Fiche de mathématiques
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Bac STHR Antilles Guyane 2018

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Durée : 2 heures

Coefficient : 3

6 points

exercice 1


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14 points

exercice 2


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Bac STHR Antilles Guyane 2018

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6 points

exercice 1

C(q)=q^3-105q^2+3\,000q+8\ 500\ \ \ \ \text{avec }q\in[20\,;\,60]

1.   Calcul de la dérivée C' (q ).

C'(q)=(q^3-105q^2+3\,000q+8\ 500)' \\\phantom{C'(q)}=(q^3)'-(105q^2)'+(3\,000q)'+8\ 500' \\\phantom{C'(q)}=3q^2-105\times2q+3\,000\times1+0 \\\phantom{C'(q)}=3q^2-210q+3\,000 \\\\\Longrightarrow\boxed{C'(q)=3q^2-210q+3\,000}

2.  La fonction C'  est représentée dans le repère ci-dessous.
Bac STHR Antilles Guyane 2018 : image 9


2. a.  Graphiquement, les solutions de l'équation C' (q ) = 0 sont les abscisses des points d'intersection entre le graphique de la fonction C'  et l'axe des abscisses.
Nous pouvons donc conjecturer que les solutions de l'équation C' (q ) = 0 sont q  = 20 et q  = 50.

Vérifions cette conjecture en résolvant algébriquement l'équation C' (q ) = 0.

3q^2-210q+3\,000=0\Longleftrightarrow3(q^2-70q+1\,000)=0 \\\phantom{3q^2-210q+3\,000=0}\Longleftrightarrow{\red{ q^2-70q+1\,000=0}} \\\\\text{Discriminant }\ \Delta=(-70)^2-4\times1\times1\,000 \\\phantom{\text{Discriminant }\ \Delta}=4900-4\,000 \\\phantom{\text{Discriminant }\ \Delta}=900>0 \\\\\Longrightarrow q_1=\dfrac{70-\sqrt{900}}{2}=\dfrac{70-30}{2}=\dfrac{40}{2}=20 \\\\\phantom{\Longrightarrow }q_2=\dfrac{70+\sqrt{900}}{2}=\dfrac{70+30}{2}=\dfrac{100}{2}=50

Puisque les valeurs 20 et 50 appartiennent à l'intervalle [20 ; 60], les solutions de l'équation C' (q ) = 0 sont
q  = 20 et q  = 50.


2. b.  Tableau de signe de la fonction dérivée C' .

Puisque le discriminant du trinôme 3q ² - 210q +3 000 est positif, nous savons que ce trinôme est du signe du coefficient que q ², soit positif pour toutes les valeurs de q  sauf pour les valeurs de q  entre les racines.
D'où le tableau de signes de C'  sur l'intervalle [20 ; 60] :

                           \begin{array}{|c|ccccc|}\hline q&20&&50&&60 \\\hline &&&&&&C'(q)&0&-&0&+&+\\&&&&&\\\hline \end{array}

3. a.   Tableau de variation de la fonction C sur l'intervalle [0 ; 60] :

C(20)=20^3-105\times20^2+3\,000\times20+8\ 500=34\,500 \\C(50)=50^3-105\times50^2+3\,000\times50+8\ 500=21\,000 \\C(60)=60^3-105\times60^2+3\,000\times60+8\ 500=26\,500 \\\\\Longrightarrow\begin{array}{|c|ccccc|}\hline {\red{q}}&{\red{20}}&&{\red{50}}&&{\red{60}} \\\hline C'(q)&0&-&0&+&+\\\hline &{\red{34\,500}}&&&&{\red{26\;500}}&{\red{C(q)}}&&{\red{\searrow}}&&{\red{\nearrow}}&\\&&&{\red{21\ 000}}&&\\\hline \end{array}

3. b.  Le tableau de variation de C  sur l'intervalle [20 ; 60] nous montre que cette fonction C  est minimale
pour q  = 50.
Par conséquent, l'entreprise devra produire 50 objets décoratifs pour que le coût de production soit minimum.

14 points

exercice 2

Partie A

1.   Déterminons les coordonnées (xG  ; yG  ) du point moyen G du nuage.

\left\lbrace\begin{matrix}x_G=\dfrac{2011+2012+2013+2014+2015}{5}\   \\\\y_G=\dfrac{2721+2762+2761+3100+3090}{5}\end{matrix}\right.\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}x_G=2013\\\\y_G=2\,886,8 \end{matrix}\right.

D'où les coordonnées du point G sont (2013 ; 2886,8).

Plaçons le point G sur le graphique.

Bac STHR Antilles Guyane 2018 : image 10


2. a.   Calcul de m .

La droite D d'équation : y  = mx  - 213 712 passe par le point G (2013 ; 2886,8).
Les coordonnées du point G vérifient alors l'équation de D.
Dans cette équation, nous pouvons remplacer x  par 2013 et y  par 2886,8.

2886,8=m\times2013- 213 712\Longleftrightarrow2013m=2886,8+213712 \\\phantom{2886,8=m\times2013- 213 712}\Longleftrightarrow2013m=216598,8 \\\\\phantom{2886,8=m\times2013- 213 712}\Longleftrightarrow m=\dfrac{216598,8}{2013} \\\\\phantom{2886,8=m\times2013- 213 712}\Longleftrightarrow \boxed{m=107,6}

D'où l'équation de la droite D est :  \boxed{y=107,6x-213712}

2. b.   La représentation graphique de la droite D est donnée dans la réponse à la question 1.

3. a.  Dans l'équation de D, remplaçons x  par 2019 et calculons la valeur de y .
y  = 107,6 multiplie 2019 - 213712 = 3532,4
Donc le chiffre d'affaires du marché du chocolat durant l'année 2015 peut être estimé à 3532,4 millions d'euros.

3. b.   4 milliards d'euros correspondent à 4000 millions d'euros.

Nous devons donc résoudre dans l'intervalle [2011 ; 2025] l'inéquation   107,6x-213712>4000

107,6x-213712>4000\Longleftrightarrow107,6x>4000+213712 \\\phantom{107,6x-213712>4000}\Longleftrightarrow107,6x>217712 \\\\\phantom{107,6x-213712>4000}\Longleftrightarrow x>\dfrac{217712}{107,6}\approx2023,35
Par conséquent, le chiffre d'affaires du marché du chocolat vendu en France dépassera 4 milliards d'euros au cours de l'année 2023.

4. a.   Le pourcentage d'augmentation du chiffre d'affaires entre 2011 et 2015 se calcule par  

\dfrac{\text{chiffre d'affaires en 2015}-\text{chiffre d'affaires en 2011}}{\text{chiffre d'affaires en 2011}}\times100 , soit  \dfrac{3090-2721}{2721}\times100\approx13,56.

D'où le chiffre d'affaires a augmenté d'environ 13,56 % sur la période allant de 2011 à 2015.

4. b.   Le coefficient multiplicateur global Cg pour la période allant de l'année 2011 à l'année 2015 est  C_g=\dfrac{3090}{2721}\approx1,1356  (valeur arrondie au dix-millième).
Puisque 4 années se sont écoulées entre 2011 et 2015, le coefficient multiplicateur annuel moyen est  C_m=1,1356^{\frac{1}{4}}\approx1,0323  (valeur arrondie au dix-millième).
Le taux d'évolution annuel moyen est égal à  C_m-1=0,0323  (valeur arrondie au dix-millième).
Par conséquent, le taux annuel moyen (en pourcentage) d'augmentation du chiffre d'affaires de la vente de chocolat en France entre 2011 et 2015 est égal à  0,0323\times100 = 3,23\ \%  (valeur arrondie au centième).

Partie B

1.   Les commandes de bûches pâtissières augmentent de 10 unités par jour et le premier jour, 30 commandes sont enregistrées.
Ces commandes peuvent se modéliser par une suite arithmétique (un ) de raison r  = 10 et dont le premier terme est u 1 = 30.
Nous savons que dans le cas d'une telle suite arithmétique,  u_n=u_1+(n-1)\times r
Donc, le sixième jour, le nombre de commandes est égal à  u_6=30+(6-1)\times 10=80.

Nous devons déterminer le nombre total de commandes durant les six jours, soit la somme S6 des 6 premiers termes de cette suite arithmétique.

\text{Or }\ S_n=n\times\dfrac{u_1+u_n}{2}\Longrightarrow S_6=6\times\dfrac{u_1+u_6}{2} =6\times\dfrac{30+80}{2}=\boxed{330}

D'où en six jours, 330 commandes de bûches pâtissières ont été enregistrées.
Nous en déduisons qu'en six jours de vente, le nombre total de commandes de bûches pâtissières a dépassé 300.

2.   Les commandes de macarons au chocolat doublent chaque jour et le premier jour, 20 commandes sont enregistrées.
Ces commandes peuvent se modéliser par une suite géométrique (vn ) de raison q  = 2 et dont le premier terme est v 1 = 20.

Nous devons déterminer le nombre total de commandes de macarons durant les six jours, soit la somme S'6 des 6 premiers termes de cette suite géométrique.

\text{Or }\ S'_n=v_1\times\dfrac{1-q^n}{1-q}\Longrightarrow S'_6=20\times\dfrac{1-2^6}{1-2} \\\\\phantom{\text{Or }\ S'_n=u_1\times\dfrac{1-q^n}{1-q}\Longrightarrow S'_6}=20\times\dfrac{1-64}{-1}=20\times63 \\\phantom{\text{Or }\ S'_n=u_1\times\dfrac{1-q^n}{1-q}\Longrightarrow S'_6}=\boxed{1260}
D'où en six jours, 1260 commandes de macarons au chocolat ont été enregistrées.

Partie C

1.   Tableau d'analyse des tâches :

Bac STHR Antilles Guyane 2018 : image 14


2.   Graphe de la recette :

Bac STHR Antilles Guyane 2018 : image 11


3.   Déterminons le temps minimum pour réaliser la recette.

Déterminons d'abord le temps nécessaire pour atteindre la tâche F.
Trois chemins et leurs durées sont à envisager :
E - F : 45 min.
A - C - D - F : 15 + 15 + 20 = 50 min.
B - C - D - F : 5 + 15 + 20 = 40 min.
Puisque l'énoncé signale que certaines tâches peuvent être réalisées simultanément par plusieurs personnes, nous pouvons concevoir que ces trois chemins ont été effectués simultanément.
Donc au bout de 50 minutes, les tâches E - A - B - C - D - F sont exécutées.

Déterminons ensuite le temps nécessaire pour atteindre la tâche J.
Deux chemins et leurs durées sont envisageables :
F - J : 45 minutes à ajouter aux 50 minutes, soit 95 min.
G - H - I - J : 5 + 5 + 10 = 20 min.
A nouveau, nous pouvons concevoir que ces deux chemins ont été effectués simultanément.
Donc au bout de 95 minutes, les tâches sont exécutées jusqu'à la tâche J.

Nous atteindrons la fin des tâches en ajoutant les 5 min au-delà de J.
95 min + 5 min = 100 min.
Par conséquent, le temps minimum pour réaliser la recette est de 100 min, soit 1 h 40 min.
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