1. Si x > 0, alors la largeur de la chaînette est MM' = 2x .
La hauteur de la chaînette est égale à l'ordonnée du point M , soit
Nous savons que la largeur de la chaînette est égale à la hauteur.
D'où pour x > 0,
Par conséquent, le problème étudié se ramène à la recherche des solutions strictement positives de l'équation
2. La fonction f est définie sur l'intervalle [0 ; +[ par
2. b. Déterminons
3. a.
3. c. Si X = ex , alors X > 0 et l'équation f' (x ) = 0 devient l'équation du second degré :
D'où la seule solution positive de l'équation est
Par conséquent, l'équation f' (x ) = 0 admet pour unique solution réelle
4. a. Tableau de variations de la fonction f :
4. b. Sur l'intervalle , la fonction f est strictement décroissante avec f(0) = 0.
Donc f (x ) < 0 sur cet intervalle.
Par conséquent sur l'intervalle , l'équation f (x ) = 0 n'admet pas de solution strictement positive.
Sur l'intervalle , la fonction f est continue et strictement croissante.
et
Par le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation f (x ) = 0 possède une solution unique sur cet intervalle
Puisque , cette solution est strictement positive.
Nous en déduisons que sur l'intervalle [0 ; +[, l'équation f (x ) = 0 possède une solution unique strictement positive.
5. a. Tableau des valeurs prises par les variables a et b :
L'algorithme s'arrête puisque la condition b - a > 0,1 n'est plus réalisée.
Nous obtenons alors a = 2,4375 et b = 2,5.
5. b. Cet algorithme permet de résoudre par dichotomie l'équation f (x ) = 0 et de déterminer un intervalle d'amplitude au plus égale à 0,1 comprenant l'unique solution dans l'intervalle [2 ; 3].
Nous avons ainsi : 2,4375 < < 2,5.
6. Si , alors l'équation est équivalente à l'équation .
Or nous venons de montrer que cette équation (E) admettait une unique solution positive vérifiant la relation 2,4375 < < 2,5.
Nous obtenons alors :
Par conséquent, la hauteur (en mètres) de la Gateway Arch vérifie la relation 190,125 < h < 195.
4 points
exercice 2 : Commun à tous les candidats
Partie A
1. a. L'énoncé nous indique que 20 % de la population a contracté la grippe.
Dès lors,
1. b. Arbre pondéré représentant la situation à ce stade de l'exercice :
2. La probabilité que la personne choisie ait contracté la grippe et soit vaccinée se détermine par , soit par
3. Nous devons déterminer
En utilisant la formule des probabilités totales, nous avons :
Partie B
1. Il y a répétition de n expériences identiques et indépendantes à deux issues :
le "succès" : la personne est vaccinée
l' "échec" : la personne n'est pas vaccinée.
La probabilité du succès est
Par conséquent, la variable aléatoire X suit la loi binomiale de paramètres n et p = 0,4.
2. Soit n = 40.
D'où la probabilité qu'exactement 15 des 40 personnes interrogées soient vaccinées est égale à 0,123 (arrondie au millième près).
2. b. Par la calculatrice, nous obtenons :
D'où la probabilité qu'au moins la moitié des personnes interrogées soit vaccinée est égale à 0,130 (arrondie au millième près).
D'où la probabilité qu'il y ait entre 1450 et 1550 individus vaccinés dans l'échantillon interrogé est égale à 0,904 (arrondie au millième près).
5 points
exercice 3 : Commun à tous les candidats
Partie A : étude de cas particuliers
1. a. La hauteur issue de E est la droite passant par E orthogonale au plan (ABC ).
Dès lors, la hauteur issue de E est (EA ).
La hauteur issue de C est la droite passant par C orthogonale au plan (EAB ).
Dès lors, la hauteur issue de C est (BC ).
1. b. Les droites (EA ) et (BC ) n'étant pas coplanaires, il est donc impossible que les quatre hauteurs du tétraèdre soient concourantes.
2. Soit le repère
2. a. Vérifions que les coordonnées des points A (0;0;0), C (1;1;0) et H (0;1;1) vérifient l'équation x - y + z = 0.
2. b. Montrons que la droite (FD ) est orthogonale au plan (ACH ).
Une équation cartésienne du plan (ACH ) est x - y + z = 0, soit
Donc un vecteur normal au plan (ACH ) est le vecteur
Nous en déduisons que la droite (FD ) est orthogonale au plan (ACH ) et par conséquent (FD ) est la hauteur issue de F du tétraèdre ACHF .
3. c. Par analogie avec le résultat précédent, nous obtenons les conclusions suivantes : la hauteur du tétraèdre ACHF issue de A est (AG ),
la hauteur issue de C est (CE )
la hauteur issue de H est (BH ).
De plus, comme indiqué dans l'énoncé, nous admettons que les droites (AG ), (BH ), (CE ) et (DF ) appelées "grandes diagonales" du cube, sont concourantes.
Par conséquent, les quatre hauteurs du tétraèdre (ACHF ) sont concourantes.
Partie B : une propriété des tétraèdres orthocentriques
1. a. La droite (MK ) est orthogonale au plan (NPQ ).
Donc cette droite (MK ) est orthogonale à toutes les droites du plan (NPQ ) et en particulier à la droite (PQ ).
Par conséquent, la droite (PQ ) est orthogonale à la droite (MK ).
Nous admettons de même que les droites (PQ ) et (NK ) sont orthogonales.
1. b. Nous avons montré que la droite (PQ ) est orthogonale à deux droites (MK ) et (NK ) sécantes en K. La droite (PQ ) est donc orthogonale au plan (MNK ) que ces deux droites déterminent.
2. La droite (PQ ) est orthogonale au plan (MNK ).
Donc cette droite (PQ ) est orthogonale à toutes les droites du plan (MNK ) et en particulier à la droite (MN ).
Par conséquent, les arêtes [MN ] et [PQ ] sont orthogonales.
Dès lors, nous obtenons la propriété suivante : Si un tétraèdre est orthocentrique, alors ses arêtes opposées sont orthogonales deux à deux.
Partie C : Application
Puisque , les arêtes [RT ] et [SU ] ne sont pas orthogonales.
Par contraposition de la propriété citée dans la partie B point 2., nous en déduisons que le tétraèdre RSTU n'est pas orthocentrique.
5 points
exercice 4 : Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité
z3 est un imaginaire pur car
Par conséquent, la partie imaginaire de z3 est
1 c. Représentation graphique des points A0, A1, A2 et A3
2. a. Démontrons par récurrence que pour tout entier naturel n ,
Initialisation :
Montrons que la propriété est vraie pour n = 0, soit que
En effet,
L'initialisation est donc vraie.
Hérédité :
Montrons que si pour une valeur fixée de n la propriété est vraie au rang n , alors elle est encore vraie au rang n+1.
Supposons que .
Montrons que
En effet,
L'hérédité est donc vraie.
Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, nous avons démontré par récurrence que pour tout entier naturel n ,
2. b.
D'où la suite (un) est une suite géométrique de raison et dont le premier terme est u0 = 8.
De plus,
Or est la somme des n premiers termes de la suite géométrique trouvée dans la question 2. b. dont le premier terme est et dont la raison est
5 points
exercice 4 : Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité
Partie A
Soit l'équation
1. Un couple solution de l'équation de (E ) est (1 ; 0) car
2. a. Démontrons par récurrence que pour tout entier naturel n , le couple (xn ; yn ) est solution de l'équation (E ).
Initialisation : Montrons que la propriété est vraie pour n = 0.
est solution de (E ) (voir question 1.)
L'initialisation est donc vraie.
Hérédité : Montrons que si pour une valeur fixée de n , la propriété est vraie au rang n, alors elle est également vraie au rang n + 1.
Montrons donc que si le couple (xn ; yn ) est solution de l'équation (E ), alors le couple (xn+1 ; yn+1 ) est solution de l'équation (E ).
Par hypothèse de récurrence, nous supposons que
D'où le couple (xn+1 ; yn+1 ) est solution de l'équation (E )
Par conséquent, l'hérédité est vraie.
Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, nous avons montré que pour tout entier naturel n , le couple (xn ; yn ) est solution de l'équation (E ).
2. b. Il est admis dans l'énoncé que la suite (xn ) est à valeurs strictement positives.
Montrons par récurrence que la suite (yn ) est à valeurs positives.
Initialisation :
L'initialisation est donc vraie.
Hérédité : Montrons que si pour une valeur fixée de n , la propriété est vraie au rang n, alors elle est également vraie au rang n + 1.
Montrons donc que si yn 0, alors yn+1 0.
En effet,
D'où yn+1 0 comme somme de deux nombres positifs.
L'hérédité est donc vraie.
Puisque l'initailisation et l'hérédité sont vraies, nous avons montré par récurrence que la suite (yn ) est à valeurs positives.
Par conséquent, pour tout entier naturel n , nous avons :
3. Nous déduisons de la question 2.b. que la suite (xn ) est strictement croissante.
Ses termes prennent alors une infinité de valeurs distinctes.
D'où l'équation (E ) admet une infinité de couples solutions.
Partie B
Un entier naturel n est appelé un nombre puissant lorsque, pour tout diviseur premier p de n , p² divise n .
1. Montrons que 8 est un nombre puissant.
L'unique diviseur premier de 8 est 2 et 2² = 4 divise 8.
Donc 8 est un nombre puissant.
Montrons que 9 est un nombre puissant.
L'unique diviseur premier de 9 est 3 et 3² = 9 divise 9.
Donc 9 est un nombre puissant.
Par conséquent les deux nombres entiers consécutifs puissants inférieurs à 10 sont 8 et 9.
2.
Les diviseurs premiers de n sont les diviseurs premiers de a et de b .
Premier cas : Soit p un diviseur premier de a .
Dans ce cas, il existe un nombre naturel q tel que a=pq .
Nous avons alors :
D'où p² divise n.
Deuxième cas : Soit r un diviseur premier de b .
Dans ce cas, il existe un nombre naturel s tel que b=rs .
Nous avons alors :
D'où r² divise n.
Donc tout diviseur premier de n est tel que son carré divise également n .
Par conséquent, n est un nombre puissant.
3. Soit (x;y ) un couple solution de l'équation (E ) : x ² - 8y ² = 1.
Donc en utilisant la propriété de la partie B exercice 2, x ² - 1 est puissant car x ² - 1 est de la forme a²b³ avec a = y et b = 2.
De même, x² est puissant car x² est de la forme a²b³ avec a = x et b = 1.
Par conséquent, x ² - 1 et x² sont des entiers consécutifs puissants.
4. Nous avons montré dans la partie A exercice 3 que l'équation (E ) admet une infinité de solutions.
Il y a donc une infinité de couples (x - 1 ; x ).
Par conséquent, il existe une infinité de couples de nombres entiers consécutifs puissants.
A l'aide de la calculatrice, nous pouvons obtenir les premiers entiers consécutifs puissants repris dans le tableau suivant :
Par conséquent, et sont deux nombres entiers consécutifs puissants supérieurs à 2018.
Nous pourrions également citer 332 928 et 332 929...
Publié par malou
le
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