Fiche de mathématiques
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Bac ST2S Polynésie 2018

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Durée : 2 heures

Coefficient : 3



L'usage de tout modèle de calculatrice, avec ou sans mode examen, est autorisé.
5 points

exercice 1

Bac ST2S Polynésie 2018 : image 3


7 points

exercice 2

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8 points

exercice 3

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Bac ST2S Polynésie 2018

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5 points

exercice 1

Partie A

1.   Les élèves sont dans un établissement comprenant 800 élèves dont 40 % sont des garçons.

Le nombre de garçons de cet établissement est ainsi égal à  \dfrac{40}{100}\times800=320.
Or la case grisée contient le nombre de garçons de l'établissement.
Cette case grisée contiendra donc la valeur 320.

2.   Tableau :

           \begin{array}{|c|c|c|c|}\hline\text{L'élève est}&\text{un garçon}&\text{une fille}&\text{Total}\\\hline \text{fumeur}&&&\\\hline \text{non fumeur}&224&&\\\hline \text{Total}&320&&800\\\hline \end{array}

           \begin{array}\ \\320-224={\red{96}}\\\\800-320={\blue{480}}\end{array}\ \begin{array}{|c|c|c|c|}\hline\text{L'élève est}&\text{un garçon}&\text{une fille}&\text{Total}\\\hline \text{fumeur}&{\red{96}}&&\\\hline \text{non fumeur}&224&&\\\hline \text{Total}&320&{\blue{480}}&800\\\hline \end{array} \\\\\\ \begin{array}\ \dfrac{35}{100}\times800={\red{280}}\\\\800-{\red{280}}={\blue{520}}\end{array}\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline\text{L'élève est}&\text{un garçon}&\text{une fille}&\text{Total}\\\hline \text{fumeur}&96&&{\red{280}}\\\hline \text{non fumeur}&224&&{\blue{520}}\\\hline \text{Total}&320&480&800\\\hline \end{array} \\\\\\ \begin{array}\ \\280-96={\red{184}}\\\\520-224={\blue{296}}\end{array}\ \begin{array}{|c|c|c|c|}\hline\text{L'élève est}&\text{un garçon}&\text{une fille}&\text{Total}\\\hline \text{fumeur}&96&{\red{184}}&280\\\hline \text{non fumeur}&224&{\blue{296}}&520\\\hline \text{Total}&320&480&800\\\hline \end{array}

Le tableau complété est donc :

                  \begin{array}{|c|c|c|c|}\hline\text{L'élève est}&\text{un garçon}&\text{une fille}&\text{Total}\\\hline \text{fumeur}&96&184&280\\\hline \text{non fumeur}&224&296&520\\\hline \text{Total}&320&480&800\\\hline \end{array}

Partie B

1.   L'événement  G\cap\overline{A}}  peut se traduire par : "L'élève est un garçon non fumeur".
Puisque l'établissement comprend 224 garçons non fumeurs parmi les 800 élèves,  \boxed{p(G\cap\overline{A})=\dfrac{224}{800}=0,28}}

2.   L'événement "L'élève est une fille fumeuse" peut se traduire par  \overline{G}\cap A.
Puisque l'établissement comprend 184 filles fumeuses parmi les 800 élèves,  \boxed{p(\overline{G}\cap A)=\dfrac{184}{800}=0,23}}

3.   Sachant que l'élève choisi est fumeur, calculons la probabilité que ce soit une fille.
Nous devons donc calculer  p_A(\overline{G}).

p_A(\overline{G})=\dfrac{p(\overline{G}\cap A)}{p(A)}

Or  p(\overline{G}\cap A)=0,23 (voir exercice "Partie B - 2.)
        p (A ) = 0,35 (puisque 35 % des élèves sont des fumeurs)

D'où  p_A(\overline{G})=\dfrac{0,23}{0,35}\approx0,66.

Par conséquent, sachant que l'élève choisi est fumeur, la probabilité que ce soit une fille est égale à 0,66 (valeur arrondie au centième près).

4.   Parmi les 320 garçons, 96 d'entre eux sont fumeurs et 224 ne le sont pas.
Il y a donc plus de chance que parmi les garçons, l'élève choisi soit un élève non fumeur.

Les calculs des probabilités correspondantes donneraient les résultats suivants :

\left\lbrace\begin{matrix}p_G(A)=\dfrac{96}{320}\\\\p_G(\overline{A})=\dfrac{224}{320}\end{matrix}\right.\ \ \ \Longrightarrow\ \ \boxed{p_G(\overline{A})>p_G(A)}

7 points

exercice 2

Partie A

1.   Le taux d'augmentation de l'espérance de vie est donné en pourcentage par :  

\dfrac{\text{valeur finale - valeur initiale}}{\text{valeur initiale}}\times100=\dfrac{82,7-74,1}{74,1}\times100\approx11,6

Donc le taux d'augmentation de l'espérance de vie entre 1980 et 2015 est d'environ 11,6 % (arrondi à 0,1% près).

2.   Puisque la cellule B3 est la référence dans tous les calculs, son contenu doit donc être bloqué dans la formule.
Donc la formule qui, saisie dans la cellule C4 et recopiée vers la droite, permet de compléter la ligne 4 est  {\red{\boxed{=(C3-\$B3)/\$B3}}}

Partie B

1.   Déterminons les coordonnées (xG  ; yG ) du point moyen G  du nuage.

\left\lbrace\begin{matrix}x_G=\dfrac{0+5+10+15+20+25+30+35}{8}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\\y_G=\dfrac{74,1+75,3+76,6+77,8+79,1+80,2+81,7+82,7}{8}\end{matrix}\right.\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}x_G=17,5\\\\y_G=78,4375 \end{matrix}\right.

D'où les coordonnées du point G  sont (17,5 ; 78,4), en arrondissant au dixième.

1. b.   Plaçons le point G dans un repère orthogonal. (voir le graphique ci-dessous).

2.   L'équation réduite de la droite d'ajustement de y  en x  est  de la forme y  = ax  + b .
A l'aide de la calculatrice, nous obtenons a  environegal 0,24833 et b  environegal 74,091667.

Nous décidons d'ajuster le nuage de points par la droite  \boxed{{\mathscr{D}}:y=0,25x+74,1}  (correctif de l'énoncé).

2. a.   Déterminons les coordonnées de deux points de la droite  {\mathscr{D}}.

\text{Par exemple, }\ x=0\Longrightarrow y=0,25\times0+74,1 \\\phantom{\text{Par exemple, }\ x=0\Longrightarrow}\ y=74,1 \\ \phantom{\text{Par exemple, }}\ x=40\Longrightarrow y=0,25\times40+74,1 \\\phantom{\text{Par exemple, }\ x=10\Longrightarrow}\ y=84,1 \\\\\text{D'où }\ \boxed{A(0\,;74,1)\in\mathscr{D}}\ \ \text{et }\ \boxed{B(40\,;84,1)\in\mathscr{D}}

Bac ST2S Polynésie 2018 : image 9


2. b.   L'année 2020 correspond au rang 40.
Dans l'équation de la droite  {\mathscr{D}} , remplaçons x  par 40 et déterminons la valeur de y .

x=40\Longrightarrow y=0,25\times40+74,1 \\\phantom{x=10\Longrightarrow}\ y=84,1

Par conséquent, nous pouvons estimer que l'espérance de vie en France en 2020 est de 84,1 ans.
Cette valeur est également lue sur le graphique ci-dessus.

2. c.   Si x  est le rang de l'année, nous devons trouver le plus petit entier naturel x  vérifiant l'inéquation :
  0,25x+74,1\ge83

0,25x+74,1\ge83\Longleftrightarrow0,25x\ge83-74,1 \\\\\phantom{0,25x+74,1\ge83}\Longleftrightarrow0,25x\ge8,9 \\\\\phantom{0,25x+74,1\ge83}\Longleftrightarrow x\ge\dfrac{8,9}{0,25} \\\\\phantom{0,25x+74,1\ge83}\Longleftrightarrow x\ge35,6

Donc le plus petit entier naturel x  vérifiant l'inéquation est x  = 36.
Le rang x  = 36 correspond à l'année 1980 + 36 = 2016.
Par conséquent, l'espérance de vie en France dépassera 83 ans à partir de l'année 2016.

8 points

exercice 3

Partie A : Etude graphique

La fonction f  est représentée par la courbe ci-dessous :

Bac ST2S Polynésie 2018 : image 8


1.   Selon le graphique, il semble que la concentration du produit est maximale au bout de 2 heures.
Cette concentration maximale semble alors être égale à 32 mg/l.

2.   Nous pouvons lire graphiquement que la concentration dans le sang est inférieure à 5 mg/l durant les premières minutes du traitement, puis devient supérieure à 5 mg/l pour redevenir inférieure à 5 mg/l au bout de 5 heures.
Donc, au bout de 5 heures, il faudra à nouveau administrer le médicament pour maintenir son effet.

Partie B : Etude de la fonction

La fonction f  est définie sur l'intervalle [0 ; 6] par :  f(x)=x^3-12x^2+36x.

1. a.   Pour tout x  dans l'intervalle [0 ; 6],

            f'(x)=(x^3-12x^2+36x)' \\\phantom{f'(x)}=(x^3)'-(12x^2)'+(36x)' \\\phantom{f'(x)}=3x^2-12\times2x+36 \\\phantom{f'(x)}=3x^2-24x+36 \\\\\Longrightarrow\boxed{f'(x)=3x^2-24x+36}

{\red{1.\ \text{b. }}}\ (3x-6)(x-6)=3x^2-18x-6x+36 \\\phantom{{\red{1. \ \text{b. }}}\ (3x-6)(x-6)}=3x^2-24x+36 \\\phantom{{\red{1. \ \text{b. }}}\ (3x-6)(x-6)}=f'(x) \\\\\Longrightarrow\boxed{f'(x)=(3x-6)(x-6)}

2. a.  Signe de f' (x ) sur l'intervalle [0 ; 6] :

Nous savons que sur R :

\begin{matrix}3x-6=0\Longleftrightarrow3x=6\\\phantom{3x-6=}\Longleftrightarrow x = 2\end{matrix} \begin{matrix}\ |\ \\\ |\ \end{matrix}\  \begin{matrix}3x-6<0\Longleftrightarrow3x<6\\\phantom{3x-6<0}\Longleftrightarrow x < 2\end{matrix} \begin{matrix}\ |\ \\\ |\ \end{matrix}\  \begin{matrix}3x-6>0\Longleftrightarrow3x>6\\\phantom{3x-6>0}\Longleftrightarrow x > 2\end{matrix}
et

x-6=0\Longleftrightarrow x=6 \\x-6<0\Longleftrightarrow x<6

D'où le tableau de signe de f' (x ) sur l'intervalle [0 ; 6] :

             \begin{array}{|c|ccccc|}\hline x&0&&2&&6\\\hline 3x-6&-&-&0&+&+\\\hline x-6&-&-&-&-&0\\\hline f'(x)&+&+&0&-&0\\\hline \end{array}

2. b.   Tableau de variation de la fonction f  sur l'intervalle [0 ; 6].

N. B. :  \left\lbrace\begin{matrix} f(0)=0^3-12\times0^2+36\times0=0-0+0=0\ \ \ \ \ \ \ \ \  \\f(2)=2^3-12\times2^2+36\times2=8-48+72=32\ \ \ \  \\f(6)=6^3-12\times6^2+36\times6=216-432+216=0 \end{matrix}\right. \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Longrightarrow\ \ \ \ \ \ \ \left\lbrace\begin{matrix}f(0)=0\\f(2)=32\\f(6)=0\end{matrix}\right.

D'où le tableau de variation de la fonction f  sur l'intervalle [0 ; 6] :

                \begin{array}{|c|ccccc|}\hline x&0&&2&&6\\\hline f'(x)&&+&0&-&0\\\hline &&&32&& \\ f(x)&&\nearrow&&\searrow& \\ &0&&&&0 \\ \hline \end{array}

3.   Ce tableau confirme la réponse à la question 1. de la partie A.
En effet, ce tableau montre que la concentration du produit est maximale au bout de 2 heures et que cette concentration maximale est égale à 32 mg/l comme nous l'avions estimé graphiquement dans la question 1.

4.   La concentration dans le sang du produit actif est au bout de 5 heures est f (5).

Or  f(5)=5^3-12\times5^2+36\times5=125-300+180=5\Longrightarrow\boxed{f(5)=5}
Dès lors, au bout de 5 heures, la concentration dans le sang du produit actif est de 5 mg/l.

Or  20\%\ \text{de }32=0,20\times32=6,4\Longrightarrow\boxed{20\%\ \text{de }32=6,4}

Puisque 5 < 6,4, nous pouvons dire que l'affirmation "Au bout de 5 heures, la concentration dans le sang du produit actif est inférieure à 20 % de sa valeur maximale" est vraie.

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