5 points

exercice 1

Pour chaque question, une seule des trois réponses proposées est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie, sans justification, la réponse choisie.
Chaque réponse exacte rapporte 1 point, chaque réponse fausse enlève 0,25 point et une absence de réponse est comptée 0 point. Si le total est négatif la note de l'exercice est ramenée à 0.

Rappels :
    Si et sont des entiers et un entier naturel non nul : « congru à modulo » s'écrit .
    À chaque note de la gamme de tempérament égal on associe un entier naturel, compris entre et , comme indiqué dans le tableau suivant :

Note	DO	DO#	RÉ	RÉ#	MI	FA	FA#	SOL	SOL#	LA	LA#	SI
Nombre	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11

    Dans la gamme de tempérament égal, une quinte vaut sept demi-tons.
    Lorsque l'on ajoute une quinte à une note associée au nombre , cette note est transformée en une note associée au nombre tel que .

1. Dans la division euclidienne de 2008 par 12 :

a) Le reste est égal à 8

b) Le reste est égal à 4

c) Le reste est égal à 0,33

2. L'entier 143 est congru à l'entier -18

a) modulo 5

b) modulo 2

c) modulo 7

3. Soit un entier . Si , alors :

a)

b)

c)

4. En ajoutant cinq quintes à la note LA on obtient la note SOL# car :

a)

b)

c)

5. Sachant qu'en ajoutant quintes à la note RÉ on obtient la note FA, l'entier est tel que :

a)

b)

c)

8 points

exercice 2

On désigne par I l'intervalle [0,5 ; 8].
On considère la fonction définie pour tout réel de l'intervalle I par :     , où désigne le logarithme népérien du nombre .
On désigne par la fonction dérivée de la fonction sur l'intervalle I et par la courbe représentative de la fonction dans un repère orthogonal du plan d'unités graphiques 1 cm en abscisse et 4 cm en ordonnée.

1. Démontrer que, pour tout réel de l'intervalle I, .

2. a) Résoudre, dans l'intervalle I, l'équation , puis l'inéquation .
    b) En déduire le signe de , pour tout de l'intervalle I, et dresser le tableau de variations de la fonction sur cet intervalle.

3. a) Résoudre, dans l'intervalle I, l'équation ; on donnera la valeur exacte de chaque solution.
    b) Donner une interprétation graphique de ces solutions pour la courbe .

4. Déterminer, sous la forme , l'équation de la tangente D à la courbe au point A d'abscisse 1.

5. Reproduire et compléter le tableau de valeurs suivant ; on donnera dans chaque cas la valeur décimale arrondie au centième.

	0,5	1	2	3	4	5	6	7	8

6. Construire, dans le repère , la courbe , la tangente D ainsi que la tangente D' au point d'abscisse e.


7 points

exercice 3 - Enseignement obligatoire (au choix)

Dans un groupe d'enfants qui s'intéressent à l'informatique et à la musique, on constate que :
    80 % des enfants ont un ordinateur à la maison ;
    74 % des enfants qui n'ont pas d'ordinateur à la maison jouent d'un instrument de musique ;
    28 % des enfants ont un ordinateur à la maison et jouent d'un instrument de musique. On choisit un enfant au hasard dans le groupe. Chaque enfant a la même probabilité d'être choisi.
On considère les évènements suivants :
    O : « l'enfant a un ordinateur à la maison » ;
    J : « l'enfant joue d'un instrument de musique ».

1. a) Donner la probabilité de l'évènement O et celle de l'événement contraire .
    b) Donner la probabilité de l'évènement J sachant que l'événement est réalisé.

2. Démontrer que la probabilité que l'enfant joue d'un instrument de musique sachant qu'il a un ordinateur à la maison est égale à 0,35.

3. Construire l'arbre de probabilité traduisant la situation.

4. Démontrer que la probabilité que l'enfant joue d'un instrument de musique est égale à 0,428.

5. Calculer la probabilité de l'évènement « l'enfant a un ordinateur à la maison » sachant qu'il joue d'un instrument de musique ; en donner la valeur décimale arrondie au millième.


7 points

exercice 4 - Enseignement renforcé (au choix)

Plusieurs représentations d'un même spectacle sont données dans une salle de 400 places. On a relevé le nombre de spectateurs à chacune des cinq premières représentations.
Les résultats sont indiqués dans le tableau suivant où désigne le rang de la représentation et désigne le nombre de spectateurs correspondant :

	1	2	3	4	5
	365	320	275	248	198

1. a) Représenter le nuage des points dans un repère orthogonal du plan, où 2 cm représentent 1 rang en abscisse et 2 cm représentent 50 spectateurs en ordonnée.
    b) Préciser pourquoi un ajustement affine est envisageable.

2. a) Donner, sous la forme , l'équation de la droite D d'ajustement de en du nuage, obtenue par la méthode des moindres carrés ; les coefficients et seront donnés par la calculatrice.
    b) Construire, en précisant les coordonnées des points utilisés, la droite D sur le graphique précédent.
On suppose que la tendance d'évolution se poursuit.

3. a) Déterminer graphiquement une estimation du nombre de spectateurs à la septième représentation ; on laissera apparents les traits nécessaires à cette lecture graphique.
    b) Vérifier le résultat par le calcul.

4. Les organisateurs du spectacle estiment qu'une représentation est rentable s'il y a au moins 70 spectateurs.
    a) Déterminer, par le calcul, à partir de quelle représentation le seuil de rentabilité ne sera pas atteint.
    b) Vérifier le résultat sur le graphique, en laissant apparents les traits nécessaires à cette lecture graphique.