Bac Technologique
Série Hôtellerie
Métropole - Session Septembre 2008
Durée de l'épreuve : 1 heure 30 Coefficient : 2
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
L'usage des instruments de calcul et du formulaire officiel de mathématiques est autorisé.
8 points exercice 1 - Statistiques à 2 variables
Entre 2002 et 2007, on a mesuré l'effet de la pollution sur le nombre de poissons d'une rivière.
Les résultats présentés dans le tableau suivant donnent au jour de l'ouverture de la pêche une estimation du nombre

de poissons, exprimé en milliers, correspondant à l'année dont le rang est

.
Année | 2002 | 2003 | 2004 | 2005 | 2006 | 2007 |
Rang :  | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
Nombre de poissons en milliers :  | 141,3 | 136,7 | 116,5 | 103,2 | 79 | 49,4 |
1. Représenter sur une feuille de papier millimétré le nuage de points correspondant à cette série statistique dans un repère orthogonal (O ; I, J).
On prendra sur l'axe des abscisses 2 cm pour 1 an et sur l'axe des ordonnées 1 cm pour 10 milliers.
2. Calculer les coordonnées du point moyen

, correspondant aux 3 années 2002, 2003, 2004, puis celles du moyen point

, correspondant aux 3 années restantes.
3. Tracer la droite
)
dans le repère (O ; I, J).
4. Déterminer une équation de cette droite.
5. On suppose que la droite
)
réalise un bon ajustement du nombre de poissons en fonction du rang de l'année jusqu'en 2010.
À l'aide d'une lecture graphique, en laissant apparents les traits de construction, donner une estimation de :
a) la population de cette rivière en 2008 ;
b) l'année à partir de laquelle cette population sera strictement inférieure à 30 000.
6. Vérifier le résultat du
5. b) par un calcul.
12 points exercice 2 - Étude d'une fonction
Partie A
Cette partie a pour objet l'étude de la fonction

définie sur l'intervalle [0 ; 18] par
 = 0,5 + \ln (2x + 1))
On appelle

la courbe représentative de

dans un repère orthogonal (O ; I, J).
1. On appelle

la dérivée de

. Calculer
)
.
2. Montrer que
 > 0)
pour tout

de l'intervalle [0 ; 18].
3. Dresser le tableau de variations de

sur [0 ; 18].
4. Démontrer que le coefficient directeur de la tangente (T) à la courbe

au point d'abscisse

est égal à

.
5. Compléter le tableau suivant en arrondissant les résultats à

:
 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 9 | 12 | 18 |
) | | | | | | | | | | |
6. Tracer sur une feuille de papier millimétré, dans le repère orthogonal (O~;~ I,~ J) la courbe

et la tangente (T).
On prendra comme unités graphiques :
1 cm sur l'axe des abscisses,
2 cm sur l'axe des ordonnées.
Partie B
Pendant une année, une entreprise construit une quantité

de bâtiments pour l'hôtellerie (

) dont le coût de production est donné par
 = 0,5 + \ln(2x + 1))
en millions d'euros. Chaque bâtiment est vendu au prix de 400 000 € la recette totale en millions d'euros peut donc s'écrire sous la forme
 = 0,4x)
.
1. Exprimer le bénéfice de l'entreprise en fonction de

.
2. Tracer la droite D représentant

dans le repère de la partie A.
3. a) En examinant le graphique, dire si l'entreprise est bénéficiaire quand elle vend :
5 bâtiments ;
15 bâtiments.
Mettre en évidence les tracés utiles.
b) Vérifier par le calcul les deux résultats précédents.
4. Déterminer graphiquement la quantité minimale de bâtiments que l'entreprise doit vendre pour être bénéficiaire.