Fiche de mathématiques

Télécharger (GRATUIT)

Ile mathématiques > maths bac > Bac 2018

Baccalauréat S Obligatoire et Spécialité

Liban 2018

Bac S Obligatoire et spécialité Liban 2018 mathématiques : image 6

Bac S Obligatoire et spécialité Liban 2018 mathématiques : image 2

Bac S Obligatoire et spécialité Liban 2018 mathématiques : image 3

Bac S Obligatoire et spécialité Liban 2018 mathématiques : image 4

Bac S Obligatoire et spécialité Liban 2018 mathématiques : image 1

Bac S Obligatoire et spécialité Liban 2018 mathématiques : image 7

Bac S Obligatoire et spécialité Liban 2018 mathématiques : image 5

Bac S Obligatoire et spécialité Liban 2018 mathématiques : image 8

Voir la correction

Bac S Obligatoire et Spécialité Liban 2018

3 points

exercice 1 : Commun à tous les candidats

1. La durée totale moyenne d'un appel au standard téléphonique se calcule par E(X + Y).

$E(X+Y)=E(X)+E(Y)\\\\\phantom{E(X+Y)}= \dfrac{1}{\lambda}+\mu\\\\\phantom{E(X+Y)}= \dfrac{1}{0,2}+96= 50+96\\\\\phantom{E(X+Y)}=146$

D'où la durée totale moyenne d'un appel au standard téléphonique est de 146 s, soit 2 min 26 s.

2. a. Puisque 2 min = 120 s, nous devons déterminer $P(X>120).$

$P(X>120)=1-P(X\le120)\\\phantom{P(X>120)}=1-(1-e^{-120\lambda})\\\phantom{P(X>120)}=1-1+e^{-120\lambda}\\\phantom{P(X>120)}=e^{-120\lambda}\\\phantom{P(X>120)}=e^{-120\times0,02}\\\phantom{P(X>120)}=e^{-2,4}\\\\\Longrightarrow\boxed{P(X>120)=e^{-2,4}\approx0,091}$

Par conséquent, la probabilité pour qu'un étudiant choisi au hasard soit mis en attente plus de 2 min est égale à 0,091 (arrondie au millième).

2. b. Nous devons déterminer $P(Y<90).$

La variable aléatoire Y suit la loi normale d'espérance

= 96.

$\text{D'où }\ P(Y\le96)=0,5\\\phantom{\text{D'où }\ }P(Y<90)+P(90\le Y\le96)=0,5\\\phantom{\text{D'où }\ }P(Y<90)=0,5-P(90\le Y\le96)\\\phantom{\text{D'où }\ }P(Y<90)\approx0,5-0,09125\\\phantom{\text{D'où }\ }P(Y<90)\approx0,40875$

Par conséquent, la probabilité pour que le temps d'échange avec le conseiller soit inférieur à 90 secondes est égale à 0,409 (arrondie au millième).

3. Une loi exponentielle est une loi à durée de vie sans vieillissement.
Dès lors,

$P_{X>60}(X < 60+ 30) = 1-P_{X>60}(X \ge 60 + 30) \\\phantom{P_{X>60}(X < 60+ 30)}= 1-P(X\ge30) \\\phantom{P_{X>60}(X < 60+ 30)}=P(X < 30)\\\\\Longrightarrow\boxed{P_{X>60}(X < 60+ 30) =P(X < 30)}$

Par conséquent, le fait de raccrocher puis de rappeler n'augmente pas les chances de l'étudiante de limiter à 30 secondes l'attente supplémentaire.

3 points

exercice 2 : Commun à tous les candidats

1. $|1+i|=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$

$\Longrightarrow 1+i=\sqrt{2}(\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}i)\\\\\phantom{\Longrightarrow 1+i}=\sqrt{2}(\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}i)$

D'où les formes trigonométrique et exponentielle de 1 + i sont $\boxed{1+i=\sqrt{2}(\cos\dfrac{\pi}{4}+i\sin\dfrac{\pi}{4})=\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}}$

1 - i est le conjugué de 1 + i.
D'où les formes trigonométrique et exponentielle de 1 - i sont $\boxed{1-i=\sqrt{2}\left(\cos(-\dfrac{\pi}{4})+i\sin(-\dfrac{\pi}{4})\right)=\sqrt{2}e^{-i\frac{\pi}{4}}}$

2. $S_n=(1+i)^n+(1-i)^n$

2. a) Déterminons la forme trigonométrique de S_n .

$S_n=(1+i)^n+(1-i)^n \\\\\phantom{S_n}=\left(\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}\right)^n+\left(\sqrt{2}e^{-i\frac{\pi}{4}}\right)^n \\\\\phantom{S_n}=\left(\sqrt{2}\right)^ne^{i\frac{n\pi}{4}}+\left(\sqrt{2}\right)^ne^{-i\frac{n\pi}{4}} \\\\\phantom{S_n}=\left(\sqrt{2}\right)^n\left(e^{i\frac{n\pi}{4}}+e^{-i\frac{n\pi}{4}}\right) \\\\\phantom{S_n}=\left(\sqrt{2}\right)^n\left(\cos\dfrac{n\pi}{4}+i\sin\dfrac{n\pi}{4}+\cos(-\dfrac{n\pi}{4})+i\sin(-\dfrac{n\pi}{4})\right) \\\\\phantom{S_n}=\left(\sqrt{2}\right)^n\left(\cos\dfrac{n\pi}{4}+i\sin\dfrac{n\pi}{4}+\cos\dfrac{n\pi}{4}-i\sin\dfrac{n\pi}{4}\right) \\\\\phantom{S_n}=\left(\sqrt{2}\right)^n\times2\cos\dfrac{n\pi}{4} \\\\\Longrightarrow S_n=2\left(\sqrt{2}\right)^n\cos\dfrac{n\pi}{4}$

Nous constatons que S_n est un nombre réel.
Ce nombre réel peut être positif ou négatif suivant les valeurs de n .

Si n = 8k ou n = 8k + 1 ou n = 8k + 7 avec k appartient

, alors $\cos\dfrac{n\pi}{4}>0$
Dans ce cas, la forme trigonométrique de S_n est $\boxed{S_n=2(\sqrt{2})^n\cos\dfrac{n\pi}{4}(\cos 0+i\sin 0)}$

Si n = 8k + 3 ou n = 8k + 4 ou n = 8k + 5 avec k appartient

, alors $\cos\dfrac{n\pi}{4}<0$
Dans ce cas, la forme trigonométrique de S_n est $\boxed{S_n=2(\sqrt{2})^n\cos\dfrac{n\pi}{4}(\cos \pi+i\sin \pi)}$

Si n = 8k + 2 ou n = 8k + 6 avec k appartient

, alors $\cos\dfrac{n\pi}{4}=0$ et par conséquent $\boxed{S_n=0}$

2. b) Affirmation A : "Pour tout entier naturel n, le nombre complexe S_n est un nombre réel."
Affirmation vraie car nous avons montré dans l'exercice 2.a) que $S_n=2\left(\sqrt{2}\right)^n\cos\dfrac{n\pi}{4}$ qui est un nombre réel.

Affirmation B : ": Il existe une infinité d'entiers naturels n tels que S_n = 0."
Affirmation vraie car nous avons montré dans l'exercice 2.a) que $S_n=0\Longleftrightarrow n=8k+2\ \ \text{ou }\ n=8k+6\ \ \ (k\in\mathbb{N})$ , soit que $S_n=0\Longleftrightarrow n=4k+2\ \ \ (k\in\mathbb{N}).$

Puisque k parcourt l'ensemble des nombres naturels, il existe une infinité d'entiers naturels n tels que S_n = 0.

4 points

exercice 3 : Commun à tous les candidats

1. a) Au début de l'opération, t = 0.

Donc $\left\lbrace\begin{matrix}x(0)=140\ \ \\y(0)=105\ \ \\z(0)=-170\end{matrix}\right.$

Les coordonnées du sous-marin au début de l'observation sont S₁(0):(140 ; 105 ; -170).

1. b) Pour déterminer la vitesse du sous-marin, calculons la distance parcourue durant la première minute.

Nous savons que les coordonnées du sous-marin au début de l'observation sont S₁(0):(140 ; 105 ; -170).
Après 1 minute, les coordonnées du sous-marin seront celles de S₁(1).

$\left\lbrace\begin{matrix}x(1)=140-60\times1\ \ \\y(1)=105-90\times1\ \ \\z(1)=-170-30\times1\end{matrix}\right.\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}x(1)=80\ \ \ \\y(1)=15\ \ \ \\z(1)=-200\end{matrix}\right.$

Après 1 minute, les coordonnées du sous-marin sont S₁(1):(80 ; 15 ; -200).

On en déduit que la distance (en mètres) parcourue durant la première minute est

$S_1(0)S_1(1)=\sqrt{(80-140)^2+(15-105)^2+(-200+170)^2}\\\\\phantom{S_1(0)S_1(1)}=\sqrt{(-60)^2+(-90)^2+(-30)^2} \\\\\phantom{S_1(0)S_1(1)}=\sqrt{3600+8100+900} \\\\\phantom{S_1(0)S_1(1)}=\sqrt{12600}=30\sqrt{14}\\\\\Longrightarrow\boxed{S_1(0)S_1(1)=30\sqrt{14}\approx112,25}$

Puisque la vitesse du sous-marin est constante, nous en déduisons que sa vitesse est égale à $30\sqrt{14}\ \text{m.min}^{-1}\approx112,25\ \text{m.min}^{-1}$ (arrondie au centième).

2. Nous nous plaçons dans le plan vertical contenant la trajectoire du premier sous-marin.
Déterminons l'angle alpha

que forme la trajectoire du sous-marin avec le plan horizontal, soit avec le plan $(\pi)$ d'équation $z=-170.$

Nous connaissons les coordonnées de deux points de la trajectoire : S₁(0):(140 ; 105 ; -170) et S₁(1):(80 ; 15 ; -200).

Bac S Obligatoire et spécialité Liban 2018 mathématiques : image 12

Soit H le projeté orthogonal de S₁(1) sur le plan (

).
Les coordonnées du point H sont alors (80 ; 15; -170).

Nous devons déterminer la mesure de l'angle $\widehat{HS_1(0)S_1(1)}.$

Dans le triangle $HS_1(0)S_1(1)$ rectangle en H,

$\sin(\widehat{HS_1(0)S_1(1)})=\dfrac{HS_1(1)}{S_1(0)S_1(1)}\\\\\phantom {\sin(\widehat{HS_1(0)S_1(1)})}=\dfrac{HS_1(1)}{30\sqrt{14}}\ \ \ (\text{par l'exercice 1; b)}\\\\\text{Or }\ \left\lbrace\begin{matrix}H(80;15;-170)\\S_1(1)(80;15;-200)\end{matrix}\right.\Longrightarrow HS_1(1)=|-200+170|=30\\\\\text{D'où }\ \sin(\widehat{HS_1(0)S_1(1)})=\dfrac{30}{30\sqrt{14}}=\dfrac{1}{\sqrt{14}}\\\\\Longrightarrow\alpha=\widehat{HS_1(0)S_1(1)})=\sin^{-1}\left(\dfrac{1}{\sqrt{14}}\right)\\\\\Longrightarrow\boxed{\alpha\approx15,5^\text{o}}$

3. Nous avons $S_2(0):(68;135;-68)\ \ \text{et}\ \ S_2(3):(-202;-405;-248).$

Puisque ce second sous-marin de déplace en ligne droite à vitesse constante, la vitesse de sa cote est égale à $\dfrac{-248+68}{3}=-60\ \text{m.min}^{-1}.$

La cote initiale étant égale à -68, nous déduisons alors que sa cote à l'instant t est donnée par l'expression $z_2(t)=-68 - 60t.$

Les deux sous-marins seront à la même profondeur lorsque t vérifiera la relation $z_1(t)=z_2(t).$

$z_1(t)=z_2(t)\Longleftrightarrow-170-30t=-68-60t\\\phantom{z_1(t)=z_2(t)}\Longleftrightarrow60t-30t=-68+170 \\\phantom{z_1(t)=z_2(t)}\Longleftrightarrow30t=102 \\\phantom{z_1(t)=z_2(t)}\Longleftrightarrow\boxed{t=\dfrac{102}{30}=3,4}$

Par conséquent, les deux sous-marins seront à la même profondeur au bout de 3,4 min, soit 3 min 24 s.

5 points

exercice 4 : Commun à tous les candidats

$f_n(x)=\dfrac{\ln(x)}{x^n}\ \ \ \ \ \ (x\in[1;5]\ ;\ n\in\mathbb{N}^*)$

${\red{1.\ \ }}f'_n(x)=\dfrac{(\ln(x))'\times x^n-\ln(x)\times(x^n)'}{(x^n)^2}\\\\\phantom{{\red{1.\ \ }}f'_n(x)}=\dfrac{\dfrac{1}{x}\times x^n-\ln(x)\times(nx^{n-1})}{x^{2n}} \\\\\phantom{{\red{1.\ \ }}f'_n(x)}=\dfrac{ x^{n-1}-nx^{n-1}\ln(x)}{x^{2n}} \\\\\phantom{{\red{1.\ \ }}f'_n(x)}=\dfrac{ x^{n-1}(1-n\ln(x))}{x^{2n}} \\\\\phantom{{\red{1.\ \ }}f'_n(x)}=\dfrac{ 1-n\ln(x)}{x^{2n-(n-1)}}=\dfrac{ 1-n\ln(x)}{x^{2n-n+1}} \\\\\phantom{{\red{1.\ \ }}f'_n(x)}=\dfrac{ 1-n\ln(x)}{x^{n+1}}\\\\\Longrightarrow\boxed{f'_n(x)=\dfrac{ 1-n\ln(x)}{x^{n+1}}}$

2. L'énoncé indique que pour tout entier n > 0, la fonction f_n admet un maximum sur l'intervalle [1 ; 5].
Soit A_n (x_n ; y_n ) le point de la courbe C_n ayant pour ordonnée ce maximum.
Dès lors, x_n est la solution de l'équation $f'_n(x_n)=0.$

$f'_n(x_n)=0\Longleftrightarrow\dfrac{ 1-n\ln(x_n)}{x_n^{n+1}}=0\\\\\phantom{f'_n(x)=0}\ \Longleftrightarrow1-n\ln(x_n)=0 \\\\\phantom{f'_n(x)=0}\ \Longleftrightarrow n\ln(x_n)=1 \\\\\phantom{f'_n(x)=0}\ \Longleftrightarrow \ln(x_n)=\dfrac{1}{n} \\\\\phantom{f'_n(x)=0}\ \Longleftrightarrow x_n=e^{\frac{1}{n}}\\\\\\\text{et }\ y_n=f_n(x_n)\\\\\phantom{\text{et }\ y_n}=\dfrac{\ln(e^{\frac{1}{n}})}{(e^{\frac{1}{n}})^n}=\dfrac{\ln(e^{\frac{1}{n}})}{e^{\frac{1}{n}\times n}}=\dfrac{\ln(e^{\frac{1}{n}})}{e^1} \\\\\phantom{\text{et }\ y_n}=\dfrac{1}{e}\ln(e^{\frac{1}{n}})$

D'où les coordonnées du point A_n sont $\left(e^{\frac{1}{n}}\ ;\ \dfrac{1}{e}\ln(e^{\frac{1}{n}})\right).$
Ces coordonnées sont de la forme $\left(x_{A_n}\ ;\ \dfrac{1}{e}\ln(x_{A_n})\right).$
Par conséquent, tous les points A_n appartiennent à une même courbe d'équation $y=\dfrac{1}{e}\ln(x).$

3. a) La fonction logarithme est strictement croissante sur l'intervalle [1 ; 5].

$\text{Donc }\ 1\le x\le5\Longrightarrow\ln(1)\le\ln(x)\le\ln(5)\\\phantom{\text{Donc }\ 1\le x\le5}\Longrightarrow0\le\ln(x)\le\ln(5)$
En divisant les trois membres de ces inégalités par xⁿ > 0, nous obtenons $\boxed{0\le\dfrac{\ln(x)}{x^n}\le\dfrac{\ln(5)}{x^n}}$

3. b) Soit la fonction g définie sur l'intervalle [1 ; 5] par $g(x)=x^{-n}\ \ \ (n\in\mathbb{N}^*).$

Une primitive de la fonction g sur l'intervalle [1 ; 5] est la fonction G définie par $G(x)=\dfrac{x^{-n+1}}{-n+1}$

Dès lors,

$\int\limits_{1}^5\dfrac{1}{x^n}\,dx=\int\limits_{1}^5x^{-n}\,dx\\\\\phantom{\int\limits_{1}^5\dfrac{1}{x^n}\,dx}=\left[G(x)\right]\limits_{1}^5\\\\\phantom{\int\limits_{1}^5\dfrac{1}{x^n}\,dx}=\left[\dfrac{x^{-n+1}}{-n+1}\right]\limits_{1}^5\\\\\phantom{\int\limits_{1}^5\dfrac{1}{x^n}\,dx}=\dfrac{5^{-n+1}}{-n+1}-\dfrac{1^{-n+1}}{-n+1} \\\\\phantom{\int\limits_{1}^5\dfrac{1}{x^n}\,dx}=\dfrac{-5^{-n+1}}{n-1}+\dfrac{1}{n-1} \\\\\phantom{\int\limits_{1}^5\dfrac{1}{x^n}\,dx}=\dfrac{1}{n-1}(-5^{-n+1}+1) \\\\\phantom{\int\limits_{1}^5\dfrac{1}{x^n}\,dx}=\dfrac{1}{n-1}\left(-\dfrac{1}{5^{n-1}}+1\right)\\\\\Longrightarrow\boxed{\int\limits_{1}^5\dfrac{1}{x^n}\,dx=\dfrac{1}{n-1}\left(1-\dfrac{1}{5^{n-1}}\right)}$

3. c. Puisque la fonction f_n est positive, l'aire cherchée est $\mathscr{A}_n=\int\limits_{1}^{5}\dfrac{\ln(x)}{x^n}\,dx.$

En utilisant les résultats des questions 3a) et 3b), nous obtenons :

$0\le\dfrac{\ln(x)}{x^n}\le\dfrac{\ln(5)}{x^n}\ \ \Longrightarrow\ \ \int\limits_{1}^50\,dx\le\int\limits_{1}^5\dfrac{\ln(x)}{x^n}\,dx\le\int\limits_{1}^5\dfrac{\ln(5)}{x^n}\,dx \\\\\phantom{0\le\dfrac{\ln(x)}{x^n}\le\dfrac{\ln(5)}{x^n}}\ \ \Longrightarrow\ \ \int\limits_{1}^50\,dx\le\int\limits_{1}^5\dfrac{\ln(x)}{x^n}\,dx\le\ln(5)\int\limits_{1}^5\dfrac{1}{x^n}\,dx \\\\\phantom{0\le\dfrac{\ln(x)}{x^n}\le\dfrac{\ln(5)}{x^n}}\ \ \Longrightarrow\ \ 0\le\mathscr{A}_n\le\ln(5)\times\dfrac{1}{n-1}\left(1-\dfrac{1}{5^{n-1}}\right) \\\\\phantom{0\le\dfrac{\ln(x)}{x^n}\le\dfrac{\ln(5)}{x^n}}\ \ \Longrightarrow\ \ 0\le\mathscr{A}_n\le\dfrac{\ln(5)}{n-1}\left(1-\dfrac{1}{5^{n-1}}\right) \\\\\phantom{0\le\dfrac{\ln(x)}{x^n}\le\dfrac{\ln(5)}{x^n}}\ \ \Longrightarrow\ \ 0\le\lim\limits_{n\to+\infty}\mathscr{A}_n\le\lim\limits_{n\to+\infty}\left[\dfrac{\ln(5)}{n-1}\left(1-\dfrac{1}{5^{n-1}}\right)\right]$

$\text{Or }\ \left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{\ln(5)}{n-1}=0\\\\\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{1}{5^{n-1}}=0\end{matrix}\right.\ \ \ \Longrightarrow\ \ 0\le\lim\limits_{n\to+\infty}\mathscr{A}_n\le0(1-0)\\\\\phantom{\text{Or }\ \left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{\ln(5)}{n-1}=0\\\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{1}{5^{n-1}}=0\end{matrix}\right.\ \ \ }\Longrightarrow\ \ 0\le\lim\limits_{n\to+\infty}\mathscr{A}_n\le0$

Par conséquent, $\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}\mathscr{A}_n=0}$

5 points

exercice 5 : Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

1. Arbre pondéré représentant la situation :

Bac S Obligatoire et spécialité Liban 2018 mathématiques : image 11

Nous devons déterminer p ₂ = P (G₂ ).

En utilisant la formule des probabilités totales, nous avons :

$P(G_2)=P(G_1\cap G_2)+P(\overline{G_1}\cap G_2)\\\\\phantom{P(G_2)}=P(G_1)\times P_{G_1}(G_2)+P(\overline{G_1})\times P_{\overline{G_1}}(G_2)\\\\\phantom{P(G_2)}=\dfrac{1}{4}\times\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}\times\dfrac{1}{2}\\\\\phantom{P(G_2)}=\dfrac{1}{16}+\dfrac{3}{8}\\\\\phantom{P(G_2)}=\dfrac{1}{16}+\dfrac{6}{16}\\\\\Longrightarrow\boxed{p_2=P(G_2)=\dfrac{7}{16}}$

2. Le raisonnement est analogue à celui de l'alinéa précédent.

Arbre pondéré représentant la situation :

Bac S Obligatoire et spécialité Liban 2018 mathématiques : image 10

Nous devons déterminer p _n+1 = P (G_n+1 ).

En utilisant la formule des probabilités totales, nous avons :

$P(G_{n+1})=P(G_n\cap G_{n+1})+P(\overline{G_n}\cap G_{n+1})\\\\\phantom{P(G_{n+1})}=P(G_{n})\times P_{G_{n}}(G_{n+1})+P(\overline{G_n})\times P_{\overline{G_n}}(G_{n+1})\\\\\phantom{P(G_{n+1})}=p_n\times\dfrac{1}{4}+(1-p_n)\times\dfrac{1}{2}\\\\\phantom{P(G_{n+1})}=\dfrac{1}{4}p_n+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}p_n\\\\\phantom{P(G_{n+1})}=\dfrac{1}{4}p_n+\dfrac{1}{2}-\dfrac{2}{4}p_n\\\\\Longrightarrow\boxed{p_{n+1}=P(G_{n+1})=-\dfrac{1}{4}p_n+\dfrac{1}{2}}$

3 A la lecture du tableau, nous pouvons conjecturer que $\lim\limits_{n\to+\infty}p_n=0,4.$

4. $u_n=p_n-\dfrac{2}{5}\ \ \ (n\in\mathbb{N}^*)$

4. a) Pour nous entier naturel n non nul, nous avons :

$u_{n+1}=p_{n+1}-\dfrac{2}{5}\\\\\phantom{u_{n+1}}=(-\dfrac{1}{4}p_n+\dfrac{1}{2})-\dfrac{2}{5}\\\\\phantom{u_{n+1}}=-\dfrac{1}{4}p_n+\dfrac{5}{10}-\dfrac{4}{10} \\\\\phantom{u_{n+1}}=-\dfrac{1}{4}p_n+\dfrac{1}{10} \\\\\phantom{u_{n+1}}=-\dfrac{1}{4}p_n+\dfrac{1}{4}\times\dfrac{4}{10} \\\\\phantom{u_{n+1}}=-\dfrac{1}{4}(p_n-\dfrac{4}{10})=-\dfrac{1}{4}(p_n-\dfrac{2}{5}) \\\\\phantom{u_{n+1}}=-\dfrac{1}{4}u_n\\\\\Longrightarrow\boxed{u_{n+1}=-\dfrac{1}{4}u_n}$

Par conséquent, la suite (u _n ) est une suite géométrique de raison $-\dfrac{1}{4}$ et dont le premier terme est $u_{1}=p_{1}-\dfrac{2}{5}=\dfrac{1}{4}-\dfrac{2}{5}=\dfrac{5}{20}-\dfrac{8}{20}=-\dfrac{3}{20}.$

$\ \text{{\red{4.b) }}\ Nous en déduisons que }: u_{n}=u_1\times\left(-\dfrac{1}{4}\right)^{n-1}\\\\\phantom{\ \text{{\red{4. b) }}\ \ Nous en déduisons que }: }u_{n}=-\dfrac{3}{20}\times\left(-\dfrac{1}{4}\right)^{n-1}\\\\\text{Or }\ u_n=p_n-\dfrac{2}{5}\Longrightarrow -\dfrac{3}{20}\times\left(-\dfrac{1}{4}\right)^{n-1}=p_n-\dfrac{2}{5}\\\\\phantom{\text{Or }\ u_n=p_n-\dfrac{2}{5}}\Longrightarrow\boxed{p_n=\dfrac{2}{5}-\dfrac{3}{20}\times\left(-\dfrac{1}{4}\right)^{n-1}}$

4. c) $\lim\limits_{n\to+\infty}\left(-\dfrac{1}{4}\right)^{n-1}=0\ \ \ \ \ \ \text{car }-1<-\dfrac{1}{4}<1$

$\text{Dès lors }\lim\limits_{n\to+\infty}p_n=\lim\limits_{n\to+\infty}\left[\dfrac{2}{5}-\dfrac{3}{20}\times\left(-\dfrac{1}{4}\right)^{n-1}\right]\\\\\phantom{\text{Dès lors }\lim\limits_{n\to+\infty}p_n}=\dfrac{2}{5}-\dfrac{3}{20}\times0\\\\\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}p_n=\dfrac{2}{5}=0,4}$

Interprétation : A long terme, le joueur gagnera avec une probabilité égale à 0,4.

5 points

exercice 5 : Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

1. Algorithme complété :

$1\ \ A\leftarrow0\\2\ \ B\leftarrow1\\3\ \ \text{Pour }i\ \text{allant de 2 à }n:\\4\ \ \ \ |\ C\leftarrow A+B\\5\ \ \ \ |\ A\leftarrow{\red{B}}\\6\ \ \ \ |\ B\leftarrow {\red{C}}\\7\ \ \text{Fin Pour}$

2. $\boxed{A=\begin{pmatrix}1 &1 \\1 & 0\end{pmatrix}}$

$A^2=A\times A=\begin{pmatrix}1 &1 \\1 & 0\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}1 &1 \\1 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\times1+1\times1 &&1\times1+1\times0 \\1\times1+0\times1 &&1\times1+0\times0 \end{pmatrix}\\\\\Longrightarrow\boxed{A^2=\begin{pmatrix}2 &1 \\1 & 1\end{pmatrix}}$

$A^3=A^2\times A=\begin{pmatrix}2 &1 \\1 & 1\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}1 &1 \\1 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\times1+1\times1 &&2\times1+1\times0 \\1\times1+1\times1 &&1\times1+1\times0 \end{pmatrix}\\\\\Longrightarrow\boxed{A^3=\begin{pmatrix}3 &2 \\2 & 1\end{pmatrix}}$

$A^4=A^3\times A=\begin{pmatrix}3 &2 \\2 & 1\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}1 &1 \\1 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\times1+2\times1 &&3\times1+2\times0 \\2\times1+1\times1 &&2\times1+1\times0 \end{pmatrix}\\\\\Longrightarrow\boxed{A^4=\begin{pmatrix}5 &3 \\3 & 2\end{pmatrix}}$

$A^5=A^4\times A=\begin{pmatrix}5 &3 \\3 & 2\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}1 &1 \\1 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\times1+3\times1 &&5\times1+3\times0 \\3\times1+2\times1 &&3\times1+2\times0 \end{pmatrix}\\\\\Longrightarrow\boxed{A^5=\begin{pmatrix}8 &5 \\5 & 3\end{pmatrix}}$

3. a) Par l'énoncé, nous savons que $A^n=\begin{pmatrix}a_{n+1} &a_n \\a_n & a_{n-1}\end{pmatrix}$

$\text{D'une part }:\ {\red{A^p\times A^q}}=\begin{pmatrix}a_{p+1} &a_p \\a_p & a_{p-1}\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}a_{q+1} &a_q \\a_q & a_{q-1}\end{pmatrix}={\red{\begin{pmatrix}a_{p+1}\times a_{q+1}+a_{p}\times a_{q} &&a_{p+1}\times a_q+a_p\times a_{q-1} \\a_p\times a_{q+1}+a_{p-1}\times a_q &&a_p\times a_q+a_{p-1}\times a_{q-1} \end{pmatrix}}}\\\\\text{D'autre part }:\ {\red{A^p\times A^q}}=A^{p+q}={\red{\begin{pmatrix}a_{p+q+1} &a_{p+q} \\a_{p+q} & a_{p+q-1}\end{pmatrix}}}\\\\\text{D'où }:\ \begin{pmatrix}a_{p+q+1} &a_{p+q} \\ {\blue{a_{p+q}}} & a_{p+q-1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_{p+1}\times a_{q+1}+a_{p}\times a_{q} &&a_{p+1}\times a_q+a_p\times a_{q-1} \\ {\blue{a_p\times a_{q+1}+a_{p-1}\times a_q}} &&a_p\times a_q+a_{p-1}\times a_{q-1} \end{pmatrix}$

Par conséquent, en identifiant les résultats, nous obtenons : ${\blue{a_{p+q}=a_p\times a_{q+1}+a_{p-1}\times a_q}}$

3. b) Soit un entier r divisant les entiers a_p et a_q .
Nous avons alors : $a_p\equiv0\ [r]\ \ \text{et}\ \ a_q\equiv0\ [r]$

D'où $a_p\times a_{q+1}\equiv0\ [r]\ \ \text{et}\ \ a_{p-1}\times a_q\equiv0\ [r]$

$a_p\times a_{q+1}+a_{p-1}\times a_q\equiv0\ [r]\\\\\Longrightarrow a_{p+q}\equiv0\ [r]$

Nous avons ainsi montré que r divise a_p+q .

3. c) Démontrons par récurrence que pour tout entier naturel n non nul, a_p divise a_np .

Initialisation : La propriété a_p divise a_np est évidemment vraie pour n = 1 car a_p divise a_1p .

Hérédité : Montrons que si pour une valeur de n fixée, la propriété est vraie au rang n , alors elle est encore vraie au rang n +1.
Supposons donc que a_p divise a_np et montrons que a_p divise a_(n+1)p .

En effet, a_p divise a_np par hypothèse et a_p divise a_p .
En utilisant la question 3. b), nous en déduisons que a_p divise a_np+p , soit que a_p divise a_(n+1)p .
L'hérédité est donc vraie.

Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, nous avons démontré par récurrence que pour tout entier naturel n non nul, a_p divise a_np .

4. a) Soit n un entier supérieur ou égal à 5 qui n'est pas premier.

Il existe alors deux entiers naturels non nuls p et q tels que n = pq .

D'après la question 3. c, a_p divise a_pq , soit a_p divise a_n .
Montrons que a_p different

1.
Puisque n un entier supérieur ou égal à 5, au moins un des deux nombres p ou q est strictement supérieur à 2.
Supposons alors p > 2.
La suite (a_n ) est strictement croissante à partir du rang 2.
Dès lors, p > 2

a_p > a ₂, soit a_p > 1.
Cela implique donc que a_p different

1.

En conclusion, puisque a_p divise a_n et que a_p different

1, nous avons montré que a_n n'est pas un nombre premier.

4. b) $a_{19}=4\ 181=37\times113.$

La réciproque de la propriété obtenue dans la question 4. a) s'énoncerait comme suit :
Soit n un entier supérieur ou égal à 5.
Si a_n n'est pas premier, alors n n'est pas premier.

Cette réciproque est fausse puique a ₁₉ n'est pas premier alors que 19 est premier.

Publié par malou le 10-08-2018

ceci n'est qu'un extrait
Pour visualiser la totalité des cours vous devez vous inscrire / connecter (GRATUIT)
Inscription Gratuite se connecter

Merci à / pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche

Cette fiche

Voir la correction
Imprimer
Réduire / Agrandir
Pour plus d'options, Connectez vous
Forum de maths

forum de terminale
Plus de 147 342 topics de mathématiques en terminale sur le forum.