Bac Technologique - Sciences et Techniques de Laboratoire
Chimie de Laboratoire et de Procédés Industriels
Session 2008
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Durée de l'épreuve : 3 heures - Coefficient 4
L'usage de la calculatrice est autorisé.
Deux feuilles de papier millimétré seront distribuées aux candidats.
Un formulaire de mathématiques sera distribué au candidat.
4 points
exercice 1
On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument .
1. Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation On note z1 la solution dont la partie imaginaire est positive et z2 la solution dont la partie imaginaire est négative.
2. Déterminer le module et un argument de z1 puis de z2.
3. Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal (unité graphique : 2 cm).
On considère les points A, B et C d'affixes respectives : a) Ecrire les nombres complexes zA, zB et zC sous forme algébrique.
b) Placer les points A, B et C sur une figure.
c)Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation. Quelle est la nature du triangle AOC ?
5 points
exercice 2
Dans cet exercice, l'unité de temps est l'heure et l'unité de température est le degré Celsius.
A l'instant t = 0, une tarte sort d'un four, à la température de 220°. Elle est alors placée dans une salle à 20°. On désigne par la température de la tarte à l'instant t. On définit ainsi une fonction dérivable sur l'intervalle [0 ; +[. On note la fonction dérivée de la fonction .
On suppose que la vitesse de refroidissement de la tarte est proportionnelle à la différence entre la température de la tarte et celle de la salle, c'est-à-dire On admet donc qu'il existe un nombre réel tel que, pour tout nombre réel positif t,
1. On pose : a) Montrer que la fonction ainsi définie est solution de l'équation différentielle sur l'intervalle [0 ; +[.
b) Résoudre cette équation différentielle sur l'intervalle [0 ; +[.
c) En déduire que, pour tout nombre réel positif t, , où C est un nombre réel.
d) En utilisant la valeur de , déterminer C.
2. a) Au bout d'un quart d'heure (c'est-à-dire pour ), la température de la tarte est égale à 60°.
Montrer que, pour tout nombre réel positif t, b) Déterminer la température de la tarte au bout d'une demi-heure.
11 points
probleme
On considère la fonction , définie sur l'ensemble des nombres réels par .
On note la courbe représentative de la fonction dans un repère orthogonal (unités graphiques : 2 cm sur l'axe des abscisses et 0,5 cm sur l'axe des ordonnées).
1. Déterminer la limite de lorsque tend vers -. Interpréter graphiquement ce résultat.
2. a) Vérifier que, pour tout nombre réel , b) En déduire la limite de lorsque tend vers +.
3. On appelle la fonction dérivée de la fonction .
a) Calculer et vérifier que, pour tout nombre réel , b) Etudier le signe de suivant les valeurs de . En déduire les variations de la fonction sur .
4. Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant. Les résultats seront arrondis au dixième.
-3
-2
-1
0
1
2
2,2
7
5. a) Déterminer le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point A d'abscisse 0.
b) Construire la droite puis, sur le même graphique, la partie de la courbe correspondant aux valeurs de appartenant à l'intervalle [-3 ; 2,2].
c) Compléter le graphique précédent en traçant la droite d'équation . On mettra en évidence le point B de d'abscisse ln 5, ainsi que la tangente à en ce point.
6. a) Calculer . Indiquer, sans justification, le signe de la fonction sur l'intervalle [0 ; ln 2].
b) On considère le domaine plan limité par la courbe , l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation . Calculer l'aire du domaine .
c) Donner une valeur approchée de au centième par défaut.
1.Résolution de : Calcul du discriminant : donc l'équation admet deux solutions complexes conjuguées :
donc De même :
2.Calcul du module de : Soit un argument de ; est tel que :
donc On en déduit le module et l'argument de car : donc et
3. a)Détérmination des formes algébriques :
3. b) On peut placer les points A, B et C en utilisant leurs modules et les cosinus et sinus de leurs arguments.
3. c)Montrons que le triangle AOC est rectangle en O : On a : et Donc, on a : et Donc, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle AOC est rectangle en O.
exercice 2
1. a) On a : Donc : Or, on sait que : d'où Donc la fonction y est bien solution de l'équation différentielle .
1. b) L'ensemble des solutions de l'équation différentielle est donnée par : où C est un réel.
1. c) On a : donc où C est un réel.
1. d) On utilise la condition initiale :
Donc la solution est donnée par :
2. a) On sait que :
Donc :
2. b) Température au bout d'une demi-heure, donc pour :
Donc la température est de 28°C au bout d'une demi-heure.
probleme
1. Limite en Donc : Donc la courbe admet une asymptote horizontale d'équation en .
2. a) On développe :
2. b) Limite en donc et Donc :
3. a) Calcul de la dérivée
Pour tout réel , on a : (en utilisant )
En factorisant par , on a :
3. b) Une exponentielle étant toujours strictement positive, on a :
De même : On obtient donc le tableau de signe suivant pour la dérivée :
On en déduit les variations de la fonction :
Avec :
4.Tableau de valeurs :
-3
-2
-1
0
1
2
2,2
15,5
14,7
12,5
7
-3,8
-3,3
7,2
5. a) Le coefficient directeur de la droite tangente au point d'abscisse 0 est égal au nombre dérivé en 0, c'est-à-dire :
5. b) et 5. c) Courbe représentative
6. a) Sur l'intervalle la courbe est au-dessus de l'axe des abscisses, donc .
6. b) Calcul de l'intégrale de le fonction f sur l'intervalle La fonction étant positive sur , alors l'intégrale est égale à l'aire en unité d'aires ; l'unité d'aire est égale à cm2 donc :
6. c)
Publié par Cel/jamo
le
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