Fiche de mathématiques

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Bac Technologique - Sciences et Techniques de Laboratoire
Chimie de Laboratoire et de Procédés Industriels
Session 2008

Durée de l'épreuve : 3 heures - Coefficient 4

L'usage de la calculatrice est autorisé.
Deux feuilles de papier millimétré seront distribuées aux candidats.
Un formulaire de mathématiques sera distribué au candidat.

4 points

exercice 1

On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\frac{\pi}{2}$ .
1. Résoudre dans l'ensemble $\mathbb{C}$ des nombres complexes l'équation $z^2 + 2\sqrt{3}z + 4 = 0.$
On note z₁ la solution dont la partie imaginaire est positive et z₂ la solution dont la partie imaginaire est négative.

2. Déterminer le module et un argument de z₁ puis de z₂.

3. Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal $(O \, ; \, \overrightarrow{u} \, , \, \overrightarrow{v})$ (unité graphique : 2 cm).
On considère les points A, B et C d'affixes respectives : $z_{\text{A}} = 2e^{5\text{i}\frac{\pi}{6}} \; \; ; \; \; z_{\text{B}} = 2e^{-5\text{i}\frac{\pi}{6}} \; \; ; \; \; z_{\text{C}} = 4e^{\text{i} \frac{\pi}{3}}.$
    a) Ecrire les nombres complexes z_A, z_B et z_C sous forme algébrique.
    b) Placer les points A, B et C sur une figure.
    c) Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.

Quelle est la nature du triangle AOC ?

5 points

exercice 2

Dans cet exercice, l'unité de temps est l'heure et l'unité de température est le degré Celsius.
A l'instant t = 0, une tarte sort d'un four, à la température de 220°. Elle est alors placée dans une salle à 20°. On désigne par $f(t)$ la température de la tarte à l'instant t. On définit ainsi une fonction $f$ dérivable sur l'intervalle [0 ; + $\infty$ [. On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ .
On suppose que la vitesse $f'(t)$ de refroidissement de la tarte est proportionnelle à la différence entre la température de la tarte et celle de la salle, c'est-à-dire $f(t) - 20.$
On admet donc qu'il existe un nombre réel $\lambda$ tel que, pour tout nombre réel positif t, $f'(t) = \lambda [f(t) - 20].$

1. On pose : $y(t) = f(t) - 20.$
    a) Montrer que la fonction $y$ ainsi définie est solution de l'équation différentielle $y' = \lambda y$ sur l'intervalle [0 ; + $\infty$ [.
    b) Résoudre cette équation différentielle sur l'intervalle [0 ; + $\infty$ [.
    c) En déduire que, pour tout nombre réel positif t, $f(t) = Ce^{\lambda t} + 20$ , où C est un nombre réel.
    d) En utilisant la valeur de $f(0)$ , déterminer C.

2. a) Au bout d'un quart d'heure (c'est-à-dire pour $t = \dfrac14$ ), la température de la tarte est égale à 60°.
Montrer que, pour tout nombre réel positif t, $f(t) = 200e^{(-4 \ln 5)t} + 20.$
    b) Déterminer la température de la tarte au bout d'une demi-heure.

11 points

probleme

On considère la fonction $f$ , définie sur l'ensemble $\mathbb{R}$ des nombres réels par $f(x) = e^{2x} - 10e^x + 16$ .
On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal $(O \, ; \, \overrightarrow{i} \, , \, \overrightarrow{j})$ (unités graphiques : 2 cm sur l'axe des abscisses et 0,5 cm sur l'axe des ordonnées).

1. Déterminer la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers - $\infty$ . Interpréter graphiquement ce résultat.

2. a) Vérifier que, pour tout nombre réel $x$ , $f(x) = (e^x - 2)(e^x - 8).$
    b) En déduire la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers + $\infty$ .

3. On appelle $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ .
    a) Calculer $f'(x)$ et vérifier que, pour tout nombre réel $x$ , $f'(x) = 2e^x(e^x - 5).$
    b) Etudier le signe de $f'(x)$ suivant les valeurs de $x$ . En déduire les variations de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$ .

4. Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant. Les résultats seront arrondis au dixième.

$x$	-3	-2	-1	0	1	2	2,2
$f(x)$				7

5. a) Déterminer le coefficient directeur de la tangente $\mathcal{T}$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point A d'abscisse 0.
    b) Construire la droite $\mathcal{T}$ puis, sur le même graphique, la partie de la courbe $\mathcal{C}$ correspondant aux valeurs de $x$ appartenant à l'intervalle [-3 ; 2,2].
    c) Compléter le graphique précédent en traçant la droite d'équation $y = 16$ . On mettra en évidence le point B de $\mathcal{C}$ d'abscisse ln 5, ainsi que la tangente à $\mathcal{C}$ en ce point.

6. a) Calculer $f(\ln 2\right)$ . Indiquer, sans justification, le signe de la fonction $f$ sur l'intervalle [0 ; ln 2].
    b) On considère le domaine plan $\mathcal{D}$ limité par la courbe $\mathcal{C}$ , l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x = \ln 2$ . Calculer l'aire $\mathcal{A}$ du domaine $\mathcal{D}$ .
    c) Donner une valeur approchée de $\mathcal{A}$ au centième par défaut.

Voir la correction

exercice 1

1. Résolution de $z^2 + 2 \sqrt{3}z +4 = 0$ :
Calcul du discriminant : $\Delta = b^2 - 4 ac = (2 \sqrt{3})^2 - 4 \times 1 \times 4 = 4 \times 3 - 16 = 12 - 16 =-4 <0$ donc l'équation admet deux solutions complexes conjuguées :
$z_1 = \dfrac{-b+i\sqrt{-\Delta}}{2a} = \dfrac{-2 \sqrt{3} + 2i}{2} = -\sqrt{3} +i$ donc $\boxed{z_1 = -\sqrt{3} +i}$
De même : $\boxed{z_2 = -\sqrt{3} -i}$

2. Calcul du module de $z_1$ :
$|z_1| = |-\sqrt{3} +i| = \sqrt{(-\sqrt{3})^2+1^2} = \sqrt{3+1} = 2$
Soit $\theta_1$ un argument de $z_1$ ; $\theta_1$ est tel que :
$\. \cos(\theta_1) = \frac{Re(z_1)}{|z_1|} = -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \sin(\theta_1) = \frac{Im(z_1)}{|z_1|} = \frac{1}{2} \rbrace$ donc $\theta_1 = \frac{5 \pi}{6}$
$\boxed{|z_1| = 2 \\ Arg(z_1) = \frac{5 \pi}{6}}$
On en déduit le module et l'argument de $z_2$ car : $z_2=-\sqrt3-i=\bar{(-\sqrt3+i)}=\bar{z_1}$
donc $|z_2|=|\bar{z_1}|=|z_1|=2$ et $Arg(z_2) =Arg(\bar{z_1})=-Arg(z_1) = -d\frac{5\pi}{6}$
$\boxed{|z_2| = 2 \\ Arg(z_2) = -\frac{5 \pi}{6}}$

3. a) Détérmination des formes algébriques :
$z_A = 2 e^{5 i \frac{\pi}{6}} = 2 \left( \cos \left( \dfrac{5 \pi}{6} \right) + i \sin \left( \dfrac{5 \pi}{6} \right) \right) = 2 \left( -\dfrac{\sqrt{3}}{2} + i \dfrac{1}{2} \right) = -\sqrt{3} + i$
$z_B = 2 e^{-5 i \frac{\pi}{6}} = 2 \left( \cos \left( -\dfrac{5 \pi}{6} \right) + i \sin \left( -\dfrac{5 \pi}{6} \right) \right) = 2 \left( -\dfrac{\sqrt{3}}{2} - i \dfrac{1}{2} \right) = -\sqrt{3} - i$
$z_C = 4 e^{ i \frac{\pi}{3}} = 4 \left( \cos \left( \dfrac{\pi}{3} \right) + i \sin \left( \dfrac{\pi}{3} \right) \right) = 4 \left( \dfrac{1}{2} + i\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right) = 2 + 2\sqrt{3}i$
$\boxed{\begin{array}{l} z_A = -\sqrt{3} + i \\ z_B = -\sqrt{3} - i \\ z_C = 2 + 2\sqrt{3}i \end{array}}$

3. b) On peut placer les points A, B et C en utilisant leurs modules et les cosinus et sinus de leurs arguments.

bac STL chimie de laboratoire et de procédés industriels 2008 - terminale : image 1

3. c) Montrons que le triangle AOC est rectangle en O :
On a : $OA = |z_A| = 2$ et $OC = |z_C| = 4$
$AC = |z_A - z_C| \\AC = |-\sqrt{3} + i - (2 + 2\sqrt{3}i) | \\AC = \sqrt{(-2-\sqrt{3})^2 + (1-2\sqrt{3})^2} \\AC = \sqrt{(-2)^2 + (-\sqrt{3})^2 -2\times (-2) \times \sqrt{3} + 1^2 + (2\sqrt{3})^2 - 2 \times 1 \times 2\sqrt{3}} \\AC = \sqrt{4 + 3 + 2 \sqrt{3} + 1 + 12 -2\sqrt{3}} \\AC = \sqrt{20}$
Donc, on a : $AC^2 = 20$ et $OA^2 +OC^2 = 2^2 + 4^2 = 4 + 16 = 20$
Donc, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle AOC est rectangle en O.

exercice 2

1. a) On a : $y(t) = f(t) - 20$
Donc : $y'(t) = f'(t)$
Or, on sait que : $f'(t) = \lambda [ f(t) - 20 ]$ d'où $y'(t) = \lambda y(t)$
Donc la fonction y est bien solution de l'équation différentielle $y' = \lambda y$ .

1. b) L'ensemble des solutions de l'équation différentielle $y' = \lambda y$ est donnée par : $\boxed{y(t) = C e^{\lambda t}}$ où C est un réel.

1. c) On a : $y(t) = f(t) - 20$ donc $\boxed{f(t) = y(t) + 20 = C e^{\lambda t} +20}$ où C est un réel.

1. d) On utilise la condition initiale $f(0)=220$ :
$f(0) = 220 \, \Longleftrightarrow \, C e^0 +20 = 220 \, \Longleftrightarrow \, C +20 = 220 \, \Longleftrightarrow \, C = 200$
Donc la solution est donnée par : $\boxed{f(t) = 200 e^{\lambda t} +20}$

2. a) On sait que $f \left( \dfrac{1}{4}\right) = 60$ :
$f \left( \dfrac{1}{4}\right) = 60 \\ \Longleftrightarrow \, 200 e^{\lambda \frac{1}{4}} +20 = 60 \\ \Longleftrightarrow \, 200 e^{\frac{\lambda}{4}} = 40 \\ \Longleftrightarrow \, e^{\frac{\lambda}{4}} = \dfrac{40}{200} = \dfrac{1}{5} \\ \Longleftrightarrow \, \ln \left(e^{\frac{\lambda}{4}} \right)= \ln \left( \dfrac{1}{5} \right) \\ \Longleftrightarrow \, \frac{\lambda}{4} = -\ln 5 \\ \Longleftrightarrow \, \boxed{\lambda = - 4 \ln 5}$
Donc : $\boxed{f(t) = 200 e^{(-4 \ln 5) t} +20}$

2. b) Température au bout d'une demi-heure, donc pour $t = \dfrac{1}{2}$ :
$f \left( \frac{1}{2}\right) = 200 e^{(-4 \ln 5) \frac{1}{2}} +20 = 200 e^{-2 \ln 5} +20 = 28$
Donc la température est de 28°C au bout d'une demi-heure.

probleme

1. Limite en $-\infty$
$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \, e^{2x} = 0 \\ \displaystyle \lim_{x \to -\infty} \, e^{x} = 0$
Donc : $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \, f(x) = 16}$
Donc la courbe $\scrC$ admet une asymptote horizontale d'équation $y=16$ en $-\infty$ .

2. a) On développe :
$(e^x -2)(e^x-8) = e^x e^x -8 e^x - 2 e^x + 16 = e^{2x} - 10 e^x + 16 = f(x)$

2. b) Limite en $+\infty$
$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \, e^{x} = +\infty$ donc $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \, e^{x} -2 = +\infty$ et $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \, e^{x} - 8 = +\infty$
Donc : $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \, f(x) = +\infty}$

3. a) Calcul de la dérivée
Pour tout réel $x$ , on a : $f'(x) = 2 e^{2x} - 10e^x$ (en utilisant $\left( e^u \right)' = u' e^u$ )
En factorisant par $2e^x$ , on a : $\boxed{f'(x) = 2e^x(e^x - 5)}$

3. b) Une exponentielle étant toujours strictement positive, on a :
$f'(x) = 0 \, \Longleftrightarrow \, e^x - 5 = 0\, \Longleftrightarrow \, e^x = 5 \, \Longleftrightarrow \, x = \ln 5$
De même : $f'(x) > 0 \, \Longleftrightarrow \, e^x - 5 > 0\, \Longleftrightarrow \, e^x > 5 \, \Longleftrightarrow \, x > \ln 5$
On obtient donc le tableau de signe suivant pour la dérivée :
$\begin{array}{|c|ccccc|} \hline x&-\infty& &\ln 5& &+\infty \\ \hline e^x-5& &-&0&+& \\ \hline 2e^x & &+&|&+& \\ \hline f'(x) & &-&0&+& \\ \hline \end{array}$
On en déduit les variations de la fonction :
$\begin{array}{|c|ccccc|} \hline x&-\infty&&\ln5&&+\infty \\ \hline{f(x)}&^{16}&\searrow&_{-9}&\nearrow&^{+\infty}&\\ \hline \end{array}$
Avec : $f(\ln 5) = e^{2 \ln 5} - 10 e^{\ln 5} + 16 = e^{\ln 25} - 10 \times 5 + 16 = 25 - 50 + 16 = -9$

4. Tableau de valeurs :

$x$	-3	-2	-1	0	1	2	2,2
$f(x)$	15,5	14,7	12,5	7	-3,8	-3,3	7,2

5. a) Le coefficient directeur de la droite tangente au point d'abscisse 0 est égal au nombre dérivé en 0, c'est-à-dire $f'(0)$ :
$f'(0) = 2e^0(e^0-5) = 2\times 1 \times (1-5) = \boxed{-8}$

5. b) et 5. c) Courbe représentative

bac STL chimie de laboratoire et de procédés industriels 2008 - terminale : image 2

6. a) $f(\ln 2) = e^{2 \ln 2} - 10 e^{\ln 2} + 16 = e^{\ln 4} - 10 \times 2 + 16 = 4 - 20 + 16 = 0$
Sur l'intervalle $[0 ; \ln 2]$ la courbe $\scrC$ est au-dessus de l'axe des abscisses, donc $f(x) \ge 0$ .

6. b) Calcul de l'intégrale de le fonction f sur l'intervalle $[0 ; \ln 2]$
$I = \displaystyle \int_0^{\ln 2} f(x) dx \\ I = \displaystyle \int_0^{\ln 2} (e^{2 x} - 10 e^x + 16) dx \\ I = \left[ \frac{e^{2x}}{2} -10 e^x + 16 x \right]_0^{\ln 2} \\ I = \left( \frac{e^{2 \ln 2}}{2} -10 e^{\ln 2} + 16 \ln 2 \right) - \left( \frac{e^0}{2} -10 e^0 + 16 \times 0 \right) \\ I = \frac{e^{\ln 4}}{2} -10 \times 2 + 16 \ln 2 - \frac{1}{2} +10 \\ I = \frac{4}{2} - 20 + 16 \ln 2 - \frac{1}{2} +10 \\ I = 2 - 10 + 16 \ln 2 - \frac{1}{2} \\ \boxed{I = 16 \ln 2 - 8,5}$
La fonction $f$ étant positive sur $[0 ; \ln 2]$ , alors l'intégrale est égale à l'aire en unité d'aires ; l'unité d'aire est égale à $2 \times 0,5 = 1$ cm² donc :
$\boxed{\scrA = 16 \ln 2 - 8,5 \, cm^2}$

6. c) $\boxed{\scrA \approx 2,59 \, cm^2}$

Publié par Cel/jamo le 30-11--0001

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