Fiche de mathématiques
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Bac STD2A 2018

Antilles Guyane

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exercice 1

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9 points

exercice 2

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6 points

exercice 3

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5 points

exercice 1

Partie A : Perspective centrale

1.   Points de fuite associés aux directions (BC) et (BF).                                                   
Les points de fuite  \omega_1  et  \omega_2  associés respectivement
aux directions (BC) et (BF) sont les points d'intersection entre la ligne d'horizon et les droites respectives (bc) et (bf).                                                                                   
                                                                                                      
Bac STD2A Antilles Guyane 2018 : image 24
2.   Représentation du cube en perspective centrale.

Tracer les segments  [a\,\omega_1],\ [a\,\omega_2],\ [b\,\omega_1],\ [b\,\omega_2],\ [c\,\omega_2]\ \ \text{et}\ \ [f\,\omega_1].
Le point g est le point d'intersection des droites  [c\,\omega_2]\ \ \text{et}\ \ [f\,\omega_1].
Par le point c, tracer une droite parallèle à la droite (ab) qui coupera la droite  (a\,\omega_1) en d.
Par le point f, tracer une droite parallèle à la droite (ab) qui coupera la droite  (a\,\omega_2) en e.
Nous obtenons alors ci-dessous la représentation du cube en perspective centrale :
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3.   Construction du point k, image du point K.
L'arête [AB] est divisée en trois segments de mêmes longueurs.
Nous savons que cette arête est frontale.
Par conséquent, nous diviserons le segment [ab] en trois segments [am], [mn] et [nb] de mêmes longueurs.
Le point k sera alors l'intersection des droites (be) et  (m\,\omega_2).
Nous obtenons ainsi la figure ci-dessous.
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4.  Construction de (M) en perspective centrale.
Première étape dans la construction de (M) en perspective centrale :
Nous allons déterminer dans l'ordre les points p, r, s, t, u, v, w.

p est le point d'intersection des droites (be) et  (n\,\omega_2).
r est le point d'intersection des droites (db) et  (m\,\omega_1).
s est le point d'intersection des droites (db) et  (n\,\omega_1).
t est le point d'intersection de la droite parallèle à (ab) et comprenant le point r avec la droite (bc).
u est le point d'intersection de la droite parallèle à (ab) et comprenant le point s avec la droite (bc).
v est le point d'intersection de la droite parallèle à (ab) et comprenant le point p avec la droite (bf).
w est le point d'intersection de la droite parallèle à (ab) et comprenant le point k avec la droite (bf).
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Nous terminons alors la construction de (M) représentée ci-dessous en perspective centrale :

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Partie B : Ombre portée

1.   La source lumineuse est située à la verticale du point P.
Donc la droite (PS) est perpendiculaire au plan (CBF).

\left\lbrace\begin{matrix}\text{droite }(PS)\perp\text{plan }(CBF)\\\text{droite }(AB)\perp\text{plan }(CBF)\end{matrix}\right.\Longrightarrow\text{la droite }(PS)\text{ est parallèle à la }\text{droite }(AB)
Les droites (PS) et (AB) étant parallèles et disjointes, elles déterminent un plan (alpha).
Par conséquent, les points A, B, P et S appartiennent à un même plan, soit le plan (alpha).

2.   Construction de l'ombre portée de (M)
La droite (SB) coupe la droite (HA) en R.
La droite (SC) coupe la droite (DE) en U.
La droite (SF) coupe la droite (DE) en T.
Par le point T, traçons une droite parallèle à la droite (UR)
Par le point U, traçons une droite parallèle à la droite (RT)
Nous obtenons ainsi l'ombre portée de (M) (grisée sur la figure ci-dessous).

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9 points

exercice 2

Partie A : Le bout

1. Représentation en vert du cercle (C) de centre I(15 ; 0) et de rayon IB.

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{\red{2.}}\ IB=\sqrt{(x_B-x_I)^2+(y_B-y_I)^2} \\\\\phantom{{\red{2.}}\ IB}=\sqrt{(14,4-15)^2+(0,8-0)^2} \\\\\phantom{{\red{2.}}\ IB}=\sqrt{(-0,6)^2+0,8^2}=\sqrt{0,36+0,64}=\sqrt{1}=1 \\\\\Longrightarrow\boxed{IB=1}

Nous savons que l'équation cartésienne réduite d'un cercle de centre omegamaj(a  ; b ) et de rayon r  est :  (x-a)^2+(y-b)^2=r^2
Par conséquent, l'équation du cercle (C) de centre I(15 ; 0) et de rayon IB = 1 est :  (x-15)^2+(y-0)^2=1^2 , soit  \boxed{(x-15)^2+y^2=1}

3.   Nous montrerons que les vecteurs  \overrightarrow{BT} et  \overrightarrow{BI}  sont orthogonaux en montrant que le produit scalaire  \overrightarrow{BT}.\overrightarrow{BI}  est nul.
\text{Coordonnées de }\overrightarrow{BT} :\begin{pmatrix}x_T-x_B\\y_T-y_B\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}16,4-14,4\\2,3-0,8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\1,5\end{pmatrix} \\\\\text{Coordonnées de }\overrightarrow{BI} :\begin{pmatrix}x_I-x_B\\y_I-y_B\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}15-14,4\\0-0,8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0,6\\-0,8\end{pmatrix} \\\\\overrightarrow{BT}.\overrightarrow{BI}=x_{\overrightarrow{BT}}\times x_{\overrightarrow{BI}}+y_{\overrightarrow{BT}}\times y_{\overrightarrow{BI}} =2\times0,6+1,5\times(-0,8) \\\phantom{\overrightarrow{BT}.\overrightarrow{BI}=x_{\overrightarrow{BT}}\times x_{\overrightarrow{BI}}+y_{\overrightarrow{BT}}\times y_{\overrightarrow{BI}}}=1,2-1,2 \\\phantom{\overrightarrow{BT}.\overrightarrow{BI}=x_{\overrightarrow{BT}}\times x_{\overrightarrow{BI}}+y_{\overrightarrow{BT}}\times y_{\overrightarrow{BI}}}=0 \\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{BT}.\overrightarrow{BI}=0}

Vu que le produit scalaire  \overrightarrow{BT}.\overrightarrow{BI}  est nul, nous en déduisons que les vecteurs  \overrightarrow{BT} et  \overrightarrow{BI}  sont orthogonaux.
La droite (BT) est donc perpendiculaire au rayon [IB] en B.
Par conséquent, la droite (BT) est tangente au cercle (C) au point B.

4.   Le coefficient directeur de la droite (BT) est donné par  m_{BT}=\dfrac{y_T-y_B}{x_T-x_B}=\dfrac{2,3-0,8}{16,4-14,4}=\dfrac{1,5}{2}=0,75.
D'où le coefficient directeur de la droite (BT) est 0,75.

Partie B : Le cuilleron

1.   Nous savons que l'équation cartésienne réduite d'une ellipse de centre omegamaj' (alpha  ; beta ) et de demi-axes a  et b  
est  \dfrac{(x-\alpha)^2}{a^2}+\dfrac{(y-\beta)^2}{b^2}=1
L'ensemble (E) des points M de coordonnées (x ; y ) vérifiant l'équation  \dfrac{(x-3)^2}{9}+\dfrac{y^2}{4}=1  est une ellipse centrée en omegamaj' (3 ; 0) et dont les mesures des demi-axes sont 3 et 2.

2. Pour déterminer les ordonnées des points de (E) dont l'abscisse vaut 4,8, nous remplaçons x  par 4,8 dans l'équation de (E) et déterminons les valeurs de y .

\dfrac{(4,8-3)^2}{9}+\dfrac{y^2}{4}=1\Longleftrightarrow\dfrac{1,8^2}{9}+\dfrac{y^2}{4}=1 \Longleftrightarrow0,36+\dfrac{y^2}{4}=1 \\\\\phantom{\dfrac{(4,8-3)^2}{9}+\dfrac{y^2}{4}=1}\Longleftrightarrow\dfrac{y^2}{4}=1-0,36\Longleftrightarrow\dfrac{y^2}{4}=0,64\\\\\phantom{\dfrac{(4,8-3)^2}{9}+\dfrac{y^2}{4}=1}\Longleftrightarrow y^2=2,56 \\\phantom{\dfrac{(4,8-3)^2}{9}+\dfrac{y^2}{4}=1}\Longleftrightarrow y=\sqrt{2,56}\ \text{ou } y=-\sqrt{2,56} \\\phantom{\dfrac{(4,8-3)^2}{9}+\dfrac{y^2}{4}=1}\Longleftrightarrow y=1,6\ \text{ou } y=-1,6

D'où les coordonnées des points de (E) dont l'abscisse vaut 4,8 sont (4,8 ; -1,6) et (4,8 ; 1,6).

3.   Représentation graphique de l'ensemble (E).

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Partie C : Le manche


f(x)=\dfrac{1}{25}x^2-\dfrac{1277}{1500}x+\dfrac{2978}{625}\ \ \ \ \ \text{avec }x\in[4,8\ ;\ 14,4]

{\red{1.}}\ \ f(4,8)=\dfrac{1}{25}\times4,8^2-\dfrac{1277}{1500}\times4,8+\dfrac{2978}{625}=0,9216-4,0864+4,7648=1,6\\\\\Longleftrightarrow f(4,8)=1,6 \Longleftrightarrow\boxed{A(4,8\,;\,1,6)\in C_f} \\\\\\f(14,4)=\dfrac{1}{25}\times14,4^2-\dfrac{1277}{1500}\times14,4+\dfrac{2978}{625}=8,2944-12,2592+4,7648=0,8\\\\\Longleftrightarrow f(14,4)=0,8 \Longleftrightarrow\boxed{B(14,4\,;\,0,8)\in C_f}

2.   Déterminons f' (x ).

f'(x)=(\dfrac{1}{25}x^2-\dfrac{1277}{1500}x+\dfrac{2978}{625})' \\\\\phantom{f'(x)}=(\dfrac{1}{25}x^2)'-(\dfrac{1277}{1500}x)'+(\dfrac{2978}{625})' \\\\\phantom{f'(x)}=\dfrac{1}{25}\times2x-\dfrac{1277}{1500}\times1+0 \\\\\phantom{f'(x)}=\dfrac{2}{25}x-\dfrac{1277}{1500} \\\\\Longrightarrow\boxed{f'(x)=\dfrac{2}{25}x-\dfrac{1277}{1500}}

3.   Etudions le signe de la dérivée sur R.

{\red{f'(x)=0}}\Longleftrightarrow\dfrac{2}{25}x-\dfrac{1277}{1500}=0 \Longleftrightarrow\dfrac{2}{25}x=\dfrac{1277}{1500} \Longleftrightarrow x=\dfrac{\dfrac{1277}{1500}}{\dfrac{2}{25}} \\\phantom{f'(x)=0}\Longleftrightarrow x=\dfrac{1277}{1500}\times \dfrac{25}{2} \Longleftrightarrow {\red{x=\dfrac{1277}{120}\approx10,64}}  \\\\\\ {\red{f'(x)<0}}\Longleftrightarrow\dfrac{2}{25}x-\dfrac{1277}{1500}<0 \Longleftrightarrow\dfrac{2}{25}x<\dfrac{1277}{1500} \Longleftrightarrow x<\dfrac{\dfrac{1277}{1500}}{\dfrac{2}{25}} \\\phantom{f'(x)=0\ }\Longleftrightarrow x<\dfrac{1277}{1500}\times \dfrac{25}{2} \Longleftrightarrow {\red{x<\dfrac{1277}{120}\approx10,64}}  \\\\\\ {\red{f'(x)>0}}\Longleftrightarrow...\Longleftrightarrow {\red{x>\dfrac{1277}{120}\approx10,64}}

D'où le tableau de variations de f  sur l'intervalle [4,8 ; 14,4]

                      \begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&\\ x&4,8&&\dfrac{1277}{120}\approx10,64&&14,4\\&&&&&\\\hline&&&&&\\f'(x)&-&-&0&+&+\\&&&&&\\\hline &1,6&&&&0,8\\  f(x)&&\searrow&&\nearrow& \\ &&&f(\dfrac{1277}{120})\approx0,23&& \\ \hline \end{array}

4.  Tableau de valeurs de la fonction f  :

       \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline x&4,8&6&7&8&9&10&11&12&13&14,4 \\\hline f(x)&1,6&1,1&0,77&0,51&0,34&0,25&0,24&0,31&0,46&0,8\\\hline \end{array}

5.   Courbe Cf  et courbe symétrique par rapport à l'axe des abscisses :

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6. a.  Le coefficient directeur de la tangente à Cf  au point B(14,4 ; 0,8) est donné par f' (14,4).

f'(x)=\dfrac{2}{25}x-\dfrac{1277}{1500}\Longrightarrow f'(14,4)=\dfrac{2}{25}\times14,4-\dfrac{1277}{1500} =\dfrac{120}{1500}\times14,4-\dfrac{1277}{1500} \\\\\phantom{f'(x)=\dfrac{2}{25}x-\dfrac{1277}{1500}}\Longrightarrow f'(14,4)=\dfrac{1728}{1500}-\dfrac{1277}{1500}=\dfrac{451}{1500} \\\\\phantom{f'(x)=\dfrac{2}{25}x-\dfrac{1277}{1500}}\Longrightarrow\boxed{f'(14,4)=\dfrac{451}{1500}\approx0,3}

Donc le coefficient directeur de la tangente à Cf  au point B est égal à 0,3 (au dixième près).
Nous avons montré dans les questions 3 et 4 de la partie A que le coefficient directeur de la tangente au cercle (C) au point B est égal à 0,75.
Ces coefficients directeurs sont différents.

6. b.  Nous pouvons en conclure que le raccord de la courbe Cf  et du cercle (C) s'effectue par un point anguleux.

7.   Soit M le point de la courbe Cf  où la fonction f  admet un minimum.
En utilisant le tableau de variations de f , nous lisons que les coordonnées du point M sont (10,64 ; 0,23) (valeurs arrondies au centième près).
Soit N le point symétrique de M par rapport à l'axe des abscisses.
Les coordonnées du point N sont alors (10,64 ; -0,23) (valeurs arrondies au centième près).
L'endroit le plus étroit du manche est donné par le segment [MN].
La longueur de ce segment est  MN =|y_N-y_M|= |-0,23 - 0,23| = |-0,46| = 0,46.

Par conséquent, la largeur du manche à son endroit le plus étroit est de 0,46 cm (valeur arrondie au dixième de millimètre près).

6 points

exercice 3

Partie A : Construction du carreau élémentaire

Les cinq étapes du programme de construction sont reprises dans la figure ci-dessous :

Bac STD2A Antilles Guyane 2018 : image 20


Partie B : Pavage uni

On considère le motif ci-dessous :
                           
Bac STD2A Antilles Guyane 2018 : image 21


1.  Ce motif peut s'obtenir par la réunion des images du parallélogramme OBCD par cinq rotations de centre O dans le sens anti-horaire d'angles respectifs 60°, 120°, 180°, 240° et 300°.

2.   Sur la figure ci-dessous, nous avons défini les vecteurs  \overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}  et  \overrightarrow{v}=\overrightarrow{AC}.
Le pavage entier peut être obtenu à l'aide des images du motif coloré en saumon par les translations de vecteurs de la forme  a\overrightarrow{u}+b\overrightarrow{v}  où a  et b  sont deux nombres entiers.

Bac STD2A Antilles Guyane 2018 : image 33


Par exemple, le motif coloré en vert est l'image du motif coloré en saumon par la translation de vecteur  \overrightarrow{u}.
Le motif coloré en bleu est l'image du motif coloré en saumon par la translation de vecteur  \overrightarrow{v}.
Le motif coloré en gris est l'image du motif coloré en saumon par la translation de vecteur  \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}.
etc.

Partie C : Pavage bicolore

1.   Soit le carreau élémentaire coloré ci-dessous :
Bac STD2A Antilles Guyane 2018 : image 26


Le parallélogramme OBCD est composé du triangle DIC et d'une zone colorée constituée par les triangles OID et BIC.
Le parallélogramme OBCD et le triangle DIC ont la même base DC et la même hauteur IH.

\text{Aire}_{\text{parallélogramme OBCD}}=[\text{Base}\times\text{hauteur}]=DC\times IH \\\\\text{Aire}_{\text{triangle DIC}}=[\dfrac{1}{2}\times\text{Base}\times\text{hauteur}]=\dfrac{1}{2}\times DC\times IH \\\\\Longrightarrow{\red{\text{Aire}_{\text{triangle DIC}}=\dfrac{1}{2}\times\text{Aire}_{\text{parallélogramme OBCD}}}}

Puisque le triangle DIC remplit la moitié du parallélogramme, nous en déduisons que la zone colorée couvre la moitié du parallélogramme, soit la moitié du carreau.

2.   Les figures géométriques colorées ressortant du pavage sont des hexagones réguliers reliés entre eux par des triangles équilatéraux.

          
Bac STD2A Antilles Guyane 2018 : image 30
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