Fiche de mathématiques
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Baccalauréat S Obligatoire et Spécialité

Amérique du Nord 2018

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Bac S Spécialité Amérique du Nord 2018

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6 points

exercice 1 : Commun à tous les candidats

Partie A - Démonstration préliminaire

1.   La fonction G  est dérivable sur l'intervalle [0 ; +infini[.
Pour vérifier que G  est une primitive de g  sur l'intervalle [0 ; +infini[, montrons que G' = g .

G'(t)=[(-t-5)\text{e}^{-0,2t}]'\\\\\phantom{G'(t)}=(-t-5)'\times \text{e}^{-0,2t}+(-t-5)\times(\text{e}^{-0,2t})' \\\\\phantom{G'(t)}=(-1)\times \text{e}^{-0,2t}+(-t-5)\times(-0,2\ \text{e}^{-0,2t}) \\\\\phantom{G'(t)}=-\text{e}^{-0,2t}+0,2t\ \text{e}^{-0,2t}+\text{e}^{-0,2t}\\\\\phantom{G'(t)}=0,2t\ \text{e}^{-0,2t}\\\\\phantom{G'(t)}=g(t)\\\\\Longrightarrow\boxed{G'(t)=g(t)\ \ \ \text{où }t\in[0;+\infty[}

Nous avons ainsi montré que G  est une primitive de g  sur l'intervalle [0 ; +infini[.

{\red{\text{2. }}}\text{E}(X)=\lim\limits_{x\to+\infty}\int\limits_0^x0,2t\ \text{e}^{-0,2t}\,dt=\lim\limits_{x\to+\infty}\int\limits_0^xg(t)\,dt \\\\\phantom{{\red{\text{2. }}}\text{E}(X)}=\lim\limits_{x\to+\infty}[G(t)]\limits_0^x=\lim\limits_{x\to+\infty}[(-t-5)\text{e}^{-0,2t}]\limits_0^x \\\\\phantom{{\red{\text{2. }}}\text{E}(X)}=\lim\limits_{x\to+\infty}[(-x-5)\text{e}^{-0,2x}-(0-5)\text{e}^{-0,2\times0}] \\\\\phantom{{\red{\text{2. }}}\text{E}(X)}=\lim\limits_{x\to+\infty}(-x)\text{e}^{-0,2x}-\lim\limits_{x\to+\infty}5\text{e}^{-0,2x}+5\text{e}^{0} \\\\\phantom{{\red{\text{2. }}}\text{E}(X)}=-\lim\limits_{x\to+\infty}x\ \text{e}^{-0,2x}-5\lim\limits_{x\to+\infty}\text{e}^{-0,2x}+5\times1 \\\\\phantom{{\red{\text{2. }}}\text{E}(X)}=0-0+5 \\\phantom{{\red{\text{2. }}}\text{E}(X)}=5\\\\\Longrightarrow\boxed{\text{E}(X)=5}

Partie B - Etude de la durée de présence d'un client dans le supermarché


{\red{\text{1. }}}P(T<10)=0,067\Longleftrightarrow P(T-40<10-40)=0,067 \\\\\phantom{{\red{\text{1. }}}P(T<10)=0,067}\Longleftrightarrow P(T-40<-30)=0,067 \\\\\phantom{{\red{\text{1. }}}P(T<10)=0,067}\Longleftrightarrow P(\dfrac{T-40}{\sigma}<\dfrac{-30}{\sigma})=0,067

Soit la variable aléatoire Y  définie par  Y=\dfrac{T-40}{\sigma}

Y  suit la loi normale centrée réduite.

Par la calculatrice, nous obtenons :   P(Y<\dfrac{-30}{\sigma})=0,067\Longrightarrow\dfrac{-30}{\sigma}\approx-1,4985131

\sigma\approx\dfrac{-30}{-1,4985131}\Longrightarrow\sigma\approx20,01984501\ \text{min}\\\phantom{\sigma\approx\dfrac{-30}{-1,4985131}}\Longrightarrow\sigma\approx20\ \text{min}+0,01984501\ \text{min}\\\phantom{\sigma\approx\dfrac{-30}{-1,4985131}}\Longrightarrow\sigma\approx20\ \text{min}+0,01984501\times60\ \text{s} \\\phantom{\sigma\approx\dfrac{-30}{-1,4985131}}\Longrightarrow\sigma\approx20\ \text{min}+1,19\ \text{s}.

Par conséquent, une valeur approchée de sigma à la seconde près est  \boxed{\sigma\approx20\ \text{min}\ 1\ \text{s}}

2.   Nous devons déterminer P(T>60).

La variable aléatoire T  suit la loi normale d'espérance mu = 40.

\text{D'où }\ P(T\ge40)=0,5\\\phantom{\text{D'où  }\ }P(40\le T\le60)+P(T>60)=0,5\\\phantom{\text{D'où  }\ }P(T>60)=0,5-P(40\le T\le60)\\\phantom{\text{D'où  }\ }P(T>60)\approx0,5-0,341345\\\phantom{\text{D'où  }\ }P(T>60)\approx0,158655

D'où la proportion de clients qui passent plus d'une heure dans le supermarché est environ égale à 15,9 %.

Partie C - Durée d'attente pour le paiement

1. a)   Dans la partie A, nous avons montré que l'espérance mathématique d'une variable aléatoire X  qui suit la loi exponentielle de paramètre 0,2 est E (X ) = 5.

Puisque la durée d'attente à une borne automatique est modélisée par une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre 0,2, nous en déduisons que la durée moyenne d'attente d'un client à une borne automatique de paiement est de 5 min.

1. b)   Soit X  la variable aléatoire exprimant le temps d'attente, exprimé en minutes, d'un client à une borne automatique de paiement.

Nous devons déterminer P(X  > 10).

P(X>10)=1-P(X\le10)\\\phantom{P(X>10)}=1-(1-e^{-10\lambda})\\\phantom{P(X>10)}=1-1+e^{-10\lambda}\\\phantom{P(X>10)}=e^{-10\lambda}\\\phantom{P(X>10)}=e^{-10\times0,2}\\\phantom{P(X>10)}=e^{-2}\\\\\Longrightarrow\boxed{P(X>10)=e^{-2}\approx0,135}

Par conséquent, la probabilité, arrondie à 10-3 , que la durée d'attente d'un client à une borne automatique de paiement soit supérieure à 10 minutes est égale à 0,135.

2.   Soit p  la proportion de clients choisissant une borne automatique de paiement.

L'arbre pondéré représentant la situation à ce stade de l'exercice est le suivant :

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Nous devons déterminer p tel que P (S ) > 0,75.

En utilisant la formule des probabilités totales, nous avons :

P(S)>0,75\Longleftrightarrow P(B\cap S)+P(\overline{B}\cap S)>0,75\\\\\phantom{P(S)>0,75}\Longleftrightarrow P(B)\times P_{B}(S)+P(\overline{B})\times P_{\overline{B}}(S)>0,75\\\\\phantom{P(S)>0,75}\Longleftrightarrow p\times0,86+(1-p)\times0,63>0,75\\\\\phantom{P(S)>0,75}\Longleftrightarrow 0,86p+0,63-0,63p>0,75\\\\\phantom{P(S)>0,75}\Longleftrightarrow 0,23p>0,75-0,63\\\\\phantom{P(S)>0,75}\Longleftrightarrow 0,23p>0,12\\\\\phantom{P(S)>0,75}\Longleftrightarrow p>\dfrac{0,12}{0,23}\\\\\phantom{P(S)>0,75}\Longleftrightarrow\boxed{p>\dfrac{12}{23}}

D'où la proportion minimale de clients qui doivent choisir une borne automatique de paiement pour que cet objectif soit atteint est  \dfrac{12}{23}\approx52,2\%


Partie D - Bons d'achat

1.   Le montant des achats est de 158,02 euros. Le client obtient alors 15 cartes.
Le stock est suffisamment grand pour assimiler la distribution d'une carte à un tirage avec remise.
Dès lors, distribuer 15 cartes revient à effectuer une répétition de 15 distributions indépendantes d'une carte.

Soit G  la variable aléatoire déterminant le nombre de cartes gagnantes.

Chaque distribution d'une carte ne comprend que deux issues possibles :
 le "succès" : la carte est gagnante avec une probabilité de 0,005
 l'"échec" : la carte n'est pas gagnante avec une probabilité de 1 - 0,005 = 0,995.

Nous devons déterminer P (G  supegal 1).

P(G\ge1)=1-P(G=0) \\\\\phantom{P(G\ge1)}=1-\begin{pmatrix}15\\ 0\end{pmatrix}\times0,005^0\times0,995^{15} \\\\\phantom{P(G\ge1)}=1-1\times1\times0,995^{15} \\\phantom{P(G\ge1)}\approx1-0,93\\\phantom{P(G\ge1)}\approx0,07

Par conséquent, la probabilité, arrondie à 10-2 , que le client obtienne au moins une carte gagnante est égale à 0,07.

2.   Soit n  le nombre de cartes distribuées.
En appliquant un raisonnement analogue à l'exercice 1, nous obtenons :

P(G\ge1)>0,50\Longleftrightarrow1-P(G=0)>0,50 \\\\\phantom{P(G\ge1)>0,50}\Longleftrightarrow1-\begin{pmatrix}n\\ 0\end{pmatrix}\times0,005^0\times0,995^{n}>0,50 \\\\\phantom{P(G\ge1)>0,50}\Longleftrightarrow1-0,995^{n}>0,50 \\\phantom{P(G\ge1)>0,50}\Longleftrightarrow1-0,50>0,995^{n} \\\phantom{P(G\ge1)>0,50}\Longleftrightarrow 0,995^{n}<0,50 \\\phantom{P(G\ge1)>0,50}\Longleftrightarrow \ln(0,995^{n})<\ln(0,50) \\\phantom{P(G\ge1)>0,50}\Longleftrightarrow n\times\ln(0,995)<\ln(0,50) \\\\\phantom{P(G\ge1)>0,50}\Longleftrightarrow n>\dfrac{\ln(0,50)}{\ln(0,995)} \\\\\phantom{P(G\ge1)>0,50}\Longrightarrow n>138,28

Puisque n  est un nombre entier, nous obtenons n  supegal 139, ce qui correspond à un montant minimal d'achats de 1390 $\text{\EUR{}}$.

4 points

exercice 2 : Commun à tous les candidats

1.   La fonction f  est dérivable sur l'intervalle [0 ; 1[.
Il est admis par l'énoncé que la fonction f  possède un maximum sur l'intervalle [0; 1[.

La valeur x 0  en laquelle ce maximum est atteint est une solution de l'équation f' (x ) = 0.

f'(x)=0\Longleftrightarrow\dfrac{-bx+b-2}{1-x}=0 \\\\\phantom{f'(x)=0}\Longleftrightarrow -bx+b-2=0 \\\\\phantom{f'(x)=0}\Longleftrightarrow bx=b-2 \\\\\phantom{f'(x)=0}\Longleftrightarrow x=\dfrac{b-2}{b}\ \ \ \ \text{(N. B.: }b\neq0\ \text{car }b\ge2) \\\\\phantom{f'(x)=0}\Longleftrightarrow x=1-\dfrac{2}{b}

D'où le maximum de f  est atteint en  x_0=1-\dfrac{2}{b}.
La valeur de ce maximum est f (x 0).

f(x_0)=bx_0+2\ln(1-x_0) \\\phantom{f(x_0)}=b(1-\dfrac{2}{b})+2\ln\left(1-(1-\dfrac{2}{b})\right) \\\phantom{f(x_0)}=b-b\times\dfrac{2}{b}+2\ln\left(1-1+\dfrac{2}{b}\right) \\\phantom{f(x_0)}=b-2+2\ln\left(\dfrac{2}{b}\right)\\\\\Longrightarrow\boxed{f(x_0)=b-2+2\ln\left(\dfrac{2}{b}\right)}

Par conséquent, le maximum de la fonction f est égal à  b-2+2\ln\left(\dfrac{2}{b}\right).

2.   Résolvons graphiquement l'inéquation  b-2+2\ln\left(\dfrac{2}{b}\right)\le1,6.

Soit la fonction g  définie sur l'intervalle [2 ; +infini[ par  g(b)=b-2+2\ln\left(\dfrac{2}{b}\right).

g'(b)=\left[b-2+2\ln\left(\dfrac{2}{b}\right)\right]'\\\\\phantom{g'(b)}=(b-2+2\ln2-2\ln b)' \\\\\phantom{g'(b)}=1-0+0-\dfrac{2}{b} \\\\\Longrightarrow\boxed{g'(b)=1-\dfrac{2}{b}}\\\\\text{Or }\ b\in[2;+\infty[\ \Longrightarrow b>2\\\\\phantom{\text{Or }\ b\in[2;+\infty[}\Longrightarrow \dfrac{2}{b}<1 \\\\\phantom{\text{Or }\ b\in[2;+\infty[}\Longrightarrow 1-\dfrac{2}{b}>0 \\\\\phantom{\text{Or }\ b\in[2;+\infty[}\Longrightarrow \boxed{g'(b)>0}

La fonction g  est donc strictement croissante sur l'intervalle [2 ; +infini[ et en particulier sur l'intervalle [2 ; 10].
Cette fonction g  est également continue sur l'intervalle [2 ; 10] car dérivable sur l'intervalle [2 ; +infini[.

\left\lbrace\begin{matrix}g(2)=2-2+2\ln(1)\\\\g(10)=10-2+2\ln\left(\dfrac{2}{10}\right)\end{matrix}\right.\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}g(2)=0\\\\g(10)\approx4,78\end{matrix}\right.\Longrightarrow\boxed{1,6\in[\ g(2)\ ;\ g(10)\ ]}

Par le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, nous déduisons que l'équation g (b ) = 1,6 admet une solution unique alpha sur l'intervalle [2 ; 10].
Puisque la fonction g  est strictement croissante sur l'intervalle [2 ; +infini[, cette équation g (b ) = 1,6 n'admettra pas d'autre solution que alpha .

Le tableur de la calculatrice nous donne les conclusions suivantes :

\left\lbrace\begin{matrix}g(5,69)\approx1,5989<1,6\\\\g(5,70)\approx1,6054>1,6\end{matrix}\right.\Longrightarrow\boxed{5,69<\alpha<5,70}

Puisque la fonction g  est strictement croissante, la hauteur maximale du projectile ne dépasse pas 1,6 mètre
si b appartient [2 ; alpha], soit en arrondissant au centième, b appartient [2 ; 5,69].


3.   Le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse 0 est donné par f' (0).

f'(x)=\dfrac{-bx+b-2}{1-x}\ \ \ \text{où }\ b=5,69\\\\\Longrightarrow f'(x)=\dfrac{-5,69x+3,69}{1-x}\\\\\Longrightarrow f'(0)=\dfrac{0+3,69}{1-0}\\\\\Longrightarrow f'(0)=3,69

Or le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse 0 est également égal à  \tan\theta.

\text{D'où }\ \tan\theta=3,69\Longrightarrow\theta=\arctan3,69\\\\\phantom{\text{D'où }\ \tan\theta=3,69}\Longrightarrow\boxed{\theta\approx74,8^\text{o}}

5 points

exercice 3 : Commun à tous les candidats

1.   Soit A (0 ; 0; 0), B (10 ; -8 ; 2), C (-1 ; -8 ; 5), D (14 ; 4 ; 8).

1. a)   La droite (AB ) passe par le point A (0 ; 0; 0) et un vecteur directeur de cette droite (AB ) est le vecteur  \overrightarrow{AB}  ou un de ses multiples.

\left\lbrace\begin{matrix}A(0;0;0)\\ B(10;-8;2)\end{matrix}\right.\Longrightarrow\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}10-0\\-8-0\\2-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}10\\-8\\2\end{pmatrix}\Longrightarrow\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}5\\-4\\1\end{pmatrix}

Une représentation paramétrique de la droite (AB ) est donnée par :

(AB):\left\lbrace\begin{matrix}x=x_A+x_{\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}}\times r\\ y=y_A+y_{\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}}\times r\\ z=z_A+z_{\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}}\times r\end{matrix}\right.\Longrightarrow(AB):\left\lbrace\begin{matrix}x=0+5\times r\\ y=0-4\times r\\ z=0+1\times r\end{matrix}\right.\Longrightarrow\boxed{(AB):\left\lbrace\begin{matrix}x=5r\\ y=-4r\\ z=r\end{matrix}\right.\ \ \ (r\in\mathbb{R})}

La droite (CD ) passe par le point C (-1 ; -8; 5) et un vecteur directeur de cette droite (CD ) est le vecteur  \overrightarrow{CD}  ou un de ses multiples.

\left\lbrace\begin{matrix}C(-1;-8;5)\\ D(14;4;8)\end{matrix}\right.\Longrightarrow\overrightarrow{CD}\begin{pmatrix}14+1\\4+8\\8-5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}15\\12\\3\end{pmatrix}\Longrightarrow\dfrac{1}{3}\overrightarrow{CD}\begin{pmatrix}5\\4\\1\end{pmatrix}

Une représentation paramétrique de la droite (CD ) est donnée par :

(CD):\left\lbrace\begin{matrix}x=x_C+x_{\frac{1}{3}\overrightarrow{CD}}\times s\\ y=y_C+y_{\frac{1}{3}\overrightarrow{CD}}\times s\\ z=z_C+z_{\frac{1}{3}\overrightarrow{CD}}\times s\end{matrix}\right.\Longrightarrow(CD):\left\lbrace\begin{matrix}x=-1+5\times s\\ y=-8+4\times s\\ z=5+1\times s\end{matrix}\right.\Longrightarrow\boxed{(CD):\left\lbrace\begin{matrix}x=-1+5s\\ y=-8+4s\\ z=5+s\end{matrix}\right.\ \ \ (s\in\mathbb{R})}

1. b)   Les droites (AB ) et (CD ) ne sont pas parallèles.
En effet les vecteurs directeurs choisis pour ces deux droites sont  \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}5\\-4\\1\end{pmatrix}  et  \dfrac{1}{3}\overrightarrow{CD}\begin{pmatrix}5\\4\\1\end{pmatrix} qui ne sont manifestement pas colinéaires.

Montrons ensuite que ces droites (AB ) et (CD ) ne sont pas sécantes en montrant que le système composé par leurs équations n'admet pas de solution.

\left\lbrace\begin{matrix}x=5r\ \ \ \ \ \ \ \\ y=-4r\ \ \ \ \ \ \\ z=r\ \ \ \ \ \ \ \ \ \\x=-1+5s\\ y=-8+4s\\ z=5+s\ \ \ \end{matrix}\right.\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}x=5r\ \ \ \ \ \ \ \\ y=-4r\ \ \ \ \ \ \\ z=r\ \ \ \ \ \ \ \ \ \\5r=-1+5s\\ -4r=-8+4s\\ r=5+s\ \ \ \end{matrix}\right.\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}x=5r\ \ \ \ \ \ \ \\ y=-4r\ \ \ \ \ \ \\ z=r\ \ \ \ \ \ \ \ \ \\5r-5s=-1\\ -4r-4s=-8\\ r-s=5\ \ \ \end{matrix}\right.\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}x=5r\ \ \ \ \ \ \ \\ y=-4r\ \ \ \ \ \ \\ z=r\ \ \ \ \ \ \ \ \ \\5(r-s)=-1\\ -4r-4s=-8\\ r-s=5\ \ \ \end{matrix}\right.\\\\\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}x=5r\ \ \ \ \ \ \ \\ y=-4r\ \ \ \ \ \ \\ z=r\ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ {\red{r-s=-\dfrac{1}{5}\ \ \ \ (1)}}\\ -4r-4s=-8\\ {\red{r-s=5\ \ \ \ (2)}} \end{matrix}\right.

Les équations (1) et (2) étant incompatibles, le système n'admet pas de solution.
D'où les droites (AB ) et (CD ) ne sont pas sécantes.

Puisque ces droites ne sont ni parallèles, ni sécantes, nous en déduisons que ces droites (AB ) et (CD ) ne sont pas coplanaires.

{\red{\text{2.a)  }}}(AB):\left\lbrace\begin{matrix}x=5r\\ y=-4r\\ z=r\end{matrix}\right.\ \ \ (r\in\mathbb{R})\\\\I(5;y_I;z_I)\in(AB)\Longrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}5=5r\\ y_I=-4r\\ z_I=r\end{matrix}\right. \Longrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}r=1\\ y_I=-4r\\ z_I=r\end{matrix}\right. \Longrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}r=1\\ y_I=-4\\ z_I=1\end{matrix}\right.

Les coordonnées du point I  sont  \boxed{I(5;-4;1)}

(CD):\left\lbrace\begin{matrix}x=-1+5s\\ y=-8+4s\\ z=5+s\end{matrix}\right.\ \ \ (s\in\mathbb{R})\\\\J(4;y_J;z_J)\in(CD)\Longrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}4=-1+5s\\y_J=-8+4s\\z_J=5+s\end{matrix}\right. \Longrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}5s=5\\y_J=-8+4s\\z_J=5+s\end{matrix}\right. \Longrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}s=1\\y_J=-8+4\times1\\z_J=5+1\end{matrix}\right. \Longrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}s=1\\y_J=-4\\z_J=6\end{matrix}\right.

Les coordonnées du point J  sont  \boxed{J(4;-4;6)}

Calculons la distance IJ .

IJ=\sqrt{(x_J-x_I)^2+(y_J-y_I)^2+(z_J-z_I)^2}\\\\\phantom{IJ}=\sqrt{(4-5)^2+(-4+4)^2+(6-1)^2} \\\\\phantom{IJ}=\sqrt{(-1)^2+0+5^2} \\\\\phantom{IJ}=\sqrt{1+25} \\\\\Longrightarrow\boxed{IJ=\sqrt{26}}

2. b)   \left\lbrace\begin{matrix}I(5;-4;1)\\ J(4;-4;6)\end{matrix}\right.\Longrightarrow\overrightarrow{IJ}\begin{pmatrix}4-5\\-4+4\\6-1\end{pmatrix}\Longrightarrow\overrightarrow{IJ}\begin{pmatrix}-1\\0\\5\end{pmatrix}

\left\lbrace\begin{matrix}\overrightarrow{IJ}\begin{pmatrix}-1\\0\\5\end{pmatrix}\\\\\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}10\\-8\\2\end{pmatrix}\end{matrix}\right. \Longrightarrow\ \ \ \ \begin{matrix}\overrightarrow{IJ}.\overrightarrow{AB}=(-1)\times10+0\times(-8)+5\times2\\\phantom{\Longrightarrow\ \ \ \ }  \overrightarrow{IJ}.\overrightarrow{AB}=-10+0+10\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\phantom{\Longrightarrow\ \ \ \ } \boxed{\overrightarrow{IJ}.\overrightarrow{AB}=0}\end{matrix}

Nous en déduisons que les vecteurs  \overrightarrow{IJ}  et   \overrightarrow{AB}  sont orthogonaux.
Dès lors, la droite (IJ ) est orthogonale à la droite (AB ).
Or les droites (IJ ) et (AB ) sont sécantes en I.
D'où les droites (IJ ) et (AB ) sont perpendiculaires.

De même,

\left\lbrace\begin{matrix}\overrightarrow{IJ}\begin{pmatrix}-1\\0\\5\end{pmatrix}\\\\\overrightarrow{CD}\begin{pmatrix}15\\12\\3\end{pmatrix}\end{matrix}\right. \Longrightarrow\ \ \ \ \begin{matrix}\overrightarrow{IJ}.\overrightarrow{CD}=(-1)\times15+0\times12+5\times3\\\phantom{\Longrightarrow\ \ \ \ }  \overrightarrow{IJ}.\overrightarrow{CD}=-15+0+15\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\phantom{\Longrightarrow\ \ \ \ } \boxed{\overrightarrow{IJ}.\overrightarrow{CD}=0}\end{matrix}

Nous en déduisons que les vecteurs  \overrightarrow{IJ}  et   \overrightarrow{CD}  sont orthogonaux.
Dès lors, la droite (IJ ) est orthogonale à la droite (CD ).
Or les droites (IJ ) et (CD ) sont sécantes en J.
D'où les droites (IJ ) et (CD ) sont perpendiculaires.

Par conséquent, la droite (IJ ) est perpendiculaire aux droites (AB ) et (CD ).

3. Montrons que la distance IJ  est la distance minimale entre les droites (AB ) et (CD ).

Bac S Spécialité Amérique du Nord 2018 mathématiques : image 20


3. a)   Le point I  n'appartient pas à la droite (CD ) car I  appartient à la droite (AB ) non coplanaire avec (CD ).
Le point I  et la droite (CD ) définissent alors le plan CDI .
La droite deltamaj  est incluse dans le plan CDI  car deltamaj  est parallèle à la droite (CD ) et passe par le point I .
Dans le plan CDI , la droite deltamaj  est perpendiculaire à la droite (IJ ) car elle est parallèle à la droite (CD ) qui est perpendiculaire à (IJ ).
Donc, dans ce plan CDI , la droite deltamaj  est perpendiculaire à toute parallèle à la droite (IJ ), en particulier à la parallèle passant par le point M' .

Par conséquent, la parallèle à la droite (IJ ) passant par le point M'  coupe la droite deltamaj  en un point noté P .

3. b)   Soit le plan  \Pi  déterminé par les droites (AB ) et deltamaj.
La droite (IJ ) est perpendiculaire au plan  \Pi  car (IJ ) est perpendiculaire aux deux droites sécantes (AB ) et deltamaj  incluses dans  \Pi .
La droite (IJ ) est parallèle à la droite (M'P ).
Or si deux droites sont parallèles, tout plan perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre.
Donc la droite (M'P) est perpendiculaire au plan  \Pi  et en particulier à la droite (PM ) incluse dans  \Pi .
Par conséquent, le triangle MPM'  est rectangle en P .

3. c)   MM'  > M'P  car dans le triangle MPM'  rectangle en P , l'hypoténuse [MM' ] est le plus grand des côtés.
Or IJ = M'P  car le quadrilatère IJM'P  est un parallélogramme.
Nous en déduisons que MM'  > IJ .

Conclusion : la distance IJ  est la distance minimale entre les droites (AB ) et (CD ).

5 points

exercice 4 : Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Partie A - Un modèle simple

1. a)   \text{Si }\ U_n=\begin{pmatrix}u_n\\ v_n\end{pmatrix}\text{, alors}\ U_{n+1}=\begin{pmatrix}u_{n+1}\\ v_{n+1}\end{pmatrix}

\left\lbrace\begin{matrix}u_{n+1}=1,1u_n-2000v_n\\ v_{n+1}=2\times10^{-5}u_n+0,6v_n\end{matrix}\right.\ \Longleftrightarrow\ \begin{pmatrix}u_{n+1}\\ v_{n+1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1,1 &-2000 \\ 2\times10^{-5} & 0,6\end{pmatrix}\begin{pmatrix}u_n \\v_n\end{pmatrix} \\\\\phantom{\left\lbrace\begin{matrix}u_{n+1}=1,1u_n-2000v_n\\ v_{n+1}=2\times10^{-5}u_n+0,6v_n\end{matrix}\right.\ }\Longleftrightarrow\ U_{n+1}=\begin{pmatrix}1,1 &-2000 \\ 2\times10^{-5} & 0,6\end{pmatrix}\times U_n\\\\\\\text{D'où }\ \boxed{A=\begin{pmatrix}1,1 &-2000 \\ 2\times10^{-5} & 0,6\end{pmatrix}}\ \text{ et }\ \boxed{U_0=\begin{pmatrix}u_0 \\v_0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\ 000\ 000\\120\end{pmatrix}}

1. b)   2018 = 2012 + 6.

Nous devons donc déterminer la matrice  U_6

U_6=A^6\times U_0\\\\\text{Or }\ A=\begin{pmatrix}1,1 &-2000 \\ 2\times10^{-5} & 0,6\end{pmatrix}\Longrightarrow A^6\approx\begin{pmatrix}1,294117 &-5882,34 \\5,88234 2\times10^{-5} & -0,1766468\end{pmatrix}\\\\\text{D'où }\ U_6\approx\begin{pmatrix}1,294117 &-5882,34 \\5,88234 2\times10^{-5} & -0,1766468\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}2\ 000\ 000\\120\end{pmatrix} \\\\\Longrightarrow\boxed{U_6\approx\begin{pmatrix}1882353,2 \\96,47064\end{pmatrix}}

Par conséquent, en arrondissant les valeurs à l'entier, au 1er juillet 2018, il y a 1 882 353 campagnols et
96 renards.


2. a)   Montrons par récurrence que pour tout entier naturel n ,  U_n=P\times D^n\times P^{-1}\times U_0.

Initialisation : Montrons que la propriété est vraie pour n  = 0.

Nous savons que D 0 = I 2 , la matrice unité d'ordre 2.

P\times D^0\times P^{-1}\times U_0=P\times I_2\times P^{-1}\times U_0\\\phantom{P\times D^0\times P^{-1}\times U_0}=(P\times I_2)\times P^{-1}\times U_0 \\\phantom{P\times D^0\times P^{-1}\times U_0}=P\times P^{-1}\times U_0 \\\phantom{P\times D^0\times P^{-1}\times U_0}=I_2\times U_0 \\\phantom{P\times D^0\times P^{-1}\times U_0}=U_0\\\\\Longrightarrow\boxed{U_0=P\times D^0\times P^{-1}\times U_0}

La propriété est donc démontrée pour n  = 0.

Hérédité : Supposons que pour un entier naturel n  fixé la propriété soit vraie au rang n  et montrons qu'elle est encore vraie au rang n  + 1.

Supposons donc que pour un entier naturel n  fixé,  U_n=P\times D^n\times P^{-1}\times U_0.
Montrons que nous avons alors  U_{n+1}=P\times D^{n+1}\times P^{-1}\times U_0.

En effet, nous savons par l'énoncé que  A=P\times D\times P^{-1}.

Dès lors,

U_{n+1}=A\times U_n\\\phantom{U_{n+1}}=(P\times D\times P^{-1})\times (P\times D^n\times P^{-1}\times U_0) \\\phantom{U_{n+1}}=P\times D\times(P^{-1}\times P)\times D^n\times P^{-1}\times U_0 \\\phantom{U_{n+1}}=P\times D\times I_2\times D^n\times P^{-1}\times U_0 \\\phantom{U_{n+1}}=P\times D\times D^n\times P^{-1}\times U_0 \\\phantom{U_{n+1}}=P\times D^{n+1}\times P^{-1}\times U_0\\\\\Longrightarrow\boxed{U_{n+1}=P\times D^{n+1}\times P^{-1}\times U_0}

L'hérédité est donc démontrée.

Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, nous avons démontré par récurrence que pour tout entier naturel n ,  U_n=P\times D^n\times P^{-1}\times U_0.

2. b)   La matrice  D=\begin{pmatrix}1&0\\0 &0,7\end{pmatrix}  est diagonale.

Donc  D^n=\begin{pmatrix}1^n&0\\0 &0,7^n\end{pmatrix}\Longrightarrow\boxed{D^n=\begin{pmatrix}1&0\\0 &0,7^n\end{pmatrix}}

2. c)   Nous savons que  \lim\limits_{n\to+\infty}0,7^n=0  car 0 < 0,7 < 1.

\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{2,8\times10^7+2\times10^6\times0,7^n}{15}\\\\\phantom{\lim\limits_{n\to+\infty}u_n}=\dfrac{1}{15}\lim\limits_{n\to+\infty}(2,8\times10^7+2\times10^6\times0,7^n) \\\\\phantom{\lim\limits_{n\to+\infty}u_n}=\dfrac{1}{15}(2,8\times10^7+2\times10^6\times\lim\limits_{n\to+\infty}0,7^n) \\\\\phantom{\lim\limits_{n\to+\infty}u_n}=\dfrac{1}{15}(2,8\times10^7+0) \\\\\phantom{\lim\limits_{n\to+\infty}u_n}=\dfrac{1}{15}\times2,8\times10^7\approx1\ 866\ 667\\\\\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}u_n\approx1\ 866\ 667}

\lim\limits_{n\to+\infty}v_n=\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{1400+400\times0,7^n}{15}\\\\\phantom{\lim\limits_{n\to+\infty}u_n}=\dfrac{1}{15}\lim\limits_{n\to+\infty}(1400+400\times0,7^n) \\\\\phantom{\lim\limits_{n\to+\infty}u_n}=\dfrac{1}{15}(1400+400\times\lim\limits_{n\to+\infty}0,7^n) \\\\\phantom{\lim\limits_{n\to+\infty}u_n}=\dfrac{1}{15}(1400+0) \\\\\phantom{\lim\limits_{n\to+\infty}u_n}=\dfrac{1}{15}\times1400\approx93\\\\\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}v_n\approx93}

Par conséquent, à long terme, les populations se stabiliseront et tendront vers 1 866 667 campagnols et
93 renards.


Partie B - Un modèle plus conforme à la réalité

1.   Dans la cellule B4, la formule à écrire et à recopier est :  \boxed{= 1,1\times B3-0,001\times B3\times C3}

Dans la cellule C4, la formule à écrire et à recopier est :  \boxed{= 2\times10^{-7}\times B3\times C3+0,6\times C3}

2.   Si n  = 9, soit à partir de 2021, le nombre de renards baisse alors que le nombre de campagnols augmente.

Partie C

Les deux populations restent stables si et seulement si pour tout entier naturel n  nous avons  \left\lbrace\begin{matrix}u_{n+1}=u_n\\v_{n+1}=v_n\end{matrix}\right.

Posons  \left\lbrace\begin{matrix}u=u_{n+1}=u_n\\v=v_{n+1}=v_n\end{matrix}\right.  et résolvons le système  \left\lbrace\begin{matrix}u=1,1u-0,001u\times v\\v=2\times10^{-7}u\times v+0,6v\end{matrix}\right.

\left\lbrace\begin{matrix}u=1,1u-0,001u\times v\\v=2\times10^{-7}u\times v+0,6v\end{matrix}\right.\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}1,1u-u-0,001u\times v=0\\v-0,6v-2\times10^{-7}u\times v=0\end{matrix}\right.\\\\\phantom{\left\lbrace\begin{matrix}u=1,1u-0,001u\times v\\v=2\times10^{-7}u\times v+0,6v\end{matrix}\right.}\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}0,1u-0,001u\times v=0\\0,4v-2\times10^{-7}u\times v=0\end{matrix}\right. \\\\\phantom{\left\lbrace\begin{matrix}u=1,1u-0,001u\times v\\v=2\times10^{-7}u\times v+0,6v\end{matrix}\right.}\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}0,001u(100-v)=0\\4v-2\times10^{-6}u\times v=0\end{matrix}\right. \\\\\phantom{\left\lbrace\begin{matrix}u=1,1u-0,001u\times v\\v=2\times10^{-7}u\times v+0,6v\end{matrix}\right.}\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}0,001u(100-v)=0\\2v(2-10^{-6}u)=0\end{matrix}\right.

Nous supposons que les races sont présentes à l'état initial soit que u  different 0 et v  different 0

En divisant la première équation par 0,001u different 0 et la seconde par 2v different 0, nous obtenons :

\left\lbrace\begin{matrix}100-v=0\\2-10^{-6}u=0\end{matrix}\right.\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}v=100\\10^{-6}u=2\end{matrix}\right. \\\\\phantom{\left\lbrace\begin{matrix}100-v=0\\2-10^{-6}u=0\end{matrix}\right.}\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}v=100\\\dfrac{u}{10^6}=2\end{matrix}\right. \\\\\phantom{\left\lbrace\begin{matrix}100-v=0\\2-10^{-6}u=0\end{matrix}\right.}\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}v=100\\u=2\times10^6\end{matrix}\right. \\\\\phantom{\left\lbrace\begin{matrix}100-v=0\\2-10^{-6}u=0\end{matrix}\right.}\Longleftrightarrow\boxed{\left\lbrace\begin{matrix}v=100\\u=2\ 000\ 000\end{matrix}\right.}

Puisque pour tout entier naturel n  nous avons  \left\lbrace\begin{matrix}u_{n+1}=u_n\\v_{n+1}=v_n\end{matrix}\right. , nous en déduisons que  \boxed{\left\lbrace\begin{matrix}v_0=v=100\\u_0=u=2\ 000\ 000\end{matrix}\right.}

Par conséquent, les deux populations restent stables si au 1er juillet 2012, il y a 100 renards et
2 000 000 campagnols.


5 points

exercice 4 : Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Partie A - Modélisation à l'aide d'une suite

1.   Construction des points M 2 et M 3.

Bac S Spécialité Amérique du Nord 2018 mathématiques : image 19


2.   d_0=M_0S_0\Longrightarrow\boxed{d_0=5\ \text{m}}

d_1=M_1S_1=\sqrt{4^2+1^2}=\sqrt{16+1}\Longrightarrow\boxed{d_1=\sqrt{17}\ \text{m}}

3.   Les vecteurs  \overrightarrow{M_1M_2}  et  \overrightarrow{M_1S_1}  sont colinéaires de même sens.

D'où  \overrightarrow{M_1S_1}=k\,\overrightarrow{M_1M_2}\ \ \ (k\in\mathbb{R}_+)

Or  M_1S_1=\sqrt{17}\ \ \text{et }\ \ M_1M_2=1

Nous en déduisons que  \overrightarrow{M_1S_1}=\sqrt{17}\,\overrightarrow{M_1M_2} , soit que  \overrightarrow{M_1M_2}=\dfrac{1}{\sqrt{17}}\overrightarrow{M_1S_1}

\overrightarrow{M_1M_2}=\dfrac{1}{\sqrt{17}}\overrightarrow{M_1S_1}\Longrightarrow(x_{M_2}-x_{M_1};y_{M_2}-y_{M_1})=\dfrac{1}{\sqrt{17}}(x_{S_1}-x_{M_1};y_{S_1}-y_{M_1}) \\\\\phantom{\overrightarrow{M_1M_2}=\dfrac{1}{\sqrt{17}}\overrightarrow{M_1S_1}}\Longrightarrow(x_{M_2}-1;y_{M_2}-0)=\dfrac{1}{\sqrt{17}}(5-1;1-0) \\\\\phantom{\overrightarrow{M_1M_2}=\dfrac{1}{\sqrt{17}}\overrightarrow{M_1S_1}}\Longrightarrow(x_{M_2}-1;y_{M_2})=\dfrac{1}{\sqrt{17}}(4;1) \\\\\phantom{\overrightarrow{M_1M_2}=\dfrac{1}{\sqrt{17}}\overrightarrow{M_1S_1}}\Longrightarrow(x_{M_2}-1;y_{M_2})=(\dfrac{4}{\sqrt{17}};\dfrac{1}{\sqrt{17}}) \\\\\phantom{\overrightarrow{M_1M_2}=\dfrac{1}{\sqrt{17}}\overrightarrow{M_1S_1}}\Longrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}x_{M_2}-1=\dfrac{4}{\sqrt{17}}\\\\y_{M_2}=\dfrac{1}{\sqrt{17}}\end{matrix}\right.\Longrightarrow\boxed{\left\lbrace\begin{matrix}x_{M_2}=1+\dfrac{4}{\sqrt{17}}\\\\y_{M_2}=\dfrac{1}{\sqrt{17}}\end{matrix}\right.}

Par conséquent, le point M 2  a pour coordonnées  (1+\dfrac{4}{\sqrt{17}}\ ;\ \dfrac{1}{\sqrt{17}})

4. a)   Dans la cellule C5, la formule à écrire et à recopier est :  \boxed{= C4+(A4-C4)/F4}

Dans la cellule F5, la formule à écrire et à recopier est :  \boxed{=\text{RACINE}((5-B5)\hat{~}2+(E5-C5)\hat{~}2)}

4. b)   La suite (dn ) est strictement décroissante et minorée par 0 (puisque une distance est positive).
Donc cette suite (dn ) est convergente et semble converger vers 2,7731658 (selon les valeurs du tableau).

Partie B - Modélisation à l'aide d'une fonction

1. a)   Construction du point S.

Bac S Spécialité Amérique du Nord 2018 mathématiques : image 18


Par lecture graphique, les coordonnées du point S  seraient (5 ; 3,3).

1. b)  Calcul de l'ordonnée du point S .

Une équation de la tangente (T ) à  \mathscr{F}  au point d'abscisse 3 est  y=f'(3)(x-3)+f(3).

Or

f(x)=-2,5\ln(1-0,2x)-0,5x+0,05x^2\Longrightarrow f(3)=-2,5\ln(1-0,2\times3)-0,5\times3+0,05\times3^2\\\phantom{f(x)=-2,5\ln(1-0,2x)-0,5x+0,05x^2}\Longrightarrow f(3)=-2,5\ln(1-0,6)-1,5+0,05\times9 \\\phantom{f(x)=-2,5\ln(1-0,2x)-0,5x+0,05x^2}\Longrightarrow\boxed{f(3)=-2,5\ln(0,4)-1,05} \\\\f'(x)=\dfrac{x(1-0,1x)}{5-x}\Longrightarrow f'(3)=\dfrac{3(1-0,1\times3)}{5-3} \\\\\phantom{f'(x)=\dfrac{x(1-0,1x)}{5-x}}\Longrightarrow f'(3)=\dfrac{3\times0,7}{2} \\\phantom{f'(x)=\dfrac{x(1-0,1x)}{5-x}}\Longrightarrow\boxed{f'(3)=1,05}

\text{D'où }\ (T):y=1,05(x-3)-2,5\ln(0,4)-1,05\\\\\phantom{\text{D'où }\ }(T):y=1,05x-3,15-2,5\ln(0,4)-1,05\\\\\phantom{\text{D'où }\ }\boxed{(T):y=1,05x-2,5\ln(0,4)-4,2}

Le point S est le point de la tangente (T ) dont l'abscisse vaut 5.

Remplaçons x  par 5 dans l'équation de (T ) et calculons la valeur de y .

y=1,05\times5-2,5\ln(0,4)-4,2\\y=5,25-2,5\ln(0,4)-4,2\\y=1,05-2,5\ln(0,4)

Par conséquent, l'ordonnée du point S  est  \boxed{y_S=1,05-2,5\ln(0,4)\approx3,34\ \ \text{(arrondi au centième près)}}

{\red{\text{2. }}}\lim\limits_{x\to5}d(x)=\lim\limits_{x\to5}(0,1x^2-x+5)\\\\\phantom{{\red{\text{2. }}}\lim\limits_{x\to5}d(x)}=0,1\times5^2-5+5 \\\phantom{{\red{\text{2. }}}\lim\limits_{x\to5}d(x)}=2,5

Donc, au cours du temps, la distance MS  se rapprochera de 2,5 m.
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