Fiche de mathématiques
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Baccalauréat Technologique
Techniques de la Musique et de la Danse
France - Session Juin 2008

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5 points

exercice 1

Pour chaque question, une seule des trois réponses proposées est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie, sans justification, la réponse choisie.
Chaque réponse exacte rapporte 1 point, chaque réponse fausse enlève 0,25 point et une absence de réponse est comptée 0 point. Si le total est négatif la note de l'exercice est ramenée à 0.


Rappels :
    Si a et b sont des entiers et c un entier naturel non nul : « a congru à b modulo c » s'écrit a \equiv b~~ (\text{modulo}~ c).
    À chaque note de la gamme de tempérament égal on associe un entier naturel, compris entre 0 et 11, comme indiqué dans le tableau suivant :
NoteDODO#RÉ#MIFAFA#SOLSOL#LALA#SI
Nombre01234567891011
    Dans la gamme de tempérament égal, une quinte vaut sept demi-tons.
    Lorsque l'on ajoute une quinte à une note associée au nombre p, cette note est transformée en une note associée au nombre q tel que p + 7 \equiv  q~~ (\text{modulo}~ 12).

1. Dans la division euclidienne de 2008 par 12 :
a) Le reste est égal à 8b) Le reste est égal à 4c) Le reste est égal à 0,33


2. L'entier 143 est congru à l'entier -18
a) modulo 5b) modulo 2c) modulo 7


3. Soit un entier x. Si x \equiv  2 (\text{modulo}~ 5), alors :
a) x^3 \equiv x~~ (\text{modulo}~ 5)b) x^3 \equiv 1~~ (\text{modulo}~ 5)c) x^3 \equiv  0 (\text{modulo}~ 5)


4. En ajoutant cinq quintes à la note LA on obtient la note SOL# car :
a) 8+5\times7\equiv 9~ (\text{modulo}~12)b) 9+ 5 \times 8 \equiv 7~(\text{modulo}~ 12)c) 9 + 5 \times 7 \equiv 8~(\text{modulo}~ 12)


5. Sachant qu'en ajoutant n quintes à la note RÉ on obtient la note FA, l'entier n est tel que :
a) 2 + n \equiv 5~ (\text{modulo}~ 12)b) 7n \equiv 3~ (\text{modulo}~ 12)c) 2 + 7n \equiv 6~ (\text{modulo}~ 12)



8 points

exercice 2

On désigne par I l'intervalle [0,5 ; 8].
On considère la fonction f définie pour tout réel x de l'intervalle I par :     f(x) = (2 - \ln x) \times \ln x, où \ln x désigne le logarithme népérien du nombre x.
On désigne par f' la fonction dérivée de la fonction f sur l'intervalle I et par \mathcal{C} la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthogonal (O ; \vec{i},\vec{j}) du plan d'unités graphiques 1 cm en abscisse et 4 cm en ordonnée.

1. Démontrer que, pour tout réel x de l'intervalle I, f'(x) = \dfrac{2}{x}(1 - \ln x).

2. a) Résoudre, dans l'intervalle I, l'équation 1- \ln x = 0, puis l'inéquation 1 - \ln x > 0.
    b) En déduire le signe de f'(x), pour tout x de l'intervalle I, et dresser le tableau de variations de la fonction f sur cet intervalle.

3. a) Résoudre, dans l'intervalle I, l'équation f(x) = 0 ; on donnera la valeur exacte de chaque solution.
    b) Donner une interprétation graphique de ces solutions pour la courbe \mathcal{C}.

4. Déterminer, sous la forme y =ax+b, l'équation de la tangente D à la courbe \mathcal{C} au point A d'abscisse 1.

5. Reproduire et compléter le tableau de valeurs suivant ; on donnera dans chaque cas la valeur décimale arrondie au centième.
x0,512345678
f(x)         

6. Construire, dans le repère (O ; \vec{i},\vec{j}), la courbe \mathcal{C}, la tangente D ainsi que la tangente D' au point d'abscisse e.


7 points

exercice 3 - Enseignement obligatoire (au choix)

Dans un groupe d'enfants qui s'intéressent à l'informatique et à la musique, on constate que :
    80 % des enfants ont un ordinateur à la maison ;
    74 % des enfants qui n'ont pas d'ordinateur à la maison jouent d'un instrument de musique ;
    28 % des enfants ont un ordinateur à la maison et jouent d'un instrument de musique. On choisit un enfant au hasard dans le groupe. Chaque enfant a la même probabilité d'être choisi.
On considère les évènements suivants :
    O : « l'enfant a un ordinateur à la maison » ;
    J : « l'enfant joue d'un instrument de musique ».

1. a) Donner la probabilité de l'évènement O et celle de l'événement contraire \overline{\text{O}}.
    b) Donner la probabilité de l'évènement J sachant que l'événement \overline{\text{O}} est réalisé.

2. Démontrer que la probabilité que l'enfant joue d'un instrument de musique sachant qu'il a un ordinateur à la maison est égale à 0,35.

3. Construire l'arbre de probabilité traduisant la situation.

4. Démontrer que la probabilité que l'enfant joue d'un instrument de musique est égale à 0,428.

5. Calculer la probabilité de l'évènement « l'enfant a un ordinateur à la maison » sachant qu'il joue d'un instrument de musique ; en donner la valeur décimale arrondie au millième.


7 points

exercice 4 - Enseignement renforcé (au choix)

Plusieurs représentations d'un même spectacle sont données dans une salle de 400 places. On a relevé le nombre de spectateurs à chacune des cinq premières représentations.
Les résultats sont indiqués dans le tableau suivant où x_{i} désigne le rang de la représentation et y_{i} désigne le nombre de spectateurs correspondant :

x_{i}12345
y_{i}365320275248198

1. a) Représenter le nuage des points M_{i}\left(x_{i}~ ;~ y_{i}\right) dans un repère orthogonal du plan, où 2 cm représentent 1 rang en abscisse et 2 cm représentent 50 spectateurs en ordonnée.
    b) Préciser pourquoi un ajustement affine est envisageable.

2. a) Donner, sous la forme y = ax + b, l'équation de la droite D d'ajustement de y en x du nuage, obtenue par la méthode des moindres carrés ; les coefficients a et b seront donnés par la calculatrice.
    b) Construire, en précisant les coordonnées des points utilisés, la droite D sur le graphique précédent.
On suppose que la tendance d'évolution se poursuit.

3. a) Déterminer graphiquement une estimation du nombre de spectateurs à la septième représentation ; on laissera apparents les traits nécessaires à cette lecture graphique.
    b) Vérifier le résultat par le calcul.

4. Les organisateurs du spectacle estiment qu'une représentation est rentable s'il y a au moins 70 spectateurs.
    a) Déterminer, par le calcul, à partir de quelle représentation le seuil de rentabilité ne sera pas atteint.
    b) Vérifier le résultat sur le graphique, en laissant apparents les traits nécessaires à cette lecture graphique.
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