1. a. Dans le plan muni d'un repère orthonormal, une équation cartésienne d'un cercle de centre (a ; b ) et de rayon r est donnée par
Le centre du cercle est (-8 ; -4). Donc a = -8 et b = -4.
Le rayon du cercle peut se calculer par la longueur B.
D'où r = 8.
Par conséquent, une équation cartésienne du cercle est
soit
1. b. Pour vérifier que le point A(-3,2 ; 2,4) appartient au cercle , nous montrerons que ses coordonnées vérifient l'équation du cercle.
Dans l'équation de , remplaçons x par -3,2 et y par 2,4.
Puisque les coordonnées du point A vérifient l'équation du cercle, nous pouvons affirmer que ce point A(-3,2 ; 2,4) appartient au cercle .
2. a. Les coordonnées du vecteur sont données par .
De même, les coordonnées du vecteur sont données par .
2. b. Montrons que les vecteurs et sont orthogonaux en montrant que leur produit scalaire est nul.
Puisque les vecteurs et sont orthogonaux et que les droites (OA) et (A) sont sécantes en A, nous déduisons que ces droites (OA) et (A) sont perpendiculaires.
2. c. Nous savons que la tangente en un point d'un cercle est la perpendiculaire au rayon aboutissant au point de contact.
La droite (OA) étant perpendiculaire au rayon (A) du cercle en A, nous en déduisons que le cercle est tangent à la droite (OA) en A.
Partie B : Etude du col de l'arrosoir
1. Contrainte 1 : Le point O appartient à la courbe se traduit par f (0) = 0.
Puisque b = 0, l'expression de f (x ) est de la forme
2. Déterminons l'expression de f' (x ).
3. a. La droite (OA) comprend le point O.
Son équation réduite est donc de la forme y = mx où m est le coefficient directeur.
Or
Par conséquent, la droite (OA) a pour équation
3. b. Contrainte 2 : La droite (OA) est tangente à la courbe au point O.
Nous en déduisons que le coefficient directeur de cette tangente (OA) est représenté par f' (0) et par suite que f' (0) = -0,75,
soit que
D'où l'expression de f (x ) est
4.
4. a. Nous savons par la question 2 que .
Or a = -0,75.
Donc .
L'étude du signe de f' (x ) correspond alors à l'étude du signe d'un trinôme du second degré.
Déterminons les éventuelles racines de f' .
Tableau de variations de f (les valeurs sont arrondies au centième).
4. b. Tableau de valeurs de la fonction f (les résultats sont arrondis au dixième).
4. c. Tracé de la courbe .
Partie C : Etude de l'anse
Soit l'ellipse
1. Nous savons qu'une ellipse de demi-axes a et b et dont le centre a pour coordonnées ( ; ) admet comme
équation cartésienne :
Par identification avec l'équation , nous déduisons que
Par conséquent, nous obtenons les résultats suivants : Centre H(3,5 ; -5)
Mesure du demi petit axe :
Mesure du demi grand axe : 5
2. L'ordonnée du centre H de l'ellipse est égale à -5.
Le petit axe de l'ellipse sera donc supporté par la droite d'équation y = -5 et non par la droite d'équation y = -4.
Par conséquent, le segment [CG] n'est pas le petit axe de l'ellipse
3. a. Les coordonnées du point D sont une solution du système
Remplaçons x par 4 dans l'équation de l'ellipse.
Par conséquent, l'ordonnée yD du point D est solution de l'équation
3. b. Résolvons l'équation
Or l'énoncé stipule que yD est la plus grande des deux valeurs.
Donc
5 points
exercice 2
Une représentation paramétrique d'un cercle de centre M (a ; b ) et de rayon r est
Or le centre est A(-2 ; 2)
le rayon est
est un angle droit
Par conséquent, une représentation paramétrique de l'arc de cercle de centre A et reliant B à C dans le sens
direct est
Nous savons que , soit que
Les coordonnées du vecteur sont données par .
De même, les coordonnées du vecteur sont données par .
Nous en déduisons que :
A l'aide de la calculatrice, nous obtenons :
4. a. Les distances AF, FG et GH sont
4. b. On peut dire à propos de l'affirmation : "p est l'image du point P tel que " (application du théorème de Thalès dans le triangle AHB).
6 points
exercice 3
Partie A : Etude de l'impression réalisée avec le motif A
1. a. Etoile numérotée 2 à partir de l'étoile numérotée 1
Une transformation permettant d'obtenir
l'étoile numérotée 2 à partir de l'étoile numérotée 1
est la symétrie orthogonale par rapport à la droite .
1. b. Motif A à partir des étoiles numérotées 1 et 2
Plaçons les points A et B respectivement sur les sommets des étoiles 1 et 2 comme indiqué sur la figure ci-jointe.
La transformation permettant d'obtenir le motif A à partir des étoiles numérotées 1 et 2 est une translation de vecteur .
2. a. Les points J, F et L, images respectives du point G par les translations de vecteurs et , sont représentés sur la figure ci-dessous.
2. b. L'image du point D par la translation de vecteur sera le point H si a = 1 et b = 1.
Donc le point H est l'image du point D par la translation de vecteur , comme représenté sur la figure ci-dessus.
Partie B : Etude de l'impression réalisée avec le motif B
1.Hexagone numéroté 2 à partir de l'hexagone numéroté 1
Première transformation : rotation de centre O et d'angle 90° (dans le sens direct ou indirect).
L'image de l'hexagone numéroté 1 par cette rotation est l'hexagone en vert sur la figure ci-dessous.
Deuxième transformation : translation de vecteur
L'image de l'hexagone vert par cette translation est l'hexagone numéroté 2.
2.Construction du pavage à l'aire du motif B
Sur la figure ci-dessous, nous avons défini les vecteurs et
Le pavage entier peut être obtenu à l'aide des images du motif B (coloré en brun) par les translations de vecteurs de la forme où a et b sont deux nombres entiers.
Publié par malou
le
ceci n'est qu'un extrait
Pour visualiser la totalité des cours vous devez vous inscrire / connecter (GRATUIT) Inscription Gratuitese connecter
Merci à Hiphigenie / malou pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche
Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !