1. La fonction G est dérivable sur l'intervalle [0 ; +[.
Pour vérifier que G est une primitive de g sur l'intervalle [0 ; +[, montrons que G' = g .
Nous avons ainsi montré que G est une primitive de g sur l'intervalle [0 ; +[.
Partie B - Etude de la durée de présence d'un client dans le supermarché
Soit la variable aléatoire Y définie par
Y suit la loi normale centrée réduite.
Par la calculatrice, nous obtenons :
Par conséquent, une valeur approchée de à la seconde près est
2. Nous devons déterminer
La variable aléatoire T suit la loi normale d'espérance = 40.
D'où la proportion de clients qui passent plus d'une heure dans le supermarché est environ égale à 15,9 %.
Partie C - Durée d'attente pour le paiement
1. a) Dans la partie A, nous avons montré que l'espérance mathématique d'une variable aléatoire X qui suit la loi exponentielle de paramètre 0,2 est E (X ) = 5.
Puisque la durée d'attente à une borne automatique est modélisée par une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre 0,2, nous en déduisons que la durée moyenne d'attente d'un client à une borne automatique de paiement est de 5 min.
1. b) Soit X la variable aléatoire exprimant le temps d'attente, exprimé en minutes, d'un client à une borne automatique de paiement.
Nous devons déterminer P(X > 10).
Par conséquent, la probabilité, arrondie à 10-3 , que la durée d'attente d'un client à une borne automatique de paiement soit supérieure à 10 minutes est égale à 0,135.
2. Soit p la proportion de clients choisissant une borne automatique de paiement.
L'arbre pondéré représentant la situation à ce stade de l'exercice est le suivant :
Nous devons déterminer p tel que P (S ) > 0,75.
En utilisant la formule des probabilités totales, nous avons :
D'où la proportion minimale de clients qui doivent choisir une borne automatique de paiement pour que cet objectif soit atteint est
Partie D - Bons d'achat
1. Le montant des achats est de 158,02 euros. Le client obtient alors 15 cartes.
Le stock est suffisamment grand pour assimiler la distribution d'une carte à un tirage avec remise.
Dès lors, distribuer 15 cartes revient à effectuer une répétition de 15 distributions indépendantes d'une carte.
Soit G la variable aléatoire déterminant le nombre de cartes gagnantes.
Chaque distribution d'une carte ne comprend que deux issues possibles :
le "succès" : la carte est gagnante avec une probabilité de 0,005
l'"échec" : la carte n'est pas gagnante avec une probabilité de 1 - 0,005 = 0,995.
Nous devons déterminer P (G 1).
Par conséquent, la probabilité, arrondie à 10-2 , que le client obtienne au moins une carte gagnante est égale à 0,07.
2. Soit n le nombre de cartes distribuées.
En appliquant un raisonnement analogue à l'exercice 1, nous obtenons :
Puisque n est un nombre entier, nous obtenons n 139, ce qui correspond à un montant minimal d'achats de 1390 .
4 points
exercice 2 : Commun à tous les candidats
1. La fonction f est dérivable sur l'intervalle [0 ; 1[.
Il est admis par l'énoncé que la fonction f possède un maximum sur l'intervalle [0; 1[.
La valeur x0 en laquelle ce maximum est atteint est une solution de l'équation f' (x ) = 0.
D'où le maximum de f est atteint en
La valeur de ce maximum est f (x0).
Par conséquent, le maximum de la fonction f est égal à
2. Résolvons graphiquement l'inéquation
Soit la fonction g définie sur l'intervalle [2 ; +[ par
La fonction g est donc strictement croissante sur l'intervalle [2 ; +[ et en particulier sur l'intervalle [2 ; 10].
Cette fonction g est également continue sur l'intervalle [2 ; 10] car dérivable sur l'intervalle [2 ; +[.
Par le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, nous déduisons que l'équation g (b ) = 1,6 admet une solution unique sur l'intervalle [2 ; 10].
Puisque la fonction g est strictement croissante sur l'intervalle [2 ; +[, cette équation g (b ) = 1,6 n'admettra pas d'autre solution que .
Le tableur de la calculatrice nous donne les conclusions suivantes :
Puisque la fonction g est strictement croissante, la hauteur maximale du projectile ne dépasse pas 1,6 mètre si b [2 ; ], soit en arrondissant au centième, b [2 ; 5,69].
3. Le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse 0 est donné par f' (0).
Or le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse 0 est également égal à
5 points
exercice 3 : Commun à tous les candidats
1. Soit A (0 ; 0; 0), B (10 ; -8 ; 2), C (-1 ; -8 ; 5), D (14 ; 4 ; 8).
1. a) La droite (AB ) passe par le point A (0 ; 0; 0) et un vecteur directeur de cette droite (AB ) est le vecteur ou un de ses multiples.
Une représentation paramétrique de la droite (AB ) est donnée par :
La droite (CD ) passe par le point C (-1 ; -8; 5) et un vecteur directeur de cette droite (CD ) est le vecteur ou un de ses multiples.
Une représentation paramétrique de la droite (CD ) est donnée par :
1. b) Les droites (AB ) et (CD ) ne sont pas parallèles.
En effet les vecteurs directeurs choisis pour ces deux droites sont et qui ne sont manifestement pas colinéaires.
Montrons ensuite que ces droites (AB ) et (CD ) ne sont pas sécantes en montrant que le système composé par leurs équations n'admet pas de solution.
Les équations (1) et (2) étant incompatibles, le système n'admet pas de solution.
D'où les droites (AB ) et (CD ) ne sont pas sécantes.
Puisque ces droites ne sont ni parallèles, ni sécantes, nous en déduisons que ces droites (AB ) et (CD ) ne sont pas coplanaires.
Les coordonnées du point I sont
Les coordonnées du point J sont
Calculons la distance IJ .
2. b)
Nous en déduisons que les vecteurs et sont orthogonaux.
Dès lors, la droite (IJ ) est orthogonale à la droite (AB ).
Or les droites (IJ ) et (AB ) sont sécantes en I.
D'où les droites (IJ ) et (AB ) sont perpendiculaires.
De même,
Nous en déduisons que les vecteurs et sont orthogonaux.
Dès lors, la droite (IJ ) est orthogonale à la droite (CD ).
Or les droites (IJ ) et (CD ) sont sécantes en J.
D'où les droites (IJ ) et (CD ) sont perpendiculaires.
Par conséquent, la droite (IJ ) est perpendiculaire aux droites (AB ) et (CD ).
3. Montrons que la distance IJ est la distance minimale entre les droites (AB ) et (CD ).
3. a) Le point I n'appartient pas à la droite (CD ) car I appartient à la droite (AB ) non coplanaire avec (CD ).
Le point I et la droite (CD ) définissent alors le plan CDI .
La droite est incluse dans le plan CDI car est parallèle à la droite (CD ) et passe par le point I .
Dans le plan CDI , la droite est perpendiculaire à la droite (IJ ) car elle est parallèle à la droite (CD ) qui est perpendiculaire à (IJ ).
Donc, dans ce plan CDI , la droite est perpendiculaire à toute parallèle à la droite (IJ ), en particulier à la parallèle passant par le point M' .
Par conséquent, la parallèle à la droite (IJ ) passant par le point M' coupe la droite en un point noté P .
3. b) Soit le plan déterminé par les droites (AB ) et .
La droite (IJ ) est perpendiculaire au plan car (IJ ) est perpendiculaire aux deux droites sécantes (AB ) et incluses dans .
La droite (IJ ) est parallèle à la droite (M'P ).
Or si deux droites sont parallèles, tout plan perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre.
Donc la droite (M'P) est perpendiculaire au plan et en particulier à la droite (PM ) incluse dans .
Par conséquent, le triangle MPM' est rectangle en P .
3. c) MM' > M'P car dans le triangle MPM' rectangle en P , l'hypoténuse [MM' ] est le plus grand des côtés.
Or IJ = M'P car le quadrilatère IJM'P est un parallélogramme.
Nous en déduisons que MM' > IJ .
Conclusion : la distance IJ est la distance minimale entre les droites (AB ) et (CD ).
5 points
exercice 4 : Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité
Partie A - Un modèle simple
1. a)
1. b) 2018 = 2012 + 6.
Nous devons donc déterminer la matrice
Par conséquent, en arrondissant les valeurs à l'entier, au 1er juillet 2018, il y a 1 882 353 campagnols et 96 renards.
2. a) Montrons par récurrence que pour tout entier naturel n ,
Initialisation : Montrons que la propriété est vraie pour n = 0.
Nous savons que D0 = I2 , la matrice unité d'ordre 2.
La propriété est donc démontrée pour n = 0.
Hérédité : Supposons que pour un entier naturel n fixé la propriété soit vraie au rang n et montrons qu'elle est encore vraie au rang n + 1.
Supposons donc que pour un entier naturel n fixé,
Montrons que nous avons alors
En effet, nous savons par l'énoncé que
Dès lors,
L'hérédité est donc démontrée.
Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, nous avons démontré par récurrence que pour tout entier naturel n ,
2. b) La matrice est diagonale.
Donc
2. c) Nous savons que car 0 < 0,7 < 1.
Par conséquent, à long terme, les populations se stabiliseront et tendront vers 1 866 667 campagnols et 93 renards.
Partie B - Un modèle plus conforme à la réalité
1. Dans la cellule B4, la formule à écrire et à recopier est :
Dans la cellule C4, la formule à écrire et à recopier est :
2. Si n = 9, soit à partir de 2021, le nombre de renards baisse alors que le nombre de campagnols augmente.
Partie C
Les deux populations restent stables si et seulement si pour tout entier naturel n nous avons
Posons et résolvons le système
Nous supposons que les races sont présentes à l'état initial soit que u 0 et v 0
En divisant la première équation par 0,001u 0 et la seconde par 2v 0, nous obtenons :
Puisque pour tout entier naturel n nous avons , nous en déduisons que
Par conséquent, les deux populations restent stables si au 1er juillet 2012, il y a 100 renards et 2 000 000 campagnols.
5 points
exercice 4 : Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité
Partie A - Modélisation à l'aide d'une suite
1. Construction des points M 2 et M 3.
2.
3. Les vecteurs et sont colinéaires de même sens.
D'où
Or
Nous en déduisons que , soit que
Par conséquent, le point M2 a pour coordonnées
4. a) Dans la cellule C5, la formule à écrire et à recopier est :
Dans la cellule F5, la formule à écrire et à recopier est :
4. b) La suite (dn ) est strictement décroissante et minorée par 0 (puisque une distance est positive).
Donc cette suite (dn ) est convergente et semble converger vers 2,7731658 (selon les valeurs du tableau).
Partie B - Modélisation à l'aide d'une fonction
1. a) Construction du point S.
Par lecture graphique, les coordonnées du point S seraient (5 ; 3,3).
1. b) Calcul de l'ordonnée du point S .
Une équation de la tangente (T ) à au point d'abscisse 3 est
Or
Le point S est le point de la tangente (T ) dont l'abscisse vaut 5.
Remplaçons x par 5 dans l'équation de (T ) et calculons la valeur de y .
Par conséquent, l'ordonnée du point S est
Donc, au cours du temps, la distance MS se rapprochera de 2,5 m.
Publié par malou
le
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