Fiche de mathématiques

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Mathématiques Bac ES-L Pondichéry 2018

Obligatoire et Spécialité

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Correction

Bac ES-L Pondichéry 2018 - Obligatoire et Spécialité

5 points

exercice 1

1. $f'(x)=\dfrac{-5\ln x}{x^2}$

Puisque x ² > 0, le signe de f' sera le signe de -5ln x .

$\left\lbrace\begin{matrix}\ln x\le0\ \ \text{si }\ 0<x\le1\\ \ln x\ge0\ \ \text{si }\ x\ge1\end{matrix}\right.\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}-5\ln x\ge0\ \ \text{si }\ 0<x\le1\\ -5\ln x\le0\ \ \text{si }\ x\ge1\end{matrix}\right.\\\\\phantom{\left\lbrace\begin{matrix}\ln x\le0\ \ \text{si }\ 0<x\le1\\ \ln x\ge0\ \ \text{si }\ x\ge1\end{matrix}\right.}\Longrightarrow-5\ln x\le0\ \ \text{si }\ x\in[1;+\infty[\\\phantom{\left\lbrace\begin{matrix}\ln x\le0\ \ \text{si }\ 0<x\le1\\ \ln x\ge0\ \ \text{si }\ x\ge1\end{matrix}\right.}\Longrightarrow-5\ln x\le0\ \ \text{si }\ x\in[1;5]\\\phantom{\left\lbrace\begin{matrix}\ln x\le0\ \ \text{si }\ 0<x\le1\\ \ln x\ge0\ \ \text{si }\ x\ge1\end{matrix}\right.}\Longrightarrow\boxed{f'(x)\le0\ \ \text{si }\ x\in[1;5]}$

Par conséquent la réponse exacte est la réponse $\text{{\red{(b)}}.}$

2. L'abscisse du point B est égale à e.
Le coefficient directeur de la tangente à la courbe $\mathscr{C}$ au point B est égal à f' (e).

$f'(x)=\dfrac{-5\ln x}{x^2}\Longrightarrow f'(\text{e})=\dfrac{-5\ln \text{e}}{\text{e}^2}\\\\\phantom{f'(x)=\dfrac{-5\ln x}{x^2}}\Longrightarrow f'(\text{e})=\dfrac{-5\times1}{\text{e}^2}\\\\\phantom{f'(x)=\dfrac{-5\ln x}{x^2}}\Longrightarrow\boxed{f'(\text{e})=\dfrac{-5}{\text{e}^2}}$

Par conséquent la réponse exacte est la réponse $\text{{\red{(a)}}.}$

3. La croissance de f' se déduit de l'étude du signe de f" (x ) où $f$
Puisque x appartient

[0,5 ; 5], nous savons que x ³ > 0.
D'où le signe de f" (x ) sera le signe de 10 ln x - 5.

$\begin{array}l10\ln x-5=0\Longleftrightarrow10\ln x=5\\\phantom{10\ln x-5=0}\Longleftrightarrow\ln x=0,5\\\phantom{10\ln x-5=0}\Longleftrightarrow x=\text{e}^{0,5} \end{array}\begin{array}l\ |\ \\\ |\ \\\ |\ \\\ |\ \end{array}\begin{array}l10\ln x-5\le0\Longleftrightarrow10\ln x\le5\\\phantom{10\ln x-5\le0}\Longleftrightarrow\ln x\le0,5\\\phantom{10\ln x-5=0}\Longleftrightarrow x\le\text{e}^{0,5} \end{array}\begin{array}l\ |\ \\\ |\ \\\ |\ \\\ |\ \end{array}\begin{array}l10\ln x-5\ge0\Longleftrightarrow10\ln x\ge5\\\phantom{10\ln x-5=0}\Longleftrightarrow\ln x\ge0,5\\\phantom{10\ln x-5=0}\Longleftrightarrow x\ge\text{e}^{0,5} \end{array}$

Tableau de signes de f" (x ) sur l'intervalle [0,5 ; 5] :

$\begin{array}{|c|ccccc|}\hline x&0,5&&\text{e}^{0,5}\approx1,6&&5 \\\hline f''(x)&&-&0&+&\\\hline f'(x)&&\searrow&&\nearrow&\\\hline \end{array}$

Donc la fonction f' est croissante sur l'intervalle [2 ; 5].
Par conséquent la réponse exacte est la réponse $\text{{\red{(c)}}.}$

4. La fonction f est deux fois dérivable sur l'intervalle [0,5 ; 5].
La courbe $\mathscr{C}$ admet le point A comme seul point d'inflexion.
Donc la dérivée seconde s'annule en l'abscisse de ce point A .

Nous connaîtrons la valeur de cette abscisse en résolvant l'équation f" (x ) = 0.
En utilisant les résultats de la question 3, nous obtenons :

$f''(x)=0\Longleftrightarrow\dfrac{10\ln x-5}{x^3}=0\\\\\phantom{f''(x)=0}\Longleftrightarrow10\ln x-5=0\\\\\phantom{f''(x)=0}\Longleftrightarrow\boxed{x=e^{0,5}}$

Par conséquent la réponse exacte est la réponse $\text{{\red{(c)}}.}$

5. Le graphique ci-dessous montre clairement que l'aire $\mathscr{A}$ en pointillé rouge est comprise entre l'aire du polygone DEFHIJ bleuté et le rectangle DKLJ de couleur verte.

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Or le polygone DEFHIJ est composé de 20 pavés de 0,5 u. a.
Donc l'aire de ce polygone DEFHIJ est égale à 10 u. a.
Le rectangle DKLJ est de dimensions 3 multiplie

5.
Donc l'aire de ce rectangle DKLJ est égale à 15 u. a.

D'où $10<\mathscr{A}<15.$
Par conséquent la réponse exacte est la réponse $\text{{\red{(b)}}.}$

5 points

exercice 2

Partie A

1. a) 80 % des clients règlent des sommes inférieures ou égales à 30 euros.

Donc $\boxed{P(V)=0,8}$

Parmi les clients réglant des sommes inférieures ou égales à 30 euros, 40 % paient avec une carte bancaire en mode sans contact.

Donc $\boxed{P_V(S)=0,4}$

b) Arbre pondéré représentant la situation :

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2. a) La probabilité que pour son achat, le client ait réglé un montant inférieur ou égal à 30 euros et qu'il ait utilisé sa carte bancaire en mode sans contact correspond à $P(V\cap S).$

$P(V\cap S)=P(V)\times P_V(S)\\\phantom{P(V\cap S)}=0,8\times0,4\\\phantom{P(V\cap S)}=0,32\\\\\Longrightarrow\boxed{P(V\cap S)=0,32}$

b) Notons par M l'événement "pour son achat, le client a réglé avec sa carte bancaire en utilisant l'un des deux modes".
M est l'événement contraire de l'événement E.
Donc P(M)=1-P(E)
Or en utilisant la formule des probabilités totales, nous avons :

$P(E)=P(V\cap E)+P(\overline{V}\cap E)\\\phantom{P(E)}=P(V)\times P_V(E)+P(\overline{V})\times P_{\overline{V}}(E)\\\phantom{P(E)}=0,8\times0,4+0,2\times0,3\\\phantom{P(E)}=0,38\\\\\Longrightarrow P(E)=0,38$

$\text{D'où }\ \ P(M)=1-0,38\\\phantom{\text{D'où }\ \ }\boxed{P(M)=0,62}$

Par conséquent, la probabilité de l'événement "pour son achat, le client a réglé avec sa carte bancaire en utilisant l'un des deux modes" est égale à 0,62.

Partie B

X suit la loi normale de moyenne

= 27,5 et d'écart type sigma

= 3.

${\red{1.}}\ \ P(X<30)=P(X\le 27,5)+P(27,5<X<30)\\\phantom{{\red{1.}}\ \ P(X<30)}=0,5+P(27,5<X<30)\\\phantom{{\red{1.}}\ \ P(X<30)}\approx0,5+0.298\\\phantom{{\red{1.}}\ \ P(X<30)}\approx0,798\\\\\Longrightarrow\boxed{P(X<30)\approx0,798}$

Donc la probabilité que ce client ait dépensé moins de 30 euros est environ égale à 0,80 (arrondie à 0,01 près).

2. Par la calculatrice, nous obtenons $P(24,5\le X\le30,5)\approx0,68268949$
D'où la probabilité que ce client ait dépensé entre 24,5 euros et 30,5 euros est environ égale à 0,68 (arrondie à 0,01 près).

Nous pouvions trouver ce résultat par la propriété suivante de la loi normale :

$P(\mu-\sigma\le X\le\mu+\sigma)\approx0,68.$

Nous obtenons alors :

$P(24,5\le X\le30,5)=P(27,5-3\le X\le27,5+3)\\\phantom{P(81,6\le X\le82,4)}=P(\mu-\sigma\le X\le\mu+\sigma)\\\phantom{P(81,6\le X\le82,4)}\approx0,68$

Partie C

Déterminons l'intervalle de confiance $I_{200}$ au seuil de 95% de la proportion p de clients qui trouvent que ce dispositif sans contact est pratique.

La fréquence des clients de l'échantillon trouvant que le dispositif sans contact est pratique est donnée par

$f=\dfrac{175}{200}=0,875.$

L'intervalle de confiance $I_{200}$ au seuil de 95% est $I_{200}=\left[0,875-\dfrac{1}{\sqrt{200}};0,875+\dfrac{1}{\sqrt{200}}\right]$

$\Longrightarrow\boxed{I_{200}=[0,80\ ;\ 0,95]}$

Les conditions d'utilisation de l'intervalle de confiance sont remplies.
En effet,

$\left\lbrace\begin{array}l n=200\Longrightarrow {\red{n\ge30}} \\p\in[0,80;0,95]\Longrightarrow0,80\le p\le0,95\\\phantom{p\in[0,80;0,95]}\Longrightarrow200\times0,80\le np\le200\times0,95\\\phantom{p\in[0,80;0,95]}\Longrightarrow160\le np\le190\\\phantom{p\in[0,80;0,95]}\Longrightarrow{\red{ np\ge5}} \\p\in[0,80;0,95]\Longrightarrow0,80\le p\le0,95\\\phantom{p\in[0,80;0,95]}\Longrightarrow-0,95\le-p\le-0,80\\\phantom{p\in[0,80;0,95]}\Longrightarrow1-0,95\le1-p\le1-0,80\\\phantom{p\in[0,80;0,95]}\Longrightarrow0,05\le1-p\le0,20\\\phantom{p\in[0,80;0,95]}\Longrightarrow200\times0,05\le n(1-p)\le200\times0,20\\\phantom{p\in[0,80;0,95]}\Longrightarrow10\le n(1-p)\le40\\\phantom{p\in[0,80;0,95]}\Longrightarrow{\red{ n(1-p)\ge5}} \end{array}$

5 points

exercice 3

$\left\lbrace\begin{array}l u_0=65\\u_{n+1}=0,8u_n+18 \end{array}$

${\red{1.}}\ \ u_1=0,8\times u_0+18\\\phantom{{\red{1.}}\ \ u_1}=0,8\times65+18\\\phantom{{\red{1.}}\ \ u_1}=70\\\\\Longrightarrow\boxed{u_1=70} \\\\u_2=0,8\times u_1+18\\\phantom{u_1}=0,8\times70+18\\\phantom{u_1}=74\\\\\Longrightarrow\boxed{u_2=74}$

2. $v_n=u_n-90$

a. Montrons que la suite (v_n ) est une suite géométrique.

$v_{n+1}=u_{n+1}-90\\\phantom{v_{n+1}}=(0,8\times u_n+18)-90\\\phantom{v_{n+1}}=0,8\times u_n-72\\\phantom{v_{n+1}}=0,8\times u_n-0,8\times90\\\phantom{v_{n+1}}=0,8\times (u_n-90)\\\phantom{v_{n+1}}=0,8\times v_n\\\\\Longrightarrow\boxed{v_{n+1}=0,8\times v_n}$

Par conséquent la suite (v_n ) est une suite géométrique de raison 0,8 et dont le premier terme est v ₀=u ₀-90 = 65-90 = -25.

b. Le terme général de la suite (v_n ) est $v_n=v_0\times0,8^n=-25\times0,8^n$

$\text{D'où }\ \ v_n=u_n-90\Longrightarrow u_n=v_n+90\\\phantom{\text{D'\ \ où }v_n=u_n-90}\Longrightarrow u_n=-25\times0,8^n+90\\\\\Longrightarrow\boxed{u_n=90-25\times0,8^n}$

3. a) Algorithme complété :

$\begin{array}{|c|}\hline \text{ligne 1}\\\text{ligne 2}\\\text{ligne 3}\\\text{ligne 4}\\\text{ligne 5}\\\text{ligne 6}\\\hline \end{array}\begin{array}{|c|}\hline u\longleftarrow65\\n\longleftarrow0\\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{Tant que }{\red{u<85}}\\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ n\longleftarrow n+1\\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ u\longleftarrow 0,8\times u+18\\\ \ \ \ \ \text{Fin Tant que}\\\hline \end{array}$

b) Les diverses valeurs prises par u (arrondies au centième) durant l'exécution de l'algorithme sont reprises dans le tableau suivant :

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline n&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9\\\hline u&65&70&74&77,2&79,76&81,81&83,45&84,76&{\red{85,81}}&{\red{...}}\\\hline \end{array}$

La boucle "Tant que " s'arrête dès que u n'est plus strictement inférieur à 85.
Donc la valeur de n fournie à la fin de l'exécution de l'algorithme est n = 8.

c. Résolvons l'inéquation u_n supegal

85.

$90-25\times0,8^n\ge85\Longleftrightarrow-25\times0,8^n\ge85-90\\\phantom{90-25\times0,8^n\ge85}\Longleftrightarrow-25\times0,8^n\ge-5\\\\\phantom{90-25\times0,8^n\ge85}\Longleftrightarrow0,8^n\le\dfrac{-5}{-25}\\\\\phantom{90-25\times0,8^n\ge85}\Longleftrightarrow0,8^n\le0,2\\\phantom{90-25\times0,8^n\ge85}\Longleftrightarrow\ln(0,8^n)\le\ln 0,2\\\phantom{90-25\times0,8^n\ge85}\Longleftrightarrow n\ln0,8\le\ln0,2\\\\\phantom{90-25\times0,8^n\ge85}\Longleftrightarrow n\ {\red{\ge}}\ \dfrac{\ln0,2}{\ln0,8}\ \ \ \text{(car }\ln0,8<0)\\\\\text{Or }\ \ \dfrac{\ln0,2}{\ln0,8}\approx7,21$

D'où le plus petit entier naturel vérifiant l'inéquation u_n 85 est n = 8.
Nous retrouvons ainsi le résultat obtenu à la question précédente.

4. a) En juillet 2017, 65 particuliers ont souscrit à cet abonnement.
Donc u₀ = 65.

Une diminution de 20 % correspond à un coefficient multiplicateur égal à 1 - 0,2 = 0,8.
D'où puisque d'un mois à l'autre, environ 20 % des abonnements sont résiliés, le nombre d'abonnés u_n sera multiplié par 0,8, soit 0,8u_n.

Ensuite chaque mois, 18 particuliers supplémentaires souscrivent à l'abonnement.
Nous ajouterons alors 18 à 0,8u_n. Par conséquent $u_{n+1}=0,8u_n+18$ .

La suite (u_n ) modélise parfaitement le nombre d'abonnés le n -ième mois qui suit le mois de juillet 2017.

b) Nous avons montré dans la question 3c que le plus petit entier naturel vérifiant l'inéquation u_n supegal

85 est n=8.

Cela signifie que le 8^ième mois qui suit le mois de juillet 2017, le nombre d'abonnés sera supérieur à 85.
Dans ce cas, la recette mensuelle sera supérieure à 85 multiplie

52 euros, soit 4420 euros.

Le 8^ième mois qui suit le mois de juillet 2017 correspond au mois de mars 2018.
Donc à partir du mois de mars 2018, la recette mensuelle dépassera 4420 euros.

Par conséquent, la recette mensuelle de la société Biocagette va dépasser 4420 euros durant l'année 2018.

c) Calculons $\lim\limits_{n\to+\infty}u_n$

$\lim\limits_{n\to+\infty}0,8^n=0\ \ \ \text{car }0<0,8<1\\\\\Longrightarrow\lim\limits_{n\to+\infty}(90-25\times0,8^n)=90-25\times\lim\limits_{n\to+\infty}0,8^n\\\phantom{\Longrightarrow\lim\limits_{n\to+\infty}(-25\times0,8^n)}=90-25\times0\\\phantom{\Longrightarrow\lim\limits_{n\to+\infty}(-25\times0,8^n)}=90\\\\\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=90}$

Donc à long terme, le nombre mensuel d'abonnés tendra vers 90.

Dès lors, la recette mensuelle tendra vers 90 52 euros, soit 4680 euros.

5 points

exercice 3

Partie A

Valeurs obtenues en utilisant l'algorithme de Dijkstra :

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c}\hline&A\ \ &\ \ B\ \ &\ \ C\ \ &\ \ D\ \ &\ \ E\ \ &\ \ F\ \ &\ \ H\ \ &\ \ G\ \ \\\hline A &\ \ \red{0_A}\ \ &\infty&\infty&\infty&\infty&\infty&\infty&\infty\\\hline E&&47_A&56_A&\infty&\red{23_A}&30_A&\infty&\infty\\\hline F&&43_E&56_A&65_E&&\red{30_A}&63_E&\infty\\\hline B&&\red{43_E}&56_A&65_E&&&58_F&\infty\\\hline C&& &\red{53_B}&65_E&&&58_F&\infty\\\hline H&&&&65_E&&&\red{58_F}&\infty\\\hline D&&&&\red{65_E}&&&&81_H\\\hline G&&&&&&&&\red{80_D}\\ \hline \end{array}$

D'où le chemin le plus court qui permet à Louis de relier son domicile à son travail est A - E - D - G.
Louis parcourra alors une distance de 80 km.

Partie B

1. a) Puisque le 1^er janvier 2018, Louis décide d'utiliser le covoiturage, l'état probabiliste initial est P₀ = (1 0).

b) Les données de l'énoncé nous permettent de traduire la situation par le graphe probabiliste suivant :

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2. La matrice de transition du graphe probabiliste est $\boxed{M=\begin{pmatrix}0,22 & 0,78\\0,53 & 0,47\end{pmatrix}}$ .

3. Calcul de l'état probabiliste P ₂.

$P_2=P_0\times M^2\ \ \text{avec }P_0=(1\ \ \ \ \ 0)\\\\\text{Or }M=\begin{pmatrix}0,22&0,78\\0,53&0,47\end{pmatrix}\Longrightarrow M^2=\begin{pmatrix}0,4618&0,5382\\0,3657&0,6343\end{pmatrix}\\\\\text{D'où }P_2=(1\ \ \ \ \ 0)\times\begin{pmatrix}0,4618&0,5382\\0,3657&0,6343\end{pmatrix}\\\\\phantom{\text{D'où }P_3}=(1\times0,4618+0\times0,3657\ \ \ \ 1\times0,5382+0\times0,6343)\\\\\phantom{\text{D'où }P_3}=(0,4618\ \ \ \ 0,5382)\\\\\Longrightarrow\boxed{P_2=(0,4618\ \ \ 0,5382)}$

Donc après 2 jours, soit le 3 janvier, Louis utilisera le covoiturage avec une probabilité de 46,18 % et il utilisera les transports en commun avec une probabilité de 53,82 %.

4) a) La matrice M de transition ne comporte pas de 0.
L'état probabiliste P_n à l'étape n converge vers un état P indépendant de l'état initial P₀ .

Cet état P est l'état probabiliste stable du système et vérifie la relation PM = P.

Soit $P=\begin{pmatrix}x & y\end{pmatrix}\ \ \ \text{avec }x+y=1$

Alors

$P\times M=P$

$\Longleftrightarrow\begin{pmatrix}x & y\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}0,22&0,78 \\ 0,53 & 0,47\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x & y\end{pmatrix}\ \ \ \text{avec }x+y=1$

$\Longleftrightarrow\begin{pmatrix}0,22x+0,53y & 0,78x+0,47y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x & y\end{pmatrix}\ \ \ \text{avec }x+y=1$

$\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{array}l 0,22x+0,53y=x\\0,78x+0,47y=y\\x+y=1 \end{array}$

$\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{array}l 0,22x-x+0,53y=0\\0,78x+0,47y-y=0\\x+y=1 \end{array}$

$\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{array}l -0,78x+0,53y=0\\0,78x-0,53y=0\\x+y=1 \end{array}$

$\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{array}l0,78x-0,53y=0\\x+y=1 \end{array}$

$\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{array}l0,78x-0,53y=0\\y=1-x \end{array}\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{array}l0,78x-0,53(1-x)=0\\y=1-x \end{array}$

$\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{array}l0,78x-0,53+0,53x=0\\y=1-x \end{array}\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{array}l1,31x-0,53=0\\y=1-x \end{array}\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{array}l1,31x=0,53\\y=1-x \end{array}$

$\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{array}lx=\dfrac{0,53}{1,31}\\\\y=1-x \end{array}\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{array}lx=\dfrac{53}{131}\\\\y=1-\dfrac{53}{131} \end{array}\Longleftrightarrow\boxed{\left\lbrace\begin{array}lx=\dfrac{53}{131}\\\\y=\dfrac{78}{131} \end{array}}$

D'où l'état probabiliste stable est $\boxed{P=\begin{pmatrix}\dfrac{53}{131} & \dfrac{78}{131}\end{pmatrix}\approx\begin{pmatrix}0,4 & 0,6\end{pmatrix}}$

b) Nous déduisons de la question précédente qu'à long terme, Louis utilisera le covoiturage avec une probabilité de 40 % et utilisera les transports en communs avec une probabilité de 60 %.
Donc à long terme, Louis n'utilisera pas aussi souvent le covoiturage que les transports en commun.

5 points

exercice 4

$f(x)=(3,6x+2,4)e^{-0,6x}-1,4$

Partie A

1. Calcul de f' (x ).

$f'(x)=[(3,6x+2,4)e^{-0,6x}]'-0\\\\\phantom{f'(x)}=(3,6x+2,4)'\times e^{-0,6x}+(3,6x+2,4)\times (e^{-0,6x})'\\\\\phantom{f'(x)}=3,6\times e^{-0,6x}+(3,6x+2,4)\times (-0,6\times e^{-0,6x})\\\\\phantom{f'(x)}=3,6\times e^{-0,6x}-3,6x\times 0,6\times e^{-0,6x}-2,4\times 0,6\times e^{-0,6x}\\\\\phantom{f'(x)}=3,6\times e^{-0,6x}-2,16x\times e^{-0,6x}-1,44\times e^{-0,6x}\\\\\phantom{f'(x)}=-2,16x\times e^{-0,6x}+2,16\times e^{-0,6x}\\\\\phantom{f'(x)}=(-2,16x+2,16)\times e^{-0,6x}\\\\\Longrightarrow\boxed{f'(x)=(-2,16x+2,16)e^{-0,6x}}$

2. a) Signe de f' (x ) sur [0 ; 4].

Puisque l'exponentielle est strictement positive, le signe de f' (x ) sera le signe de (-2,16x + 2,16).

$\begin{array}l{\red{-2,16x+2,16\le0}}\Longleftrightarrow 2,16x\ge2,16\\\\\phantom{-2,16x+2,16=0}\Longleftrightarrow x\ge\dfrac{2,16}{2,16}\\\\\phantom{-2,16x+2,16=0}\Longleftrightarrow {\red{x\ge1}}\end{array}\begin{array}l\ |\ \\\ |\ \\\ |\ \\\ |\ \\\ |\ \\\ | \end{array}\begin{array}l{\red{-2,16x+2,16\ge0}}\Longleftrightarrow 2,16x\le2,16\\\\\phantom{-2,16x+2,16=0}\Longleftrightarrow x\le\dfrac{2,16}{2,16}\\\\\phantom{-2,16x+2,16=0}\Longleftrightarrow {\red{x\le1}}\end{array}$

Par conséquent f' (x ) 0 sur l'intervalle [0 ; 1]
f' (x ) 0 sur l'intervalle [1 ; 4].

b) Tableau de variation de f sur l'intervalle [0 ; 4].

$\begin{array}{|c|ccccc|}\hline x&0&&1&&4\\\hline f'(x)&&+&0&-&\\\hline &&&\approx1,893&& \\ f(x)&&\nearrow&&\searrow &\\ &1&&&&\approx0,124 \\ \hline \end{array}$

3. Nous savons qu'une primitive F de la fonction f sur l'intervalle [0 ; 4] est définie par

$F(x)=(-6x-14)e^{-0,6x}-1,4x.$

$\text{D'où }\ \ \int\limits_0^4f(x)\,dx=[F(x)]\mimits_0^4\\\phantom{\text{D'où }\ \ \int\limits_0^4f(x)\,dx}=F(4)-F(0)\\\phantom{\text{D'où }\ \ \int\limits_0^4f(x)\,dx}=[(-6\times4-14)e^{-0,6\times4}-1,4\times4]-[(-6\times0-14)e^{-0,6\times0}-1,4\times0]\\\phantom{\text{D'où }\ \ \int\limits_0^4f(x)\,dx}=(-38e^{-2,4}-5,6]-[(-14)e^0-0]\\\phantom{\text{D'où }\ \ \int\limits_0^4f(x)\,dx}=-38e^{-2,4}-5,6+14\\\phantom{\text{D'où }\ \ \int\limits_0^4f(x)\,dx}=8,4-38e^{-2,4}\\\\\Longrightarrow\boxed{\int\limits_0^4f(x)\,dx=8,4-38e^{-2,4}\approx4,95}$

Partie B

$g(x)=4x^2-4x+1$

1. Une primitive G de la fonction g sur l'intervalle [0 ; 4] est définie par

$G(x)=\dfrac{4}{3}x^3-2x^2+x.$

$\text{D'où }\ \ \int\limits_0^{0,5}g(x)\,dx=[G(x)]\mimits_0^{0,5}\\\phantom{\text{D'où }\ \ \int\limits_0^4f(x)\,dx}=G({0,5})-G(0)\\\phantom{\text{D'où }\ \ \int\limits_0^4f(x)\,dx}=[\dfrac{4}{3}\times {0,5}^3-2\times{0,5}^2+{0,5}]-[\dfrac{4}{3}\times 0^3-2\times0^2+0]\\\phantom{\text{D'où }\ \ \int\limits_0^4f(x)\,dx}=\dfrac{4}{3}\times (\dfrac{1}{2})^3-2\times(\dfrac{1}{2})^2+\dfrac{1}{2}\\\phantom{\text{D'où }\ \ \int\limits_0^4f(x)\,dx}=\dfrac{4}{3}\times \dfrac{1}{8}-2\times\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2}\\\phantom{\text{D'où }\ \ \int\limits_0^4f(x)\,dx}=\dfrac{1}{6}\\\\\Longrightarrow\boxed{\int\limits_0^{0,5}g(x)\,dx=\dfrac{1}{6}}$

2. Les fonctions f et g sont positives sur leurs ensembles de définition.

L'aire du domaine délimité par les courbes $\mathscr{C}_f$ , $\mathscr{C}_g$ , la droite d'équation x = 4 et l'axe des abscisses se détermine par $\int\limits_0^{4}f(x)\,dx-\int\limits_0^{0,5}g(x)\,dx$ .

$\int\limits_0^{4}f(x)\,dx-\int\limits_0^{0,5}g(x)\,dx\approx4,95-\dfrac{1}{6}\\\\\Longrightarrow\int\limits_0^{4}f(x)\,dx-\int\limits_0^{0,5}g(x)\,dx\approx4,783$

En utilisant la symétrie des courbes $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$ par rapport à l'axe des abscisses, nous déterminerons l'aire cherchée en multipliant le résultat précédent par 2.

$2\times4,783=9,566.$

Par conséquent une valeur approchée de l'aire du domaine plan délimité par les courbes $\mathscr{C}_f$ , $\mathscr{C}_g$ , leurs courbes symétriques (en pointillés) ainsi que la droite d'équation x = 4 est environ égale à 9,57 u.a. (arrondi à 0,01 près).

Publié par malou le 30-05-2018

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