Fiche de mathématiques
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Bac S Métropole 2018

Obligatoire et Spécialité

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6 points

exercice 1 Commun à tous les candidats

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4 points

exercice 2 Commun à tous les candidats

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5 points

exercice 3 Commun à tous les candidats

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5 points

exercice 4 Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

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5 points

exercice 4 Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

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Bac S Métropole 2018 - Obligatoire et Spécialité

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6 points

exercice 1 : Commun à tous les candidats

1.   Si x  > 0, alors la largeur de la chaînette est MM'  = 2x .
La hauteur de la chaînette est égale à l'ordonnée du point M , soit y_M=\dfrac{1}{2}\left(\text{e}^x+\text{e}^{-x}-2\right)

Nous savons que la largeur de la chaînette est égale à la hauteur.

D'où pour x  > 0,

2x=\dfrac{1}{2}\left(\text{e}^x+\text{e}^{-x}-2\right)\Longleftrightarrow4x=\text{e}^x+\text{e}^{-x}-2\\\phantom{2x=\dfrac{1}{2}\left(\text{e}^x+\text{e}^{-x}-2\right)}\Longleftrightarrow\text{e}^x+\text{e}^{-x}-4x-2=0

Par conséquent, le problème étudié se ramène à la recherche des solutions strictement positives de l'équation

(E):\text{e}^x+\text{e}^{-x}-4x-2=0


2.   La fonction f  est définie sur l'intervalle [0 ; +infini[ par f(x)=\text{e}^x+\text{e}^{-x}-4x-2

{\red{\text{2. a. }}}\   x\left(\dfrac{\text{e}^x}{x}-4\right)+\text{e}^{-x}-2=x\times\left(\dfrac{\text{e}^x}{x}\right)-x\times4+\text{e}^{-x}-2  \\\phantom{{\red{\text{2. a. }}}\   x\left(\dfrac{\text{e}^x}{x}-4\right)+\text{e}^{-x}-2}=\text{e}^x-4x+\text{e}^{-x}-2  \\\phantom{{\red{\text{2. a. }}}\   x\left(\dfrac{\text{e}^x}{x}-4\right)+\text{e}^{-x}-2}=\text{e}^x+\text{e}^{-x}-4x-2  \\\phantom{{\red{\text{2. a. }}}\   x\left(\dfrac{\text{e}^x}{x}-4\right)+\text{e}^{-x}-2}=f(x)\\\\\Longrightarrow\boxed{\text{Si }x>0,\ f(x)=x\left(\dfrac{\text{e}^x}{x}-4\right)+\text{e}^{-x}-2}

2. b.   Déterminons \lim\limits_{x\to+\infty} f(x)

\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\text{e}^x}{x}=+\infty\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}x(\dfrac{\text{e}^x}{x}-4)=+\infty}\\\\\left\lbrace\begin{array}l \lim\limits_{x\to+\infty}(-x)=-\infty\\\\\lim\limits_{X\to-\infty}\text{e}^X=0 \end{array}\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}\text{e}^{-x}=0}

\text{D'où }\ \ \lim\limits_{x\to+\infty}\left(x(\dfrac{\text{e}^x}{x}-4)+\text{e}^{-x}-2\right)=+\infty\\\\\Longleftrightarrow\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty}

3. a.  f'(x)=(\text{e}^x+\text{e}^{-x}-4x-2)'\Longrightarrow\boxed{f'(x)=\text{e}^x-\text{e}^{-x}-4}

{\red{\text{3. b. }}}f'(x)=0\Longleftrightarrow\text{e}^x-\text{e}^{-x}-4=0\\\phantom{{\red{\text{3. b. }}}f'(x)=0}\Longleftrightarrow\text{e}^x\times(\text{e}^x-\text{e}^{-x}-4)=\text{e}^x\times0\\\phantom{{\red{\text{3. b. }}}f'(x)=0}\Longleftrightarrow\text{e}^x\times\text{e}^x-\text{e}^x\times\text{e}^{-x}-\text{e}^x\times4=0\\\phantom{{\red{\text{3. b. }}}f'(x)=0}\Longleftrightarrow(\text{e}^x)^2-\text{e}^0-4\text{e}^x=0 \\\phantom{{\red{\text{3. b. }}}f'(x)=0}\Longleftrightarrow(\text{e}^x)^2-1-4\text{e}^x=0 \\\phantom{{\red{\text{3. b. }}}f'(x)=0}\Longleftrightarrow(\text{e}^x)^2-4\text{e}^x-1=0\\\\\Longrightarrow\boxed{f'(x)=0\Longleftrightarrow(\text{e}^x)^2-4\text{e}^x-1=0}

3. c.   Si X = ex , alors X > 0 et l'équation f' (x ) = 0 devient l'équation du second degré : X^2-4X-1=0

\Delta=(-4)^2-4\times1\times(-1)\\\phantom{\Delta}=16+4\\\phantom{\Delta}=20>0\\\\X_1=\dfrac{4-\sqrt{20}}{2}=\dfrac{4-\sqrt{4\times5}}{2}=\dfrac{4-2\sqrt{5}}{2}=\dfrac{2(2-\sqrt{5})}{2}=2-\sqrt{5}\approx-0,236<0\\\\X_2=\dfrac{4+\sqrt{20}}{2}=...=2+\sqrt{5}\approx4,236>0

D'où la seule solution positive de l'équation X^2-4X-1=0 est X=2+\sqrt{5}.

\text{Or }\ X=2+\sqrt{5}\Longleftrightarrow\text{e}^x=2+\sqrt{5}\\\phantom{\text{Or }\ X=2+\sqrt{5}}\Longleftrightarrow x=\ln(2+\sqrt{5})

Par conséquent, l'équation f' (x ) = 0 admet pour unique solution réelle  x=\ln(2+\sqrt{5}).

4. a.   Tableau de variations de la fonction f  :

            \begin{array}{|c|ccccc|}\hline x &0 & & \ln(2+\sqrt{5})\approx1,44 &  & +\infty \\\hline f'(x) &  & - & 0 & + &   \\\hline &0&&&&+\infty&f(x) &  & \searrow & & \nearrow & &&&&f(\ln(2+\sqrt{5}))\approx-3,30&&\\\hline\end{array}

4. b.   Sur l'intervalle  [0\ ;\ \ln(2+\sqrt{5})] , la fonction f  est strictement décroissante avec f(0) = 0.
Donc f (x ) < 0 sur cet intervalle.
Par conséquent sur l'intervalle  [0\ ;\ \ln(2+\sqrt{5})] , l'équation f (x )  = 0 n'admet pas de solution strictement positive.

Sur l'intervalle  [\ln(2+\sqrt{5})\ ;\ +\infty[ , la fonction f  est continue et strictement croissante.
f(\ln(2+\sqrt{5}))\approx-3,30<0  et   \lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty
Par le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation f (x ) = 0 possède une solution unique sur cet intervalle  [\ln(2+\sqrt{5})\ ;\ +\infty[.
Puisque \ln(2+\sqrt{5})\approx1,44, cette solution est strictement positive.

Nous en déduisons que sur l'intervalle [0 ; +infini[, l'équation f (x ) = 0 possède une solution unique alpha strictement positive.

5. a.  Tableau des valeurs prises par les variables a  et b :

          \usepackage\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline m&a&b&b-a\\\hline \cellcolor{blue}&2&3&1\ {\green{>0,1}}\\\hline 2,5&2&2,5&0,5\ {\green{>0,1}}\\\hline 2,25&2,25&2,5&0,25\ {\green{>0,1}}\\\hline 2,375&2,375&2,5&0,125\ {\green{>0,1}}\\\hline 2,4375&2,4375&2,5&0,0625\ {\red{<0,1}}\\\hline \end{array}

L'algorithme s'arrête puisque la condition b  - a  > 0,1 n'est plus réalisée.
Nous obtenons alors a  = 2,4375 et b  = 2,5.

5. b.  Cet algorithme permet de résoudre par dichotomie l'équation f (x ) = 0 et de déterminer un intervalle d'amplitude au plus égale à 0,1 comprenant l'unique solution alpha dans l'intervalle [2 ; 3].

Nous avons ainsi : 2,4375 < alpha < 2,5.


6.   Si  \dfrac{t}{39}=x , alors l'équation  (E):\text{e}^x+\text{e}^{-x}-4x-2=0  est équivalente à l'équation  (E'):\text{e}^{\frac{t}{39}}+\text{e}^{-\frac{t}{39}}-4\times{\dfrac{t}{39}}-2=0.
Or nous venons de montrer que cette équation (E) admettait une unique solution positive alpha vérifiant la relation 2,4375 < alpha < 2,5.

Nous obtenons alors :

2,4375 <\dfrac{t}{39} < 2,5\Longleftrightarrow39\times2,4375 <t < 39\times2,5\\\phantom{2,4375 <\dfrac{t}{39} < 2,5}\Longleftrightarrow95,0625 <t < 97,5\\\phantom{2,4375 <\dfrac{t}{39} < 2,5}\Longleftrightarrow2\times95,0625 <2t < 2\times97,5\\\phantom{2,4375 <\dfrac{t}{39} < 2,5}\Longleftrightarrow\boxed{190,125 <2t < 195}

Par conséquent, la hauteur  h = 2t  (en mètres) de la Gateway Arch  vérifie la relation 190,125 < h  < 195.

4 points

exercice 2 : Commun à tous les candidats

Partie A


1. a.  L'énoncé nous indique que 20 % de la population a contracté la grippe.

Dès lors,  \boxed{P(G)=0,2}

1. b.  Arbre pondéré représentant la situation à ce stade de l'exercice :

          
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2.   La probabilité que la personne choisie ait contracté la grippe et soit vaccinée se détermine par  P(G\cap V) , soit par  P(V\cap G).

P(V\cap G)=P(V)\times P_V(G)\\\phantom{P(G\cap V)}=0,4\times 0,08\\\phantom{P(G\cap V)}=0,032\\\\\Longrightarrow\boxed{P(V\cap G)=0,032}

3.   Nous devons déterminer  P_{\overline{V}}(G)

P_{\overline{V}}(G)=\dfrac{P(\overline{V}\cap G)}{P(\overline{V})}\\\\\phantom{P_{\overline{V}}(G)}=\dfrac{P(\overline{V}\cap G)}{0,6}

En utilisant la formule des probabilités totales, nous avons :

P(G)=P(V\cap G)+P(\overline{V}\cap G)\Longleftrightarrow0,2=0,032+P(\overline{V}\cap G)\\\phantom{P(G)=P(V\cap G)+P(\overline{V}\cap G)}\Longleftrightarrow P(\overline{V}\cap G)=0,2-0,032\\\phantom{P(G)=P(V\cap G)+P(\overline{V}\cap G)}\Longleftrightarrow\boxed{P(\overline{V}\cap G)=0,168}

\text{D'où }\ P_{\overline{V}}(G)=\dfrac{P(\overline{V}\cap G)}{0,6}\\\\\phantom{\text{D'où }\ P_{\overline{V}}(G)}=\dfrac{0,168}{0,6}\\\\\phantom{\text{D'où }\ P_{\overline{V}}(G)}=0,28\\\\\Longrightarrow\boxed{P_{\overline{V}}(G)=0,28}

Partie B


1.   Il y a répétition de n  expériences identiques et indépendantes à deux issues :
le "succès" : la personne est vaccinée
l' "échec" : la personne n'est pas vaccinée.
La probabilité du succès est  P(V)=0,4.

Par conséquent, la variable aléatoire X  suit la loi binomiale de paramètres n  et p  = 0,4.

2.   Soit n  = 40.

{\red{\text{2 a. }}}\ P(X=15)=\begin{pmatrix}40\\15\end{pmatrix}\times0,4^{15}\times0,6^{40-15}\\\\\phantom{{\red{\text{2 a. }}}\ P(X=15)}=\begin{pmatrix}40\\15\end{pmatrix}\times0,4^{15}\times0,6^{25}\\\\\phantom{{\red{\text{2 a. }}}\ P(X=15)}\approx0,123

D'où la probabilité qu'exactement 15 des 40 personnes interrogées soient vaccinées est égale à 0,123 (arrondie au millième près).

2. b.   Par la calculatrice, nous obtenons :

P(X\ge20)=1-P(X\le19)\\\phantom{P(X\ge20)}\approx1-0,8702342942\\\phantom{P(X\ge20)}\approx0,1297657058

D'où la probabilité qu'au moins la moitié des personnes interrogées soit vaccinée est égale à 0,130 (arrondie au millième près).

{\red{\text{3. }}}\ P(1450\le X\le1550)=P(\dfrac{1450-1500}{30}\le \dfrac{X-1500}{30}\le\dfrac{1550-1500}{30})\\\\\phantom{{\red{\text{3. }}}\ P(1450\le X\le1550)}=P(\dfrac{-50}{30}\le \dfrac{X-1500}{30}\le\dfrac{50}{30})\\\\\phantom{{\red{\text{3. }}}\ P(1450\le X\le1550)}=P(\dfrac{-5}{3}\le Z\le\dfrac{5}{3})\\\\\phantom{{\red{\text{3. }}}\ P(1450\le X\le1550)}\approx0,90441929

D'où la probabilité qu'il y ait entre 1450 et 1550 individus vaccinés dans l'échantillon interrogé est égale à 0,904 (arrondie au millième près).

5 points

exercice 3 : Commun à tous les candidats

Partie A : étude de cas particuliers


1. a.   La hauteur issue de E  est la droite passant par E  orthogonale au plan (ABC ).
Dès lors, la hauteur issue de E  est (EA ).

La hauteur issue de C  est la droite passant par C  orthogonale au plan (EAB ).
Dès lors, la hauteur issue de C  est (BC ).

1. b.   Les droites (EA ) et (BC ) n'étant pas coplanaires, il est donc impossible que les quatre hauteurs du tétraèdre soient concourantes.

2.   Soit le repère  (A;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE}).

2. a.   Vérifions que les coordonnées des points A (0;0;0), C (1;1;0) et H (0;1;1)  vérifient l'équation x - y + z  = 0.

En effet, 0 - 0 + 0 = 0
                    1 - 1 + 0 = 0
                    0 - 1 + 1 = 0.

2. b.   Montrons que la droite (FD ) est orthogonale au plan (ACH ).

Une équation cartésienne du plan (ACH ) est x - y + z  = 0, soit  {\red{1}}\times x+{\red{(-1)}}\times y+{\red{1}}\times z=0.

Donc un vecteur normal au plan (ACH ) est le vecteur  {\red{\overrightarrow{n}(1;-1;1)}}.

\text{Or }\ \left\lbrace\begin{array}l D(0;1;0)\\F(1;0;1) \end{array}\Longrightarrow\overrightarrow{DF}\begin{pmatrix}1-0\\0-1\\1-0\end{pmatrix}
\dfrac{}{}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Longrightarrow\overrightarrow{DF}\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}\\\\\text{D'où }\ \boxed{\overrightarrow{DF}=\overrightarrow{n}}

Nous en déduisons que la droite (FD ) est orthogonale au plan (ACH ) et par conséquent (FD ) est la hauteur issue de F  du tétraèdre ACHF .

3. c.   Par analogie avec le résultat précédent, nous obtenons les conclusions suivantes :
la hauteur du tétraèdre ACHF  issue de A  est (AG ),
la hauteur issue de C  est (CE )
la hauteur issue de H  est (BH )
.

De plus, comme indiqué dans l'énoncé, nous admettons que les droites (AG ), (BH ), (CE ) et (DF ) appelées "grandes diagonales" du cube, sont concourantes.

Par conséquent, les quatre hauteurs du tétraèdre (ACHF ) sont concourantes.

Partie B : une propriété des tétraèdres orthocentriques


1. a.   La droite (MK ) est orthogonale au plan (NPQ ).
Donc cette droite (MK ) est orthogonale à toutes les droites du plan (NPQ ) et en particulier à la droite (PQ ).
Par conséquent, la droite (PQ ) est orthogonale à la droite (MK ).

Nous admettons de même que les droites (PQ ) et (NK ) sont orthogonales.

1. b.   Nous avons montré que la droite (PQ ) est orthogonale à deux droites (MK ) et (NK ) sécantes en K.
La droite (PQ ) est donc orthogonale au plan (MNK ) que ces deux droites déterminent.

2.   La droite (PQ ) est orthogonale au plan (MNK ).
Donc cette droite (PQ ) est orthogonale à toutes les droites du plan (MNK ) et en particulier à la droite (MN ).
Par conséquent, les arêtes [MN ] et [PQ ] sont orthogonales.

Dès lors, nous obtenons la propriété suivante :
Si un tétraèdre est orthocentrique, alors ses arêtes opposées sont orthogonales deux à deux.

Partie C : Application


\left\lbrace\begin{array}l R(-3;5;2)\\T(4;-1;5) \end{array}\Longrightarrow\overrightarrow{RT}\begin{pmatrix}4+3\\-1-5\\5-2\end{pmatrix} \ \Longrightarrow{\red{\overrightarrow{RT}\begin{pmatrix}7\\-6\\3\end{pmatrix}}}
\left\lbrace\begin{array}l S(1;4;-2)\\U(4;7;3) \end{array}\Longrightarrow\overrightarrow{SU}\begin{pmatrix}4-1\\7-4\\3+2\end{pmatrix} \ \Longrightarrow{\red{\overrightarrow{SU}\begin{pmatrix}3\\3\\5\end{pmatrix}}}

\Longrightarrow\overrightarrow{RT}.\overrightarrow{SU}=7\times3-6\times3+3\times5\\\phantom{\Longrightarrow\overrightarrow{RT}.\overrightarrow{SU}}=21-18+15\\\phantom{\Longrightarrow\overrightarrow{RT}.\overrightarrow{SU}}=18\ne0

Puisque  \overrightarrow{RT}.\overrightarrow{SU}\neq0 , les arêtes [RT ] et [SU ] ne sont pas orthogonales.

Par contraposition de la propriété citée dans la partie B point 2., nous en déduisons que le tétraèdre RSTU  n'est pas orthocentrique.

5 points

exercice 4 : Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de                                spécialité

\left\lbrace\begin{array}l z_0=8\\z_{n+1}=\dfrac{1-i\sqrt{3}}{4}z_n\ \ \ \ (n\in\mathbb{N}) \end{array}

{\red{\text{1. a. }}}\ \dfrac{\sqrt{3}}{2}e^{-i\frac{\pi}{6}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\left(\cos(-\dfrac{\pi}{6})+i\sin(-\dfrac{\pi}{6})\right) \\\\\phantom{{\red{\text{1. a. }}}\ \dfrac{\sqrt{3}}{2}e^{-i\frac{\pi}{6}}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\left(\cos\dfrac{\pi}{6}-i\sin\dfrac{\pi}{6}\right) \\\\\phantom{{\red{\text{1. a. }}}\ \dfrac{\sqrt{3}}{2}e^{-i\frac{\pi}{6}}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}-i\dfrac{1}{2}\right) \\\\\phantom{{\red{\text{1. a. }}}\ \dfrac{\sqrt{3}}{2}e^{-i\frac{\pi}{6}}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\dfrac{\sqrt{3}}{2}-i\dfrac{1}{2}\dfrac{\sqrt{3}}{2} \\\\\phantom{{\red{\text{1. a. }}}\ \dfrac{\sqrt{3}}{2}e^{-i\frac{\pi}{6}}}=\dfrac{3}{4}-i\dfrac{\sqrt{3}}{4} \\\\\phantom{{\red{\text{1. a. }}}\ \dfrac{\sqrt{3}}{2}e^{-i\frac{\pi}{6}}}=\dfrac{3-i\sqrt{3}}{4}\\\\\Longrightarrow\boxed{\dfrac{3-i\sqrt{3}}{4}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}e^{-i\frac{\pi}{6}}}

\begin{array}{c|}{\red{\text{1. b. }}}\ z_1=\dfrac{3-i\sqrt{3}}{4}z_0 \\\\\phantom{{\red{\text{1. b. }}}\ z_1}=\dfrac{3-i\sqrt{3}}{4}\times8 \\\\\phantom{{\red{\text{1. b. }}}\ z_1}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}e^{-i\frac{\pi}{6}}\times8 \\\\\phantom{{\red{\text{1. b. }}}z_1}=4\sqrt{3}e^{-i\frac{\pi}{6}}\\\\\Longrightarrow\boxed{z_1=4\sqrt{3}e^{-i\frac{\pi}{6}}}\end{array}       \begin{array}{c|}z_2=\dfrac{3-i\sqrt{3}}{4}z_1 \\\\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \phantom{{c|}z_2}=\dfrac{3-i\sqrt{3}}{4}\times4\sqrt{3}e^{-i\frac{\pi}{6}} \\\\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \phantom{{c|}z_1}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}e^{-i\frac{\pi}{6}}\times4\sqrt{3}e^{-i\frac{\pi}{6}} \\\\=6e^{-i\frac{\pi}{3}}\\\\\Longrightarrow\boxed{z_2=6e^{-i\frac{\pi}{3}}}\end{array}       \begin{array}{c}z_3=\dfrac{3-i\sqrt{3}}{4}z_2 \\\\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \phantom{{c|}z_2}=\dfrac{3-i\sqrt{3}}{4}\times6e^{-i\frac{\pi}{3}} \\\\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \phantom{{c|}z_1}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}e^{-i\frac{\pi}{6}}\times6e^{-i\frac{\pi}{3}} \\\\\ \ \ \ \ \ \ \ =3\sqrt{3}e^{-i\frac{\pi}{2}}\\\\\Longrightarrow\boxed{z_3=3\sqrt{3}e^{-i\frac{\pi}{2}}}\end{array}

z 3 est un imaginaire pur car  z_3=3\sqrt{3}e^{-i\frac{\pi}{2}}\Longleftrightarrow z_3=3\sqrt{3}\times(-i)\Longleftrightarrow\boxed{z_3=-3i\sqrt{3}}

Par conséquent, la partie imaginaire de z 3 est  -3\sqrt{3}.

1 c.   Représentation graphique des points A0, A1, A2 et A3

Bac S Obligatoire et spécialité Métropole 2018 : image 16


2. a.   Démontrons par récurrence que pour tout entier naturel n , z_n=8\times\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^ne^{-i\frac{n\pi}{6}}

Initialisation :
Montrons que la propriété est vraie pour n  = 0, soit que  z_0=8\times\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^0e^{-i\frac{0\times\pi}{6}}
En effet,

8\times\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^0e^{-i\frac{0\times\pi}{6}}=8\times\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^0e^0\\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \phantom{8\times^0e^{-i\frac{0\times\pi}{6}}}=8\times1\times1\\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \phantom{8\times^0e^{-i\frac{0\times\pi}{6}}}=8\\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \phantom{8\times^0e^{-i\frac{0\times\pi}{6}}}=z_0\\\\\Longrightarrow\boxed{z_0=8\times\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^0e^{-i\frac{0\times\pi}{6}}}
L'initialisation est donc vraie.

Hérédité :
Montrons que si pour une valeur fixée de n  la propriété est vraie au rang n , alors elle est encore vraie au rang n+1.

Supposons que z_n=8\times\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^ne^{-i\frac{n\pi}{6}}.
Montrons que z_{n+1}=8\times\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^{n+1}e^{-i\frac{({n+1})\pi}{6}}

En effet,

z_{n+1}={\blue{\dfrac{3-i\sqrt{3}}{4}}}{\red{z_n}}\\\\\phantom{z_{n+1}}={\blue{\dfrac{\sqrt{3}}{2}e^{-i\frac{\pi}{6}}}}\times{\red{ 8\times\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^{n}e^{-i\frac{n\pi}{6}}}}\\\\\phantom{z_{n+1}}= 8\times\dfrac{\sqrt{3}}{2}\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^{n}e^{-i\frac{n\pi}{6}}e^{-i\frac{\pi}{6}} \\\\\phantom{z_{n+1}}= 8\times\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^{n+1}e^{-i\frac{n\pi}{6}-i\frac{\pi}{6}} \\\\\phantom{z_{n+1}}= 8\times\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^{n+1}e^{-i\frac{(n+1)\pi}{6}}\\\\\Longrightarrow\boxed{z_{n+1}=8\times\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^{n+1}e^{-i\frac{({n+1})\pi}{6}}}

L'hérédité est donc vraie.

Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, nous avons démontré par récurrence que pour tout entier naturel n , z_n=8\times\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^ne^{-i\frac{n\pi}{6}}.

2. b.   u_n=|z_n|=8\times\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^n\ \ \ \ (n\in\mathbb{N})
D'où la suite (un) est une suite géométrique de raison  \dfrac{\sqrt{3}}{2} et dont le premier terme est u0 = 8.

De plus,
\lim\limits_{n\to+\infty}\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^n=0\ \ \ \text{car }\ 0<\dfrac{\sqrt{3}}{2}<1\\\\\Longrightarrow\lim\limits_{n\to+\infty}8\times\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^n=8\times0=0\\\\\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=0}

{\red{\text{3. a. }}}\dfrac{z_{k+1}-z_k}{z_{k+1}}=\dfrac{z_{k+1}}{z_{k+1}}-\dfrac{z_{k}}{z_{k+1}}\\\\\phantom{{\red{\text{3. a. }}}\dfrac{z_{k+1}-z_k}{z_{k+1}}}=1-\dfrac{z_{k}}{z_{k+1}}\\\\\phantom{{\red{\text{3. a. }}}\dfrac{z_{k+1}-z_k}{z_{k+1}}}=1-\dfrac{8\times\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^ke^{-i\frac{k\pi}{6}}}{8\times\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^{k+1}e^{-i\frac{(k+1)\pi}{6}}}\\\\\phantom{{\red{\text{3. a. }}}\dfrac{z_{k+1}-z_k}{z_{k+1}}}=1-\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^{k-(k+1)}e^{-i\frac{k\pi}{6}+i\frac{(k+1)\pi}{6}}
\\\\\phantom{{\red{\text{3. a. }}}\dfrac{z_{k+1}-z_k}{z_{k+1}}}=1-\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^{-1}e^{i\frac{\pi}{6}}\\\\\phantom{{\red{\text{3. a. }}}\dfrac{z_{k+1}-z_k}{z_{k+1}}}=1-\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2}i\right)\\\\\phantom{{\red{\text{3. a. }}}\dfrac{z_{k+1}-z_k}{z_{k+1}}}=1-\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)-\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)\left(\dfrac{1}{2}i\right)\\\\\phantom{{\red{\text{3. a. }}}\dfrac{z_{k+1}-z_k}{z_{k+1}}}=1-1-\dfrac{1}{\sqrt{3}}i\right)\\\\\phantom{{\red{\text{3. a. }}}\dfrac{z_{k+1}-z_k}{z_{k+1}}}=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}i\\\\\Longrightarrow\boxed{\dfrac{z_{k+1}-z_k}{z_{k+1}}=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}i}

\text{De plus }\ \left|\dfrac{z_{k+1}-z_k}{z_{k+1}}\right|=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\Longrightarrow\dfrac{|z_{k+1}-z_k|}{|z_{k+1}|}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\\\\\phantom{\text{De plus }\ \left|\dfrac{z_{k+1}-z_k}{z_{k+1}}\right|=\dfrac{1}{\sqrt{3}}}\Longrightarrow\dfrac{A_kA_{k+1}}{OA_{k+1}}=\dfrac{1}{\sqrt{3}} \\\\\phantom{\text{De plus }\ \left|\dfrac{z_{k+1}-z_k}{z_{k+1}}\right|=\dfrac{1}{\sqrt{3}}}\Longrightarrow\boxed{A_kA_{k+1}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}OA_{k+1}}

{\red{\text{3. b. }}}\ \ell_n=A_0A_1+A_1A_2+...+A_{n-1}A_n\\\\\phantom{{\red{\text{3. b. }}}\ \ell_n}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}OA_1+\dfrac{1}{\sqrt{3}}OA_2+...+\dfrac{1}{\sqrt{3}}OA_{n}\\\\\phantom{{\red{\text{3. b. }}}\ \ell_n}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}(OA_1+OA_2+...+OA_{n})\\\\\phantom{{\red{\text{3. b. }}}\ \ell_n}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}(|z_1|+|z_2|+...+|z_{n}|)\\\\\phantom{{\red{\text{3. b. }}}\ \ell_n}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}(u_1+u_2+...+u_{n})

Or  u_1+u_2+...+u_{n}  est la somme des n  premiers termes de la suite géométrique trouvée dans la question 2. b. dont le premier terme est  u_1=|z_1|=|4\sqrt{3}e^{-i\frac{\pi}{6}}|=4\sqrt{3}  et dont la raison est  \dfrac{\sqrt{3}}{2}.

\text{D'où }\ \ell_n=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\times4\sqrt{3}\times\dfrac{1-\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^{n}}{1-\dfrac{\sqrt{3}}{2}}\\\phantom{\text{D'où }\ \ell_n}=4\times\dfrac{1-\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^{n}}{\dfrac{2-\sqrt{3}}{2}}\\\phantom{\text{D'où }\ \ell_n}=4\times\dfrac{2}{2-\sqrt{3}}\times\left(1-\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^{n}\right)\\\\\Longrightarrow\boxed{\ell_n=\dfrac{8}{2-\sqrt{3}}\times\left(1-\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^{n}\right)}

\lim\limits_{n\to+\infty}\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^{n}=0\ \ \ \ (\text{car }\ 0<\dfrac{\sqrt{3}}{2}<1)\\\dfrac{}{}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Longrightarrow\lim\limits_{n\to+\infty}\left(1-\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^{n}\right)=1\\\dfrac{}{}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Longrightarrow\lim\limits_{n\to+\infty}\left[\dfrac{8}{2-\sqrt{3}}\times\left(1-\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^{n}\right)\right]=\dfrac{8}{2-\sqrt{3}}\\\\\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}\ell_n=\dfrac{8}{2-\sqrt{3}}}

5 points

exercice 4 : Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de                                spécialité

Partie A


Soit l'équation  (E):x^2-8y^2=1\ \ \ (x,y\in\mathbb{N})

1.   Un couple solution de l'équation de (E ) est (1 ; 0) car  1^2-8\times0=1.

\text{{\red{2.  }}Nous savons que }\begin{pmatrix}x_{n+1}\\y_{n+1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&8\\1&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_{n}\\y_{n}\end{pmatrix} \\\\\phantom{\text{{\red{2.  }}Nous savons que }}\begin{pmatrix}x_{n+1}\\y_{n+1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3x_n+8y_n\\x_n+3y_n\end{pmatrix}\\\\\Longrightarrow\boxed{\left\lbrace\begin{matrix}x_{n+1}=3x_n+8y_n\\y_{n+1}=x_n+3y_n\end{matrix}\right.}

2. a.   Démontrons par récurrence que pour tout entier naturel n , le couple (xn ; yn )  est solution de l'équation (E ).

Initialisation : Montrons que la propriété est vraie pour n  = 0.
(x_0;y_0)=(1;0)  est solution de (E ) (voir question 1.)
L'initialisation est donc vraie.

Hérédité : Montrons que si pour une valeur fixée de n , la propriété est vraie au rang n, alors elle est également vraie au rang n + 1.
Montrons donc que si le couple (xn ; yn )  est solution de l'équation (E ), alors le couple (xn+1 ; yn+1 )  est solution de l'équation (E ).

Par hypothèse de récurrence, nous supposons que  x_n^2-8y_n^2=1.

x_{n+1}^2-8y_{n+1}^2=(3x_n+8y_n)^2-8(x_n+3y_n)^2\\\phantom{x_{n+1}^2-8y_{n+1}^2}=(9x_n^2+48x_ny_n+64y_n^2)-8(x_n^2+6x_ny_n+9y_n^2) \\\phantom{x_{n+1}^2-8y_{n+1}^2}=9x_n^2+48x_ny_n+64y_n^2-8x_n^2-48x_ny_n-72y_n^2 \\\phantom{x_{n+1}^2-8y_{n+1}^2}=x_n^2-8y_n^2 \\\phantom{x_{n+1}^2-8y_{n+1}^2}=1\\\\\Longrightarrow\boxed{x_{n+1}^2-8y_{n+1}^2=1}

D'où le couple (xn+1 ; yn+1 )  est solution de l'équation (E )
Par conséquent, l'hérédité est vraie.

Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, nous avons montré que pour tout entier naturel n ,
le couple (xn ; yn )  est solution de l'équation (E ).


2. b.   Il est admis dans l'énoncé que la suite (xn ) est à valeurs strictement positives.
Montrons par récurrence que la suite (yn ) est à valeurs positives.

Initialisation : y_0=0\Longrightarrow\boxed{y_0\ge0}
L'initialisation est donc vraie.

Hérédité : Montrons que si pour une valeur fixée de n , la propriété est vraie au rang n, alors elle est également vraie au rang n + 1.
Montrons donc que si yn supegal 0, alors yn+1 supegal 0.

En effet,  y_{n+1}=x_n+3y_n\ \ \ \text{avec }\ x_n>0\ \text{et }\ y_n\ge0
D'où yn+1 supegal 0 comme somme de deux nombres positifs.
L'hérédité est donc vraie.

Puisque l'initailisation et l'hérédité sont vraies, nous avons montré par récurrence que la suite (yn ) est à valeurs positives.

\text{Dès lors, }\ x_{n+1}-x_n=(3x_n+8y_n)-x_n\\\phantom{\text{Dès lors, }\ x_{n+1}-x_n}=2x_n+8y_n\\\\\Longrightarrow x_{n+1}-x_n>0\ \ \ \text{car }x_n>0\ \text{et }\ y_n\ge0.

Par conséquent, pour tout entier naturel n , nous avons :  \boxed{x_{n+1}>x_n}

3.   Nous déduisons de la question 2.b. que la suite (xn ) est strictement croissante.
Ses termes prennent alors une infinité de valeurs distinctes.

D'où l'équation (E ) admet une infinité de couples solutions.

Partie B


Un entier naturel n  est appelé un nombre puissant lorsque, pour tout diviseur premier p  de n ,   divise n .

1.   Montrons que 8 est un nombre puissant.
L'unique diviseur premier de 8 est 2 et 2² = 4 divise 8.
Donc 8 est un nombre puissant.

Montrons que 9 est un nombre puissant.
L'unique diviseur premier de 9 est 3 et 3² = 9 divise 9.
Donc 9 est un nombre puissant.

Par conséquent les deux nombres entiers consécutifs puissants inférieurs à 10 sont 8 et 9.

2.   n=a^2b^3\ \ \ \ (a,b\in\mathbb{N})

Les diviseurs premiers de n  sont les diviseurs premiers de a  et de b .

Premier cas : Soit p  un diviseur premier de a .
Dans ce cas, il existe un nombre naturel q  tel que a=pq .

Nous avons alors :

n=a^2b^3\\\phantom{n}=(pq)^2b^3\\\phantom{n}=p^2q^2b^3\\\\\Longrightarrow\boxed{n=p^2(q^2b^3)}
D'où   divise n .

Deuxième cas : Soit r  un diviseur premier de b .
Dans ce cas, il existe un nombre naturel s tel que b=rs .

Nous avons alors :

n=a^2b^3\\\phantom{n}=a^2(rs)^3\\\phantom{n}=a^2r^3s^3\\\\\Longrightarrow\boxed{n=r^2(a^2rs^3)}
D'où   divise n .

Donc tout diviseur premier de n  est tel que son carré divise également n .
Par conséquent, n  est un nombre puissant.

3.   Soit (x;y ) un couple solution de l'équation (E ) : x ² - 8y ² = 1.

x^2-8y^2=1\Longleftrightarrow x^2-1=8y^2\\\phantom{x^2-8y^2=1}\Longleftrightarrow x^2-1=y^2\times2^3
Donc en utilisant la propriété de la partie B exercice 2, x ² - 1 est puissant car x ² - 1 est de la forme a²b³  avec a = y  et b  = 2.

x^2=x^2\times1^3
De même,   est puissant car   est de la forme a²b³  avec a = x  et b  = 1.

Par conséquent, x ² - 1 et   sont des entiers consécutifs puissants.

4.   Nous avons montré dans la partie A exercice 3 que l'équation (E ) admet une infinité de solutions.
Il y a donc une infinité de couples (x - 1 ; x ).

Par conséquent, il existe une infinité de couples de nombres entiers consécutifs puissants.

A l'aide de la calculatrice, nous pouvons obtenir les premiers entiers consécutifs puissants repris dans le tableau suivant :

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline n&0&1&2&3&4&...\\\hline x_n&1&3&17&99&577&...\\\hline y_n&0&1&6&35&204&...\\\hline x_n^2&1<2018&9<2018&289<2018&{\red{9801>2018}}&{\red{332\ 929>2018}}&{\red{...}}\\\hline \end{array}

Par conséquent,  x_3^2=9801  et  x_3^2-1=9800  sont deux nombres entiers consécutifs puissants supérieurs à 2018.

Nous pourrions également citer 332 928 et 332 929...
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