Fiche de mathématiques

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Bac S Centres étrangers 2018

Obligatoire et Spécialité

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Bac S Obligatoire et spécialité Centres étrangers 2018

4 points

exercice 1 : Pour tous les candidats

1. $f(t)=(0,8t+0,2)\,\text{e}^{-0,5t}+0,03$

${\red{\text{1.a) }}}f(20)=(0,8\times20+0,2)\,\text{e}^{-0,5\times20}+0,03\\\\\phantom{{\red{\text{1. a) }}}f(20)}=16,2\,\text{e}^{-10}+0,03\\\\\Longrightarrow\boxed{f(20)\approx0,031}$

1. b) D'après le tableau de variations de la fonction f , cette fonction f admet un maximum pour t = 1,75.
Ce maximum est égal à f (1,75).

$f(1,75)=(0,8\times1,75+0,2)\,\text{e}^{-0,5\times1,75}+0,03\\\\\phantom{f(1,75)}=1,6\,\text{e}^{-0,875}+0,03\\\\\Longrightarrow\boxed{f(1,75)\approx0,697}$

Nous obtenons alors le tableau de variations de f suivant :

$\begin{array}{|c|ccccc|}\hline t&0&&1,75&&20\\\hline f'(t)&&+&0&-&\\\hline &&&\approx0,697=69,7\%&& \\ f(t)&&\nearrow&&\searrow& \\ &0,23&&&&\approx0,031 \\ \hline \end{array}$

D'où le taux maximal de CO₂ présent dans le local pendant l'expérience est d'environ 69,7 %.

2. a) Montrons que l'équation f (t ) = 0,035 admet une solution unique sur l'intervalle [0 ; 20].

Sur l'intervalle [0 ; 1,75], l'équation f (t ) = 0,035 n'admet pas de solution car f est strictement croissante sur cet intervalle et pour tout t appartenant à [0 ; 1,75], f (t) supegal

0,23 > 0,035 implique

f (t)

0,035.

Sur l'intervalle [1,75 ; 20] , la fonction f est continue et strictement décroissante.
f (1,75) environegal

0,697 et f (20) environegal

0,031.
Nous observons que la valeur 0,035 est située entre f (1,75) et f (20).
Selon le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires sur l'intervalle [1,75 ; 20], l'équation f (t ) = 0,035 admet une solution unique T .

Par conséquent, il existe un unique instant T tel que le taux de CO₂ dans le local retrouve une valeur V inférieure ou égale à 3,5 %.

2. b) L'algorithme s'arrête lorsque la condition V > 0,035 n'est plus réalisée.
Nous devons donc déterminer la plus petite valeur de t telle que f (t ) > 0,035 n'est plus réalisé.
Par la calculatrice, nous obtenons : f (15,65) environegal

0,0351 > 0,035 et f (15,75) environegal

0,0349 < 0,035.

D'où à la fin de l'algorithme, la valeur de la variable t est 15,75.

Dans le contexte de l'exercice, cette valeur de t représente l'instant T en minutes où le taux de CO₂ est inférieur à 3,5 %.
Or 15, 75 min = 15 min + 0,75 multiplie

60 s = 15 min 45 s.

Par conséquent, au bout de 15 min 45 s, le taux de CO₂ est inférieur à 3,5 %.

3. a) La fonction F est dérivable sur l'intervalle [0 ; 11].
Pour vérifier que F est une primitive de f sur l'intervalle [0 ; 11], montrons que F' = f sur l'intervalle [0 ; 11] .

$F'(t)=[(-1,6t-3,6)\,\text{e}^{-0,5t}+0,03t]'\\\\\phantom{G'(t)}=[(-1,6t-3,6)\,\text{e}^{-0,5t}]'+(0,03t)' \\\\\phantom{G'(t)}=(-1,6t-3,6)'\times \text{e}^{-0,5t}+(-1,6t-3,6)\times(\text{e}^{-0,5t})'+0,03 \\\\\phantom{G'(t)}=(-1,6)\times \text{e}^{-0,5t}+(-1,6t-3,6)\times(-0,5\ \text{e}^{-0,5t})+0,03 \\\\\phantom{G'(t)}=-1,6\,\text{e}^{-0,5t}+0,8t\ \text{e}^{-0,5t}+1,8\,\text{e}^{-0,5t}+0,03 \\\\\phantom{G'(t)}=0,8t\ \text{e}^{-0,5t}+0,2\ \text{e}^{-0,5t}+0,03 \\\\\phantom{G'(t)}=(0,8t+0,2)\ \text{e}^{-0,5t}+0,03 \\\\\phantom{G'(t)}=f(t)\\\\\Longrightarrow\boxed{F'(t)=f(t)\ \ \ \text{où }t\in[0;11]}$

Nous avons ainsi montré que F est une primitive de f sur l'intervalle [0 ; 11].

${\red{\text{3. b.}}}\ V_m=\dfrac{1}{11-0}\int\limits_0^{11}f(t)\,dt \\\\\phantom{{\red{\text{3. b.}}}\ V_m}=\dfrac{1}{11}[F(t)]\limits_0^{11} \\\\\phantom{{\red{\text{3. b.}}}\ V_m}=\dfrac{1}{11}\left(F(11)-F(0)\right) \\\\\text{Or }\ F(t)=(-1,6t-3,6)\,\text{e}^{-0,5t}+0,03t\Longrightarrow F(11)=(-1,6\times11-3,6)\,\text{e}^{-0,5\times11}+0,03\times11 \\\phantom{\text{Or }\ F(t)=(-1,6t-3,6)\,\text{e}^{-0,5t}+0,03t\Longrightarrow F(11)}=-21,2\,\text{e}^{-5,5}+0,33 \\\\\phantom{\text{Or }\ F(t)=(-1,6t-3,6)\,\text{e}^{-0,5t}+0,03t}\Longrightarrow F(0)=(-1,6\times0-3,6)\,\text{e}^{-0,5\times0}+0,03\times0 \\\phantom{\text{Or }\ F(t)=(-1,6t-3,6)\,\text{e}^{-0,5t}+0,03t\Longrightarrow F(0)}=-3,6\,\text{e}^{0} \\\phantom{\text{Or }\ F(t)=(-1,6t-3,6)\,\text{e}^{-0,5t}+0,03t\Longrightarrow F(0)}=-3,6\times1 \\\phantom{\text{Or }\ F(t)=(-1,6t-3,6)\,\text{e}^{-0,5t}+0,03t\Longrightarrow F(0)}=-3,6$

$\text{D'où }\ V_m=\dfrac{1}{11}[-21,2\,\text{e}^{-5,5}+0,33-(-3,6)]\\\\\Longrightarrow\boxed{V_m=\dfrac{1}{11}(-21,2\,\text{e}^{-5,5}+3,93)\approx0,349\ \ \text{(arrondi au millième) }}$

4 points

exercice 2 : Pour tous les candidats

1. Affirmation 1 : Vraie

Déterminons d'abord le paramètre lambda

.

$E(D)=8\Longleftrightarrow\dfrac{1}{\lambda}=8\\\\\phantom{E(D)=8}\Longleftrightarrow\boxed{\lambda=\dfrac{1}{8}}$

Nous devons déterminer $P_{D>3}(D\ge10).$

La loi exponentielle est à durée de vie sans vieillissement.

Dès lors,

$P_{D>3}(D\ge10)=P_{D>3}(D\ge3+7)\\\\\phantom{P_{D>3}(D\ge10)}=P(D\ge7) \\\\\phantom{P_{D>3}(D\ge10)}=1-P(D<7) \\\\\phantom{P_{D>3}(D\ge10)}=1-(1-\text{e}^{-\lambda\times7})\ \ \text{avec }\lambda=\dfrac{1}{8} \\\\\phantom{P_{D>3}(D\ge10)}=1-(1-\text{e}^{-\dfrac{7}{8}}) \\\\\phantom{P_{D>3}(D\ge10)}=\text{e}^{-\dfrac{7}{8}} \\\\\phantom{P_{D>3}(D\ge10)}\boxed{\approx0,42}$

2. Affirmation 2 : Vraie

> Effectuer un dépistage sur 200 automobilistes revient à effectuer une répétition de 200 dépistages indépendants et identiques.
Chaque dépistage ne comprend que deux issues possibles :
le "succès" : le dépistage est positif avec une probabilité p = 0,031
l'"échec" : le dépistage est négatif avec une probabilité 1 - p = 1 - 0,031 = 0,969.

Soit X la variable aléatoire déterminant le nombre de dépistages positifs.
Nous devons calculer $P(X>5).$
La variable aléatoire X suit la loi binomiale de paramètres n = 200 et p = 0,031.

$P(X>5)=1-P(X\le5)$

Or, par la calculatrice, nous avons : $P(X\le5)\approx0,4112$

$\Longrightarrow P(X>5)\approx1-0,4112 \\\phantom{\Longrightarrow P(X>5)}\approx0,5888\\\Longrightarrow\boxed{P(X>5)\approx0,59}$

Par conséquent, il est vrai en arrondissant au centième que la probabilité que, sur les 200 dépistages, il y ait eu strictement plus de 5 dépistages positifs, est égale à 0,59.

3. Affirmation 3 : Fausse

Soit l'équation définie dans

: $\ln(6x-2)+\ln(2x-1)=\ln(x)$

Conditions d'existence des solutions :

$\left\lbrace\begin{matrix}6x-2>0\\2x-1>0\\x>0\end{matrix}\right.\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}6x>2\\2x>1\\x>0\end{matrix}\right.\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}x>\dfrac{2}{6}\\\\x>\dfrac{1}{2}\\\\x>0\end{matrix}\right.\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}x>\dfrac{1}{3}\\\\x>\dfrac{1}{2}\\\\x>0\end{matrix}\right.\Longleftrightarrow\boxed{x>\dfrac{1}{2}}$

Nous résoudrons dès lors cette équation sur l'intervalle $]\dfrac{1}{2};+\infty[$

$\ln(6x-2)+\ln(2x-1)=\ln(x)\Longleftrightarrow\ln[(6x-2)(2x-1)]=\ln(x) \\\phantom{\ln(6x-2)+\ln(2x-1)=\ln(x)}\Longleftrightarrow(6x-2)(2x-1)=x \\\phantom{\ln(6x-2)+\ln(2x-1)=\ln(x)}\Longleftrightarrow12x^2-6x-4x+2=x \\\phantom{\ln(6x-2)+\ln(2x-1)=\ln(x)}\Longleftrightarrow12x^2-11x+2=0\\\\\Delta=(-11)^2-4\times12\times2\\\phantom{\Delta}=121-96\\\phantom{\Delta}=25\\\\x_1=\dfrac{11-\sqrt{25}}{2\times12}=\dfrac{11-5}{24}=\dfrac{6}{24}=\dfrac{1}{4}\ \ \longrightarrow\ \ \text{à rejeter car }\ \dfrac{1}{4}\notin\ ]\dfrac{1}{2};+\infty[\\\\x_2=\dfrac{11+\sqrt{25}}{2\times12}=\dfrac{11+5}{24}=\dfrac{16}{24}={\red{\dfrac{2}{3}}}\in\ ]\dfrac{1}{2};+\infty[$

Par conséquent, l'affirmation est fausse car l'équation n'admet que l'unique solution $x=\dfrac{2}{3}$ .

4. Affirmation 4 : Vraie

L'équation (4z ² - 20z + 37)(2z - 7 + 2i) = 0 est équivalente à 4z ² - 20z + 37 = 0 ou 2z - 7 + 2i = 0

$\bullet \ \ 4z^2-20z+37=0\\\\\phantom{\bullet \ \ } \Delta=(-20)^2-4\times4\times37 \\\phantom{\bullet \ \ \Delta}=400-592 \\\phantom{\bullet \ \ \Delta}=-192<0 \\\\\phantom{\bullet \ \ }\Longrightarrow z_1=\dfrac{20-i\sqrt{192}}{2\times4}=\dfrac{20-8i\sqrt{3}}{8}=\dfrac{20}{8}-\dfrac{8i\sqrt{3}}{8}=\dfrac{5}{2}-i\sqrt{3} \\\\\phantom{\bullet \ \ }\Longrightarrow z_2=\dfrac{20+i\sqrt{192}}{2\times4}=\dfrac{20+8i\sqrt{3}}{8}=\dfrac{20}{8}+\dfrac{8i\sqrt{3}}{8}=\dfrac{5}{2}+i\sqrt{3} \\\\\bullet \ \ 2z-7+2\text{i}=0 \\\phantom{\bullet \ \ }2z=7-2\text{i} \\\\\phantom{\bullet \ \ }\Longrightarrow z_3=\dfrac{7}{2}-\text{i}$
Par conséquent, les trois solutions de l'équation sont $\left\lbrace\begin{matrix}z_1=\dfrac{5}{2}-i\sqrt{3}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\\ z_2=\dfrac{5}{2}+i\sqrt{3}\ \ \ \ (\Longrightarrow {\red{z_2=\overline{z_1}}})\\\\ z_3=\dfrac{7}{2}-\text{i}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.$
Notons A le point d'affixe z₁
B le point d'affixe z₂
C le point d'affixe z₃

Les solutions de l'équation sont les affixes de points appartenant à un même cercle de centre le point P d'affixe 2 si et seulement si PA = PB = PC .

$PA=|z_1-2|=|\dfrac{5}{2}-i\sqrt{3}-2| =|\dfrac{1}{2}-i\sqrt{3}|\\\\\phantom{PA}=\sqrt{(\dfrac{1}{2})^2+(-\sqrt{3})^2}=\sqrt{\dfrac{1}{4}+3}=\sqrt{\dfrac{13}{4}} \\\\\phantom{PA}=\dfrac{\sqrt{13}}{2}\\\\PB=|z_2-2|=|\overline{z_1}-2|=|\overline{z_1-2}|=|z_1-2|=PA\\\\\phantom{PA}=\dfrac{\sqrt{13}}{2}\\\\PC=|z_3-2|=|\dfrac{7}{2}-\text{i}-2|=|\dfrac{3}{2}-\text{i}|\\\\\phantom{PA}=\sqrt{(\dfrac{3}{2})^2+(-1)^2}=\sqrt{\dfrac{9}{4}+1}=\sqrt{\dfrac{13}{4}} \\\\\phantom{PA}=\dfrac{\sqrt{13}}{2}\\\\\\\Longrightarrow\boxed{PA=PB=PC(=\dfrac{\sqrt{13}}{2})}$

Par conséquent, il est vrai que les solutions de l'équation sont les affixes de points appartenant à un même cercle de centre le point P d'affixe 2.

7 points

exercice 3 : Pour tous les candidats

Partie A

1. Pour les melons du maraîcher A, la masse en gramme est modélisée par une variable aléatoire M_A qui suit une loi uniforme sur l'intervalle [850 ; x], où x est un nombre réel supérieur à 1200.

$\text{Donc }\ P(900\le M_A\le1200)=\dfrac{1200-900}{x-850}=\dfrac{300}{x-850}\\\\\text{Or }\ P(900\le M_A\le1200)=0,75 \\\\\text{Dès lors }\ \dfrac{300}{x-850}=0,75 \\\\\phantom{\text{Dès lors }\ } \dfrac{300}{0,75}=x-850 \\\\\phantom{\text{Dès lors }\ }x=\dfrac{300}{0,75}+850 \\\\\Longrightarrow\boxed{x=1250}$

2. La masse en gramme des melons du maraîcher B est modélisée par une variable aléatoire M_B qui suit une loi normale de moyenne 1050 et d'écart-type inconnu sigma

.

Dans ce cas, la variable aléatoire $X=\dfrac{M_B-1050}{\sigma}$ suit la loi normale centrée réduite.

$P(900\le M_B\le1200)=0,85\Longleftrightarrow P(900-1050\le M_B-1050\le1200-1050)=0,85 \\\\\phantom{P(900\le M_B\le1200)=0,85}\Longleftrightarrow P(-150\le M_B-1050\le150)=0,85 \\\\\phantom{P(900\le M_B\le1200)=0,85}\Longleftrightarrow P(\dfrac{-150}{\sigma}\le \dfrac{M_B-1050}{\sigma}\le\dfrac{150}{\sigma})=0,85 \\\\\phantom{P(900\le M_B\le1200)=0,85}\Longleftrightarrow P(-\dfrac{150}{\sigma}\le X\le\dfrac{150}{\sigma})=0,85 \\\\\phantom{P(900\le M_B\le1200)=0,85}\Longleftrightarrow 2\,P(X\le\dfrac{150}{\sigma})-1=0,85 \\\\\phantom{P(900\le M_B\le1200)=0,85}\Longleftrightarrow P(X\le\dfrac{150}{\sigma})=\dfrac{0,85+1}{2} \\\\\phantom{P(900\le M_B\le1200)=0,85}\Longleftrightarrow P(X\le\dfrac{150}{\sigma})=0,925$

Par la calculatrice, nous obtenons : $\dfrac{150}{\sigma}\approx1,43953147$

$\Longrightarrow\sigma\approx\dfrac{150}{1,43953147}\approx104,2$

D'où, en arrondissant à l'unité, $\boxed{\sigma=104}$

3. Déterminons un intervalle de fluctuation asymptotique $I_{400}$ au seuil de 95% de la proportion de melons conformes.
Les conditions d'utilisation de l'intervalle de fluctuation sont remplies.
En effet,

$\left\lbrace\begin{array}l n=400\ge30 \\ p=0,8\Longrightarrow np=400\times0,8=320\ge5 \\n(1-p)=400\times(1-0,8)=400\times0,2=80\ge5 \end{array}$

Donc un intervalle de fluctuation asymptotique $I_{400}$ au seuil de 95% est :

$I_{400}=\left[0,8-1,96\sqrt{\dfrac{0,8(1-0,8)}{400}};0,8+1,96\sqrt{\dfrac{0,8(1-0,8)}{400}}\right]\\\\I_{400}=[0,7608;0,8392]$

Or la fréquence observée est $f=\dfrac{294}{400}=0,735$

Nous remarquons que $f\notin I_{400}.$

Par conséquent, le détaillant a raison de se douter de l'affirmation du maraîcher C (avec un risque de se tromper de 5 %).

Partie B

1. a) L'arbre pondéré représentant la situation durant les trois premières semaines est le suivant :

Bac S Obligatoire et spécialité Centres étrangers 2018 : image 32

1. b) En utilisant la formule des probabilités totales, nous avons :

$P(A_3)= P(A_2\cap A_3)+P(\overline{A_2}\cap A_3) \\\phantom{P(A_3)}=P(A_2)\times P_{A_2}(A_3)+P(\overline{A_2})\times P_{\overline{A_2}}(A_3) \\\phantom{P(A_3)}=0,9\times0,9+0,1\times0,4 \\\phantom{P(A_3)}=0,81+0,04 \\\phantom{P(A_3)}=0,85 \\\\\Longrightarrow\boxed{P(A_3)=0,85}$

1. c) Nous devons calculer $P_{A_3}(A_2).$

$P_{A_3}(A_2)=\dfrac{P(A_2\cap A_3)}{P(A_3)}\\\\\phantom{P_{A_3}(A_2)}=\dfrac{0,9\times0,9}{0,85}=\dfrac{0,81}{0,85} \\\\\phantom{P_{A_3}(A_2)}\approx0,952941\\\\\Longrightarrow\boxed{P_{A_3}(A_2)\approx0,95\ \ \ \text{(arrondi au centième)}}$

2. Soit p_n = P (A _n ).
L'arbre pondéré représentant la situation est le suivant :

Bac S Obligatoire et spécialité Centres étrangers 2018 : image 29

$p_{n+1}=P(A_{n+1})\\\phantom{p_{n+1}}= P(A_n\cap A_{n+1})+P(\overline{A_n}\cap A_{n+1}) \\\phantom{p_{n+1}}=P(A_n)\times P_{A_n}(A_{n+1})+P(\overline{A_n})\times P_{\overline{A_n}}(A_{n+1}) \\\phantom{p_{n+1}}=p_n\times0,9+(1-p_n)\times0,4 \\\phantom{p_{n+1}}=0,9p_n+0,4-0,4p_n \\\phantom{p_{n+1}}=0,5p_n+0,4 \\\\\Longrightarrow\boxed{p_{n+1}=0,5p_n+0,4}$

3. a) Démontrons par récurrence que pour tout entier n supegal

1 : p_n > 0,8.

Initialisation : Montrons que la propriété est vraie pour n = 1.

$p_1=1 \Longrightarrow \boxed{p_1>0,8}$
La propriété est donc démontrée pour n = 1.

Hérédité : Supposons que pour un entier naturel n fixé et supérieur ou égal à 1, la propriété soit vraie au rang n et montrons qu'elle est encore vraie au rang n + 1.

Supposons donc que pour un entier naturel n fixé, n supegal

1 : p_n > 0,8.
Montrons que nous avons alors : p_n+1 > 0,8.

En effet, nous savons que $p_{n+1}=0,5p_n+0,4$

Dès lors,

$p_n>0,8\Longleftrightarrow0,5p_n>0,5\times0,8\\\phantom{p_n>0,8}\Longleftrightarrow0,5p_n>0,4 \\\phantom{p_n>0,8}\Longleftrightarrow0,5p_n+0,4>0,4+0,4 \\\phantom{p_n>0,8}\Longleftrightarrow0,5p_n+0,4>0,8 \\\phantom{p_n>0,8}\Longleftrightarrow\boxed{p_{n+1}>0,8}$

L'hérédité est donc démontrée.

Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, nous avons démontré par récurrence que pour tout entier naturel n supegal

1 : p_n > 0,8.

${\red{\text{3. b) }}}\ p_{n+1}-p_n=(0,5p_n+0,4)-p_n\\\phantom{{\red{\text{3. b) }}}\ p_{n+1}-p_n}=0,5p_n-p_n+0,4 \\\phantom{{\red{\text{3. b) }}}\ p_{n+1}-p_n}=-0,5p_n+0,4 \\\\\Longrightarrow\boxed{ p_{n+1}-p_n=-0,5p_n+0,4}\ \ \ {\red{(1)}}$

Or nous savons par la question précédente que $p_n>0,8$ .

$p_n>0,8\Longrightarrow(-0,5)\times p_n<(-0,5)\times0,8 \\\phantom{p_n>0,8}\Longrightarrow-0,5p_n<-0,4 \\\phantom{p_n>0,8}\Longrightarrow\boxed{-0,5p_n+0,4<0}\ \ \ {\red{(2)}} \\\\\\\ \ \ {\red{(1)}}\ \text{et}\ {\red{(2)}}\Longrightarrow\boxed{ p_{n+1}-p_n<0}$

Par conséquent, la suite (p_n ) est décroissante.

3. c) La suite (p_n ) étant décroissante et bornée inférieurement par 0,8, nous en déduisons que cette suite (p_n ) est convergente.

4. Soit $v_n=p_n-0,8\ \ \ (n\ge1)$

${\red{\text{4. a) }}}\ v_{n+1}=p_{n+1}-0,8\\\phantom{{\red{\text{4. a) }}}\ v_{n+1}}=(0,5p_n+0,4)-0,8 \\\phantom{{\red{\text{4. a) }}}\ v_{n+1}}=0,5p_n-0,4 \\\phantom{{\red{\text{4. a) }}}\ v_{n+1}}=0,5p_n-0,5\times0,8 \\\phantom{{\red{\text{4. a) }}}\ v_{n+1}}=0,5(p_n-0,8) \\\phantom{{\red{\text{4. a) }}}\ v_{n+1}}=0,5v_n \\\\\Longrightarrow\boxed{v_{n+1}=0,5v_n}$

D'où la suite (v_n ) est une suite géométrique de raison q = 0,5 et dont le premier terme est $v_1=p_1-0,8=1-0,8=0,2.$

4. b) $v_n=v_1\times q^{n-1}\Longrightarrow\boxed{v_n=0,2\times(0,5)^{n-1}}$

$v_n=p_n-0,8\Longrightarrow p_n=0,8+v_n \\\\\phantom{v_n=p_n-0,8}\Longrightarrow\boxed{p_n=0,8+0,2\times(0,5)^{n-1}}$

4. c) $\lim\limits_{n\to+\infty}(0,5)^{n-1}=0\ \ \ (\text{car }0<0,5<1)$

$\Longrightarrow\lim\limits_{n\to+\infty}p_n=\lim\limits_{n\to+\infty}[0,8+0,2\times(0,5)^{n-1}]\\\\\phantom{\Longrightarrow\lim\limits_{n\to+\infty}p_n}=0,8+0,2\times\lim\limits_{n\to+\infty}[(0,5)^{n-1}] \\\\\phantom{\Longrightarrow\lim\limits_{n\to+\infty}p_n}=0,8+0,2\times0 \\\\\phantom{\Longrightarrow\lim\limits_{n\to+\infty}p_n}=0,8 \\\\\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}p_n=0,8}$

5 points

exercice 4 : Candidats n'ayant pas suivi la spécialité mathématique

Partie A

1. Construction du point d'intersection P du plan (IJK) et de la droite (EH).

Bac S Obligatoire et spécialité Centres étrangers 2018 : image 30

2. Déterminons l'intersection du plan (IJK) et du plan (EFG).

$\left\lbrace\begin{matrix}P\in\text{plan}(IJK)\ \ (\text{voir question 1.})\\ P\in\text{droite}(EH)\subset \text{plan}(EFG)\ \ \ \ \end{matrix}\right.\ \ \Longrightarrow\ \ \ \left\lbrace\begin{matrix}P\in\text{plan}(IJK)\\ P\in\text{plan}(EFG)\end{matrix}\right.\ \ \Longrightarrow\boxed{P\in\text{plan}(IJK)\cap\text{plan}(EFG)} \\\\\\\left\lbrace\begin{matrix}K\in\text{plan}(IJK)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ K\in\text{droite}(FG)\subset \text{plan}(EFG)\ \ \ \ \end{matrix}\right.\ \ \Longrightarrow\ \ \ \left\lbrace\begin{matrix}K\in\text{plan}(IJK)\\ K\in\text{plan}(EFG)\end{matrix}\right.\ \ \Longrightarrow\boxed{K\in\text{plan}(IJK)\cap\text{plan}(EFG)}$

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Par conséquent, la droite (PK) est l'intersection du plan (IJK) et du plan (EFG).

Partie B

Soit le repère orthonormé $(A;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE}).$

1. a) Coordonnées des points I, J et K : $I(0;\dfrac{1}{2};0)\ \ ;\ \ J(0;0;\dfrac{3}{4})\ \ ;\ \ K(1;\dfrac{1}{2};1)$

${\red{\text{1. b) }}}\ \left\lbrace\begin{matrix}I(0;\dfrac{1}{2};0)\\ J(0;0;\dfrac{3}{4})\end{matrix}\right.\Longrightarrow\overrightarrow{IJ}\begin{pmatrix}0-0\\0-\dfrac{1}{2}\\\dfrac{3}{4}-0\end{pmatrix}\Longrightarrow\overrightarrow{IJ}\begin{pmatrix}0\\\\-\dfrac{1}{2}\\\\\dfrac{3}{4}\end{pmatrix}$

$\left\lbrace\begin{matrix}\overrightarrow{IJ}\begin{pmatrix}0\\\\-\dfrac{1}{2}\\\\\dfrac{3}{4}\end{pmatrix}\\\\\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}4\\a\\b\end{pmatrix}\end{matrix}\right. \Longrightarrow\ \ \ \ \begin{matrix}\left \ \lceil\\\ |\\\ |\\\ |\\\ |\\\ |\\\ |\\\ |\\\ |\\\ |\\\ \left \lfloor \end{matrix}\ \ \ \begin{matrix}\overrightarrow{IJ}\perp\overrightarrow{n}\Longleftrightarrow\overrightarrow{IJ}.\overrightarrow{n}=0\Longleftrightarrow0\times4-\dfrac{1}{2}\times a+\dfrac{3}{4}\times b=0\\\\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Longleftrightarrow-\dfrac{a}{2}+\dfrac{3b}{4}=0\\\\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Longleftrightarrow\dfrac{-2a+3b}{4}=0\\\\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Longleftrightarrow\boxed{-2a+3b=0}\end{matrix}$

$\left\lbrace\begin{matrix}I(0;\dfrac{1}{2};0)\\\\K(1;\dfrac{1}{2};1)\end{matrix}\right.\Longrightarrow\overrightarrow{IK}\begin{pmatrix}1-0\\\\\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}\\\\1-0\end{pmatrix}\Longrightarrow\overrightarrow{IK}\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}$

$\left\lbrace\begin{matrix}\overrightarrow{IK}\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}\\\\\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}4\\a\\b\end{pmatrix}\end{matrix}\right. \Longrightarrow\ \ \ \ \begin{matrix}\left \ \lceil\\\ |\\\ |\\\ |\\\ |\\\ |\\\ |\\\ |\\\ |\\\ |\\\ \left \lfloor \end{matrix}\ \ \ \begin{matrix}\overrightarrow{IK}\perp\overrightarrow{n}\Longleftrightarrow\overrightarrow{IK}.\overrightarrow{n}=0\Longleftrightarrow1\times4+0\times a+1\times b=0\\\\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Longleftrightarrow\boxed{4+b=0}\end{matrix}$

Nous avons donc le système :

$\left\lbrace\begin{matrix}-2a+3b=0\\ 4+b=0\end{matrix}\right. \Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}-2a+3b=0\\ b=-4\end{matrix}\right. \Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}-2a+3\times(-4)=0\\ b=-4\end{matrix}\right. \Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}-2a-12=0\\ b=-4\end{matrix}\right.\\\\\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}2a=-12\\ b=-4\end{matrix}\right. \Longleftrightarrow\boxed{\left\lbrace\begin{matrix}a=-6\\ b=-4\end{matrix}\right.}\\\\\text{D'où }\ \boxed{\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}4\\-6\\-4\end{pmatrix}}$

1. c) Nous savons que tout plan de vecteur normal $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$ admet une équation cartésienne de la
forme ax + by + cz + d = 0.

Puisque le vecteur $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}4\\-6\\-4\end{pmatrix}$ est orthogonal aux deux vecteurs non colinéaires $\overrightarrow{IJ}$ et $\overrightarrow{IK}$ , ce vecteur $\overrightarrow{n}$ est normal au plan (IJK).
Nous déduisons alors qu'une équation cartésienne du plan (IJK) est de la forme 4x - 6y - 4z + d = 0.

Or le point $I(0;\dfrac{1}{2};0)$ appartient au plan (IJK) . Ses coordonnées vérifient l'équation du plan.
D'où $4\times0-6\times\dfrac{1}{2}-4\times0+d=0$ , soit -3 + d = 0 soit d = 3.

Par conséquent, une équation cartésienne du plan (IJK) est : $\boxed{4x - 6y - 4z + 3 = 0}$

2. a) Déterminons une représentation paramétrique de la droite (CG).

La droite (CG) est dirigée par le vecteur $\overrightarrow{CG}.$

$\left\lbrace\begin{array}l C(1;1;0)\\G(1;1;1)\end{array}\Longrightarrow\overrightarrow{CG}\begin{pmatrix}1-1\\1-1 \\1-0\end{pmatrix}\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{CG}\begin{pmatrix}{\red{0}}\\ {\red{0}}\\ {\red{1}}\end{pmatrix}}$

La droite (CG) passe par le point $C({\blue{1}} ; {\blue{1}}; {\blue{0}}).$

D'où une représentation paramétrique de la droite (CG) est donnée par :

$\left\lbrace\begin{array}l x={\blue{1}}+{\red{0}}\times t\\y={\blue{1}}+{\red{0}}\times t\\z={\blue{0}}+{\red{1}}\times t \end{array}\ \ \ (t\in\mathbb{R})$

soit $\boxed{(CG):\left\lbrace\begin{array}l x=1\\y=1\\z=t \end{array}\ \ \ (t\in\mathbb{R})}$

2. b) Les coordonnées du point N sont les solutions du système composé par les équations de la droite (CG) et du plan (IJK) , soit du système :

$\left\lbrace\begin{array}l x=1\\y=1\\z=t\\4x-6y-4z+3=0 \end{array}\ \ \ \ \left\lbrace\begin{array}l x=1\\y=1\\z=t\\ 4\times1-6\times1-4t+3=0 \end{array}\ \ \ \ \left\lbrace\begin{array}l x=1\\y=1\\z=t\\1-4t=0 \end{array}$

$\left\lbrace\begin{array}l x=1\\y=1\\z=t\\4t=1 \end{array}\ \ \ \ \ \ \ \ \left\lbrace\begin{array}l x=1\\y=1\\z=t\\t=\dfrac{1}{4}\end{array}\ \ \ \ \left\lbrace\begin{array}l x=1\\y=1\\z=\dfrac{1}{4}\\\\t=\dfrac{1}{4} \end{array}$

D'où les coordonnées du point N sont $\boxed{N(1; 1; \dfrac{1}{4})}.$

2. c) Plaçons le point $N(1; 1; \dfrac{1}{4})$ sur la figure.

La section du cube avec le plan (IJK) est le polygone IJMKNR.

Bac S Obligatoire et spécialité Centres étrangers 2018 : image 31

Partie C

Déterminons les coordonnées du point R.

Représentation paramétrique de la droite (FR) :

Nous savons que le vecteur $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}4\\-6\\-4\end{pmatrix}$ est normal au plan (IJK).
Dès lors, ce vecteur est un vecteur directeur de la droite (FR).

De plus la droite (FR) comprend le point F(1 ; 0 ; 1). Par conséquent, une représentation paramétrique de la droite (FR) est :

$\left\lbrace\begin{matrix}x=1+4t\\y=0-6t\\z=1-4t\end{matrix}\right.\ \ \ \ \ (t\in\mathbb{R})$ , soit $(PR):\left\lbrace\begin{matrix}x=1+4t\\y=-6t\\z=1-4t\end{matrix}\right.\ \ \ \ \ (t\in\mathbb{R})$

Coordonnées du point R :

Puisque le point R est le point commun entre la droite (PR) et le plan (IJK), ses coordonnées sont les solutions du système composé par les équations de la droite (PR) et du plan (IJK), soit du système :

$\left\lbrace\begin{matrix}x=1+4t\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\y=-6t\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\z=1-4t\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\4x-6y-4z+3=0\end{matrix}\right. \Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}x=1+4t\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\y=-6t\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\z=1-4t\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\4(1+4t)-6\times(-6t)-4(1-4t)+3=0\end{matrix}\right. \\\\\\\phantom{\left\lbrace\begin{matrix}x=1+4t\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\y=-6t\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\z=1-4t\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\4x-6y-4z+3=0\end{matrix}\right.} \Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}x=1+4t\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\y=-6t\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\z=1-4t\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\4+16t+36t-4+16t+3=0\end{matrix}\right.$

$\phantom{\left\lbrace\begin{matrix}x=1+4t\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\y=-6t\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\z=1-4t\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\4x-6y-4z+3=0\end{matrix}\right.} \Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}x=1+4t\\y=-6t\ \ \ \\z=1-4t\\68t+3=0\end{matrix}\right. \Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}x=1+4t\\y=-6t\ \ \ \\z=1-4t\\t=-\dfrac{3}{68}\end{matrix}\right. \Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}x=\dfrac{14}{17}\\\\y=\dfrac{9}{34}\\\\z=\dfrac{20}{7}\\\\t=-\dfrac{3}{68}\end{matrix}\right.$

Les coordonnées du point R sont donc $(\dfrac{14}{17};\dfrac{9}{34};\dfrac{20}{7})$ .

$\left\lbrace\begin{matrix}x_R=\dfrac{14}{17}\Longrightarrow0<x_R<1\\\\y_R=\dfrac{9}{34}\Longrightarrow0<y_R<1\\\\z_R=\dfrac{20}{7}\Longrightarrow z_R\ {\red{>1}}\end{matrix}\right.$

Puisque la cote du point R est supérieure à 1, le point R n'est pas à l'intérieur du cube.

5 points

exercice 4 : Candidats ayant suivi la spécialité mathématique

1. a) 8⁷ = 2 097 152 = 55 multiplie

38 130 + 2.

D'où $\boxed{8^7\equiv2\ \text{mod }55}$

Dès lors, $8^{21}=8^{7\times3}=(8^7)^3\equiv2^3\ \text{mod }55\Longrightarrow\boxed{8^{21}\equiv8\ \text{mod }55}$

Nous en déduisons que le reste de la division euclidienne par 55 du nombre 8²¹ est 8.

1. b) 8² = 64 = 55 multiplie

1 + 9.

D'où $\boxed{8^2\equiv9\ \text{mod }55}$

$\text{Dès lors, }\ 8^{23}=8^{21}\times8^2\equiv((8\ \text{mod }55)\times(9\ \text{mod }55))\ \text{mod }55 \\\phantom{\text{Dès lors, }\ 8^{23}=8^{21}\times8^2}\equiv((8\times9)\ \text{mod }55)\ \text{mod }55 \\\\\text{Or }8\times9=72=55\times1+17\Longrightarrow8\times9=17\ \text{mod }55\\\\\text{D'où }\boxed{8^{23}\equiv17\ \text{mod }55}$

Nous en déduisons que le reste de la division euclidienne par 55 du nombre 8²³ est 17.

2. Soit l'équation (E) : 23x - 40y = 1 dont les solutions sont des couples (x , y ) d'entiers relatifs.

2. a) 23 et 40 sont premiers entre eux.
Par le théorème de Bezout nous déduisons que l'équation 23x - 40y = 1 admet un couple solution (x , y ) d'entiers relatifs.

2. b) Déterminons une solution particulière de l'équation (E) en utilisant l'algorithme d'Euclide.

$\left\lbrace\begin{matrix}40=23\times1+17\\23=17\times1+6\\17=6\times2+5\\6=5\times1+1\\5=1\times5+0 \end{matrix}\right.\ \ \Longrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}17=40-23\times1\\ {\red{6=23-17\times1}}\\ {\blue{5=17-6\times2}}\\1=6-5\times1\end{matrix}\right. \\\\\text{D'où }\ 1={\red{6}}-5\times1 \\\phantom{\text{D'où }\ 1}=({\red{23-17\times1}})-({\blue{17-6\times2}})\times1 \\\phantom{\text{D'où }\ 1}=23-17\times1-17\times1+6\times2\times1 \\\phantom{\text{D'où }\ 1}=23-17\times2+{\red{6}}\times2 \\\phantom{\text{D'où }\ 1}=23-17\times2+({\red{23-17\times1}})\times2 \\\phantom{\text{D'où }\ 1}=23+23\times2-17\times2-17\times2 \\\phantom{\text{D'où }\ 1}=23\times3-17\times4 \\\phantom{\text{D'où }\ 1}=23\times3-(40-23\times1)\times4 \\\phantom{\text{D'où }\ 1}=23\times3+23\times4-40\times4 \\\phantom{\text{D'où }\ 1}=23\times7-40\times4\\\\ \Longrightarrow\boxed{23\times{\green{7}}-40\times{\green{4}}=1}$

Par conséquent le couple (7 , 4) est une solution particulière de l'équation (E).

2. c) Soit (x , y) un couple solution de l'équation (E).

$\left\lbrace\begin{matrix}23x-40y=1\\23\times7-40\times4=1 \end{matrix}\right.\ \ \Longrightarrow23x-40y=23\times7-40\times4 \\\phantom{\left\lbrace\begin{matrix}23x-40y=1\\23\times7-40\times4=1 \end{matrix}\right.\ \ }\Longrightarrow23x-23\times7=40y-40\times4 \\\phantom{\left\lbrace\begin{matrix}23x-40y=1\\23\times7-40\times4=1 \end{matrix}\right.\ \ }\Longrightarrow23(x-7)=40(y-4)$

23 et 40 sont premiers entre eux.
Par le théorème de Gauss,
nous déduisons que 40 divise x - 7, soit qu'il existe un entier relatif k tel que x - 7 = 40k , soit x = 40k + 7,
et y - 4 = 23k , soit y = 23k + 4.

Par conséquent, les solutions de l'équation (E) sont les couples (40k + 7 , 23 k + 4) avec k .

2. d) Si d appartient

,

alors 23d congru

1 mod 40

il existe t appartient

tel que 23d = 40t + 1, soit 23d - 40t = 1.
Dans ce cas, le couple (d ,t ) est solution de l'équation 23d - 40t = 1.

En utilisant le résultat de la question 2.c), nous déduisons que le couple (d ,t ) est de la forme (40k + 7 , 23k + 4) avec k appartient

.

Donc d = 40k + 7 avec k appartient

.
Or 0

d < 40.
D'où la seule valeur possible pour k est k = 0.

Par conséquent, l'unique entier d vérifiant les conditions 0 d < 40 et 23k 1 mod 40 est d = 7.

3. Cryptage dans le système RSA

${\red{\text{3. a) }}}\ \left\lbrace\begin{matrix}N=p\times q=5\times 11=55\\ n=(p-1)(q-1)=4\times10=40\end{matrix}\right.\ \ \Longrightarrow\boxed{\left\lbrace\begin{matrix}N=55\\ n=40\end{matrix}\right.}$

La valeur c = 23 vérifie la condition voulue car 23 est premier avec 40.

3. b) La valeur du nombre crypté b est le reste dans la division euclidienne par N = 55 du nombre a^c = 8²³.
Nous avons montré dans la question 1.b) que le reste de la division euclidienne par 55 du nombre 8²³ est 17.
Par conséquent, la valeur du nombre crypté est 17.

4. Décryptage dans le système RSA

4. a) La valeur de d vérifie les conditions suivantes : 0 infegal

d < 40 et 23d congru

1 mod 40.
Nous avons montré dans la question 2.d) que d = 7.
Par conséquent, la valeur de d est 7.

4. b) La valeur du nombre décrypté a est le reste dans la division euclidienne par N = 55 du nombre b^d = 17⁷.
Or 17⁷ = 410 338 673 = 7 460 703 multiplie

55 + 8.
D'où le reste dans la division euclidienne par N = 55 du nombre b^d = 17⁷ est égal à 8.

Par conséquent, la valeur du nombre décrypté a est 8.

Publié par malou le 23-08-2018

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