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Sujet Mathématiques Bac STMG Pondichéry 2018

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Corrigé Bac STMG Pondichéry 2018

5 points

exercice 1

Partie A - Modèle 1

1. Par la calculatrice, nous obtenons une équation de la droite d'ajustement affine suivant la méthode des moindres carrés : y = 0,274x + 3,156 (les coefficients sont arrondis à 0,001 près).

2. Nous modélisons l'évolution du nombre d'abonnements y en fonction du rang x du trimestre par l'équation : y = 0,27x + 3,16.
Le deuxième trimestre de l'année 2018 correspond au rang x = 14.
Dans l'équation donnée, remplaçons x par 14 et calculons la valeur de y .
y = 0,27 multiplie

14 + 3,16 = 6,94.

Donc sur base de ce modèle, nous pouvons prévoir 6,94 millions d'abonnements au deuxième trimestre de l'année 2018.

Partie B - Modèle 2

1. Le coefficient multiplicateur correspondant à une hausse de 6 % est égal à 1 + 0,06 = 1,06.

$\text{D'où }\ \ u_1=1,06\times u_0\\\phantom{\text{D'où }\ \ u_1}=1,06\times 5,43\\\phantom{\text{D'où }\ \ u_1}=5,7558\\\\\Longrightarrow\boxed{u_1\approx5,76\ \ \ \text{(arrondi au centième)}}$

2. Chaque terme de la suite (u_n ), à partir du deuxième, est égal au précédent multiplié par le nombre constant 1,06.
Donc la suite (u_n ) est une suite géométrique de raison 1,06 et dont le premier terme est u ₀ = 5,43.

3. Le terme général de la suite (u_n ) est donné par $u_n=u_0\times1,06^{n}$ , soit $\boxed{u_n=5,43\times1,06^{n}}$

4. Sur base du premier modèle, l'évolution du nombre d'abonnements y en fonction du rang x du trimestre est modélisée par l'équation : y = 0,27x + 3,16.
Le deuxième trimestre de l'année 2017 correspond au rang x = 10.
Dans l'équation donnée, remplaçons x par 10 et calculons la valeur de y .
y = 0,27 multiplie

10 + 3,16 = 5,86.
Donc sur base de ce premier modèle, nous pouvons prévoir 5,86 millions d'abonnements au deuxième trimestre de l'année 2017.

Sur base du second modèle, le nombre d'abonnements, en millions, à internet à très haut débit en France se détermine en calculant u ₂.
$u_2=5,43\times1,06^2\Longrightarrow u_2\approx6,10$
Donc sur base de ce second modèle, nous pouvons prévoir 6,10 millions d'abonnements au deuxième trimestre de l'année 2017.

Or l'actualisation des données a révélé qu'au deuxième trimestre 2017, le nombre d'abonnements s'élevait en réalité à 6,15 millions. Par conséquent le second modèle semble être le plus adapté.

5. Les diverses valeurs prises par u (arrondies au centième) durant l'exécution de l'algorithme sont reprises dans le tableau suivant :

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline n&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12\\\hline u&5,43&5,76&6,10&6,47&6,86&7,27&7,70&8,16&8,65&9,17&9,72&{\red{10,31}}&{\red{...}}\\\hline \end{array}$

La boucle "Tant que " s'arrête dès que u n'est plus strictement inférieur à 10.
Donc la valeur de n fournie à la fin de l'exécution de l'algorithme est n = 11.

4 points

exercice 2

1. Arbre pondéré représentant la situation :

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2. L'événement $E\cap S$ peut s'énoncer : "le client a voyagé à l'étranger et il est satisfait".

$P(E\cap S)=P(E)\times P_E(S)\\\phantom{p(Q\cap S)}=0,62\times0,78\\\phantom{p(Q\cap S)}=0,4836\\\\\Longrightarrow\boxed{P(E\cap S)=0,4836}$

3. Selon la formule des probabilités totales, nous obtenons :

$P(S)=P(F\cap S)+P(E\cap S)\\\phantom{p(S)}=P(F)\times P_{F}(S)+0,4836\\\phantom{p(S)}=0,38\times0,83+0,4836\\\phantom{p(S)}=0,799\\\\\Longrightarrow\boxed{P(S)=0,799}$

4. Sachant que le client est satisfait, la probabilité qu'il ait voyagé à l'étranger se calcule par $P_S(E).$

$P_S(E)=\dfrac{P(E\cap S)}{P(S)}\\\\\phantom{p_S(E)}=\dfrac{0,4836}{0,799}\\\\\phantom{p_S(E)}\approx0,605\\\\\Longrightarrow\boxed{P_S(E)\approx0,605}$

Par conséquent sachant que le client est satisfait, la probabilité qu'il ait voyagé à l'étranger est environ égale à 0,605 (arrondi au millième).

4 points

exercice 3

1. Le taux d'évolution du prix d'une matière première entre 2015 et 2016 se calcule par

$\dfrac{\text{Valeur finale - Valeur initiale}}{\text{Valeur initiale}}=\dfrac{189-167,5}{167,5}\approx0,1284$

Par conséquent entre 2015 et 2016, le taux d'évolution du prix d'une matière première est environ de 12,84 % (arrondi à 0,01 %).

2. En 2011, à l'indice 100, le prix de la matière première est égal à 248 euros par tonne.
En 2014, l'indice du prix est de 73,2.
Si x est le prix en euros par tonne en 2014, nous avons alors le tableau de proportionnalité suivant :

$\begin{array}{|c|c|}\hline \text{Indice du prix}&\text{Prix en euros par tonne}\\\hline 100&248\\\hline 73,2&x \\\hline \end{array}$

Par "le produit en croix", nous obtenons :

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$100\times x=73,2\times248\\\\x=\dfrac{73,2\times248}{100}\\\\\boxed{x\approx181,5}$

D'où en 2014, le prix par tonne de matière première est environ égal à 181,5 euros.

3. En 2011, le prix de la matière première est égal à 248 euros par tonne à l'indice 100.
En 2016, le prix est égal à 189 euros par tonne.
Si x est l'indice du prix en 2016, nous avons alors le tableau de proportionnalité suivant :

$\begin{array}{|c|c|}\hline \text{Prix en euros par tonne}&\text{Indice du prix}\\\hline 248&100\\\hline 189&x \\\hline \end{array}$

Par "le produit en croix", nous obtenons :

$248\times x=189\times100\\\\x=\dfrac{189\times100}{248}\\\\\boxed{x\approx76,2}$

D'où en 2016, l'indice du prix est égal à 76,2 (arrondi au dixième).

4. La formule entrée dans la cellule C3 est $\boxed{=\$B\$3*C2/\$B\$2}$

5. En 2011, l'indice du prix est égal à 100.
En 2016, l'indice du prix est égal à 76,2 (voir question 3).
Donc le coefficient multiplicateur global entre 2011 et 2016 est égal à 0,762.

Notons par t_m le taux d'évolution annuel moyen de l'indice du prix.
Entre 2011 et 2016, le taux d'évolution annuel moyen vérifie la relation $(1+t_m)^5=0,762.$

$\text{D'où }\ \ (1+t_m)^5=0,762\Longleftrightarrow1+t_m=0,762^{\frac{1}{5}}\\\\\phantom{\text{D'où }\ \ 1+T=(1+t_m)^4}\Longleftrightarrow t_m=0,762^{\frac{1}{5}}-1\\\\\phantom{\text{D'où }\ \ 1+T=(1+t_m)^4}\Longleftrightarrow t_m\approx-0,0529$

Par conséquent le taux d'évolution annuel moyen entre 2011 et 2016 est d'environ -5,29 % (arrondi à 0,01 %).

7 points

exercice 4

Partie A

1. X suit la loi normale de moyenne

= 82 et d'écart type sigma

= 0,2.
Par la calculatrice, nous obtenons $P(81,6\le X\le82,4)\approx0,95449973$
D'où la probabilité qu'une plaque réussisse ce premier test est environ égale à 0,954 (arrondie au millième).

Nous pouvions trouver ce résultat par la propriété suivante de la loi normale :

$P(\mu-2\sigma\le X\le\mu+2\sigma)\approx0,954.$

En effet,

$P(81,6\le X\le82,4)=P(82-0,4\le X\le82+0,4)\\\phantom{P(81,6\le X\le82,4)}=P(82-2\times0,2\le X\le82+2\times0,2)\\\phantom{P(81,6\le X\le82,4)}=P(\mu-2\sigma\le X\le\mu+2\sigma)\\\phantom{P(81,6\le X\le82,4)}\approx0,954$

2. a. Déterminons l'intervalle de fluctuation $I_{2500}$ au seuil de 95% de la fréquence des plaques dont l'épaisseur est inférieure à 3 millimètres, dans ce lot.

Les conditions d'utilisation de l'intervalle de fluctuation sont remplies.
En effet,

$\left\lbrace\begin{array}l n=2500\ge30 \\ p=0,9\Longrightarrow np=2500\times0,9=2250\ge5 \\n(1-p)=2500\times(1-0,9)=2500\times0,1=250\ge5 \end{array}$

Donc l'intervalle de fluctuation $I_{2500}$ au seuil de 95% est :

$I_{2500}=\left[0,9-1,96\sqrt{\dfrac{0,9(1-0,9)}{2500}};0,9+1,96\sqrt{\dfrac{0,9(1-0,9)}{2500}}\right]$

$\Longrightarrow\boxed{I_{2500}=[0,888\ ;\ 0,912]}$

b. La fréquence observée est $f=\dfrac{2274}{2500}=0,9096.$

Nous observons que $f\in I_{2500}$

D'où au regard de ces résultats, nous pouvons accepter l'affirmation du fournisseur.

Partie B

1. Par lecture graphique nous remarquons que la fonction bénéfice f est strictement positive
sur l'intervalle [5 ; 39].

Donc pour réaliser des profits, l'entreprise doit produire entre 5 machines et 39 machines.

${\red{2. }}\ \ \ f'(x)=(x^3-96x^2+2\,484x-10\,000)'\\\phantom{{\red{2. }}\ \ \ f'(x)}=(x^3)'-96(x^2)'+2\,484x'-10\,000'\\\phantom{{\red{2. }}\ \ \ f'(x)}=3x^2-96\times2x+2\,484\times1-0\\\phantom{{\red{2. }}\ \ \ f'(x)}=3x^2-192x+2\,484\\\\\Longrightarrow\boxed{ f'(x)=3x^2-192x+2\,484}$

3. Résoudre l'équation 3x ² - 192x + 2 484 = 0.

$\Delta=(-192)^2-4\times3\times2\,484\\\phantom{\Delta}=36\ 864-29\,808\\\phantom{\Delta}=7\,056>0\\\\\underline{\text{Calcul des deux solutions}} : \\\\x_1=\dfrac{192-\sqrt{7056}}{2\times3}\\\\\phantom{x_1}=\dfrac{192-84}{6}\\\\\phantom{x_1}=18\\\\\\x_2=\dfrac{192+\sqrt{7056}}{2\times3}\\\\\phantom{x_1}=\dfrac{192+84}{6}\\\\\phantom{x_1}=46$

Par conséquent l'ensemble des solutions de l'équation 3x ² - 192x + 2 484 = 0 est S = {18 ; 46}.

4. Tableau de variations de f :

$\begin{array}{|c|ccccccc|}\hline x&0&&18&&46&&50 \\\hline \text{Signe de }f'(x)&&+&0&-&0&+&\\\hline &&&9\ 440&&&&-800&\text{Variations de }f&&\nearrow&&\searrow&&\nearrow&&&-10\ 000&&&&-1\ 536&&\\\hline \end{array}$

5. A l'aide du tableau de variations de la fonction f , nous pouvons déduire que l'entreprise doit fabriquer 18 machines pour obtenir un bénéfice maximal.
Ce bénéfice s'élève alors à 9 440 milliers d'euros, soit 9,44 millions d'euros.

Publié par malou le 19-05-2018

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