Fiche de mathématiques
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Bac STMG Métropole 2018

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Durée : 3 heures

Coefficient : 3
4 points

exercice 1


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6 points

exercice 2


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4 points

exercice 3


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6 points

exercice 4


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Bac STMG Métropole 2018

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4 points

exercice 1

1.   Arbre de probabilité représentant la situation de l'énoncé :

Bac STMG Métropole 2018 : image 12


2.   L'événement  A\cap\overline{B}  se traduit par : "L'INE est celui d'un étudiant inscrit dans un établissement d'Île-de-France et non inscrit dans une université ".

p(A\cap\overline{B})=p(A)\times p_A(\overline{B}) \\\phantom{p(A\cap\overline{B})}=0,26\times0,49 \\\phantom{p(A\cap\overline{B})}=0,1274 \\\\\Longrightarrow\boxed{p(A\cap\overline{B})=0,1274}

3.   Nous devons déterminer p (B ).

En utilisant la formule des probabilités totales, nous avons :

p(B)=p(A\cap B)+p(\overline{A}\cap B) \\\phantom{p(B)}=p(A)\times p_A(B)+p(\overline{A})\times p_{\overline{A}}(B) \\\phantom{p(B)}=0,26\times0,51+0,74\times0,62 \\\phantom{p(B)}=0,1326+0,4588 \\\phantom{p(B)}=0,5914 \\\\\Longrightarrow\boxed{p(B)=0,5914}

4.   Déterminons la probabilité que l'INE soit celui d'un étudiant inscrit dans un établissement d'Île-de-France sachant que l'INE est celui d'un étudiant inscrit dans une université soit  p_B(A).

p_B(A)=\dfrac{p(A\cap B)}{p(B)} \\\\\phantom{p_B(A)}=\dfrac{p(A)\times p_A(B)}{p(B)} \\\\\phantom{p_B(A)}=\dfrac{0,26\times0,51}{0,5914} \\\\\phantom{p_B(A)}=\dfrac{0,1326}{0,5914} \\\\\phantom{p_B(A)}\approx0,22\\\\\text{Or }\dfrac{1}{5}<0,22<\dfrac{1}{4} \\\\\Longrightarrow\boxed{\dfrac{1}{5}<p_B(A)<\dfrac{1}{4}}

Donc l'affirmation est vraie.

6 points

exercice 2

{\red{\text{1. }}{\blue{\mathbf{Réponse\ c}}.}
Une augmentation de 22 % correspond à un coefficient multiplicateur égal à 1 + 0,22 = 1,22.
Une diminution de 20 % correspond à un coefficient multiplicateur égal à 1 - 0,20 = 0,8.
Nous en déduisons qu'une augmentation de 22 % suivie d'une baisse de 20 % correspond à un coefficient multiplicateur global de  1,22\times0,8=0,976.
Or  0,976 = 1 - 0,024.
Donc ce coefficient multiplicateur global correspond à une baisse de 2,4 %.

{\red{\text{2. }}{\blue{\mathbf{Réponse\ c}}.}
La variable aléatoire X  suit la loi normale de moyenne mu = 5.
Nous savons que  p(X\le\mu)=0,5.
Donc  p(X\le5)=0,5.

p(4,4\le X\le5)=p(X\le5)-p(X\le4,4) \\\phantom{p(4,4\le X\le5)}=0,5-p(X\le4,4) \\\phantom{p(4,4\le X\le5)}=0,5-[1-p(X>4,4)] \\\phantom{p(4,4\le X\le5)}=0,5-1+p(X>4,4) \\\phantom{p(4,4\le X\le5)}=-0,5+p(X>4,4) \\\\\Longrightarrow\boxed{p(4,4\le X\le5)=p(X>4,4)-0,5}

{\red{\text{3. (i) }}{\blue{\mathbf{Réponse\ a}}.}
f' (2) représente le coefficient directeur de la droite (AB) tangente à la courbe Cf  au point A d'abscisse 2.

Or les coordonnées du point A sont (2 ; 4) et les coordonnées du point B sont (0 ; -4).

\text{D'où }\ f'(2)=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A} \\\\\phantom{\text{D'où }\ f'(2)}=\dfrac{-4-4}{0-2}=\dfrac{-8}{-2}=4\\\\\Longrightarrow\boxed{f'(2)=4}

{\red{\text{3. (ii) }}{\blue{\mathbf{Réponse\ c}}.}
Si la fonction dérivée f'  est positive sur un intervalle, alors la fonction f  est croissante sur cet intervalle.
Le graphique montre que la fonction f  n'est croissante que sur l'intervalle  {\red{[-\dfrac{2}{3}\,;\,4]}}.

{\red{\text{4. (i) }}{\blue{\mathbf{Réponse\ c}}.}

g(x)=2x^3-9x^2-24x+32\Longrightarrow g'(x)=2\times3x^2-9\times2x-24\times1+0 \\\\\phantom{g(x)=2x^3-9x^2-24x+32}\Longrightarrow\boxed{g'(x)=6x^2-18x-24}

{\red{\text{4. (ii) }}{\blue{\mathbf{Réponse\ c}}.}
Déterminons les variations de la fonction g sur l'intervalle [-2 ; 8].
Etudions le signe de g' (x ) sur l'intervalle [-2 ; 8].
Racines du trinôme :

6x^2-18x-24=0\Longleftrightarrow6(x^2-3x-4)=0 \\\phantom{6x^2-18x-24=0}\Longleftrightarrow{\red{x^2-3x-4=0}} \\\\\Delta=(-3)^2-4\times1\times(-4)=9+16=25>0 \\\\\Longrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}x_1=\dfrac{3-\sqrt{25}}{2}=\dfrac{3-5}{2}=-1 \\\\x_2=\dfrac{3+\sqrt{25}}{2}=\dfrac{3+5}{2}=4\end{matrix}\right.

Tableau de signes de g' (x ) et sens de variation de g  sur [-2 ; 8] :

               \begin{array}{|c|ccccccc|}\hline x&-2&&-1&&4&&8\\\hline g'(x)&&+&0&-&0&+&\\\hline &&&45&&&&288 \\ g(x)&&\nearrow&&\searrow&&\nearrow& \\ &28&&&&-80&& \\ \hline \end{array}

Par conséquent, le minimum de la fonction g  sur l'intervalle [-2 ; 8] est -80.

4 points

exercice 3

1   L'équation réduite de la droite d'ajustement de y  en x  est  de la forme y  = ax  + b .
A l'aide de la calculatrice, nous obtenons a  = -2,57 et b  = 145,96.

D'où une équation réduite de la droite d'ajustement de y  en x  est  \boxed{y=-2,57x+145,96}

2.   Soit  {\mathscr{D}}:y=-2,6x+146.
Déterminons les coordonnées de deux points de la droite  {\mathscr{D}}.

\text{Par exemple, }\ x=0\Longrightarrow y=-2,6\times0+146 \\\phantom{\text{Par exemple, }\ x=0\Longrightarrow}\ y=146 \\ \phantom{\text{Par exemple, }}\ x=10\Longrightarrow y=-2,6\times10+146 \\\phantom{\text{Par exemple, }\ x=10\Longrightarrow}\ y=120 \\\\\text{D'où }\ \boxed{A(0;146)\in\mathscr{D}}\ \ \text{et }\ \boxed{B(10;120)\in\mathscr{D}}

Bac STMG Métropole 2018 : image 11


3.  La consommation d'énergie primaire d'origine fossile en 2012 est de 128,1 Mtep.
Une diminution de 30 % correspond à un coefficient multiplicateur de 1 - 0,3 = 0,7.
L'objectif de la loi de 2015 fixe à la France une consommation, avant 2030, de 0,7 multiplie 128,1 = 89,67 Mtep.

Si x  est le rang de l'année, nous devons trouver le plus petit entier naturel x  vérifiant l'inéquation :
  -2,6x+146\le89,67

-2,6x+146\le89,67\Longleftrightarrow-2,6x\le89,67-146 \\\\\phantom{-2,6x+146\le89,67}\Longleftrightarrow-2,6x\le-56,33 \\\\\phantom{-2,6x+146\le89,67}\Longleftrightarrow x\ge\dfrac{-56,33}{-2,6} \\\\\phantom{-2,6x+146\le89,67}\Longleftrightarrow x\ge\dfrac{56,33}{2,6} \\\\\text{Or }\dfrac{56,33}{2,6}\approx21,67

Donc le plus petit entier naturel x  vérifiant l'inéquation est x  = 22.
Le rang x  = 22 correspond à l'année 2005 + 22 = 2027.
Par conséquent, l'objectif de la loi sera atteint, et ce, en 2027.

6 points

exercice 4

Partie A

1.   La formule à saisir dans la cellule C3 d'un tableur afin d'obtenir par recopie vers la droite les taux d'évolution annuels jusqu'en 2014, des encours des investissements socialement responsables est  {\red{=(C2-B2)/B2}}

2.   Le calcul effectué pour déterminer la valeur affichée dans la cellule F3 est  \dfrac{222,9-169,7}{169,7}\times100\approx31,3
La valeur affichée dans la cellule F3 est 31,3, ce qui correspond à 31,3 %.

Partie B

1.   Une augmentation de 30 % correspond à un coefficient multiplicateur égal à 1 + 0,3 = 1,3.
Tous les ans, la valeur des encours des investissements socialement responsables augmente de 30 %.
Dès lors,   u_{n+1}=1,3\times u_n
Nous en déduisons que la suite (un )  est une suite géométrique de raison q  = 1,3 et dont le premier terme
est u 0 = 222,9.


2.   u_n=u_0\times q^n\Longrightarrow\boxed{u_n=222,9\times1,3^n\ \ \ \ (n\in\N)}

3.   Au 1er janvier 2018, la valeur de n  est 4.

u_4=222,9\times1,3^4\approx636,6

Donc, au 1er janvier 2018, la valeur des encours des investissements socialement responsables est environ de 636,6 milliards d'euros.

4. a.   Considérons l'algorithme suivant :

                \begin{array}{|c|}\hline N\longleftarrow0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\U\longleftarrow222,9\ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\text{Tant que }U<1\,000 \\|N\longleftarrow N+1\ \ \  \\|U\longleftarrow 1,3\times U \\\text{Fin Tant que}\ \ \ \ \ \ \ \ \  \\\hline\end{array}

Après exécution de l'algorithme, la variable N  contient la valeur 6 et la variable U  contient la valeur 1075,9 (arrondie au dixième).
Cette valeur contenue dans la variable N  représente le rang à partir duquel la valeur contenue dans U  devient supérieure à 1000, cette valeur de U  étant affichée en fin d'exécution de l'algorithme.

4. b.   C'est au cours de la 6ème  année, soit en 2020, que la valeur des encours des investissements socialement responsables sera supérieure à 1000 milliards d'euros (elle est estimée à 1075,9 milliards d'euros).
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