Fiche de mathématiques

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Bac C-E Mali 2018

6 points

exercice 1

4 points

exercice 2

10 points

probleme

Correction

Bac C-E Mali 2018

6 points

exercice 1

On considère dans l'ensemble des nombres complexes, l'équation (E) d'inconnue z suivante :
$z^3+(-8+\text{i})z^2+(17-8\text{i})z+17\text{i}=0.$

Partie A

1. -i est solution de (E) car
$(-\text{i})^3+(-8+\text{i})(-\text{i})^2+(17-8\text{i})(-\text{i})+17\text{i}=\text{i}+(-8+\text{i})(-1)+(17-8\text{i})(-\text{i})+17\text{i} \\\phantom{(-\text{i})^3+(-8+\text{i})(-\text{i})^2+(17-8\text{i})(-\text{i})+17\text{i}}=\text{i}+8-\text{i}-17\text{i}-8+17\text{i} \\\phantom{(-\text{i})^3+(-8+\text{i})(-\text{i})^2+(17-8\text{i})(-\text{i})+17\text{i}}=0$

${\red{2.\ }}\ z^3+(-8+\text{i})z^2+(17-8\text{i})z+17\text{i}=(z+\text{i})(az^2+bz+c) \\\phantom{{\red{2.\ }}\ z^3+(-8+\text{i})z^2+(17-8\text{i})z+17\text{i}}=az^3+bz^2+cz+\text{i}az^2+\text{i}bz+\text{i}c \\\\\Longrightarrow\ \boxed{z^3+(-8+\text{i})z^2+(17-8\text{i})z+17\text{i}=az^3+(\text{i}a+b)z^2+(\text{i}b+c)z+\text{i}c}$

En identifiant les coefficients des diverses puissances de z , nous obtenons :
$\left\lbrace\begin{matrix}a=1\\\text{i}a+b=-8+\text{i}\\\text{i}b+c=17-8\text{i}\\\text{i}c=17\text{i}\end{matrix}\right.\ \ \ \Longleftrightarrow\ \ \ \left\lbrace\begin{matrix}a=1\\\text{i}+b=-8+\text{i}\\\text{i}b+c=17-8\text{i}\\c=17\end{matrix}\right.\ \ \ \Longleftrightarrow\ \ \ \boxed{\left\lbrace\begin{matrix}a=1\\b=-8\\c=17\end{matrix}\right.}$

D'où $\boxed{z^3+(-8+\text{i})z^2+(17-8\text{i})z+17\text{i}=(z+\text{i})(z^2-8z+17)}$

3. Résolvons l'équation (E) dans l'ensemble des nombres complexes.
$z^3+(-8+\text{i})z^2+(17-8\text{i})z+17\text{i}=0\Longleftrightarrow(z+\text{i})(z^2-8z+17)=0 \\\phantom{z^3+(-8+\text{i})z^2+(17-8\text{i})z+17\text{i}=0}\Longleftrightarrow z+\text{i}=0\ \ \ \text{ou}\ \ \ z^2-8z+17=0 \\\\ \bullet\ z+\text{i}=0\Longleftrightarrow \boxed{z=-\text{i}} \\\\\bullet\ z^2-8z+17=0 \\\overset{}{\ \ \underline{\text{Discriminant}}: \Delta=(-8)^2-4\times1\times17=64-68=-4<0} \\\overset{}{\ \ \underline{\text{Racines}}:} \\\overset{}{\ \ \ z_1=\dfrac{8+2\text{i}}{2}\Longrightarrow \boxed{z_1=4+\text{i}}} \\\overset{}{\ \ \ z_2=\dfrac{8-2\text{i}}{2}\Longrightarrow \boxed{z_2=4-\text{i}}}$
Par conséquent, l'ensemble des solutions de l'équation (E) est S = {-i ; 4 + i ; 4 - i}.

Partie B

On appelle A, B et C les points d'affixes respectives 4+i ; 4-i ; -i.

1. Voir figure ci-dessous (question 4. b).

2. $M'=r(M)\Longleftrightarrow z'=\text{i}z-2\text{i}+2$
        $\text{Dès lors, }S=r(A)\Longleftrightarrow s=\text{i}(4+\text{i})-2\text{i}+2 \\\phantom{\text{Dès lors, }S=r(A)}\Longleftrightarrow s=4\text{i}-1-2\text{i}+2 \\\phantom{\text{Dès lors, }S=r(A)}\Longleftrightarrow \underset{^.}{s=1+2\text{i}}$
D'où l'affixe du point S est $\boxed{s=1+2\text{i}}$

${\red{3.\ }}\ \Omega A=|z_A-z_{\Omega}|=|4+\text{i}-2|=|2+\text{i}|=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}\Longrightarrow\boxed{\Omega A=\sqrt{5}} \\\overset{}{\phantom{{\red{3.\ }}}\ \Omega B=|z_B-z_{\Omega}|=|4-\text{i}-2|=|2-\text{i}|=\sqrt{2^2+(-1)^2}=\sqrt{5}\Longrightarrow\boxed{\Omega B=\sqrt{5}}} \\\overset{}{\phantom{{\red{3.\ }}}\ \Omega C=|z_C-z_{\Omega}|=|-\text{i}-2|=|-2-\text{i}|=\sqrt{(-2)^2+(-1)^2}=\sqrt{5}\Longrightarrow\boxed{\Omega C=\sqrt{5}}} \\\overset{}{\phantom{{\red{3.\ }}}\ \Omega S=|z_S-z_{\Omega}|=|1+2\text{i}-2|=|-1+2\text{i}|=\sqrt{(-1)^2+2^2}=\sqrt{5}\Longrightarrow\boxed{\Omega S=\sqrt{5}}} \\\\\Longrightarrow\boxed{\Omega A=\Omega B=\Omega C=\Omega S=\sqrt{5}}$
Par conséquent, les points B, A, S, C appartiennent à un même cercle $\mathscr{C}$ de centre d'affixe 2 et de rayon $\sqrt{5}.$

4. Remarque : Une coquille s'est glissée dans l'énoncé.
                                 Il faut lire $z'=\dfrac{\text{i}z+10-2\text{i}}{z-2}.$

${\red{4.\ \text{a) }}}\ z_{A'}=\dfrac{\text{i}z_A+10-2\text{i}}{z_A-2}\Longrightarrow z_{A'}=\dfrac{\text{i}(4+\text{i})+10-2\text{i}}{4+\text{i}-2} =\dfrac{4\text{i}-1+10-2\text{i}}{2+\text{i}} \\\overset{}{\phantom{WWWWWWWWWW..}\Longrightarrow z_{A'}=\dfrac{9+2\text{i}}{2+\text{i}}} =\dfrac{(9+2\text{i})(2-\text{i})}{(2+\text{i})(2-\text{i})} \\\overset{}{\phantom{WWWWWWWWWW..}\Longrightarrow z_{A'}=\dfrac{18-9\text{i}+4\text{i}+2}{4+1}}=\dfrac{20-5\text{i}}{5} \\\overset{}{\phantom{WWWWWWWWWW..}\Longrightarrow \boxed{z_{A'}=4-\text{i}}}$

$z_{B'}=\dfrac{\text{i}z_B+10-2\text{i}}{z_B-2}\Longrightarrow z_{B'}=\dfrac{\text{i}(4-\text{i})+10-2\text{i}}{4-\text{i}-2} =\dfrac{4\text{i}+1+10-2\text{i}}{2-\text{i}} \\\overset{}{\phantom{WWWWWWWW}\Longrightarrow z_{B'}=\dfrac{11+2\text{i}}{2-\text{i}}} =\dfrac{(11+2\text{i})(2+\text{i})}{(2-\text{i})(2+\text{i})} \\\overset{}{\phantom{WWWWWWWW}\Longrightarrow z_{B'}=\dfrac{22+11\text{i}+4\text{i}-2}{4+1}}=\dfrac{20+15\text{i}}{5} \\\overset{}{\phantom{WWWWWWWW}\Longrightarrow \boxed{z_{B'}=4+3\text{i}}}$

$z_{C'}=\dfrac{\text{i}z_C+10-2\text{i}}{z_C-2}\Longrightarrow z_{C'}=\dfrac{\text{i}(-\text{i})+10-2\text{i}}{-\text{i}-2} =\dfrac{1+10-2\text{i}}{-2-\text{i}} \\\overset{}{\phantom{WWWWWWWW}\Longrightarrow z_{C'}=\dfrac{11-2\text{i}}{-2-\text{i}}} =\dfrac{(11-2\text{i})(-2+\text{i})}{(-2-\text{i})(-2+\text{i})} \\\overset{}{\phantom{WWWWWWWW}\Longrightarrow z_{C'}=\dfrac{-22+11\text{i}+4\text{i}+2}{4+1}}=\dfrac{-20+15\text{i}}{5} \\\overset{}{\phantom{WWWWWWWW}\Longrightarrow \boxed{z_{C'}=-4+3\text{i}}}$

${\red{4.\ \text{b) }}}\ A'P=|z_P-z_{A'}|=|\text{i}-(4-\text{i})|=|\text{i}-4+\text{i}|=|-4+2\text{i}|=\sqrt{(-4)^2+2^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5} \\\overset{}{\ \ \ \ \ \ \ \ \Longrightarrow\boxed{A'P=2\sqrt{5}}} \\\\B'P=|z_P-z_{B'}|=|\text{i}-(4+3\text{i})|=|\text{i}-4-3\text{i}|=|-4-2\text{i}|=\sqrt{(-4)^2+(-2)^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5} \\\overset{}{\ \ \ \ \ \ \ \ \Longrightarrow\boxed{B'P=2\sqrt{5}}} \\\\C'P=|z_P-z_{C'}|=|\text{i}-(-4+3\text{i})|=|\text{i}+4-3\text{i}|=|4-2\text{i}|=\sqrt{4^2+(-2)^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5} \\\overset{}{\ \ \ \ \ \ \ \ \Longrightarrow\boxed{C'P=2\sqrt{5}}} \\\\\text{D'où }\ \ \boxed{A'P=B'P=C'P=2\sqrt{5}}$
Par conséquent, les points A', B' et C' appartiennent au cercle $\mathscr{C'}$ de centre P d'affixe i et de rayon égal à $2\sqrt{5}.$

${\red{4.\ \text{c) }}}\ |z'-\text{i}|=\left|\dfrac{\text{i}z+10-2\text{i}}{z-2}-\text{i}\right|=\left|\dfrac{\text{i}z+10-2\text{i}-\text{i}(z-2)}{z-2}\right|=\left|\dfrac{\text{i}z+10-2\text{i}-\text{i}z+2\text{i}}{z-2}\right|=\left|\dfrac{10}{z-2}\right| \\\\\phantom{WW}\Longrightarrow\boxed{|z'-\text{i}|=\dfrac{10}{|z-2|}}$

4. d) Remarque : Une coquille s'est glissée dans l'énoncé.
Il faut lire $|z'-{\red{\text{i}}}|=2\sqrt{5}.$

Soit M un point d'affixe z appartenant au cercle $\mathscr{C}$ de centre omegamaj

d'affixe 2 et de rayon égal à $\sqrt{5}.$
Dans ce cas, $|z-2|=\sqrt{5}.$
En utilisant le résultat de la question 4. c), nous obtenons :
$|z'-\text{i}|=\dfrac{10}{|z-2|}=\dfrac{10}{\sqrt{5}}=\dfrac{10\sqrt{5}}{\sqrt{5}\sqrt{5}}=\dfrac{\overset{^.}{10\sqrt{5}}}{5}=2\sqrt{5} \\\\\Longrightarrow\boxed{|z'-\text{i}|=2\sqrt{5}}$

4. e) En utilisant le résultat de la question 4. d), nous déduisons que l'ensemble des points M'associés aux points de cercle $\mathscr{C}$ est le cercle $\mathscr{C'}.$

4 points

exercice 2

I. On considère l'équation (E) : 8x + 5y = 1, où (x ; y ) est un couple de nombres entiers relatifs.

1. a) (2 ; -3) est solution de l'équation (E) car 8 multiplie

2 + 5

(-3) = 16 - 15 = 1.

1. b) Résolvons l'équation (E) dans

².

$\left\lbrace\begin{matrix}8x+5y=1\\8\times2+5\times(-3)=1\end{matrix}\right.\ \ \ \ \underset{\text{par soustraction}}{\Longrightarrow}\ \ \ \ 8(x-2)+5(y+3)=0 \\\\\phantom{WWWWWWWWWWW...}\Longrightarrow\ \ \ \ 8(x-2)=5(-y-3)$

Donc l'entier 5 divise le produit 8(x - 2).
Or nous savons que 5 et 8 sont premiers entre eux.
Par le théorème de Gauss, nous en déduisons que 5 divise (x - 2).
Dès lors, il existe un entier relatif k tel que x - 2 = 5k , soit $\boxed{x=2+5k}$ .

$\text{De plus, }\ \left\lbrace\begin{matrix}8(x-2)=5(-y-3)\ \ \ \ \\x=2+5k\end{matrix}\right.\ \ \ \ \Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}8(x-2)=5(-y-3)\ \ \ \\x-2=5k\ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right. \\\\\phantom{WWWWWWWWWWWWWWW....}\Longrightarrow\ \ \ \ 8\times5k=5(-y-3) \\\\\phantom{WWWWWWWWWWWWWWW....}\Longrightarrow\ \ \ \ 8k=-y-3 \\\phantom{WWWWWWWWWWWWWWW....}\Longrightarrow\ \ \ \ \boxed{y=-3-8k}$
Par conséquent, l'ensemble S des solutions de (E) est S = {(2 + 5k ; -3 - 8k ) ; k}.

2. Soit N un nombre naturel tel qu'il existe un couple (a ; b ) de nombres entiers vérifiant :

$\left\lbrace\begin{matrix}N=8a+1\\N=5b+2\end{matrix}\right.$
${\red{2.\ \text{a) }}}\ \left\lbrace\begin{matrix}N=8a+1\\N=5b+2\end{matrix}\right.\ \ \Longrightarrow\ \ 8a+1=5b+2\ \ \Longrightarrow\ \ 8a-5b=2-1\ \ \Longrightarrow\ \ \boxed{8a+5(-b)=1}$
Par conséquent, le couple (a ; -b ) est solution de (E).

2. b) Montrons que le reste de la division de N par 40 est 17.
Nous savons par la question précédente que le couple (a ; -b ) est solution de (E).
Par la question 1. b), nous déduisons qu'il existe un nombre entier relatif k tel que (a ; -b ) = (2 + 5k ; -3 - 8k ),

soit $\left\lbrace\begin{matrix}a=2+5k\\-b=-3-8k\end{matrix}\right.$ ou $\left\lbrace\begin{matrix}a=2+5k\\b=3+8k\end{matrix}\right.$

$\left\lbrace\begin{matrix}\left\lbrace\begin{matrix}N=8a+1\\a=2+5k\end{matrix}\right.\\\left\lbrace\begin{matrix}N=5b+2\\b=3+8k\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\ \ \Longrightarrow\ \ \left\lbrace\begin{matrix}N=8(2+5k)+1\\N=5(3+8k)+2\end{matrix}\right.\ \ \\\\\phantom{WWWWWWW}\Longrightarrow\ \ \left\lbrace\begin{matrix}N=16+40k+1\\N=15+40k+2\end{matrix}\right.\ \ \\\\\phantom{WWWWWWW}\Longrightarrow\ \ \boxed{N=40k+17}$

Par conséquent, le reste de la division de N par 40 est 17.

3. a) On considère l'équation 8x + 5y = 100, où (x ; y ) est un couple de nombres entiers relatifs.

La résolution de cette équation aura le même modèle que la résolution de l'exercice 1.

(200 ; -300) est solution de l'équation 8x + 5y = 100 car 8 multiplie

200 + 5

(-300) = 1600 - 1500 = 100.

$\left\lbrace\begin{matrix}8x+5y=100\\8\times200+5\times(-300)=100\end{matrix}\right.\ \ \ \ \underset{\text{par soustraction}}{\Longrightarrow}\ \ \ \ 8(x-200)+5(y+300)=0 \\\\\phantom{WWWWWWWWWWWWWW....}\Longrightarrow\ \ \ \ 8(x-200)=5(-y-300)$

Donc l'entier 5 divise le produit 8(x - 200).
Or nous savons que 5 et 8 sont premiers entre eux.
Par le théorème de Gauss, nous en déduisons que 5 divise (x - 200).
Dès lors, il existe un entier relatif k tel que x - 200 = 5k , soit $\boxed{x=200+5k}$ .

$\text{De plus, }\ \left\lbrace\begin{matrix}8(x-200)=5(-y-300)\\x=200+5k\end{matrix}\right.\ \ \ \ \Longrightarrow\ \ \ \ 8\times5k=5(-y-300) \\\\\phantom{WWWWWWWWWWWWWWW....}\Longrightarrow\ \ \ \ 8k=-y-300 \\\phantom{WWWWWWWWWWWWWWW....}\Longrightarrow\ \ \ \ \boxed{y=-300-8k}$
Par conséquent, l'ensemble S des solutions de 8x + 5y = 100 est S = {(200 + 5k ; -300 - 8k ) ; k}.

3. b) Soient x le nombre d'hommes et y le nombre de femmes dans ce groupe.
Chaque homme a dépensé 8 pièces de monnaie et chaque femme a dépensé 5 pièces.
Ils sont donc dépensé en tout 8x + 5y pièces de monnaie.
Or nous savons qu'ils ont dépensé un total de 100 pièces de monnaie.
Dès lors x et y sont les solutions de l'équation 8x + 5y = 100 où x et y sont deux entiers naturels non nuls.

Selon la question 3. a), nous obtenons :
$\left\lbrace\begin{matrix}x=200+5k\ \\x>0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\y=-300-8k\\y>0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\k\in\Z\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.\ \ \ \ \Longrightarrow\ \ \ \ \left\lbrace\begin{matrix}200+5k>0\\-300-8k>0\\k\in\Z\ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.\ \ \ \ \Longrightarrow\ \ \ \ \left\lbrace\begin{matrix}5k>-200\\8k<-300\\k\in\Z\ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.\ \ \ \ \Longrightarrow\ \ \ \ \boxed{\left\lbrace\begin{matrix}k>-40\ \ \\k<-37,5\\k\in\Z\ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.}$

Les seules valeurs de k vérifiant ce système sont k = -38 ou k = -39.
$\left\lbrace\begin{matrix}k=-38\ \ \ \ \ \ \ \\x=200+5k\ \ \\y=-300-8k\end{matrix}\right.\ \ \ \ \Longrightarrow\ \ \ \ \left\lbrace\begin{matrix}x=10\\y=4\ \end{matrix}\right. \\\\ \left\lbrace\begin{matrix}k=-39\ \ \ \ \ \ \ \\x=200+5k\ \ \\y=-300-8k\end{matrix}\right.\ \ \ \ \Longrightarrow\ \ \ \ \left\lbrace\begin{matrix}x=5\\y=12\ \end{matrix}\right.$
Par conséquent, dans le groupe, il pouvait y avoir 14 personnes dont 10 hommes et 4 femmes ou 17 personnes dont 5 hommes et 12 femmes.

II. On se propose de résoudre l'équation différentielle (E) : $y'-2y=\dfrac{-2}{1+\text{e}^{-2x}}.$

1. f est solution de (E) $\Longleftrightarrow f'(x)-2f(x)=\dfrac{-2}{1+\text{e}^{-2x}}$

$\Longleftrightarrow \left(\overset{}{\text{e}^{2x}g(x)}\right)'-2\,\text{e}^{2x}g(x)=\dfrac{-2}{1+\text{e}^{-2x}} \\\\\Longleftrightarrow \left(\overset{}{\text{e}^{2x}}\right)'\times g(x)+\text{e}^{2x}\times g\,'(x)-2\,\text{e}^{2x}g(x)=\dfrac{-2}{1+\text{e}^{-2x}} \\\\\Longleftrightarrow 2\,\text{e}^{2x}\times g(x)+\text{e}^{2x}\times g\,'(x)-2\,\text{e}^{2x}g(x)=\dfrac{-2}{1+\text{e}^{-2x}} \\\\\Longleftrightarrow \text{e}^{2x}\times g\,'(x)=\dfrac{-2}{1+\text{e}^{-2x}} \\\\\Longleftrightarrow \boxed{g\,'(x)=\dfrac{-2\text{e}^{-2x}}{1+\text{e}^{-2x}}}$

2. Une fonction primitive de la fonction g' est la fonction définie sur

par $x\mapsto \ln(1+\text{e}^{-2x}).$
D'où nous pouvons définir la fonction g sur

par $g(x)=\ln(1+\text{e}^{-2x})+k\ \ \ (\text{avec }k\in\R).$
Par conséquent, les fonctions f solutions de l'équation (E) sont définies sur

par $\overset{^.}{\boxed{f(x)=\text{e}^{2x}\,[\ln(1+\text{e}^{-2x})+k]\ \ \ (\text{avec }k\in\R)}}$

10 points

probleme

I. On définit la fonction g sur l'intervalle ]1 ; + infini

[ par $g(x)=2x-(x-1)\ln(x-1).$

A. Selon l'énoncé, nous admettons que : $\lim\limits_{x\to 0}x\ln x=0.$

$\lim\limits_{X\to0}X\ln X=0\ \ \ \ \underset{(X=x-1)}{\Longleftrightarrow}\ \ \ \ \ \lim\limits_{x-1\to0}(x-1)\ln (x-1)=0\Longleftrightarrow\boxed{\lim\limits_{x\to1}(x-1)\ln (x-1)=0} \\\\\text{D'où }\lim\limits_{x\to1}g(x)=\lim\limits_{x\to1}2x-\lim\limits_{x\to1}(x-1)\ln (x-1)=0 \\\\\phantom{\text{D'où }\lim\limits_{x\to1}g(x)}=2-0=2 \\\\\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{x\to1}g(x)=2}$

B. Déterminons l'expression de g' (x ).

$g'(x)=(2x)'-[(x-1)\ln(x-1)]' \\\phantom{g'(x)}=2-[(x-1)'\times\ln(x-1)+(x-1)\times\left(\overset{}{\ln(x-1)}\right)'] \\\phantom{g'(x)}=2-[1\times\ln(x-1)+(x-1)\times\dfrac{1}{x-1}] \\\phantom{g'(x)}=2-[\ln(x-1)+\dfrac{x-1}{x-1}] \\\overset{}{\phantom{g'(x)}=2-[\ln(x-1)+1]} \\\overset{}{\phantom{g'(x)}=2-\ln(x-1)-1} \\\overset{}{\phantom{g'(x)}=1-\ln(x-1)} \\\\\Longrightarrow\boxed{g'(x)=1-\ln(x-1)}$

C. Pour tout x appartenant à l'intervalle ]1 ; + infini

[,

$1-\ln(x-1)>0\Longleftrightarrow\ln(x-1)<1 \\\phantom{1-\ln(x-1)>0}\Longleftrightarrow x-1<\text{e} \\\phantom{1-\ln(x-1)>0}\Longleftrightarrow x<\text{e}+1$
D'où l'ensemble des solutions appartenant à l'intervalle ]1 ; +[ de l'inéquation : 1 - ln(x - 1) > 0 est S = ]1 ; e + 1[.

D. Tableau de signes de g' (x ) et variation de la fonction g sur l'intervalle ]1 ; + infini

[,

$\underline{\text{Calculs préliminaires}}: \\\\\lim\limits_{x\to1}g(x)=2\ \ \ \ (\text{voir question A.)} \\\\g(\text{e}+1)=2(\text{e}+1)-(\text{e}+1-1)\ln(\text{e}+1-1) \\\phantom{wwww..}=2\text{e}+2-\text{e}\ln\text{e} \\\phantom{wwww..}=2\text{e}+2-\text{e} \\\phantom{wwww..}=\text{e}+2 \\\\\\\begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&\\ x&1&&\text{e}+1&&+\infty\\&&&&&\\\hline &&&&& \\ g'(x)&&+&0&-& \\ &&&&& \\\hline &||\ \ \ \ &&\text{e}+2&& \\ g(x)&||\ \ \ \ &\nearrow&&\searrow& \\ &||(2)&&&&\\ \hline \end{array}$

E. La fonction g est continue sur [e + 1 ; e³ + 1].
En nous appuyant sur le tableau de variation de la fonction g , nous savons que g est strictement décroissante sur [e + 1 ; e³ + 1].
De plus,
$g(\text{e}+1)=\text{e}+2\ {\red{>0}$
$g(\text{e}^3+1)=2(\text{e}^3+1)-(\text{e}^3+1-1)\ln(\text{e}^3+1-1) \\\phantom{wwww..}=2\text{e}^3+2-\text{e}^3\ln\text{e}^3 \\\phantom{wwww..}=2\text{e}^3+2-\text{e}^3\times3 \\\phantom{wwww..}=2\text{e}^3+2-3\text{e}^3 \\\phantom{wwww..}=2-\text{e}^3 \\\Longrightarrow g(\text{e}^3+1)=2-\text{e}^3\ {\red{<0}}$
Par le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, nous en déduisons que l'équation g (x ) = 0 possède une solution unique sur l'intervalle [e + 1 ; e³ + 1].

D'où le tableau de signes de g(x) sur l'intervalle ]1 ; + infini

[ :

$\begin{array}{|c|ccccccccc|}\hline&&&&&&&&&\\ x&1&&\text{e}+1&&\alpha&&\text{e}^3+1&&+\infty\\&&&&&&&&& \\\hline &&&&&&&&&&g(x)&||&+&+&+&0&-&-&-&\\&&&&&&&&&\\\hline \end{array}$

II. Soit phi

la fonction définie sur l'intervalle ]1 ; + infini

[ par $\varphi(x)=\dfrac{\ln(x^2-1)}{x}.$

A. Remarque : Une coquille s'est glissée dans l'énoncé.
Il faut lire : $\overset{^.}{\lim\limits_{x\to {\red{1}}}\varphi(x)}.$

Nous savons que $\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{\underset{x>1}{x\to1}}(x^2-1)=0^+\\\lim\limits_{X\to 0^+}\ln X=-\infty\end{matrix}\right.\ \ \ \underset{\text{par composition}}{\Longrightarrow}\ \ \ \lim\limits_{\underset{x>1}{x\to1}}\ln(x^2-1)=-\infty.$

$\text{D'où }\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{\underset{x>1}{x\to1}}\ln(x^2-1)=-\infty\\\lim\limits_{\underset{x>1}{x\to1}}x=1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.\ \ \ \Longrightarrow\ \ \ \lim\limits_{\underset{x>1}{x\to1}}\dfrac{\ln(x^2-1)}{x}=-\infty \\\\\phantom{WWWWWWWWWWWWW}\Longrightarrow\ \ \boxed{\lim\limits_{x\to1}\varphi(x)=-\infty}$

De plus par les croissances comparées, nous obtenons : $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\ln(x^2-1)}{x}=0\Longrightarrow\ \ \boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}\varphi(x)=0}$

${\red{\text{B. }}}\ \varphi \,'(x)=\left(\dfrac{\ln(x^2-1)}{x}\right)'=\dfrac{\left(\ln(x^2-1)\right)'\times x - \ln(x^2-1)\times x'}{x^2} \\\\\phantom{{\red{\text{B. }}}\ \varphi \,'(x)}=\dfrac{\left(\dfrac{(x^2-1)'}{x^2-1}\right)\times x - \ln(x^2-1)\times 1}{x^2} \\\\\phantom{{\red{\text{B. }}}\ \varphi \,'(x)}=\dfrac{\left(\dfrac{2x}{x^2-1}\right)\times x - \ln(x^2-1)}{x^2} =\dfrac{\dfrac{2x^2}{x^2-1} - \ln(x^2-1)}{x^2} \\\\\phantom{{\red{\text{B. }}}\ \varphi \,'(x)}=\dfrac{\dfrac{2x^2-(x^2-1) \ln(x^2-1)}{x^2-1}}{x^2}=\dfrac{2x^2-(x^2-1) \ln(x^2-1)}{x^2(x^2-1)} \\\\\Longrightarrow\boxed{\varphi \,'(x)=\dfrac{2x^2-(x^2-1) \ln(x^2-1)}{x^2(x^2-1)}=\dfrac{g(x^2)}{x^2(x^2-1)}}$

Or, si x appartient

]1 ; +

[, alors x > 1 implique

x ² > 1

(x ² > 0 et x ² - 1 > 0).
Par conséquent, '(x ) est du signe de g (x ² ) sur l'intervalle ]1 ; +[.

C. En nous aidant de la question I. E., nous obtenons le tableau suivant :

$\begin{array}{|c|cccccccc|}\hline&&&&&&&&\\ x^2&1&&&&\alpha&&&+\infty\\&&&&&&&& \\\hline &&&&&&&&&g(x^2)&||&&+&&0&&-&\\&&&&&&&&\\\hline &&&&&&&&&\varphi\,'(x)&||&&+&&0&&-&\\&&&&&&&&\\\hline &&&&&&&&&\varphi&||&&\nearrow&&&&\searrow&\\&&&&&&&&\\\hline \end{array}$ , soit $\begin{array}{|c|cccccccc|}\hline&&&&&&&&\\ x&1&&&&\sqrt{\alpha}&&&+\infty\\&&&&&&&& \\\hline &&&&&&&&&\varphi&||&&\nearrow&&&&\searrow&\\&&&&&&&&\\\hline \end{array}$

D'où la fonction est croissante sur l'intervalle $]1\,;\,\sqrt{\alpha}]$ et est décroissante sur $[\sqrt{\alpha}\,;\,+\infty[.$

D. On définit la fonction f sur l'intervalle ]0 ; + infini

] par : $f(x)=\dfrac{\ln(\text{e}^{2x}-1)}{\text{e}^x}.$

1. Nous savons que $x>0\Longrightarrow\text{e}^x>1.$
$\text{Dès lors }\ \varphi(\text{e}^x)=\dfrac{\ln((\text{e}^{x})^2-1)}{\text{e}^x}=\dfrac{\ln(\text{e}^{2x}-1)}{\text{e}^x}=f(x) \\\\\Longrightarrow\boxed{\forall x\in\ ]0\,;+\infty[,\ f(x)=\varphi(\text{e}^x)}$

${\red{2.\ \text{a) }}}\ \lim\limits_{x\to0}f(x)=\lim\limits_{\text{e}^x\to1}\varphi(\text{e}^x) \\\\\phantom{{\red{2.\ \text{a) }}}\ \lim\limits_{x\to0}f(x)}=\lim\limits_{X\to1}\varphi(X)\ \ \ \ (\text{en notant }X\text{ l'expression }\text{e}^x) \\\\\phantom{{\red{2.\ \text{a) }}}\ \lim\limits_{x\to0}f(x)}=-\infty\ \ \ (\text{voir question II. A.}) \\\\\phantom{{\red{2.\ \text{a) }}}\ }\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{x\to0}f(x)=-\infty}$

${\red{2.\ \text{b) }}}\ \lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=\lim\limits_{\text{e}^x\to+\infty}\varphi(\text{e}^x) \\\\\phantom{{\red{2.\ \text{b) }}}\ \lim\limits_{x\to+\infty}f(x)}=\lim\limits_{X\to+\infty}\varphi(X)\ \ \ \ (\text{en notant }X\text{ l'expression }\text{e}^x) \\\\\phantom{{\red{2.\ \text{b) }}}\ \lim\limits_{x\to+\infty}f(x)}=0\ \ \ (\text{voir question II. A.}) \\\\\phantom{{\red{2.\ \text{b) }}}\ }\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=0}$

2. c) Nous avons montré dans la question D.1) que : $\forall x\in\ ]0\,;+\infty[,\ f(x)=\varphi(\text{e}^x)$
En utilisant la croissance de la fonction phi

étudiée dans la question II. c), nous en déduisons que la fonction définie par : $\overset{.}{\text{e}^x\mapsto\varphi(\text{e}^x)}$ est croissante si $\overset{.}{\text{e}^x\in\,]1\,;\,\sqrt{\alpha}]}$ et est décroissante si $\overset{.}{\text{e}^x\in\,[\sqrt{\alpha}\,;\,+\infty[}$ .

Étant donné que $\text{e}^x=1\Longleftrightarrow x=0$ et que $\text{e}^x=\sqrt{\alpha}\Longleftrightarrow x=\ln(\sqrt{\alpha})$ , nous déduisons que la fonction f est croissante si $\overset{.}{x\in\,]0\,;\,\ln(\sqrt{\alpha})]}$ et est décroissante si $\overset{.}{x\in\,[\ln(\sqrt{\alpha})\,;\,+\infty[}$ .

Par conséquent, la fonction f admet un maximum en $\ln(\sqrt{\alpha}).$

3. La fonction f admet un maximum en $\ln(\sqrt{\alpha}).$
La valeur de ce maximum est donnée par $f(\ln(\sqrt{\alpha})).$

$f(\ln(\sqrt{\alpha}))=f\left(\dfrac{1}{2}\ln(\alpha)\right) =\dfrac{\ln(\text{e}^{2\left(\frac{1}{2}\ln(\alpha)\right)}-1)}{\text{e}^\left(\frac{1}{2}\ln(\alpha)\right)}$

$=\dfrac{\ln(\text{e}^{\ln(\alpha)}-1)}{\left(\text{e}^\ln(\alpha)\right)^\frac{1}{2}}=\dfrac{\ln(\alpha-1)}{\alpha^\frac{1}{2}}=\dfrac{\ln(\alpha-1)}{\sqrt{\alpha}}$
Or par la question I. E), nous savons que alpha

est l'unique solution de l'équation g (x ) = 0.
Dès lors ,

$g(\alpha)=0\Longleftrightarrow2\alpha-(\alpha-1)(\ln(\alpha-1)=0 \\\phantom{g(\alpha)=0}\Longleftrightarrow(\alpha-1)(\ln(\alpha-1)=2\alpha \\\phantom{g(\alpha)=0}\Longleftrightarrow\ln(\alpha-1)=\dfrac{2\alpha}{\alpha-1} \\\\\ln(\alpha-1)=\dfrac{2\alpha}{\alpha-1}\Longrightarrow\dfrac{\ln(\alpha-1)}{\sqrt{\alpha}}=\dfrac{2\alpha}{\sqrt{\alpha}(\alpha-1)} \\\\\phantom{\ln(\alpha-1)=\dfrac{2\alpha}{\alpha-1}}\Longrightarrow\boxed{\dfrac{\ln(\alpha-1)}{\sqrt{\alpha}}=\dfrac{2\sqrt{\alpha}}{\alpha-1}}$

D'où, la valeur du maximum de f est donnée par $\boxed{f(\ln(\sqrt{\alpha}))=\dfrac{\ln(\alpha-1)}{\sqrt{\alpha}}=\dfrac{2\sqrt{\alpha}}{\alpha-1}}.$

Par conséquent, pour tout x de l'intervalle ]0 ; + infini

[ : $\boxed{f(x)\le\dfrac{2\sqrt{\alpha}}{\alpha-1}}$

4. Tableau donnant des valeurs approchées de f (x ) à 10^-2 près.

$\begin{array}{|c|ccc|ccc|ccc|ccc|ccc|ccc|}\hline&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\ x&&0,1&&&0,5&&&1&&&1,5&&&2&&&3&\\&&&&&&&&&&&&&&&&&& \\\hline &&&&&&&&&&&&&&&&&&&f(x)&&-1,36&&&0,33&&&0,68&&&0,66&&&0,54&&&0,30&\\&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline \end{array}$

Représentation graphique de la fonction f .

Publié par malou le 14-02-2021

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