Fiche de mathématiques
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Bac Technologique
Série Hôtellerie
Polynésie Française - Session 2008

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Durée de l'épreuve : 1 heure 30       Coefficient : 2

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
L'usage des instruments de calcul et du formulaire officiel de mathématiques est autorisé.
8 points

exercice 1

Le centre de thalassothérapie Neptune propose des formules de cure à la semaine. Trois choix de cures sont possibles :
Cure 1 : détente et remise en forme,
Cure 2 : minceur,
Cure 3 : tonus et vitalité.
6000 clients ont fréquenté l'établissement durant l'année 2007.
On constate que :
2500 clients sont des hommes,
20% des hommes ont choisi la cure 2,
1200 hommes ont choisi la cure 1,
3 client sur 10 ont choisi la cure 3,
36% des clients ont choisi la cure 2.

1. Reproduire et compléter le tableau suivant qui couvre l'année 2007.
 Cure 1Cure 2Cure 3Total
Femmes840   
Hommes    
Total   6000
Dans toute la suite de l'exercice, les résultats seront arrondis à 10-2 si nécessaire.

2. On prélève une fiche au hasard parmi les 6000 fiches des clients ayant fréquenté l'établissement durant l'année 2007.
On considère que chaque fiche à la même probabilité d'être choisie.

Calculer la probabilité de chacun des événements suivants :
    A : Le client a choisi la cure 1.
    B : Le client est un homme.
    C : Le client est une femme qui a choisi la cure 2.

3. a) Définir par une phrase l'événement \text{A} \cap \text{B} ; calculer la probabilité \text{P}(\text{A} \cap \text{B}).
    b) Définir par une phrase l'événement \text{A} \cup \text{B} ; calculer la probabilité \text{P}(\text{A} \cup \text{B}).
    c) Définir par une phrase l'événement \bar{\text{A}} ; calculer la probabilité \text{P}(\bar{\text{A}}).

4. On a prélevé la fiche d'une femme. Calculer la probabilité que la cliente ait choisi la cure 3.


12 points

exercice 2

Les parties A, B et C sont indépendantes.

Dans le but d'informer les personnes souhaitant se lancer dans les métiers de l'hôtellerie, la chambre de commerce et d'industrie de la région Nord-Pas de Calais a décidé de suivre pendant une période de deux ans l'évolution du bénéfice réalisé par un jeune restaurateur qui vient d'ouvrir son établissement.

Les résultats sont consignés, trimestre par trimestre, dans le tableau ci-dessous.
Le nuage de points correspondant est donné ci-dessous.
TrimestreRang du trimestre
x_i
Bénéfice en €
y_i
janvier-février-mars 200611700
avril-mai-juin 200621300
juillet-août-septrembre 200631000
octobre-novembre-décembre 200641400
janvier-février-mars 200751900
avril-mai-juin 200762000
juillet-août-septrembre 200772700
octobre-novembre-décembre 200783500


sujet du bac hôtellerie Polynésie Française 2008 - terminale : image 1

Partie A : Étude statistique et ajustement affine

1. Un ajustement affine pour l'ensemble de ce nuage semble-t-il pertinent ?

2. Afin d'effectuer des prévisions, la chambre de commerce et de l'industrie propose d'appliquer un ajustement affine en se limitant à l'intervalle [ 3 ; 8 ].
Celui-ci est donné par la droite (d) d'équation y = 471 x - 510.

Tracer, dans le repère précédent, la droite (d).

3. On suppose que le modèle reste valable en 2008. Calculer le bénéfice prévisible pour le quatrième trimestre 2008 (octobre-novembre-décembre 2008).

Partie B : Étude d'une fonction

On considère la fonction f définie sur l'intervalle [1 ; 12] par :
f(x) = 800x + 1000 - 2000 \ln x
On nomme C la courbe représentative de f dans le repère orthogonal précédent.

1. Déterminer f'(x)f' désigne la fonction dérivée de la fonction f et vérifier que f'(x) = \displaystyle \frac{800x-2000}{x}.

2. a) Résoudre f'(x)=0 pour x appartenant à l'intervalle [1 ; 12].
    b) Étudier le signe de f'(x) pour x appartenant à l'intervalle [1 ; 12].
    c) Dresser le tableau de variation de f sur l'intervalle [1 ; 12].

3. Reproduire et compléter le tableau ci-dessous. Les valeurs obtenues seront arrondies à la dizaine.
x123456789101112
f(x)1800           


4. Tracer C.

Partie C : Étude d'un autre modèle

On admet que la fonction f étudiée dans la partie B réalise, pour le restaurateur de la partie A, un bon ajustement du bénéfice en fonction du rang du trimestre jusqu'en 2008.
Calculer, à l'aide de la fonction f, le bénéfice prévisible pour le quatrième trimestre 2008 (octobre-novembre-décembre 2008). Arrondir à la dizaine.






exercice 1

1. 20 % des hommes, soit 2500 \times 20\% = 500 hommes ont choisi la cure 2 ; 3 clients sur 10, soit \frac{3}{10} \times 6000 = 1800 clients ont chosi la cure 3 ; 36 % des clients, soit 36 \% \times 6000 = 2160 clients, ont choisi la cure 2 ; les autres chiffres se déduisent facilement.

 Cure 1Cure 2Cure 3Total
Femmes840166010003500
Hommes12005008002500
Total2040216018006000


2. Il y a 2040 clients qui ont choisi la cure 1 parmi les 6000 clients, donc :
\boxed{P(\text{A}) = \frac{2040}{6000} = 0,34}
Il y a 2500 hommes parmi les 6000 clients, donc :
\boxed{P(\text{B}) = \frac{2500}{6000} \approx 0,42}
Il y a 1660 femmes qui ont choisi la cure 2 parmi les 6000 clients, donc :
\boxed{P(\text{C}) = \frac{1660}{6000} = 0,28}

3. a) \text{A} \cap \text{B} : "le client est un homme qui a choisi la cure 1"
Il y a 1200 hommes qui ont choisi la cure 1 parmi les 6000 clients, donc :
\boxed{P(\text{A }\cap \text{B}) = \frac{1200}{6000} = 0,2}

3. b) \text{A} \cup \text{B} : "le client est un homme ou a choisi la cure 1"
P(\text{A} \cup \text{B}) = P(\text{A}) + P(\text{B}) - P(\text{A} \cap \text{B}) \\ P(\text{A} \cup \text{B}) = \displaystyle \frac{2040+2500-1200}{6000} \\ P(\text{A} \cup \text{B}) = \displaystyle \frac{3340}{6000} \\ \boxed{P(\text{A} \cup \text{B}) \approx 0,56}

3. c) \bar{\text{A}} : "le client n'a pas choisi la cure 1", ce qui équivaut à "le client a choisi la cure 2 ou la cure 3"
P(\bar{\text{A}}) = 1 - P(\text{A}) \\ P(\bar{\text{A}}) = 1 - 0,34 \\ \boxed{P(\bar{\text{A}}) = 0,66}

4. Il y a 1000 femmes qui ont choisi la cure 3 parmi les 3500 femmes, donc :
\boxed{p = \frac{1000}{3500} \approx 0,29}




exercice 2

Partie A : Étude statistique et ajustement affine

1. Non, un ajustement affine ne semble pas pertinent, car les points ne semblent pas à peu près alignés.
Par contre, si on retire les deux premiers points, l'ajustement affine est envisageable.

2. On trace la droite en choisissant 2 valeurs pour x et en calculant les valeurs de y correspondantes.
sujet du bac hôtellerie Polynésie Française 2008 - terminale : image 2


3. Le 4ème trimestre 2008 correspond au rang x=12.
y = 471 \times 12 - 510 = 5142
Donc on peut prévoir un bénéfice de 5142 Euros pour le 4ème trimestre 2008.

Partie B : Étude d'une fonction

1. Calcul de la dérivée
f'(x) = 800 - 2000 \times \frac{1}{x} \\ f'(x) = \displaystyle \frac{800x}{x} - \displaystyle  \frac{2000}{x} \\ \boxed{f'(x) = \frac{800x-2000}{x}}

2. a) Résolution de l'équation f'(x)=0
f'(x)=0 \, \Longleftrightarrow \, 800x-2000 = 0 \, \Longleftrightarrow \, 800x=2000 \\ \Longleftrightarrow \, x = \displaystyle \frac{2000}{800} \, \Longleftrightarrow \, \boxed{x= 2,5}

2. b) Etude du signe de la dérivée
Le dénominateur est strictement positif sur l'intervalle [1 ; 12]. Donc f'(x) est du signe de son numérateur :
f'(x) \ge 0 \, \Longleftrightarrow \, 800x-2000 \ge 0 \, \Longleftrightarrow \, 800x \ge 2000 \, \Longleftrightarrow \, x \ge \displaystyle \frac{2000}{800} \, \Longleftrightarrow \, x \ge 2,5
On en déduit le tableau de signe de la dérivée :
sujet du bac hôtellerie Polynésie Française 2008 - terminale : image 3


2. c) On déduit du signe de la dérivée les variations de la fonction :
sujet du bac hôtellerie Polynésie Française 2008 - terminale : image 4


f(1) = 800\times 1 + 1000 - 2000 \ln 1 = 800 + 1000 - 0 = 1800 \\ f(2,5) = 800\times 2,5 + 1000 - 2000 \ln 2,5 = 3000 - 2000 \ln 2,5 \approx 1170\\ f(12) = 800\times 12 + 1000 - 2000 \ln 12 = 10600 - 2000 \ln 12 \approx 5630

3. Tableau de valeurs
x123456789101112
f(x)180012101200143017802220271032403805440050005630


4. Voir graphique ci-dessus.

Partie C : Étude d'un autre modèle

Le 4ème trimestre 2008 correspond au rang x=12.
Or : f(12) \approx 5630.
Donc on peut prévoir selon ce modèle un bénéfice de 5630 Euros pour le 4ème trimestre 2008.
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Merci à
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