\ \hline \end{tabular}



c. p\left( X>2\right)=p\left(X=3 \right)+p\left(X=5 \right)=\dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{12}=\dfrac{2}{12}=\dfrac{1}{6}

\boxed{\textcolor{blue}{p\left( X>2\right)=\dfrac{1}{6}}}}}


d. E\left(X \right)=\sum p_i\times x_i=-1\times \dfrac{6}{12}+0\times \dfrac{1}{12}+1\times \dfrac{2}{12}+2\times \dfrac{1}{12}+3\times \dfrac{1}{12}+5\times \dfrac{1}{12}=\dfrac{6}{12}=\dfrac{1}{2}

\boxed{\textcolor{blue}{E\left( X\right)=\dfrac{1}{2}}}}}

L'espérance mathématique n'est pas nulle.

\boxed{\textcolor{blue}{\text{Le jeu n'est pas équitable (mais favorable au joueur)}.}}}



PROBLEME

f(x)=\left(-x+\dfrac{7}{4} \right)\text{e}^{2x}

Partie I


1. Limite de f en +\infty

\underset{x\to +\infty}{\lim}f(x)=\underset{x\to +\infty}{\lim}(\underbrace{-x+\dfrac{7}{4} }_{\to -\infty})\underbrace{\text{e}^{2x}}_{\to +\infty}=-\infty

\boxed{\textcolor{blue}{\underset{x\to +\infty}{\lim}f(x)=-\infty}}}


2-a. f(x)=(-x+\dfrac{7}{4} )\text{e}^{2x}=(-x+\dfrac{7}{4} )\text{e}^{x}\times\text{e}^{x}=(-x\text{e}^{x}+\dfrac{7}{4}\text{e}^{x} )\times\text{e}^{x}

\boxed{\textcolor{blue}{f(x)=(-x\text{e}^{x}+\dfrac{7}{4}\text{e}^{x} )\text{e}^{x}}}}


b. Limite de f en -\infty

\underset{x\to -\infty}{\lim}f(x)=\underset{x\to -\infty}{\lim}(-x+\dfrac{7}{4})\text{e}^{2x}=\underset{x\to -\infty}{\lim}(-x\text{e}^{2x}+\dfrac{7}{4}\text{e}^{2x} )=\underbrace{\underset{X\to +\infty}{\lim}\left(X\text{e}^{-2X}+\dfrac{7}{4}\text{e}^{-2X} \right)}_{\text{En posant }X=-x}=\underset{X\to +\infty}{\lim}\left(\dfrac{X}{\text{e}^{2X}}+\dfrac{7}{4\text{e}^{2X}} \right)=0 \\\\ \text{ car }\forall x\in\mathbb{R}\text{, }\underset{x\to +\infty}{\lim}\left( \dfrac{x}{\text{e}^{x}}\right)=0

\boxed{\textcolor{blue}{\underset{x\to -\infty}{\lim}f(x)=0}}}

La limite de f est égale à 0 quand x tend vers -\infty, l'axe des abscisses est donc asymptote à la courbe.

\boxed{\textcolor{blue}{\text{La droite }\mathcall{D}\text{ asymptote à la courbe de }f\text{ a donc pour équation }y=0.}}}


c. f\left( \frac{7}{4}\right)=-\dfrac{7}{4}\text{e}^{\frac{7}{2}}+\dfrac{7}{4}\text{e}^{\frac{7}{2}} =0

\boxed{\textcolor{blue}{f(\frac{7}{4})=0\text{, la courbe de }f\text{ coupe donc l'axe des abscisses en }x=\dfrac{7}{4}.}}}


3-a. La fonction f est dérivable sur \mathbb{R} comme produit et composée de fonctions dérivables sur \mathbb{R}.

f'(x)=-\text{e}^{2x}+\left( -x+\dfrac{7}{4}\right)\times 2\text{e}^{2x}=\text{e}^{2x}\left(-1-2x+\dfrac{7}{2} \right)= \left( -2x+\dfrac{5}{2}\right)\text{e}^{2x}

\boxed{\textcolor{blue}{\forall x\in\mathbb{R}\text{, }f'(x)= \left( -2x+\dfrac{5}{2}\right)\text{e}^{2x}}}}


b. \forall x\in\mathbb{R}\text{, }\text{e}^{2x}>0

f'(x) a donc le même signe que \left( -2x+\dfrac{5}{2}\right).

\boxed{\textcolor{blue}{\text{Pour }x<\dfrac{5}{4}\text{, }f'(x)>0\text{ et pour }x>\dfrac{5}{4}\text{, }f'(x)<0.}}}


4. Tableau de variations

f\left(\frac{5}{4} \right)=\left( -\dfrac{5}{4}+\dfrac{7}{4}\right)\text{e}^{\frac{5}{2}}=\frac{1}{2}\text{e}^{\frac{5}{2}}\approx 6,1

 \begin{tabvar}{|C|CCCCCC|}  \hline  x                       & -\infty   &&  \frac{5}{4}  &&    +\infty  & \\ \hline  f'(x)                & &   +      &  0  &   -    & &           \\ \hline \niveau{1}{2} f       & 0   &  \croit  &  \frac{1}{2}\text{e}^{\frac{5}{2}}  &\decroit     &   -\infty  & \\ \hline \end{tabvar}



5.

Le coefficient directeur de la droite tangente \mathcal{T} à la courbe \mathcal{C} de la fonction f au point d'abscisse x=0 est donné par le nombre dérivé f'(0), donc :

f'(0)= \left(-2\times 0+\dfrac{5}{2} \right)\text{e}^{2\times 0}=\dfrac{5}{2}

\boxed{\textcolor{blue}{\text{Le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse 0 est } \dfrac{5}{2}}}


6. Représentation graphique
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Partie II

F(x)=\left(-\dfrac{x}{2}+\dfrac{9}{8} \right)\text{e}^{2x}


1. F'(x)=-\dfrac{1}{2}\text{e}^{2x}+\left(-\dfrac{x}{2}+\dfrac{9}{8} \right)\times 2\text{e}^{2x}=\text{e}^{2x}\left[-\dfrac{1}{2}+2\left( -\dfrac{x}{2}+\dfrac{9}{8}\right) \right]=\text{e}^{2x}\left[-\dfrac{1}{2}-x+\dfrac{9}{4}\right]=\left(-x+\dfrac{7}{4}\right)\text{e}^{2x}=f(x)

\boxed{\textcolor{blue}{\forall x \in \mathbb{R}\;, F'(x)=f(x)\text{, }F\text{ est donc une primitive de la fonction }f\text{ sur }\mathbb{R}.}}}


2-a. Représentation graphique du domaine \mathcal{D}
bac STL chimie de laboratoire et de procédés industriels Antilles Guyane Juin 2008 - terminale : image 6



b. Pour x\in \left[0\,;\dfrac{7}{4}\right]\;, f ne prend que des valeurs positives, l'aire demandée est donc égale à :

\mathcal{A}=\displaystyle {\int_{0}^{\frac{7}{4}}f(x)\text{d}x=\left[F(x) \right]_{0}^{\frac{7}{4}}=F\left( \dfrac{7}{4}\right)-F\left(0 \right)=\left(-\dfrac{\frac{7}{4}}{2}+\dfrac{9}{8} \right)\text{e}^{2\times\frac{7}{4}}-\left(0+\dfrac{9}{8} \right)\text{e}^{2\times 0}=\dfrac{1}{4}\text{e}^{\frac{7}{2}}-\dfrac{9}{8}\approx 7,15

\boxed{\textcolor{blue}{\mathcal{A}=7,15\text{ unités d'aire}}}}

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