Fiche de mathématiques
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Bac Technologique
Série Hôtellerie
Métropole - Session Septembre 2008

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Durée de l'épreuve : 1 heure 30       Coefficient : 2

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
L'usage des instruments de calcul et du formulaire officiel de mathématiques est autorisé.
8 points

exercice 1 - Statistiques à 2 variables

Entre 2002 et 2007, on a mesuré l'effet de la pollution sur le nombre de poissons d'une rivière.
Les résultats présentés dans le tableau suivant donnent au jour de l'ouverture de la pêche une estimation du nombre y_{i} de poissons, exprimé en milliers, correspondant à l'année dont le rang est x_{i}.

Année200220032004200520062007
Rang : x_{i}123456
Nombre de poissons en milliers : y_{i}141,3136,7116,5103,27949,4


1. Représenter sur une feuille de papier millimétré le nuage de points correspondant à cette série statistique dans un repère orthogonal (O ; I, J).
On prendra sur l'axe des abscisses 2 cm pour 1 an et sur l'axe des ordonnées 1 cm pour 10 milliers.

2. Calculer les coordonnées du point moyen G_{1}, correspondant aux 3 années 2002, 2003, 2004, puis celles du moyen point G_{2}, correspondant aux 3 années restantes.

3. Tracer la droite \left(G_{1}G_{2}\right) dans le repère (O ; I, J).

4. Déterminer une équation de cette droite.

5. On suppose que la droite \left(G_{1}G_{2}\right) réalise un bon ajustement du nombre de poissons en fonction du rang de l'année jusqu'en 2010.
À l'aide d'une lecture graphique, en laissant apparents les traits de construction, donner une estimation de :
    a) la population de cette rivière en 2008 ;
    b) l'année à partir de laquelle cette population sera strictement inférieure à 30 000.
6. Vérifier le résultat du 5. b) par un calcul.


12 points

exercice 2 - Étude d'une fonction

Partie A

Cette partie a pour objet l'étude de la fonction f définie sur l'intervalle [0 ; 18] par      f(x) = 0,5 + \ln (2x + 1) On appelle \mathcal{C} la courbe représentative de f dans un repère orthogonal (O ; I, J).

1. On appelle f' la dérivée de f. Calculer f'(x).

2. Montrer que f'(x) > 0 pour tout x de l'intervalle [0 ; 18].

3. Dresser le tableau de variations de f sur [0 ; 18].

4. Démontrer que le coefficient directeur de la tangente (T) à la courbe \mathcal{C} au point d'abscisse 0 est égal à 2.

5. Compléter le tableau suivant en arrondissant les résultats à 10^{-1} :

x012345691218
f(x)          


6. Tracer sur une feuille de papier millimétré, dans le repère orthogonal (O~;~ I,~ J) la courbe \mathcal{C} et la tangente (T).
On prendra comme unités graphiques :
1 cm sur l'axe des abscisses,
2 cm sur l'axe des ordonnées.

Partie B

Pendant une année, une entreprise construit une quantité x de bâtiments pour l'hôtellerie (0 \leqslant  x \leqslant 18) dont le coût de production est donné par     f(x) = 0,5 + \ln(2x + 1) en millions d'euros. Chaque bâtiment est vendu au prix de 400 000 € la recette totale en millions d'euros peut donc s'écrire sous la forme g(x) = 0,4x.

1. Exprimer le bénéfice de l'entreprise en fonction de x.

2. Tracer la droite D représentant g dans le repère de la partie A.

3. a) En examinant le graphique, dire si l'entreprise est bénéficiaire quand elle vend :
    5 bâtiments ;
    15 bâtiments.
Mettre en évidence les tracés utiles.
    b) Vérifier par le calcul les deux résultats précédents.

4. Déterminer graphiquement la quantité minimale de bâtiments que l'entreprise doit vendre pour être bénéficiaire.
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