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Bac STMG Métropole 2018

Durée : 3 heures

Coefficient : 3 4 points

exercice 1

6 points

exercice 2

4 points

exercice 3

6 points

exercice 4

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Bac STMG Métropole 2018

4 points

exercice 1

1. Arbre de probabilité représentant la situation de l'énoncé :

2. L'événement $A\cap\overline{B}$ se traduit par : "L'INE est celui d'un étudiant inscrit dans un établissement d'Île-de-France et non inscrit dans une université ".

$p(A\cap\overline{B})=p(A)\times p_A(\overline{B}) \\\phantom{p(A\cap\overline{B})}=0,26\times0,49 \\\phantom{p(A\cap\overline{B})}=0,1274 \\\\\Longrightarrow\boxed{p(A\cap\overline{B})=0,1274}$

3. Nous devons déterminer p (B ).

En utilisant la formule des probabilités totales, nous avons :

$p(B)=p(A\cap B)+p(\overline{A}\cap B) \\\phantom{p(B)}=p(A)\times p_A(B)+p(\overline{A})\times p_{\overline{A}}(B) \\\phantom{p(B)}=0,26\times0,51+0,74\times0,62 \\\phantom{p(B)}=0,1326+0,4588 \\\phantom{p(B)}=0,5914 \\\\\Longrightarrow\boxed{p(B)=0,5914}$

4. Déterminons la probabilité que l'INE soit celui d'un étudiant inscrit dans un établissement d'Île-de-France sachant que l'INE est celui d'un étudiant inscrit dans une université soit $p_B(A).$

$p_B(A)=\dfrac{p(A\cap B)}{p(B)} \\\\\phantom{p_B(A)}=\dfrac{p(A)\times p_A(B)}{p(B)} \\\\\phantom{p_B(A)}=\dfrac{0,26\times0,51}{0,5914} \\\\\phantom{p_B(A)}=\dfrac{0,1326}{0,5914} \\\\\phantom{p_B(A)}\approx0,22\\\\\text{Or }\dfrac{1}{5}<0,22<\dfrac{1}{4} \\\\\Longrightarrow\boxed{\dfrac{1}{5}<p_B(A)<\dfrac{1}{4}}$

Donc l'affirmation est vraie.

6 points

exercice 2

${\red{\text{1. }}{\blue{\mathbf{Réponse\ c}}.}$
Une augmentation de 22 % correspond à un coefficient multiplicateur égal à 1 + 0,22 = 1,22.
Une diminution de 20 % correspond à un coefficient multiplicateur égal à 1 - 0,20 = 0,8.
Nous en déduisons qu'une augmentation de 22 % suivie d'une baisse de 20 % correspond à un coefficient multiplicateur global de $1,22\times0,8=0,976.$
Or 0,976 = 1 - 0,024.
Donc ce coefficient multiplicateur global correspond à une baisse de 2,4 %.

${\red{\text{2. }}{\blue{\mathbf{Réponse\ c}}.}$
La variable aléatoire X suit la loi normale de moyenne

= 5.
Nous savons que $p(X\le\mu)=0,5$ .
Donc $p(X\le5)=0,5.$

$p(4,4\le X\le5)=p(X\le5)-p(X\le4,4) \\\phantom{p(4,4\le X\le5)}=0,5-p(X\le4,4) \\\phantom{p(4,4\le X\le5)}=0,5-[1-p(X>4,4)] \\\phantom{p(4,4\le X\le5)}=0,5-1+p(X>4,4) \\\phantom{p(4,4\le X\le5)}=-0,5+p(X>4,4) \\\\\Longrightarrow\boxed{p(4,4\le X\le5)=p(X>4,4)-0,5}$

${\red{\text{3. (i) }}{\blue{\mathbf{Réponse\ a}}.}$
f' (2) représente le coefficient directeur de la droite (AB) tangente à la courbe C_f au point A d'abscisse 2.

Or les coordonnées du point A sont (2 ; 4) et les coordonnées du point B sont (0 ; -4).

$\text{D'où }\ f'(2)=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A} \\\\\phantom{\text{D'où }\ f'(2)}=\dfrac{-4-4}{0-2}=\dfrac{-8}{-2}=4\\\\\Longrightarrow\boxed{f'(2)=4}$

${\red{\text{3. (ii) }}{\blue{\mathbf{Réponse\ c}}.}$
Si la fonction dérivée f' est positive sur un intervalle, alors la fonction f est croissante sur cet intervalle.
Le graphique montre que la fonction f n'est croissante que sur l'intervalle ${\red{[-\dfrac{2}{3}\,;\,4]}}.$

${\red{\text{4. (i) }}{\blue{\mathbf{Réponse\ c}}.}$

$g(x)=2x^3-9x^2-24x+32\Longrightarrow g'(x)=2\times3x^2-9\times2x-24\times1+0 \\\\\phantom{g(x)=2x^3-9x^2-24x+32}\Longrightarrow\boxed{g'(x)=6x^2-18x-24}$

${\red{\text{4. (ii) }}{\blue{\mathbf{Réponse\ c}}.}$
Déterminons les variations de la fonction g sur l'intervalle [-2 ; 8].
Etudions le signe de g' (x ) sur l'intervalle [-2 ; 8].
Racines du trinôme :

$6x^2-18x-24=0\Longleftrightarrow6(x^2-3x-4)=0 \\\phantom{6x^2-18x-24=0}\Longleftrightarrow{\red{x^2-3x-4=0}} \\\\\Delta=(-3)^2-4\times1\times(-4)=9+16=25>0 \\\\\Longrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}x_1=\dfrac{3-\sqrt{25}}{2}=\dfrac{3-5}{2}=-1 \\\\x_2=\dfrac{3+\sqrt{25}}{2}=\dfrac{3+5}{2}=4\end{matrix}\right.$

Tableau de signes de g' (x ) et sens de variation de g sur [-2 ; 8] :

$\begin{array}{|c|ccccccc|}\hline x&-2&&-1&&4&&8\\\hline g'(x)&&+&0&-&0&+&\\\hline &&&45&&&&288 \\ g(x)&&\nearrow&&\searrow&&\nearrow& \\ &28&&&&-80&& \\ \hline \end{array}$

Par conséquent, le minimum de la fonction g sur l'intervalle [-2 ; 8] est -80.

4 points

exercice 3

1 L'équation réduite de la droite d'ajustement de y en x est de la forme y = ax + b .
A l'aide de la calculatrice, nous obtenons a = -2,57 et b = 145,96.

D'où une équation réduite de la droite d'ajustement de y en x est $\boxed{y=-2,57x+145,96}$

2. Soit ${\mathscr{D}}:y=-2,6x+146.$
Déterminons les coordonnées de deux points de la droite ${\mathscr{D}}.$

$\text{Par exemple, }\ x=0\Longrightarrow y=-2,6\times0+146 \\\phantom{\text{Par exemple, }\ x=0\Longrightarrow}\ y=146 \\ \phantom{\text{Par exemple, }}\ x=10\Longrightarrow y=-2,6\times10+146 \\\phantom{\text{Par exemple, }\ x=10\Longrightarrow}\ y=120 \\\\\text{D'où }\ \boxed{A(0;146)\in\mathscr{D}}\ \ \text{et }\ \boxed{B(10;120)\in\mathscr{D}}$

3. La consommation d'énergie primaire d'origine fossile en 2012 est de 128,1 Mtep.
Une diminution de 30 % correspond à un coefficient multiplicateur de 1 - 0,3 = 0,7.
L'objectif de la loi de 2015 fixe à la France une consommation, avant 2030, de 0,7 multiplie

128,1 = 89,67 Mtep.

Si x est le rang de l'année, nous devons trouver le plus petit entier naturel x vérifiant l'inéquation :
$-2,6x+146\le89,67$

$-2,6x+146\le89,67\Longleftrightarrow-2,6x\le89,67-146 \\\\\phantom{-2,6x+146\le89,67}\Longleftrightarrow-2,6x\le-56,33 \\\\\phantom{-2,6x+146\le89,67}\Longleftrightarrow x\ge\dfrac{-56,33}{-2,6} \\\\\phantom{-2,6x+146\le89,67}\Longleftrightarrow x\ge\dfrac{56,33}{2,6} \\\\\text{Or }\dfrac{56,33}{2,6}\approx21,67$

Donc le plus petit entier naturel x vérifiant l'inéquation est x = 22.
Le rang x = 22 correspond à l'année 2005 + 22 = 2027.
Par conséquent, l'objectif de la loi sera atteint, et ce, en 2027.

6 points

exercice 4

Partie A

1. La formule à saisir dans la cellule C3 d'un tableur afin d'obtenir par recopie vers la droite les taux d'évolution annuels jusqu'en 2014, des encours des investissements socialement responsables est ${\red{=(C2-B2)/B2}}$

2. Le calcul effectué pour déterminer la valeur affichée dans la cellule F3 est $\dfrac{222,9-169,7}{169,7}\times100\approx31,3$
La valeur affichée dans la cellule F3 est 31,3, ce qui correspond à 31,3 %.

Partie B

1. Une augmentation de 30 % correspond à un coefficient multiplicateur égal à 1 + 0,3 = 1,3.
Tous les ans, la valeur des encours des investissements socialement responsables augmente de 30 %.
Dès lors, $u_{n+1}=1,3\times u_n$
Nous en déduisons que la suite (u_n ) est une suite géométrique de raison q = 1,3 et dont le premier terme
est u ₀ = 222,9.

2. $u_n=u_0\times q^n\Longrightarrow\boxed{u_n=222,9\times1,3^n\ \ \ \ (n\in\N)}$

3. Au 1^er janvier 2018, la valeur de n est 4.

$u_4=222,9\times1,3^4\approx636,6$

Donc, au 1^er janvier 2018, la valeur des encours des investissements socialement responsables est environ de 636,6 milliards d'euros.

4. a. Considérons l'algorithme suivant :

$\begin{array}{|c|}\hline N\longleftarrow0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\U\longleftarrow222,9\ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\text{Tant que }U<1\,000 \\|N\longleftarrow N+1\ \ \ \\|U\longleftarrow 1,3\times U \\\text{Fin Tant que}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\hline\end{array}$

Après exécution de l'algorithme, la variable N contient la valeur 6 et la variable U contient la valeur 1075,9 (arrondie au dixième).
Cette valeur contenue dans la variable N représente le rang à partir duquel la valeur contenue dans U devient supérieure à 1000, cette valeur de U étant affichée en fin d'exécution de l'algorithme.

4. b. C'est au cours de la 6^ème année, soit en 2020, que la valeur des encours des investissements socialement responsables sera supérieure à 1000 milliards d'euros (elle est estimée à 1075,9 milliards d'euros).

Publié par malou le 11-03-2019

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