Fiche de mathématiques
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Baccalauréat S Obligatoire et Spécialité

Liban 2018

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Bac S Obligatoire et Spécialité Liban 2018

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3 points

exercice 1 : Commun à tous les candidats

1.   La durée totale moyenne d'un appel au standard téléphonique se calcule par E(X + Y).

E(X+Y)=E(X)+E(Y)\\\\\phantom{E(X+Y)}= \dfrac{1}{\lambda}+\mu\\\\\phantom{E(X+Y)}= \dfrac{1}{0,2}+96= 50+96\\\\\phantom{E(X+Y)}=146

D'où la durée totale moyenne d'un appel au standard téléphonique est de 146 s, soit 2 min 26 s.

2. a.  Puisque 2 min = 120 s, nous devons déterminer P(X>120).

P(X>120)=1-P(X\le120)\\\phantom{P(X>120)}=1-(1-e^{-120\lambda})\\\phantom{P(X>120)}=1-1+e^{-120\lambda}\\\phantom{P(X>120)}=e^{-120\lambda}\\\phantom{P(X>120)}=e^{-120\times0,02}\\\phantom{P(X>120)}=e^{-2,4}\\\\\Longrightarrow\boxed{P(X>120)=e^{-2,4}\approx0,091}

Par conséquent, la probabilité pour qu'un étudiant choisi au hasard soit mis en attente plus de 2 min est égale à 0,091 (arrondie au millième).

2. b.   Nous devons déterminer P(Y<90).

La variable aléatoire Y suit la loi normale d'espérance mu = 96.

\text{D'où  }\ P(Y\le96)=0,5\\\phantom{\text{D'où  }\ }P(Y<90)+P(90\le Y\le96)=0,5\\\phantom{\text{D'où  }\ }P(Y<90)=0,5-P(90\le Y\le96)\\\phantom{\text{D'où  }\ }P(Y<90)\approx0,5-0,09125\\\phantom{\text{D'où  }\ }P(Y<90)\approx0,40875

Par conséquent, la probabilité pour que le temps d'échange avec le conseiller soit inférieur à 90 secondes est égale à 0,409 (arrondie au millième).

3.   Une loi exponentielle est une loi à durée de vie sans vieillissement.
Dès lors,

P_{X>60}(X < 60+ 30) = 1-P_{X>60}(X \ge 60 + 30) \\\phantom{P_{X>60}(X < 60+ 30)}= 1-P(X\ge30) \\\phantom{P_{X>60}(X < 60+ 30)}=P(X < 30)\\\\\Longrightarrow\boxed{P_{X>60}(X < 60+ 30) =P(X < 30)}

Par conséquent, le fait de raccrocher puis de rappeler n'augmente pas les chances de l'étudiante de limiter à 30 secondes l'attente supplémentaire.

3 points

exercice 2 : Commun à tous les candidats

1.   |1+i|=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}

\Longrightarrow 1+i=\sqrt{2}(\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}i)\\\\\phantom{\Longrightarrow 1+i}=\sqrt{2}(\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}i)

D'où les formes trigonométrique et exponentielle de 1 + i sont  \boxed{1+i=\sqrt{2}(\cos\dfrac{\pi}{4}+i\sin\dfrac{\pi}{4})=\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}}

1 - i est le conjugué de 1 + i.
D'où les formes trigonométrique et exponentielle de 1 - i sont  \boxed{1-i=\sqrt{2}\left(\cos(-\dfrac{\pi}{4})+i\sin(-\dfrac{\pi}{4})\right)=\sqrt{2}e^{-i\frac{\pi}{4}}}

2.   S_n=(1+i)^n+(1-i)^n

2. a)  Déterminons la forme trigonométrique de Sn .

S_n=(1+i)^n+(1-i)^n \\\\\phantom{S_n}=\left(\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}\right)^n+\left(\sqrt{2}e^{-i\frac{\pi}{4}}\right)^n \\\\\phantom{S_n}=\left(\sqrt{2}\right)^ne^{i\frac{n\pi}{4}}+\left(\sqrt{2}\right)^ne^{-i\frac{n\pi}{4}} \\\\\phantom{S_n}=\left(\sqrt{2}\right)^n\left(e^{i\frac{n\pi}{4}}+e^{-i\frac{n\pi}{4}}\right) \\\\\phantom{S_n}=\left(\sqrt{2}\right)^n\left(\cos\dfrac{n\pi}{4}+i\sin\dfrac{n\pi}{4}+\cos(-\dfrac{n\pi}{4})+i\sin(-\dfrac{n\pi}{4})\right) \\\\\phantom{S_n}=\left(\sqrt{2}\right)^n\left(\cos\dfrac{n\pi}{4}+i\sin\dfrac{n\pi}{4}+\cos\dfrac{n\pi}{4}-i\sin\dfrac{n\pi}{4}\right) \\\\\phantom{S_n}=\left(\sqrt{2}\right)^n\times2\cos\dfrac{n\pi}{4} \\\\\Longrightarrow S_n=2\left(\sqrt{2}\right)^n\cos\dfrac{n\pi}{4}

Nous constatons que Sn  est un nombre réel.
Ce nombre réel peut être positif ou négatif suivant les valeurs de n .

Si n  = 8k  ou n  = 8k  + 1 ou n  = 8k  + 7 avec k  appartient N, alors  \cos\dfrac{n\pi}{4}>0 
Dans ce cas, la forme trigonométrique de Sn  est  \boxed{S_n=2(\sqrt{2})^n\cos\dfrac{n\pi}{4}(\cos 0+i\sin 0)}

Si n  = 8k  + 3 ou n  = 8k  + 4 ou n  = 8k  + 5 avec k  appartient N, alors  \cos\dfrac{n\pi}{4}<0
Dans ce cas, la forme trigonométrique de Sn  est  \boxed{S_n=2(\sqrt{2})^n\cos\dfrac{n\pi}{4}(\cos \pi+i\sin \pi)}

Si n  = 8k  + 2 ou n  = 8k  + 6 avec k  appartient N, alors  \cos\dfrac{n\pi}{4}=0  et par conséquent  \boxed{S_n=0}

2. b)   Affirmation A : "Pour tout entier naturel n, le nombre complexe Sn est un nombre réel."
Affirmation vraie car nous avons montré dans l'exercice 2.a) que  S_n=2\left(\sqrt{2}\right)^n\cos\dfrac{n\pi}{4}  qui est un nombre réel.

Affirmation B : ": Il existe une infinité d'entiers naturels n tels que Sn = 0."
Affirmation vraie car nous avons montré dans l'exercice 2.a) que  S_n=0\Longleftrightarrow n=8k+2\ \ \text{ou }\ n=8k+6\ \ \ (k\in\mathbb{N}) , soit que  S_n=0\Longleftrightarrow n=4k+2\ \ \ (k\in\mathbb{N}).

Puisque k  parcourt l'ensemble des nombres naturels, il existe une infinité d'entiers naturels n  tels que Sn  = 0.

4 points

exercice 3 : Commun à tous les candidats

1. a)  Au début de l'opération, t  = 0.

Donc  \left\lbrace\begin{matrix}x(0)=140\ \ \\y(0)=105\ \ \\z(0)=-170\end{matrix}\right.

Les coordonnées du sous-marin au début de l'observation sont S1(0):(140 ; 105 ; -170).

1. b)  Pour déterminer la vitesse du sous-marin, calculons la distance parcourue durant la première minute.

Nous savons que les coordonnées du sous-marin au début de l'observation sont S1(0):(140 ; 105 ; -170).
Après 1 minute, les coordonnées du sous-marin seront celles de S1(1).

\left\lbrace\begin{matrix}x(1)=140-60\times1\ \ \\y(1)=105-90\times1\ \ \\z(1)=-170-30\times1\end{matrix}\right.\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}x(1)=80\ \ \ \\y(1)=15\ \ \ \\z(1)=-200\end{matrix}\right.

Après 1 minute, les coordonnées du sous-marin sont S1(1):(80 ; 15 ; -200).

On en déduit que la distance (en mètres) parcourue durant la première minute est

S_1(0)S_1(1)=\sqrt{(80-140)^2+(15-105)^2+(-200+170)^2}\\\\\phantom{S_1(0)S_1(1)}=\sqrt{(-60)^2+(-90)^2+(-30)^2} \\\\\phantom{S_1(0)S_1(1)}=\sqrt{3600+8100+900} \\\\\phantom{S_1(0)S_1(1)}=\sqrt{12600}=30\sqrt{14}\\\\\Longrightarrow\boxed{S_1(0)S_1(1)=30\sqrt{14}\approx112,25}

Puisque la vitesse du sous-marin est constante, nous en déduisons que sa vitesse est égale à  30\sqrt{14}\ \text{m.min}^{-1}\approx112,25\ \text{m.min}^{-1} (arrondie au centième).

2.   Nous nous plaçons dans le plan vertical contenant la trajectoire du premier sous-marin.
Déterminons l'angle alpha que forme la trajectoire du sous-marin avec le plan horizontal, soit avec le plan  (\pi) d'équation z=-170.

Nous connaissons les coordonnées de deux points de la trajectoire : S1(0):(140 ; 105 ; -170) et S1(1):(80 ; 15 ; -200).

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Soit H le projeté orthogonal de S1(1) sur le plan (pi).
Les coordonnées du point H sont alors (80 ; 15; -170).

Nous devons déterminer la mesure de l'angle \widehat{HS_1(0)S_1(1)}.

Dans le triangle  HS_1(0)S_1(1)  rectangle en H,

\sin(\widehat{HS_1(0)S_1(1)})=\dfrac{HS_1(1)}{S_1(0)S_1(1)}\\\\\phantom {\sin(\widehat{HS_1(0)S_1(1)})}=\dfrac{HS_1(1)}{30\sqrt{14}}\ \ \ (\text{par l'exercice 1; b)}\\\\\text{Or }\ \left\lbrace\begin{matrix}H(80;15;-170)\\S_1(1)(80;15;-200)\end{matrix}\right.\Longrightarrow HS_1(1)=|-200+170|=30\\\\\text{D'où }\ \sin(\widehat{HS_1(0)S_1(1)})=\dfrac{30}{30\sqrt{14}}=\dfrac{1}{\sqrt{14}}\\\\\Longrightarrow\alpha=\widehat{HS_1(0)S_1(1)})=\sin^{-1}\left(\dfrac{1}{\sqrt{14}}\right)\\\\\Longrightarrow\boxed{\alpha\approx15,5^\text{o}}

3.   Nous avons  S_2(0):(68;135;-68)\ \ \text{et}\ \ S_2(3):(-202;-405;-248).

Puisque ce second sous-marin de déplace en ligne droite à vitesse constante, la vitesse de sa cote est égale à  \dfrac{-248+68}{3}=-60\ \text{m.min}^{-1}.

La cote initiale étant égale à -68, nous déduisons alors que sa cote à l'instant t  est donnée par l'expression  z_2(t)=-68 - 60t.

Les deux sous-marins seront à la même profondeur lorsque t  vérifiera la relation  z_1(t)=z_2(t).

z_1(t)=z_2(t)\Longleftrightarrow-170-30t=-68-60t\\\phantom{z_1(t)=z_2(t)}\Longleftrightarrow60t-30t=-68+170 \\\phantom{z_1(t)=z_2(t)}\Longleftrightarrow30t=102 \\\phantom{z_1(t)=z_2(t)}\Longleftrightarrow\boxed{t=\dfrac{102}{30}=3,4}

Par conséquent, les deux sous-marins seront à la même profondeur au bout de 3,4 min, soit 3 min 24 s.

5 points

exercice 4 : Commun à tous les candidats

f_n(x)=\dfrac{\ln(x)}{x^n}\ \ \ \ \ \ (x\in[1;5]\ ;\ n\in\mathbb{N}^*)

{\red{1.\ \ }}f'_n(x)=\dfrac{(\ln(x))'\times x^n-\ln(x)\times(x^n)'}{(x^n)^2}\\\\\phantom{{\red{1.\ \ }}f'_n(x)}=\dfrac{\dfrac{1}{x}\times x^n-\ln(x)\times(nx^{n-1})}{x^{2n}} \\\\\phantom{{\red{1.\ \ }}f'_n(x)}=\dfrac{ x^{n-1}-nx^{n-1}\ln(x)}{x^{2n}} \\\\\phantom{{\red{1.\ \ }}f'_n(x)}=\dfrac{ x^{n-1}(1-n\ln(x))}{x^{2n}} \\\\\phantom{{\red{1.\ \ }}f'_n(x)}=\dfrac{ 1-n\ln(x)}{x^{2n-(n-1)}}=\dfrac{ 1-n\ln(x)}{x^{2n-n+1}} \\\\\phantom{{\red{1.\ \ }}f'_n(x)}=\dfrac{ 1-n\ln(x)}{x^{n+1}}\\\\\Longrightarrow\boxed{f'_n(x)=\dfrac{ 1-n\ln(x)}{x^{n+1}}}

2.   L'énoncé indique que pour tout entier n  > 0, la fonction fn  admet un maximum sur l'intervalle [1 ; 5].
Soit An (xn ; yn ) le point de la courbe Cn  ayant pour ordonnée ce maximum.
Dès lors, xn  est la solution de l'équation  f'_n(x_n)=0.

f'_n(x_n)=0\Longleftrightarrow\dfrac{ 1-n\ln(x_n)}{x_n^{n+1}}=0\\\\\phantom{f'_n(x)=0}\ \Longleftrightarrow1-n\ln(x_n)=0 \\\\\phantom{f'_n(x)=0}\ \Longleftrightarrow n\ln(x_n)=1 \\\\\phantom{f'_n(x)=0}\ \Longleftrightarrow \ln(x_n)=\dfrac{1}{n} \\\\\phantom{f'_n(x)=0}\ \Longleftrightarrow x_n=e^{\frac{1}{n}}\\\\\\\text{et }\ y_n=f_n(x_n)\\\\\phantom{\text{et }\ y_n}=\dfrac{\ln(e^{\frac{1}{n}})}{(e^{\frac{1}{n}})^n}=\dfrac{\ln(e^{\frac{1}{n}})}{e^{\frac{1}{n}\times n}}=\dfrac{\ln(e^{\frac{1}{n}})}{e^1} \\\\\phantom{\text{et }\ y_n}=\dfrac{1}{e}\ln(e^{\frac{1}{n}})

D'où les coordonnées du point An  sont  \left(e^{\frac{1}{n}}\ ;\ \dfrac{1}{e}\ln(e^{\frac{1}{n}})\right).
Ces coordonnées sont de la forme  \left(x_{A_n}\ ;\ \dfrac{1}{e}\ln(x_{A_n})\right).
Par conséquent, tous les points An  appartiennent à une même courbe gammamaj d'équation  y=\dfrac{1}{e}\ln(x).

3. a)   La fonction logarithme est strictement croissante sur l'intervalle [1 ; 5].

\text{Donc }\ 1\le x\le5\Longrightarrow\ln(1)\le\ln(x)\le\ln(5)\\\phantom{\text{Donc }\ 1\le x\le5}\Longrightarrow0\le\ln(x)\le\ln(5)
En divisant les trois membres de ces inégalités par xn  > 0, nous obtenons  \boxed{0\le\dfrac{\ln(x)}{x^n}\le\dfrac{\ln(5)}{x^n}}

3. b)   Soit la fonction g  définie sur l'intervalle [1 ; 5] par  g(x)=x^{-n}\ \ \ (n\in\mathbb{N}^*).

Une primitive de la fonction g  sur l'intervalle [1 ; 5] est la fonction G  définie par  G(x)=\dfrac{x^{-n+1}}{-n+1}

Dès lors,

\int\limits_{1}^5\dfrac{1}{x^n}\,dx=\int\limits_{1}^5x^{-n}\,dx\\\\\phantom{\int\limits_{1}^5\dfrac{1}{x^n}\,dx}=\left[G(x)\right]\limits_{1}^5\\\\\phantom{\int\limits_{1}^5\dfrac{1}{x^n}\,dx}=\left[\dfrac{x^{-n+1}}{-n+1}\right]\limits_{1}^5\\\\\phantom{\int\limits_{1}^5\dfrac{1}{x^n}\,dx}=\dfrac{5^{-n+1}}{-n+1}-\dfrac{1^{-n+1}}{-n+1} \\\\\phantom{\int\limits_{1}^5\dfrac{1}{x^n}\,dx}=\dfrac{-5^{-n+1}}{n-1}+\dfrac{1}{n-1} \\\\\phantom{\int\limits_{1}^5\dfrac{1}{x^n}\,dx}=\dfrac{1}{n-1}(-5^{-n+1}+1) \\\\\phantom{\int\limits_{1}^5\dfrac{1}{x^n}\,dx}=\dfrac{1}{n-1}\left(-\dfrac{1}{5^{n-1}}+1\right)\\\\\Longrightarrow\boxed{\int\limits_{1}^5\dfrac{1}{x^n}\,dx=\dfrac{1}{n-1}\left(1-\dfrac{1}{5^{n-1}}\right)}

3. c.   Puisque la fonction fn  est positive, l'aire cherchée est  \mathscr{A}_n=\int\limits_{1}^{5}\dfrac{\ln(x)}{x^n}\,dx.

En utilisant les résultats des questions 3a) et 3b), nous obtenons :

0\le\dfrac{\ln(x)}{x^n}\le\dfrac{\ln(5)}{x^n}\ \ \Longrightarrow\ \ \int\limits_{1}^50\,dx\le\int\limits_{1}^5\dfrac{\ln(x)}{x^n}\,dx\le\int\limits_{1}^5\dfrac{\ln(5)}{x^n}\,dx \\\\\phantom{0\le\dfrac{\ln(x)}{x^n}\le\dfrac{\ln(5)}{x^n}}\ \ \Longrightarrow\ \ \int\limits_{1}^50\,dx\le\int\limits_{1}^5\dfrac{\ln(x)}{x^n}\,dx\le\ln(5)\int\limits_{1}^5\dfrac{1}{x^n}\,dx \\\\\phantom{0\le\dfrac{\ln(x)}{x^n}\le\dfrac{\ln(5)}{x^n}}\ \ \Longrightarrow\ \ 0\le\mathscr{A}_n\le\ln(5)\times\dfrac{1}{n-1}\left(1-\dfrac{1}{5^{n-1}}\right) \\\\\phantom{0\le\dfrac{\ln(x)}{x^n}\le\dfrac{\ln(5)}{x^n}}\ \ \Longrightarrow\ \ 0\le\mathscr{A}_n\le\dfrac{\ln(5)}{n-1}\left(1-\dfrac{1}{5^{n-1}}\right) \\\\\phantom{0\le\dfrac{\ln(x)}{x^n}\le\dfrac{\ln(5)}{x^n}}\ \ \Longrightarrow\ \ 0\le\lim\limits_{n\to+\infty}\mathscr{A}_n\le\lim\limits_{n\to+\infty}\left[\dfrac{\ln(5)}{n-1}\left(1-\dfrac{1}{5^{n-1}}\right)\right]

\text{Or }\ \left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{\ln(5)}{n-1}=0\\\\\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{1}{5^{n-1}}=0\end{matrix}\right.\ \ \ \Longrightarrow\ \ 0\le\lim\limits_{n\to+\infty}\mathscr{A}_n\le0(1-0)\\\\\phantom{\text{Or }\ \left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{\ln(5)}{n-1}=0\\\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{1}{5^{n-1}}=0\end{matrix}\right.\ \ \ }\Longrightarrow\ \ 0\le\lim\limits_{n\to+\infty}\mathscr{A}_n\le0

Par conséquent,  \boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}\mathscr{A}_n=0}

5 points

exercice 5 : Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de                                spécialité

1.   Arbre pondéré représentant la situation :

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Nous devons déterminer p 2 = P (G2 ).

En utilisant la formule des probabilités totales, nous avons :

P(G_2)=P(G_1\cap G_2)+P(\overline{G_1}\cap G_2)\\\\\phantom{P(G_2)}=P(G_1)\times P_{G_1}(G_2)+P(\overline{G_1})\times P_{\overline{G_1}}(G_2)\\\\\phantom{P(G_2)}=\dfrac{1}{4}\times\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}\times\dfrac{1}{2}\\\\\phantom{P(G_2)}=\dfrac{1}{16}+\dfrac{3}{8}\\\\\phantom{P(G_2)}=\dfrac{1}{16}+\dfrac{6}{16}\\\\\Longrightarrow\boxed{p_2=P(G_2)=\dfrac{7}{16}}

2.   Le raisonnement est analogue à celui de l'alinéa précédent.

Arbre pondéré représentant la situation :

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Nous devons déterminer p n+1 = P (Gn+1 ).

En utilisant la formule des probabilités totales, nous avons :

P(G_{n+1})=P(G_n\cap G_{n+1})+P(\overline{G_n}\cap G_{n+1})\\\\\phantom{P(G_{n+1})}=P(G_{n})\times P_{G_{n}}(G_{n+1})+P(\overline{G_n})\times P_{\overline{G_n}}(G_{n+1})\\\\\phantom{P(G_{n+1})}=p_n\times\dfrac{1}{4}+(1-p_n)\times\dfrac{1}{2}\\\\\phantom{P(G_{n+1})}=\dfrac{1}{4}p_n+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}p_n\\\\\phantom{P(G_{n+1})}=\dfrac{1}{4}p_n+\dfrac{1}{2}-\dfrac{2}{4}p_n\\\\\Longrightarrow\boxed{p_{n+1}=P(G_{n+1})=-\dfrac{1}{4}p_n+\dfrac{1}{2}}

3   A la lecture du tableau, nous pouvons conjecturer que  \lim\limits_{n\to+\infty}p_n=0,4.

4.   u_n=p_n-\dfrac{2}{5}\ \ \ (n\in\mathbb{N}^*)

4. a)   Pour nous entier naturel n  non nul, nous avons :

u_{n+1}=p_{n+1}-\dfrac{2}{5}\\\\\phantom{u_{n+1}}=(-\dfrac{1}{4}p_n+\dfrac{1}{2})-\dfrac{2}{5}\\\\\phantom{u_{n+1}}=-\dfrac{1}{4}p_n+\dfrac{5}{10}-\dfrac{4}{10} \\\\\phantom{u_{n+1}}=-\dfrac{1}{4}p_n+\dfrac{1}{10} \\\\\phantom{u_{n+1}}=-\dfrac{1}{4}p_n+\dfrac{1}{4}\times\dfrac{4}{10} \\\\\phantom{u_{n+1}}=-\dfrac{1}{4}(p_n-\dfrac{4}{10})=-\dfrac{1}{4}(p_n-\dfrac{2}{5}) \\\\\phantom{u_{n+1}}=-\dfrac{1}{4}u_n\\\\\Longrightarrow\boxed{u_{n+1}=-\dfrac{1}{4}u_n}

Par conséquent, la suite (u n ) est une suite géométrique de raison  -\dfrac{1}{4}  et dont le premier terme est  u_{1}=p_{1}-\dfrac{2}{5}=\dfrac{1}{4}-\dfrac{2}{5}=\dfrac{5}{20}-\dfrac{8}{20}=-\dfrac{3}{20}.

\ \text{{\red{4.b) }}\ Nous en déduisons que }: u_{n}=u_1\times\left(-\dfrac{1}{4}\right)^{n-1}\\\\\phantom{\ \text{{\red{4. b) }}\ \ Nous en déduisons que }: }u_{n}=-\dfrac{3}{20}\times\left(-\dfrac{1}{4}\right)^{n-1}\\\\\text{Or }\ u_n=p_n-\dfrac{2}{5}\Longrightarrow -\dfrac{3}{20}\times\left(-\dfrac{1}{4}\right)^{n-1}=p_n-\dfrac{2}{5}\\\\\phantom{\text{Or }\ u_n=p_n-\dfrac{2}{5}}\Longrightarrow\boxed{p_n=\dfrac{2}{5}-\dfrac{3}{20}\times\left(-\dfrac{1}{4}\right)^{n-1}}

4. c)   \lim\limits_{n\to+\infty}\left(-\dfrac{1}{4}\right)^{n-1}=0\ \ \ \ \ \ \text{car }-1<-\dfrac{1}{4}<1

\text{Dès lors }\lim\limits_{n\to+\infty}p_n=\lim\limits_{n\to+\infty}\left[\dfrac{2}{5}-\dfrac{3}{20}\times\left(-\dfrac{1}{4}\right)^{n-1}\right]\\\\\phantom{\text{Dès lors }\lim\limits_{n\to+\infty}p_n}=\dfrac{2}{5}-\dfrac{3}{20}\times0\\\\\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}p_n=\dfrac{2}{5}=0,4}

Interprétation : A long terme, le joueur gagnera avec une probabilité égale à 0,4.

5 points

exercice 5 : Candidats ayant suivi l'enseignement de                                spécialité

1.   Algorithme complété :

1\ \ A\leftarrow0\\2\ \ B\leftarrow1\\3\ \ \text{Pour }i\ \text{allant de 2 à }n:\\4\ \ \ \ |\ C\leftarrow A+B\\5\ \ \ \ |\ A\leftarrow{\red{B}}\\6\ \ \ \ |\ B\leftarrow {\red{C}}\\7\ \ \text{Fin Pour}

2.   \boxed{A=\begin{pmatrix}1 &1 \\1 & 0\end{pmatrix}}

A^2=A\times A=\begin{pmatrix}1 &1 \\1 & 0\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}1 &1 \\1 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\times1+1\times1 &&1\times1+1\times0 \\1\times1+0\times1 &&1\times1+0\times0 \end{pmatrix}\\\\\Longrightarrow\boxed{A^2=\begin{pmatrix}2 &1 \\1 & 1\end{pmatrix}}

A^3=A^2\times A=\begin{pmatrix}2 &1 \\1 & 1\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}1 &1 \\1 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\times1+1\times1 &&2\times1+1\times0 \\1\times1+1\times1 &&1\times1+1\times0 \end{pmatrix}\\\\\Longrightarrow\boxed{A^3=\begin{pmatrix}3 &2 \\2 & 1\end{pmatrix}}

A^4=A^3\times A=\begin{pmatrix}3 &2 \\2 & 1\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}1 &1 \\1 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\times1+2\times1 &&3\times1+2\times0 \\2\times1+1\times1 &&2\times1+1\times0 \end{pmatrix}\\\\\Longrightarrow\boxed{A^4=\begin{pmatrix}5 &3 \\3 & 2\end{pmatrix}}

A^5=A^4\times A=\begin{pmatrix}5 &3 \\3 & 2\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}1 &1 \\1 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\times1+3\times1 &&5\times1+3\times0 \\3\times1+2\times1 &&3\times1+2\times0 \end{pmatrix}\\\\\Longrightarrow\boxed{A^5=\begin{pmatrix}8 &5 \\5 & 3\end{pmatrix}}

3. a)   Par l'énoncé, nous savons que  A^n=\begin{pmatrix}a_{n+1} &a_n \\a_n & a_{n-1}\end{pmatrix}

\text{D'une part }:\ {\red{A^p\times A^q}}=\begin{pmatrix}a_{p+1} &a_p \\a_p & a_{p-1}\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}a_{q+1} &a_q \\a_q & a_{q-1}\end{pmatrix}={\red{\begin{pmatrix}a_{p+1}\times a_{q+1}+a_{p}\times a_{q} &&a_{p+1}\times a_q+a_p\times a_{q-1} \\a_p\times a_{q+1}+a_{p-1}\times a_q &&a_p\times a_q+a_{p-1}\times a_{q-1} \end{pmatrix}}}\\\\\text{D'autre part }:\ {\red{A^p\times A^q}}=A^{p+q}={\red{\begin{pmatrix}a_{p+q+1} &a_{p+q} \\a_{p+q} & a_{p+q-1}\end{pmatrix}}}\\\\\text{D'où }:\ \begin{pmatrix}a_{p+q+1} &a_{p+q} \\ {\blue{a_{p+q}}} & a_{p+q-1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_{p+1}\times a_{q+1}+a_{p}\times a_{q} &&a_{p+1}\times a_q+a_p\times a_{q-1} \\ {\blue{a_p\times a_{q+1}+a_{p-1}\times a_q}} &&a_p\times a_q+a_{p-1}\times a_{q-1} \end{pmatrix}

Par conséquent, en identifiant les résultats, nous obtenons :  {\blue{a_{p+q}=a_p\times a_{q+1}+a_{p-1}\times a_q}}

3. b)   Soit un entier r  divisant les entiers ap  et aq .
Nous avons alors :  a_p\equiv0\ [r]\ \ \text{et}\ \ a_q\equiv0\ [r]

D'où  a_p\times a_{q+1}\equiv0\ [r]\ \ \text{et}\ \ a_{p-1}\times a_q\equiv0\ [r]

a_p\times a_{q+1}+a_{p-1}\times a_q\equiv0\ [r]\\\\\Longrightarrow a_{p+q}\equiv0\ [r]

Nous avons ainsi montré que r  divise ap+q .

3. c)   Démontrons par récurrence que pour tout entier naturel n  non nul, ap  divise anp .

Initialisation : La propriété ap  divise anp  est évidemment vraie pour n  = 1 car ap  divise a1multipliep .

Hérédité : Montrons que si pour une valeur de n  fixée, la propriété est vraie au rang n , alors elle est encore vraie au rang n +1.
Supposons donc que ap  divise anp  et montrons que ap  divise a(n+1)p .

En effet, ap  divise anp  par hypothèse et ap  divise ap .
En utilisant la question 3. b), nous en déduisons que ap  divise anp+p , soit que ap  divise a(n+1)p .
L'hérédité est donc vraie.

Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, nous avons démontré par récurrence que pour tout entier naturel n  non nul, ap  divise anp .

4. a)   Soit n  un entier supérieur ou égal à 5 qui n'est pas premier.

Il existe alors deux entiers naturels non nuls p  et q  tels que n = pq .

D'après la question 3. c, ap  divise apq , soit ap  divise an .
Montrons que ap different 1.
Puisque n  un entier supérieur ou égal à 5, au moins un des deux nombres p  ou q  est strictement supérieur à 2.
Supposons alors p  > 2.
La suite (an ) est strictement croissante à partir du rang 2.
Dès lors,  p  > 2 implique ap > a 2, soit ap > 1.
Cela implique donc que ap different 1.

En conclusion, puisque ap  divise an  et que ap different 1, nous avons montré que an n'est pas un nombre premier.

4. b)    a_{19}=4\ 181=37\times113.

La réciproque de la propriété obtenue dans la question 4. a) s'énoncerait comme suit :
Soit n un entier supérieur ou égal à 5.
Si an  n'est pas premier, alors n  n'est pas premier.


Cette réciproque est fausse puique a 19  n'est pas premier alors que 19 est premier.
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