1. Résoudre sur [0 ; +[ l'équation différentielle (E ) : y' + 0,15y = 4,5.
La solution générale d'une équation différentielle de la forme est
Or (E ) y' = -0,15y + 4,5.
Dans ce cas, a = -0,15 et b = 4,5.
D'où les solutions de l'équation (E) sont,
soit
2. À l'instant t = 0, la résistance à la compression de ce béton est nulle.
.
Par conséquent, la fonction f est définie sur [0 ; +[ par
3. Calculons
Nous en déduisons qu'à très long terme, la résistance à la compression du béton vaudra environ 30 MPa.
4. Déterminons la valeur du plus petit entier naturel t vérifiant l'inéquation
D'où le plus petit entier t vérifiant l'inéquation est t = 4.
Par conséquent, il est possible de marcher sur ce type de béton après quatre jours complets de séchage.
7 points
exercice 2
Partie A
1. Puisque les points A (2 ; 0) et H (0 ; 2) appartiennent à la courbe , nous déduisons que
Par conséquent, les réels a et b vérifient le système
Partie B
1. Calcul de f' (x ).
2. Une équation de la tangente à la courbe au point A d'abscisse 2 est de la forme :
Dès lors, une équation de la tangente à la courbe au point A est : y = 0(x - 2) + 0, soit .
Par conséquent, la tangente à la courbe au point A est l'axe des abscisses.
3.
Puisque e-x > 0 pour tout x réel, le signe de f' (x ) est donné par le signe du trinôme
4. Etudions le signe de f' (x ), soit le signe du trinôme
Racines du trinôme :
Tableau de signes du trinôme sur :
Sens de variation de f sur [0 ; 2] :
La fonction f est donc décroissante sur l'intervalle [0 ; 2].
Partie C
1. Nous avons montré dans la question précédente que la fonction f est décroissante sur l'intervalle [0 ; 2].
Donc pour tout x réel, , soit
Par conséquent, la fonction f est positive sur l'intervalle [0 ; 2].
2. La fonction f est continue et positive sur l'intervalle [0 ; 2].
Dès lors, l'aire en m² de la partie délimitée par la courbe , l'axe des abscisses et les droites d'équation x = 0 et x = 2 est donnée par
Par conséquent, l'aire en m² de la partie délimitée par la courbe , l'axe des abscisses et les droites d'équation x = 0 et x = 2 est égale à
3. Calcul de l'aire de la zone à peindre.
La surface à peindre est symétrique par rapport à la médiatrice (FG) du segment [AB].
En utilisant cette symétrie, nous déduisons que l'aire de la surface à peindre est le double de l'aire de la surface colorée (voir figure),
soit le double du domaine constitué par le rectangle rouge DHJC, le rectangle vert HEFG et la surface CJA délimitée par la courbe , l'axe des abscisses et les droites d'équation x = 0 et x = 2.
Or
Par conséquent, l'aire de la zone peindre est environ égale à 7,13 m² (arrondie à 0,01 m² près).
6 points
exercice 3
Partie A
Tableau de données sur la production de l'usine espagnole considérée :
1. a. Soit
Pendant l'année 2001, la valeur de n est 0.
En 2001, l'usine espagnole a produit 800 pales.
Pendant l'année 2008, la valeur de n est 7.
En 2008, l'usine espagnole a produit 2002 pales.
Ces données sont conformes à celles du tableau précédent.
1. b. Considérons l'algorithme suivant :
Lorsque l'algorithme a été exécuté, S contient la valeur
Dans le contexte de l'exercice, cela signifie qu'entre 2001 et 2016, l'usine a produit 30 529 pales au total.
1. c. Dans l'article publié par le service de presse de l'usine, il est écrit : "Une de nos usines située en Espagne, en exploitation depuis 2001, a produit au total plus de 40 000 pales d'éoliennes de 2001 à 2016."
Or le modèle proposé par la suite fournit un total de 30 529 pales, ce qui est nettement inférieur aux 40 000 pales réellement produites par l'usine.
Le pourcentage d'erreur relative entre les deux valeurs est égal à
Cette erreur relative d'environ 24 % est très grande.
Par conséquent, la suite ne peut pas modéliser la production des pales d'éoliennes de l'usine espagnole depuis 2001.
2. Une modélisation de la production est donnée par la suite géométrique de premier terme et de raison
2. a.
2. b. Remplaçons n par 7 dans l'expression de vn
2. d. Le modèle proposé par la suite (vn ) fournit un total de 40 784 pales, ce qui correspond approximativement aux 40 000 pales réellement produites par l'usine.
Le pourcentage d'erreur relative entre les deux valeurs est égal à
Par conséquent, sous réserve d'une erreur de 1,96 %, la suite (vn ) peut modéliser la production des pales d'éoliennes de l'usine espagnole depuis 2001.
Partie B
1. Soit X une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre sur l'intervalle [0 ; +[.
Pour tout intervalle [a ; b ] inclus dans [0 ; +[, nous avons :
Dès lors,
Une primitive de la fonction définie sur [0 ; +[ par est la fonction F définie sur [0 ; +[ par
2. Nous devons déterminer P (X > 10).
Par conséquent, la probabilité qu'une pale n'ait pas eu de réparation au cours des dix premières années est environ égale à 0,287.
3. La durée de vie moyenne d'une pale avant la première réparation est donnée par E (X ).
D'où la durée de vie moyenne d'une pale avant la première réparation est de 8 ans.
4 points
exercice 4
Ecrivons sous forme exponentielle .
z1 peut alors s'écrire sous forme exponentielle par
Nous avons montré dans l'exercice précédent que
Nous savons que si la variable aléatoire X suit la loi normale d'espérance et d'écart type , alors
Un intervalle de fluctuation asymptotique I150 au seuil de 95 % de la fréquence p des pièces détachées conformes est donnée par où la taille de l'échantillon est n = 150 et la fréquence des pièces détachées conformes est p = 0,96.
Déterminons la fréquence observée des pièces conformes dans chaque proposition de l'exercice.
a. Le nombre de pièces détachées non conformes trouvées est 8.
La fréquence des pièces conformes est alors égale à
Puisque 0,947 [0,928 ; 0,992], aucun réglage ne doit être effectué sur la chaîne de production.
b. Le nombre de pièces détachées non conformes trouvées est 9.
La fréquence des pièces conformes est alors égale à
Puisque 0,94 [0,928 ; 0,992], aucun réglage ne doit être effectué sur la chaîne de production.
c. Le nombre de pièces détachées non conformes trouvées est 10.
La fréquence des pièces conformes est alors égale à
Puisque 0,933 [0,928 ; 0,992], aucun réglage ne doit être effectué sur la chaîne de production.
d. Le nombre de pièces détachées non conformes trouvées est 11.
La fréquence des pièces conformes est alors égale à
Puisque 0,927 [0,928 ; 0,992], on prendra la décision d'effectuer des réglages sur la chaîne de production.
Publié par malou
le
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