Fiche de mathématiques
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Bac STHR Métropole 2018

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Durée : 2 heures
Coefficient : 3

10 points

exercice 1


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6 points

exercice 2


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4 points

exercice 3


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Bac STHR Métropole 2018

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10 points

exercice 1

Partie A

1.  Arbre de probabilité représentant les données du problème :
Bac STHR Métropole 2018 : image 9


2.   L'événement  H\cap G  peut se traduire par : "le client prend une boisson chaude et une gaufre".

p(H\cap G)=p(H)\times p_H(G)\\\phantom{p(H\cap G)}=0,70\times 0,50\\\phantom{p(H\cap G)}=0,35\\\\\Longrightarrow\boxed{p(H\cap G)=0,35}

3.   Nous devons déterminer p(G).
En utilisant la formule des probabilités totales, nous obtenons :

p(G)=p(H\cap G)+p(\overline{H}\cap G) \\\phantom{p(G)}=0,35+p(\overline{H})\times p_{\overline{H}}(G) \\\phantom{p(G)}=0,35+0,30\times0,70 \\\phantom{p(G)}=0,35+0,21 \\\phantom{p(G)}=0,56 \\\\\Longrightarrow\boxed{p(G)=0,56}
D'où, la probabilité que le client prenne une gaufre est égale à 0,56.

4.   Nous devons déterminer  p_{G}(H)

p_{G}(H)=\dfrac{p(H\cap G)}{p(G)}=\dfrac{0,35}{0,56}=0,625.
Par conséquent, sachant que le client prend une gaufre, la probabilité qu'il prenne une boisson chaude est de 0,625.

Partie B

1.   Nous devons déterminer p(70 infegal M infegal 90).

A l'aide de la calculatrice, nous obtenons : p(70\le M\le90)\approx0,84687254.
D'où la probabilité que la masse d'une gaufre soit comprise entre 70 g et 90 g est environ égale à 0,8469
soit environ 84,69 %.


2.   La variable aléatoire M  suit la loi normale d'espérance mu = 80.

Nous savons alors que  p(M\ge80)=p(M\ge \mu)=0,5.

\text{Dès lors, }\ p(M\ge75)=p(75\le M\le80)+p(M\ge80) \\\phantom{\text{Dès lors, }\ p(M\ge75)}=p(75\le M\le80)+0,5 \\\phantom{\text{Dès lors, }\ p(M\ge75)}\approx0,26247473+0,5 \\\phantom{\text{Dès lors, }\ p(M\ge75)}\approx0,76247473 \\\\\Longrightarrow\boxed{p(M\ge75)\approx0,7625}
Par conséquent, la probabilité qu'une gaufre soit commercialisable est environ égale à 0,7625
soit environ 76,25 %.


Partie C


f(t)=-0,5t^3+6,75t^2-21t+35\ \ \ \ \text{avec}\ t\in[0\,;\,10]\ \\\text{où }t\ \text{désigne le temps en heures écoulé depuis 9 h.}

1.   f(0)=-0,5\times0^3+6,75\times0^2-21\times0+35=0+0-0+35=35

\Longrightarrow\boxed{f(0)=35}

Dès l'ouverture à 9 heures, 35 clients sont présents dans le salon.

{\red{2.\ }}\ f'(t)=(-0,5t^3+6,75t^2-21t+35)' \\\phantom{{\red{2.\ }}\ f'(t)}=(-0,5t^3)'+(6,75t^2)'-(21t)'+35' \\\phantom{{\red{2.\ }}\ f'(t)}=-0,5\times3t^2+6,75\times2t-21\times1+0 \\\phantom{{\red{2.\ }}\ f'(t)}=-1,5t^2+13,5t-21 \\\\\Longrightarrow\boxed{{\red{f'(t)}}={\blue{-1,5t^2+13,5t-21}}} \\\\\text{Or }\ (3-1,5t)(t-7)=3 t-3\times7-1,5t^2+1,5t\times7 \\\phantom{\text{Or }\ (3-1,5t)(t-7)}=3 t-21-1,5t^2+10,5t \\\phantom{\text{Or }\ (3-1,5t)(t-7)}=-1,5t^2+13,5t-21 \\\\\Longrightarrow\boxed{{\red{(3-1,5t)(t-7)}}={\blue{-1,5t^2+13,5t-21}}} \\\\\text{Par conséquent, en identifiant les résultats, }\ \boxed{{\red{f'(t)=(3-1,5t)(t-7)}}}

3.   Etude du signe de f '(t ).

Calculs préliminaires :
\begin{array}{c|c}{\red{3-1,5t=0}}\Longleftrightarrow-1,5t=-3\Longleftrightarrow t=\dfrac{-3}{-1,5}\Longleftrightarrow{\red{ t=2}}\ \ &\ \ {\blue{t-7=0}}\Longleftrightarrow {\blue{t=7}} \\\\ {\red{3-1,5t<0}}\Longleftrightarrow-1,5t<-3\Longleftrightarrow t>\dfrac{-3}{-1,5}\Longleftrightarrow {\red{t>2}}\ \  &\ {\blue{t-7<0}}\Longleftrightarrow {\blue{t<7}}\\\\ {\red{3-1,5t>0}}\Longleftrightarrow-1,5t>-3\Longleftrightarrow t<\dfrac{-3}{-1,5}\Longleftrightarrow {\red{t<2}}\ \ &\ \ {\blue{t-7>0}}\Longleftrightarrow {\blue{t>7}}&\\ \end{array}
D'où le tableau de signes de la dérivée f '(t ) sur R

\begin{array}{|c|ccccccc|}\hline t&-\infty&&2&&7&&+\infty \\\hline 3-1,5t&&+&0&-&-&-&\\\hline t-7&&-&-&-&0&+&\\\hline f'(t)=(3-1,5t)(t-7)&&-&0&+&0&-&\\\hline \end{array}

et le tableau de variation de la fonction f  sur l'intervalle [0 ; 10] :

f(0)=35\\\\f(2)=-0,5\times2^3+6,75\times2^2-21\times2+35\\\phantom{f(2)}=-4+27-42+35\\\phantom{f(2)}=16 \\\\f(7)=-0,5\times7^3+6,75\times7^2-21\times7+35\\\phantom{f(7)}=-171,5+330,75-147+35\\\phantom{f(7)}=47,25 \\\\f(10)=-0,5\times10^3+6,75\times10^2-21\times10+35\\\phantom{f(10)}=-500+675-210+35\\\phantom{f(10)}=0 \\\\\underline{\text{Tableau de variation de }f\ \text{sur [0 ; 10]}}}:\ \ \ \ \ \ \ \  \begin{array}{|c|ccccccc|}\hline t&0&&2&&7&&10 \\\hline f'(t)&&-&0&+&0&-&\\\hline &35&&&&47,25&&&f&&\searrow&&\nearrow&&\searrow&&&&&16&&&&0\\\hline \end{array}

4. Le tableau de variation de f  sur l'intervalle [0 ; 10] nous montre que cette fonction f  est maximale pour t  = 7.
Comme t  désigne le temps en heures écoulé depuis 9 h, la valeur t  = 7 correspond à 9 + 7 = 16 h.
De plus f (7) = 47,25 environegal 47.
Par conséquent, à 16 h, le nombre de clients attendus dans le salon est maximal.
Ce nombre maximal est estimé à 47 clients.


6 points

exercice 2

1.   Le coefficient multiplicateur global Cg pour la période allant de l'année 2011 à l'année 2015 est  C_g=\dfrac{20,5}{19,1}\approx1,0733  (valeur arrondie au dix-millième).
Puisque 4 années se sont écoulées entre 2011 et 2015, le coefficient multiplicateur annuel moyen est  C_m=1,0733^{\frac{1}{4}}\approx1,0178  (valeur arrondie au dix-millième).
Le taux d'évolution annuel moyen est égal à  C_m-1=0,0178  (valeur arrondie au dix-millième).
Par conséquent, le taux d'évolution annuel moyen (en pourcentage) des dépenses touristiques intérieures effectuées dans les restaurants et les cafés entre 2011 et 2015 est égal à  0,0178\times100 = 1,78\ \%  (valeur arrondie au centième).

2.   un  est la dépense en 2015 + n , exprimée en milliards d'euros.
Le taux d'augmentation annuel est de 2 %.
D'où, le coefficient multiplicateur annuel est égal à 1 + 0,02 = 1,02.

Par conséquent,  \boxed{u_0=20,5}

                                      u_1=1,02\times u_0 \\\phantom{u_1}=1,02\times20,5 \\\phantom{u_1}=20,91 \\\\\Longrightarrow\boxed{u_1=20,91} \\\\u_2=1,02\times u_1 \\\phantom{u_1}=1,02\times20,91 \\\phantom{u_1}=21,3282 \\\\\Longrightarrow\boxed{u_2\approx21,33}

3.  Pour tout entier naturel n , un+1  = 1,02 multiplie un
D'où, la suite (un ) est une suite géométrique de raison 1,02 et dont le premier terme est u 0 = 20,5.

4.   u_n=u_0\times\text{(raison)}^n\Longrightarrow\boxed{u_n=20,5\times1,02^n}

5.  2023 = 2015 + 8 implique n  = 8.

u_8=20,5\times1,02^8\approx24
En 2025, on peut prévoir environ 24 milliards d'euros pour la dépense touristique intérieure dans les restaurants et les cafés.

6.   Algorithme complété :

                   \begin{array}{|c|}\hline U\longleftarrow20,5\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\hline\text{Pour }I\ \text{variant de 1 à }n\\\ \ \ \ \ U\longleftarrow1,02\times U\\\text{Fin Pour}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\hline \end{array}

7.   En reprenant la formule de l'exercice 4, voici le tableau donnant les valeurs de un  (arrondies au millième) en fonction des valeurs de n .

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c||>{\columncolor{green}}c|c|}\hline n&8&9&10&11&12&{\red{13}}&14 \\\hline u_n=20,5\times1,02^n&24,019&24,499&24,989&25,489&25,999&{\red{26,519}}&27,049\\\hline \end{array}

Au sens strict, en arrondissant les valeurs de un  au millième, nous pouvons dire que la valeur de un  dépassera 26 à partir de n  = 13.
Or 2015 + 13 = 2028.

Par conséquent, la dépense touristique intérieure dans les restaurants et les cafés dépassera 26 milliards d'euros à partir de 2028.

4 points

exercice 3

1.   Graphe complété

Bac STHR Métropole 2018 : image 10


2.  Déterminons le temps minimum pour réaliser la recette.

Déterminons d'abord le temps nécessaire pour atteindre la tâche H.
Trois chemins et leurs durées sont à envisager :
C - H : 8 min.
A - B - H : 8 + 2 = 10 min.
D - E - F - G - H : 8 + 15 + 4 + 5 = 32 min.
Puisque l'énoncé signale que certaines tâches peuvent être réalisées simultanément par plusieurs personnes, nous pouvons concevoir que ces trois chemins ont été effectués simultanément.
Donc au bout de 32 minutes, les tâches C - A - B - D - E - G - H sont exécutées.

Déterminons ensuite le temps nécessaire pour atteindre la tâche J.
Deux chemins et leurs durées sont envisageables :
H - J : 20 minutes à ajouter aux 32 minutes, soit 52 min.
I - J : 4 min.
A nouveau, nous pouvons concevoir que ces deux chemins ont été effectués simultanément.
Donc au bout de 52 minutes, les tâches sont exécutées jusqu'à la tâche J.

Déterminons également le temps nécessaire pour atteindre la tâche N.
Deux chemins et leurs durées sont possibles :
J - K - N : 1 + 10 = 11 minutes à ajouter aux 52 minutes, soit 63 min.
L - M : 5 min.
Une fois encore, nous pouvons concevoir que ces deux chemins ont été effectués simultanément.
Donc au bout de 63 minutes, les tâches sont exécutées jusqu'à la tâche N.

Nous atteindrons la fin des tâches par le chemin N - O - P dont la durée est 2 + 5 + 30 = 37 minutes à ajouter aux 63 minutes.
37 min + 63 min = 100 min.
Par conséquent, le temps minimum pour réaliser la recette est de 100 min, soit 1 h 40 min.
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