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Bac STI2D et STL-SPCL

Antilles Guyane 2018

Durée : 4 heures

Coefficient : 4 3 points

exercice 1

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7 points

exercice 2

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6 points

exercice 3

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4 points

exercice 4

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Bac STI2D et STL-SPCL Antilles Guyane 2018

3 points

exercice 1

1. Résoudre sur [0 ; + infini

[ l'équation différentielle (E ) : y' + 0,15y = 4,5.
La solution générale d'une équation différentielle de la forme $y'=ay+b$ est $y=k\,\text{e}^{at}-\dfrac{b}{a}\ \ \ \ \ (k\in\R).$
Or (E ) equivaut

y' = -0,15y + 4,5.
Dans ce cas, a = -0,15 et b = 4,5.
D'où les solutions de l'équation (E) sont $y=k\,\text{e}^{-0,15t}-\dfrac{4,5}{-0,15}$ ,
soit $\boxed{y=k\,\text{e}^{-0,15t}+30\ \ \ \ \ (k\in\R)}$

2. À l'instant t = 0, la résistance à la compression de ce béton est nulle.

. $\text{Donc } f(0)=0\Longleftrightarrow k\,\text{e}^{-0,15\times0}+30=0 \\\phantom{\text{Donc } f(0)=0}\Longleftrightarrow k\,\text{e}^0+30=0 \\\phantom{\text{Donc } f(0)=0}\Longleftrightarrow k\times1+30=0 \\\phantom{\text{Donc } f(0)=0}\Longleftrightarrow k=-30$

Par conséquent, la fonction f est définie sur [0 ; + infini

[ par $\boxed{f(t)=-30\,\text{e}^{-0,15t}+30}$

3. Calculons $\lim\limits_{t\to+\infty}f(t).$

$\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{t\to+\infty}-0,15t=-\infty\\\\\lim\limits_{T\to-\infty}\text{e}^T=0\ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.\ \ \ \ \Longrightarrow\lim\limits_{t\to+\infty}\text{e}^{-0,15t}=\lim\limits_{T\to-\infty}\text{e}^T=0\\\\\\\text{Dès lors }\lim\limits_{t\to+\infty}\text{e}^{-0,15t}=0\Longrightarrow\lim\limits_{t\to+\infty}-30\,\text{e}^{-0,15t}=0 \\\\\phantom{\text{Dès lors }\lim\limits_{t\to+\infty}\text{e}^{-0,15t}=0}\Longrightarrow\lim\limits_{t\to+\infty}\left(-30\,\text{e}^{-0,15t}+30\right)=30 \\\\\phantom{\text{Dès lors }\lim\limits_{t\to+\infty}\text{e}^{-0,15t}=0}\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{t\to+\infty}f(t)=30}$

Nous en déduisons qu'à très long terme, la résistance à la compression du béton vaudra environ 30 MPa.

4. Déterminons la valeur du plus petit entier naturel t vérifiant l'inéquation $f(t)>12$

$f(t)>12\Longleftrightarrow-30\,\text{e}^{-0,15t}+30>12 \\\phantom{f(t)>12}\Longleftrightarrow-30\,\text{e}^{-0,15t}>-18 \\\\\phantom{f(t)>12}\Longleftrightarrow\text{e}^{-0,15t}<\dfrac{-18}{-30} \\\\\phantom{f(t)>12}\Longleftrightarrow\text{e}^{-0,15t}<0,6 \\\\\phantom{f(t)>12}\Longleftrightarrow\ln(\text{e}^{-0,15t})<\ln(0,6) \\\\\phantom{f(t)>12}\Longleftrightarrow-0,15t<\ln(0,6) \\\\\phantom{f(t)>12}\Longleftrightarrow t>\dfrac{\ln(0,6)}{-0,15} \\\\\text{Or }\ \dfrac{\ln(0,6)}{-0,15}\approx3,4$

D'où le plus petit entier t vérifiant l'inéquation est t = 4.
Par conséquent, il est possible de marcher sur ce type de béton après quatre jours complets de séchage.

7 points

exercice 2

Partie A

$f(x)=(0,5x^2+ax+b)\,\text{e}^{-x}\ \ \ \ \text{où }x\in[0\,;2]$

1. Puisque les points A (2 ; 0) et H (0 ; 2) appartiennent à la courbe $\mathscr{C}$ , nous déduisons que ${\blue{f(2)=0}} \ \text{et}\ {\blue{f(0)=2}}.$

${\red{2.\ }}\left\lbrace\begin{matrix}f(0)=2\\f(2)=0\end{matrix}\right.\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}(0,5\times0^2+a\times0+b)\,\text{e}^{0}=2\\ (0,5\times2^2+a\times2+b)\,\text{e}^{-2}=0\end{matrix}\right. \\\\\phantom{{\red{2.\ }}\left\lbrace\begin{matrix}f(0)=2\\f(2)=0\end{matrix}\right.}\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}(0+0+b)\,\text{e}^{0}=2\\ (2+2a+b)\,\text{e}^{-2}=0\end{matrix}\right. \\\\\phantom{{\red{2.\ }}\left\lbrace\begin{matrix}f(0)=2\\f(2)=0\end{matrix}\right.}\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}b=2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\2+2a+b=0\ \ \ \ \ (\text{car }\text{e}^{-2}\neq0)\end{matrix}\right.$

Par conséquent, les réels a et b vérifient le système $\left\lbrace\begin{matrix}b=2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\2a+b+2=0\end{matrix}\right.$

${\red{3.\ }}\left\lbrace\begin{matrix}b=2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\2a+b+2=0\end{matrix}\right.\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}b=2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\2a+2+2=0\end{matrix}\right. \\\\\phantom{{\red{3.\ }}\left\lbrace\begin{matrix}b=2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\2a+b+2=0\end{matrix}\right.}\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}b=2\ \ \ \ \ \ \ \\2a+4=0\end{matrix}\right. \\\\\phantom{{\red{3.\ }}\left\lbrace\begin{matrix}b=2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\2a+b+2=0\end{matrix}\right.}\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}b=2\ \ \ \ \\2a=-4\end{matrix}\right. \\\\\phantom{{\red{3.\ }}\left\lbrace\begin{matrix}b=2\ \ \ \ \\2a+b+2=0\end{matrix}\right.}\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}b=2\ \ \\a=-2\end{matrix}\right. \\\\\text{D'où }\ \boxed{f(x)=(0,5x^2-2x+2)\,\text{e}^{-x}\ \ \ \ \text{où }x\in[0\,;2]}$

Partie B

1. Calcul de f' (x ).

$f'(x)=(0,5x^2-2x+2)'\times \text{e}^{-x}+(0,5x^2-2x+2)\times (\text{e}^{-x})' \\\phantom{f'(x)}=(0,5\times2x-2+0)\times \text{e}^{-x}+(0,5x^2-2x+2)\times (-x)'\,\text{e}^{-x} \\\phantom{f'(x)}=(x-2)\times \text{e}^{-x}+(0,5x^2-2x+2)\times (-\,\text{e}^{-x}) \\\phantom{f'(x)}=(x-2)\times \text{e}^{-x}-(0,5x^2-2x+2)\times \,\text{e}^{-x} \\\phantom{f'(x)}=(x-2-0,5x^2+2x-2)\times \text{e}^{-x} \\\phantom{f'(x)}=(-0,5x^2+3x-4)\times \text{e}^{-x} \\\\\Longrightarrow\boxed{f'(x)=(-0,5x^2+3x-4)\,\text{e}^{-x}}$

2. Une équation de la tangente à la courbe $\mathscr{C}$ au point A d'abscisse 2 est de la forme : $y=f'(2)(x-2)+f(2)$

$\text{Or }\ f(2)=0\ \text{et }\ f'(2)=(-0,5\times4+3\times2-4)\,\text{e}^{-2}\\\phantom{\text{Or }\ f(2)=0\ \text{et }\ f'(2)}=(-2+6-4)\,\text{e}^{-2}\\\phantom{\text{Or }\ f(2)=0\ \text{et }\ f'(2)}=0$

Dès lors, une équation de la tangente à la courbe $\mathscr{C}$ au point A est : y = 0(x - 2) + 0, soit $\boxed{y=0}$ .
Par conséquent, la tangente à la courbe $\mathscr{C}$ au point A est l'axe des abscisses.

3. $f'(x)=(-0,5x^2+3x-4)\,\text{e}^{-x}$
Puisque e^-x > 0 pour tout x réel, le signe de f' (x ) est donné par le signe du trinôme $-0,5x^2+3x-4.$

4. Etudions le signe de f' (x ), soit le signe du trinôme $-0,5x^2+3x-4.$

Racines du trinôme :

$-0,5x^2+3x-4=0 \\\\\Delta=3^2-4\times(-0,5)\times(-4)=9-8=1>0 \\\\\Longrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}x_1=\dfrac{-3-\sqrt{1}}{2\times(-0,5)}=\dfrac{-3-1}{-1}=4 \\\\x_2=\dfrac{-3+\sqrt{1}}{2\times(-0,5)}=\dfrac{-3+1}{-1}=2\end{matrix}\right.$

Tableau de signes du trinôme sur

:

$\begin{array}{|c|ccccccc|}\hline x&-\infty&&2&&4&&+\infty \\\hline &&&&&&&&-0,5x^2+3x-4&&-&0&+&0&-&&&&&&&&&\\\hline \end{array}$

Sens de variation de f sur [0 ; 2] :

$\begin{array}{|c|ccccc|}\hline x&0&&&&2\\\hline f'(x)&&&-&&0\\\hline &{\red{2}}&&&& \\ {\red{f(x)}}&&&{\red{\searrow}}& &\\ &&&&& {\red{0}}\\ \hline \end{array}$

La fonction f est donc décroissante sur l'intervalle [0 ; 2].

Partie C

1. Nous avons montré dans la question précédente que la fonction f est décroissante sur l'intervalle [0 ; 2].

Donc pour tout x réel, $0\le x\le2\Longrightarrow f(0)\ge f(x)\ge f(2)$ , soit $0\le x\le2\Longrightarrow 2\ge f(x)\ge 0$

Par conséquent, la fonction f est positive sur l'intervalle [0 ; 2].

2. La fonction f est continue et positive sur l'intervalle [0 ; 2].

Dès lors, l'aire en m² de la partie délimitée par la courbe $\mathscr{C}$ , l'axe des abscisses et les droites d'équation x = 0 et x = 2 est donnée par $\int\limits_0^2f(x)\,dx.$

$\int\limits_0^2f(x)\,dx=[F(x)]\limits_0^2=F(2)-F(0) \\\phantom{\int\limits_0^2f(x)\,dx}=[(-\dfrac{1}{2}\times2^2+2-1)\,\text{e}^{-2}]-[(-\dfrac{1}{2}\times0^2+0-1)\,\text{e}^{0}] \\\phantom{\int\limits_0^2f(x)\,dx}=[(-2+2-1)\,\text{e}^{-2}]-[(-1)\times1] \\\phantom{\int\limits_0^2f(x)\,dx}=-\text{e}^{-2}+1 \\\phantom{\int\limits_0^2f(x)\,dx}=1-\dfrac{1}{\text{e}^{2}}$

Par conséquent, l'aire en m² de la partie délimitée par la courbe $\mathscr{C}$ , l'axe des abscisses et les droites d'équation
x = 0 et x = 2 est égale à $1-\dfrac{1}{\text{e}^{2}}$

3. Calcul de l'aire de la zone à peindre.

Bac STI2D et STL-SPCL Antilles Guyane 2018 : image 12

La surface à peindre est symétrique par rapport à la médiatrice (FG) du segment [AB].
En utilisant cette symétrie, nous déduisons que l'aire de la surface à peindre est le double de l'aire de la surface colorée (voir figure),
soit le double du domaine constitué par le rectangle rouge DHJC, le rectangle vert HEFG et la surface CJA délimitée par la courbe $\mathscr{C}$ , l'axe des abscisses et les droites d'équation x = 0 et x = 2.

$\text{Aire}_{\text{rectangle DHJC}}=DC\times DH \\\phantom{\text{Aire}_{\text{rectangle DHJC}}}=1\times2 \\\phantom{\text{Aire}_{\text{rectangle DHJC}}}=2 \\\\ \text{Aire}_{\text{rectangle HEFG}}=HE\times EF \\\phantom{\text{Aire}_{\text{rectangle DHJC}}}=(2,2-2)\times3,5 \\\phantom{\text{Aire}_{\text{rectangle DHJC}}}=0,7 \\\\ \text{Aire}_{\text{surface CJA}}=1-\dfrac{1}{\text{e}^2}\ \ \ \ (\text{voir question$

Or $2\times(2+0,7+1-\dfrac{1}{\text{e}^2})=2\times(3,7-\dfrac{1}{\text{e}^2})=7,4-\dfrac{2}{\text{e}^2}\approx7,13$

Par conséquent, l'aire de la zone peindre est environ égale à 7,13 m² (arrondie à 0,01 m² près).

6 points

exercice 3

Partie A

Tableau de données sur la production de l'usine espagnole considérée :

$\begin{array}{|c|c|}\hline \text{Année}&\text{Quantité de pales produites pendant l'année} \\\hline 2001&800\\\hline 2008&2\,002\\\hline \end{array}$

1. a. Soit $u_n=800+578\ln(n+1)\ \ \ \ (\text{avec }\ n\in\N)$

Pendant l'année 2001, la valeur de n est 0.

$u_0=800+578\ln(0+1) \\\phantom{u_0}=800+578\ln(1) \\\phantom{u_0}=800+578\times0 \\\phantom{u_0}=800$
En 2001, l'usine espagnole a produit 800 pales.

Pendant l'année 2008, la valeur de n est 7.

$u_7=800+578\ln(7+1) \\\phantom{u_7}=800+578\ln(8) \\\phantom{u_7}\approx800+1\,202 \\\phantom{u_7}\approx2002$
En 2008, l'usine espagnole a produit 2002 pales.

Ces données sont conformes à celles du tableau précédent.

1. b. Considérons l'algorithme suivant :

$\begin{array}{|c|}\hline S\longleftarrow0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\text{Pour }i\ \ \text{allant de }0\text{ à }15\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\ \ |S\longleftarrow S+\text{ARRONDI(800+578 ln(}i\text{+1))} \\\text{Fin Pour}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\hline\end{array}$

Lorsque l'algorithme a été exécuté, S contient la valeur $30\,529.$
Dans le contexte de l'exercice, cela signifie qu'entre 2001 et 2016, l'usine a produit 30 529 pales au total.

1. c. Dans l'article publié par le service de presse de l'usine, il est écrit : "Une de nos usines située en Espagne, en exploitation depuis 2001, a produit au total plus de 40 000 pales d'éoliennes de 2001 à 2016."
Or le modèle proposé par la suite $(u_n)$ fournit un total de 30 529 pales, ce qui est nettement inférieur
aux 40 000 pales réellement produites par l'usine.
Le pourcentage d'erreur relative entre les deux valeurs est égal à $\dfrac{30\,529-40\,000}{40\,000}\times100\approx-24$

Cette erreur relative d'environ 24 % est très grande.
Par conséquent, la suite $(u_n)$ ne peut pas modéliser la production des pales d'éoliennes de l'usine espagnole depuis 2001.

2. Une modélisation de la production est donnée par la suite géométrique $(v_n)$ de premier terme $v_0=800$ et de raison $q=1,14.$

2. a. $v_n=v_0\times q^n\Longrightarrow\boxed{v_n=800\times1,14^n\ \ \ \ (n\in\N)}$

2. b. Remplaçons n par 7 dans l'expression de v_n

$v_7=800\times1,14^7\Longrightarrow\boxed{v_7\approx2002}$

${\red{2.\ \text{c} }}\ \ v_0+v_1+...+v_{n}=v_0\times\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}\Longrightarrow v_0+v_1+...+v_{15}=800\times\dfrac{1-1,14^{16}}{1-1,14} \\\\\phantom{{\red{2.\ \text{c} }}\ \ v_0+v_1+...+v_{n}=v_0\times\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}}\Longrightarrow \boxed{v_0+v_1+...+v_{15}\approx40\,784}$

2. d. Le modèle proposé par la suite (v_n ) fournit un total de 40 784 pales, ce qui correspond approximativement
aux 40 000 pales réellement produites par l'usine.
Le pourcentage d'erreur relative entre les deux valeurs est égal à $\dfrac{40\,784-40\,000}{40\,000}\times100=1,96$

Par conséquent, sous réserve d'une erreur de 1,96 %, la suite (v_n ) peut modéliser la production des pales d'éoliennes de l'usine espagnole depuis 2001.

Partie B

1. Soit X une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre lambda

sur l'intervalle [0 ; + infini

[.
Pour tout intervalle [a ; b ] inclus dans [0 ; + infini

[, nous avons : $P(a\le X\le b)=\int\limits_a^b\lambda\,\text{e}^{-\lambda t}\,dt$

Dès lors, $P(0\le X\le 5)=\int\limits_0^50,125\,\text{e}^{-0,125t}\,dt$

Une primitive de la fonction définie sur [0 ; + infini

[ par $t\mapsto0,125\,\text{e}^{-0,125t}$ est la fonction F définie sur [0 ; + infini

[ par $F(t)=-\text{e}^{-0,125t}$

$\text{D'où }\ P(0\le X\le5)=[F(t)]\limits_0^5 \\\\\phantom{\text{D'où }\ P(0\le X\le5)}=[-\text{e}^{-0,125t}]\limits_0^5 \\\\\phantom{\text{D'où }\ P(0\le X\le5)}=\left(-\text{e}^{-0,125\times 5}\right)-\left(-\text{e}^{-0,125\times 0}\right) \\\\\phantom{\text{D'où }\ P(0\le X\le5)}=-\text{e}^{-0,625}+\text{e}^{0} \\\\\phantom{\text{D'où }\ P(0\le X\le5)}=-\text{e}^{-0,625}+1 \\\\\Longrightarrow\boxed{P(0\le X\le5)=1-\text{e}^{-0,625}\approx0,465}$

2. Nous devons déterminer P (X > 10).

$P(X>10)=1-P(0\le X\le10) \\\\\phantom{P(X>10)}=1-\int\limits_0^{10}0,125\,\text{e}^{-0,125t}\,dt \\\\\phantom{P(X>10)}=1-[-\text{e}^{-0,125t}]\limits_0^{10} \\\\\phantom{P(X>10)}=1-[(-\text{e}^{-0,125\times10})-(-\text{e}^{-0,125\times0})] \\\\\phantom{P(X>10)}=1-(-\text{e}^{-1,25}+\text{e}^{0}) \\\\\phantom{P(X>10)}=1+\text{e}^{-1,25}-1 \\\\\phantom{P(X>10)}=\text{e}^{-1,25} \\\\\Longrightarrow\boxed{P(X>10)=\text{e}^{-1,25}\approx0,287}$

Par conséquent, la probabilité qu'une pale n'ait pas eu de réparation au cours des dix premières années est environ égale à 0,287.

3. La durée de vie moyenne d'une pale avant la première réparation est donnée par E (X ).

$E(X)=\dfrac{1}{\lambda}=\dfrac{1}{0,125}\Longrightarrow\boxed{E(X)=8}$

D'où la durée de vie moyenne d'une pale avant la première réparation est de 8 ans.

4 points

exercice 4

${\red{\text{1. }}{\blue{\mathbf{Réponse\ c}}.}$
Ecrivons $z_1=-1+i\sqrt{3}$ sous forme exponentielle $\rho\,\text{e}^{i\theta}$ .

$\rho=|z_1|=\sqrt{(-1)^2+(\sqrt{3})^2}\\\\\phantom{\rho}=\sqrt{1+3}=\sqrt{4}=2 \\\\\Longrightarrow\boxed{\rho=2} \\\\\\\left\lbrace\begin{matrix}\cos\theta=\dfrac{-1}{\rho}\\\\\sin\theta=\dfrac{\sqrt{3}}{\rho}\end{matrix}\right. \Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}\cos\theta=\dfrac{-1}{2}\\\\\sin\theta=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\end{matrix}\right. \Longleftrightarrow\boxed{\theta=\dfrac{2\pi}{3}\ [2\pi]}$

z ₁ peut alors s'écrire sous forme exponentielle par $\boxed{z_1=2\,\text{e}^{i\frac{2\pi}{3}}}$

$\text{Dès lors, }\ \dfrac{z_1}{(z_2)^2}=\dfrac{2\,\text{e}^{i\frac{2\pi}{3}}}{(\text{e}^{i\frac{\pi}{3}})^2}=\dfrac{2\,\text{e}^{i\frac{2\pi}{3}}}{\text{e}^{i\frac{2\pi}{3}}}\Longrightarrow\boxed{\dfrac{z_1}{(z_2)^2}=2}$

${\red{\text{2. }}{\blue{\mathbf{Réponse\ b}}.}$
Nous avons montré dans l'exercice précédent que $z_1=-1+i\sqrt{3}=2\,\text{e}^{i\frac{2\pi}{3}}$

$\text{D'où }\ \overline{z_1}=2\,\text{e}^{-i\frac{2\pi}{3}} \\\\\text{et }\ \overline{z_1}\times z_2=2\,\text{e}^{-i\frac{2\pi}{3}}\times\text{e}^{i\frac{\pi}{3}} =2\,\text{e}^{-i\frac{2\pi}{3}+i\frac{\pi}{3}} =2\,\text{e}^{-i\frac{\pi}{3}} \\\\\phantom{\text{et }\ \overline{z_1}\times z_2}=2[\cos(-\dfrac{\pi}{3})+i\sin(-\dfrac{\pi}{3})] \\\\\phantom{\text{et }\ \overline{z_1}\times z_2}=2[\cos(\dfrac{\pi}{3})-i\sin(\dfrac{\pi}{3})] \\\\\phantom{\text{et }\ \overline{z_1}\times z_2}=2\left(\dfrac{1}{2}-i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) \\\\\phantom{\text{et }\ \overline{z_1}\times z_2}=\boxed{1-i\sqrt{3}}$

${\red{\text{3. }}{\blue{\mathbf{Réponse\ c}}.}$
Nous savons que si la variable aléatoire X suit la loi normale d'espérance

et d'écart type sigma

, alors $P(\mu-2\sigma\le X\le\mu+2\sigma)\approx0,95.$

$\text{D'où }\ P(X\in[189;191))\approx0,95\Longleftrightarrow P(189\le X\le191)\approx0,95\\\phantom{\text{D'où }\ P(X\in[189;191))\approx0,95}\Longleftrightarrow P(190-1\le X\le190+1)\approx0,95\\\phantom{\text{D'où }\ P(X\in[189;191))\approx0,95}\Longleftrightarrow P({\red{190}}-2\times{\blue{0,5}}\le X\le{\red{190}}+2\times{\blue{0,5}})\approx0,95 \\\dfrac{}{}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {\red{\updownarrow}}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {\blue{\updownarrow}}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {\red{\updownarrow}}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {\blue{\updownarrow}} \\\dfrac{}{}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{Or }\ P(\ {\red{\mu}}\ -2\ \times\ {\blue{\sigma}}\le\ X\le\ {\red{\mu}}\ \ +2\ \times{\blue{\sigma}})\approx0,95\\\\\Longrightarrow\boxed{{\red{\mu=190}}\ \text{ et }\ {\blue{\sigma=0,5}}}$

${\red{\text{4. }}{\blue{\mathbf{Réponse\ d}}.}$
Un intervalle de fluctuation asymptotique I₁₅₀ au seuil de 95 % de la fréquence p des pièces détachées conformes est donnée par $I_{150}=\left[p-1,96\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}\,;\,p+1,96\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}\right]$ où la taille de l'échantillon est
n = 150 et la fréquence des pièces détachées conformes est p = 0,96.

$I_{150}=\left[0,96-1,96\sqrt{\dfrac{0,96(1-0,96)}{150}}\,;\,0,96+1,96\sqrt{\dfrac{0,96(1-0,96)}{150}}\right]\\\\\Longrightarrow\boxed{I_{150}\approx[0,928\,;\,0,992]}$

Déterminons la fréquence observée des pièces conformes dans chaque proposition de l'exercice.

a. Le nombre de pièces détachées non conformes trouvées est 8.
La fréquence des pièces conformes est alors égale à $1-\dfrac{8}{150}\approx0,947.$
Puisque 0,947 appartient

[0,928 ; 0,992], aucun réglage ne doit être effectué sur la chaîne de production.

b. Le nombre de pièces détachées non conformes trouvées est 9.
La fréquence des pièces conformes est alors égale à $1-\dfrac{9}{150}=0,94.$
Puisque 0,94 appartient

[0,928 ; 0,992], aucun réglage ne doit être effectué sur la chaîne de production.

c. Le nombre de pièces détachées non conformes trouvées est 10.
La fréquence des pièces conformes est alors égale à $1-\dfrac{10}{150}\approx0,933.$
Puisque 0,933 appartient

[0,928 ; 0,992], aucun réglage ne doit être effectué sur la chaîne de production.

d. Le nombre de pièces détachées non conformes trouvées est 11.
La fréquence des pièces conformes est alors égale à $1-\dfrac{11}{150}\approx0,927.$
Puisque 0,927 nonappartient

[0,928 ; 0,992], on prendra la décision d'effectuer des réglages sur la chaîne de production.

Publié par malou le 29-11-2018

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