Baccalauréat Technologique
Techniques de la Musique et de la Danse
France - Session Juin 2008
5 points exercice 1
Pour chaque question, une seule des trois réponses proposées est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie, sans justification, la réponse choisie.
Chaque réponse exacte rapporte 1 point, chaque réponse fausse enlève 0,25 point et une absence de réponse est comptée 0 point. Si le total est négatif la note de l'exercice est ramenée à 0.
Rappels :
Si

et

sont des entiers et

un entier naturel non nul : «

congru à

modulo

» s'écrit
)
.
À chaque note de la gamme de tempérament égal on associe un entier naturel, compris entre

et

, comme indiqué dans le tableau suivant :
Note | DO | DO# | RÉ | RÉ# | MI | FA | FA# | SOL | SOL# | LA | LA# | SI |
Nombre | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
Dans la gamme de tempérament égal, une quinte vaut sept demi-tons.
Lorsque l'on ajoute une quinte à une note associée au nombre

, cette note est transformée en une note associée au nombre

tel que
)
.
1. Dans la division euclidienne de 2008 par 12 :
a) Le reste est égal à 8 | b) Le reste est égal à 4 | c) Le reste est égal à 0,33 |
2. L'entier 143 est congru à l'entier -18
a) modulo 5 | b) modulo 2 | c) modulo 7 |
3. Soit un entier

. Si
)
, alors :
4. En ajoutant cinq quintes à la note LA on obtient la note SOL# car :
5. Sachant qu'en ajoutant

quintes à la note RÉ on obtient la note FA, l'entier

est tel que :
8 points exercice 2
On désigne par I l'intervalle [0,5 ; 8].
On considère la fonction

définie pour tout réel

de l'intervalle I par :
 = (2 - \ln x) \times \ln x)
, où

désigne le logarithme népérien du nombre

.
On désigne par

la fonction dérivée de la fonction

sur l'intervalle I et par

la courbe représentative de la fonction

dans un repère orthogonal
)
du plan d'unités graphiques 1 cm en abscisse et 4 cm en ordonnée.
1. Démontrer que, pour tout réel

de l'intervalle I,
 = \dfrac{2}{x}(1 - \ln x))
.
2. a) Résoudre, dans l'intervalle I, l'équation

, puis l'inéquation

.
b) En déduire le signe de
)
, pour tout

de l'intervalle I, et dresser le tableau de variations de la fonction

sur cet intervalle.
3. a) Résoudre, dans l'intervalle I, l'équation
 = 0)
; on donnera la valeur exacte de chaque solution.
b) Donner une interprétation graphique de ces solutions pour la courbe

.
4. Déterminer, sous la forme

, l'équation de la tangente D à la courbe

au point A d'abscisse 1.
5. Reproduire et compléter le tableau de valeurs suivant ; on donnera dans chaque cas la valeur décimale arrondie au centième.
 | 0,5 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
) | | | | | | | | | |
6. Construire, dans le repère
)
, la courbe

, la tangente D ainsi que la tangente D' au point d'abscisse e.
7 points exercice 3 - Enseignement obligatoire (au choix)
Dans un groupe d'enfants qui s'intéressent à l'informatique et à la musique, on constate que :
80 % des enfants ont un ordinateur à la maison ;
74 % des enfants qui n'ont pas d'ordinateur à la maison jouent d'un instrument de musique ;
28 % des enfants ont un ordinateur à la maison et jouent d'un instrument de musique.
On choisit un enfant au hasard dans le groupe. Chaque enfant a la même probabilité d'être choisi.
On considère les évènements suivants :
O : « l'enfant a un ordinateur à la maison » ;
J : « l'enfant joue d'un instrument de musique ».
1. a) Donner la probabilité de l'évènement O et celle de l'événement contraire

.
b) Donner la probabilité de l'évènement J sachant que l'événement

est réalisé.
2. Démontrer que la probabilité que l'enfant joue d'un instrument de musique sachant qu'il a un ordinateur à la maison est égale à 0,35.
3. Construire l'arbre de probabilité traduisant la situation.
4. Démontrer que la probabilité que l'enfant joue d'un instrument de musique est égale à 0,428.
5. Calculer la probabilité de l'évènement « l'enfant a un ordinateur à la maison » sachant qu'il joue d'un instrument de musique ; en donner la valeur décimale arrondie au millième.
7 points exercice 4 - Enseignement renforcé (au choix)
Plusieurs représentations d'un même spectacle sont données dans une salle de 400 places. On a relevé le nombre de spectateurs à chacune des cinq premières représentations.
Les résultats sont indiqués dans le tableau suivant où

désigne le rang de la représentation et

désigne le nombre de spectateurs correspondant :
 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
 | 365 | 320 | 275 | 248 | 198 |
1. a) Représenter le nuage des points
)
dans un repère orthogonal du plan, où 2 cm représentent 1 rang en abscisse et 2 cm représentent 50 spectateurs en ordonnée.
b) Préciser pourquoi un ajustement affine est envisageable.
2. a) Donner, sous la forme

, l'équation de la droite D d'ajustement de

en

du nuage, obtenue par la méthode des moindres carrés ; les coefficients

et

seront donnés par la calculatrice.
b) Construire, en précisant les coordonnées des points utilisés, la droite D sur le graphique précédent.
On suppose que la tendance d'évolution se poursuit.
3. a) Déterminer graphiquement une estimation du nombre de spectateurs à la septième représentation ; on laissera apparents les traits nécessaires à cette lecture graphique.
b) Vérifier le résultat par le calcul.
4. Les organisateurs du spectacle estiment qu'une représentation est rentable s'il y a au moins 70 spectateurs.
a) Déterminer, par le calcul, à partir de quelle représentation le seuil de rentabilité ne sera pas atteint.
b) Vérifier le résultat sur le graphique, en laissant apparents les traits nécessaires à cette lecture graphique.