Fiche de mathématiques
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Bac ST2S Métropole 2019

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Durée : 2 heures

Coefficient : 3

5 points

exercice 1

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8 points

exercice 2

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7 points

exercice 3

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Bac ST2S Métropole 2019

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5 points

exercice 1

1)  Le volume de la première dose est déterminé en fonction de la masse corporelle du patient à raison de 2 mL de médicament par kg.
On applique le traitement à une personne dont la masse corporelle est de 60 kg.
60 multiplie 2 mL = 120 mL.
Nous devons donc écrire 120 dans la cellule B2, correspondant au volume en mL de la première injection.

Chaque semaine, le volume de la dose administrée est augmenté de 5 %.
Une augmentation de 5 % correspond à un coefficient multiplicateur de 1 + 0,05 = 1,05.
1,05 multiplie 120 = 126.
Nous devons donc écrire 126 dans la cellule C2, correspondant au volume en mL de la deuxième injection.

2)  La formule à saisir dans la cellule C2 est  \boxed{{\red{=B2 \star 1,05}}}

3) a)  Chaque semaine, le volume de la dose administrée est augmenté de 5 %.
Une augmentation de 5 % correspond à un coefficient multiplicateur égal à 1 + 0,05 = 1,05.
Dès lors, pour tout n  supegal 1,  V_{n+1}=1,05\times V_n
Nous en déduisons que la suite (Vn ) est une suite géométrique de raison q = 1,05 et dont le premier terme
est V 1 = 120.


3) b)  Le terme général de la suite (Vn ) est  V_n=V_1\times q^{n-1} .
Donc, pour tout n  supegal 1,  \overset{.}{\boxed{V_n=120\times1,05^{n-1}}}

3) c)  Le rang correspondant à la 10e injection est n  = 10.
D'où  \overset{.}{V_{10}=120\times1,05^9\Longrightarrow\boxed{V_{10}\approx186,2}}
Par conséquent, le volume administré lors de la 10e injection est de 186,2 mL (arrondi au dixième de mL).

  4) a)  Selon les instructions, dès que le volume de la dose administrée est supérieur ou égal au double du volume initial, on interrompt le traitement après cette dernière injection.
Puisque le volume de la dose initiale est de 120 mL, le traitement s'arrêtera lorsque la dose sera supérieure ou égale à 240 mL.
Le traitement s'arrêtera donc lorsque l'inéquation suivante sera vérifiée :  V_n\ge240 , soit  120\times1,05^{n-1}\ge240.
Par conséquent, le nombre total d'injections administrées lors du traitement s'obtiendra en résolvant l'inéquation  120\times1,05^{n-1}\ge240.

4) b)  Si n  = 15, alors  120\times1,05^{15-1}=120\times1,05^{14}\approx237,6\ {\red{<240}}.
Si n  = 16, alors  120\times1,05^{16-1}=120\times1,05^{15}\approx249,5\ {\red{\ge240}}.
Par conséquent, le traitement comporte au total 16 injections.

5)  Nous devons calculer la somme  V=V_1+V_2+V_3+...+V_{16}. , c'est-à-dire la somme des 16 premiers termes de la suite géométrique (Vn ).
En appliquant la formule rappelée dans le questionnaire, nous obtenons :

V=V_1\times\dfrac{1-q^{16}}{1-q}=120\times\dfrac{1-1,05^{16}}{1-1,05}\approx2838,9 \\\\\Longrightarrow\boxed{V\approx2838,9}

Par conséquent, le volume total de médicament administré au patient lors de l'ensemble du traitement est de 2838,9 mL.

8 points

exercice 2

Partie A : Lien entre le prix du tabac et la consommation de cigarettes en                          France

Le tableau ci-dessous présente l'évolution du prix en euros du paquet de 20 cigarettes de la marque la plus vendue en France ainsi que celle du nombre total de paquets de 20 cigarettes vendus en France, exprimé en milliards et arrondi au centième.

     \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline\text{Année}&\ \ 2004\ \ &\ \ 2007\ \ \ \ &\ \ 2010\ \ &\ \ 2013\ \ &\ \ 2016\\\hline&&&&&&\text{Prix }{\red{x_i}}\ \text{du paquet de 20 cigarettes de la}& 5&5,13&5,65&6,7&7\\\text{ marque la plus vendue en France (en euros)}& &&&&\\\hline&&&&&\\\text{Nombre total }{\red{y_i}}\ \text{de paquets de 20 cigarettes}&2,75&2,75&2,74&2,38&2,25 \\\text{vendus en France (en milliards)}& &&&&\\\hline \end{array}

1)  Le taux d'évolution global en pourcentage du nombre total de paquets de 20 cigarettes vendus en France entre l'année 2004 et l'année 2016 est donné par le calcul suivant :  \overset{.}{\dfrac{\text{Valeur en 2016}-\text{Valeur en 2004}}{\text{Valeur en 2004}}\times100}=\dfrac{2,25-2,75}{2,75}\times100\approx-18,2

Donc entre l'année 2004 et l'année 2016, le nombre total de paquets de 20 cigarettes vendus en France a baissé d'environ 18,2 %.

2)  Le nuage de points Mi(x i ; y i) est complété dans le graphique ci-dessous par la croix en rouge :

Bac ST2S Métropole 2019 : image 11


3) a)  On choisit comme droite d'ajustement du nuage de points la droite (d ) d'équation y  = -0,255x  + 4,08.

Solution graphique (approximative) :
Graphiquement, nous observons que le point de la droite (d ) dont l'abscisse est 10 possède une ordonnée égale à environ 1,5.
Donc, nous pouvons estimer graphiquement que selon ce modèle, environ 1,5 milliard de paquets de 20 cigarettes seront vendus en 2020 si le prix de vente d'un paquet de 20 cigarettes est de 10 euros.

Solution algébrique :
Remplaçons x  par 10 dans l'équation de la droite (d ).
y  = -0,255 multiplie 10 + 4,08 = 1,53.
Par conséquent, selon ce modèle, nous pouvons estimer que 1,53 milliard de paquets de 20 cigarettes seront vendus en 2020 si le prix de vente d'un paquet de 20 cigarettes est de 10 euros.

3. b)  Solution graphique (approximative) :
Nous devons déterminer les abscisses des points de la droite (d ) situés sous la droite en pointillés bleus dont l'équation est y  = 1.
Ces abscisses paraissent être supérieures à 12,1.
Donc, nous pouvons estimer graphiquement que selon ce modèle, le nombre total de paquets de 20 cigarettes vendus serait situé sous la barre d'un milliard si le prix minimum du paquet était de 12,1 euros.

Solution algébrique :
Résolvons l'inéquation -0,255x  + 4,08 < 1.

-0,255x + 4,08 < 1\Longleftrightarrow-0,255x  < 1-4,08 \\\phantom{-0,255x + 4,08 < 1}\Longleftrightarrow-0,255x  <-3,08 \\\\\phantom{-0,255x + 4,08 < 1}\Longleftrightarrow x  >\dfrac{-3,08}{-0,255} \\\\\text{Or }\ \dfrac{-3,08}{-0,255}\approx12,08

Par conséquent, le prix minimum d'un paquet de 20 cigarettes de la marque la plus vendue qui, selon le modèle proposé, permettrait de passer sous la barre d'un milliard le nombre total de paquets de 20 cigarettes vendus est de 12,08 euros.

Partie B : Consommation de tabac et revenus en France

1)  Résultats de l'enquête :

           \begin{array}{|c|c|c|c|>{\columncolor{green}}c|}\hline &\text{Revenus inférieurs}&\text{Revenus moyens}&\text{Revenus supérieurs}&\text{Total}\\\hline \text{Fumeurs}&1\,126 &1\,155&914&3\,195\\\hline \text{Non-fumeurs}&2\,403&2\,596&2\,314&7\,313\\\hline \cellcolor{green}{\text{Total}}&\cellcolor{green}{3\,529}&\cellcolor{green}{3\,751}&\cellcolor{green}{3\,228}&\cellcolor{green}{10\,508}\\\hline\end{array}

1) a)  La probabilité que la fiche choisie soit celle d'un individu aux revenus moyens est notée p (M ).
Selon le tableau, 3751 personnes sur un total de 10508 personnes ont des revenus moyens.

Donc  p(M)=\dfrac{3\,751}{10\,508}\Longrightarrow\boxed{p(M)\approx0,357}

1) b)  L'événement  F\cap M  peut se traduire par : "la fiche tirée est celle d'un fumeur dont les revenus sont dans la tranche des revenus moyens. "
Selon le tableau, 1155 personnes sur un total de 10508 personnes sont des fumeurs dont les revenus sont dans la tranche des revenus moyens.

Donc  p(F\cap M)=\dfrac{1\,155}{10\,508}\Longrightarrow\boxed{p(F\cap M)\approx0,110}
Par conséquent, environ 11 % des personnes ayant participé à l'enquête sont des fumeurs dont les revenus sont dans la tranche des revenus moyens.

1) c)  Nous devons déterminer pM (F ).

p_M(F)=\dfrac{p(F\cap M)}{p(M)}\approx\dfrac{0,110}{0,357} \Longrightarrow\boxed{p_M(F)\approx0,308}

1) d)   p_I(F)\approx0,319  signifie que parmi les individus ayant des revenus inférieurs, environ 31,9 % d'entre eux sont fumeurs.
\overset{.}{p_S(F)\approx0,283}  signifie que parmi les individus ayant des revenus supérieurs, environ 28,3 % d'entre eux sont fumeurs.

2)  Arbre de probabilités découlant d'une enquête effectuée en 2016.

Bac ST2S Métropole 2019 : image 13


2) a)  Selon l'arbre de probabilité, nous obtenons les résultats suivants :
           38,8 % des individus ayant des revenus inférieurs sont fumeurs.
           28,5 % des individus ayant des revenus moyens sont fumeurs.
           21 % des individus ayant des revenus supérieurs sont fumeurs.
Par conséquent, en 2016, le tabagisme est le plus élevé dans la tranche des revenus inférieurs.

2) b)  En utilisant les résultats de la question 1) d) et l'arbre de probabilité, nous obtenons les résultats suivants :
           Parmi les individus ayant des revenus inférieurs, environ 31,9 % d'entre eux sont fumeurs en 2000
                alors que 38,8 % d'entre eux sont fumeurs en 2016.
           Parmi les individus ayant des revenus supérieurs, environ 28,3 % d'entre eux sont fumeurs en 2000
                alors que 21 % d'entre eux sont fumeurs en 2016.

Par conséquent, entre 2000 et 2016, le tabagisme
          - a augmenté dans les tranches de revenus inférieurs
          - a diminué dans les tranches de revenus supérieurs

2) c)  En utilisant la formule des probabilités totales, nous obtenons :

p(F)= p(I\cap F)+p(M\cap F)+p(S\cap F)  \\\phantom{p(F)}=p(I)\times p_I(F)+p(M)\times p_M(F)+p(S)\times p_S(F) \\\phantom{p(F)}=0,33\times0,388+0,34\times0,285+0,33\times0,210 \\\phantom{p(F)}=0,29424 \\\\\Longrightarrow\boxed{p(F)\approx0,294}

2) d)  Nous devons déterminer p F (S ).

p_F(S)=\dfrac{p(S\cap F)}{p(F)}=\dfrac{0,33\times0,210}{0,294}=\dfrac{0,0693}{0,294}\approx0,236 \Longrightarrow\boxed{p_F(S)\approx0,236}

Donc, environ 23,6% des fumeurs sont dans la tranche des revenus supérieurs.

7 points

exercice 3

Partie A : Lecture graphique

1)  La courbe  \mathcal{C}_f  comprend le point de coordonnées (0 ; 270).
Par conséquent, au début de l'étude, 270 milliers de personnes sont malades, soit 270 000 personnes malades.

2)  Sur le graphique repris dans la question 3, nous observons que le point de la courbe  \mathcal{C}_f   d'ordonnée 1000 possède une abscisse environ égale à 4.
En tenant compte de la croissance de la fonction f  sur l'intervalle [4 ; 12], nous pouvons supposer que le nombre de personnes malades est supérieur à 1000 000 au bout de 4 jours.

3)  Courbe représentative de la fonction f  compatible avec les informations de l'énoncé.

        
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Partie B : Etude de la fonction  f

Soit la fonction f  définie sur l'intervalle [0 ; 16] par  f(x)=-x^3+12x^2+144x+270

1)  Nous devons déterminer la valeur de f (12).
\overset{.}{f(12)=-12^3+12\times12^2+144\times12+270} \\\phantom{f(12)}=-1728+1728+1728+270 \\\phantom{f(12)}=1998
Par conséquent, au 12ème jour de l'étude, 1 998 000 personnes sont malades.

2)  Selon l'énoncé, nous savons que  f'(x)=3(12-x)(x+4)

2) a)  Etudions le signe de f' (x ) sur l'intervalle [0 ; 16].

x\in[0\,;16]\Longrightarrow x\ge0\Longrightarrow x+4\ge0\Longrightarrow \boxed{3(x+4)\ge 0}
Donc le signe de f' (x ) sera le signe de (12 - x ).

12-x=0\Longleftrightarrow x=12 \\12-x>0\Longleftrightarrow x<12 \\12-x<0\Longleftrightarrow x>12

D'où le tableau de signes de f' (x ) sur [0 ; 16] :

          \begin{array}{|c|ccccc|}\hline x&0&&12&&16 \\\hline 12-x&&+&0&-&\\\hline f'(x)&&+&0&-&\\\hline \end{array}

2) b)  Tableau de variations de f  sur [0 ; 16]

\underline{\text{Calculs préliminaires}} \\f(0) = 270 \\f(12)=1998\ \ \ (\text{voir question 1 - Partie B}) \\f(16)=-16^3+12\times16^2+144\times16+270=1550 \\\\\underline{\text{Tableau de variations de }f\ \text{sur [0 ; 16]}} \\\\\dfrac{}{} \ \ \ \ \ \ \begin{array}{|c|ccccc|}\hline x&0&&12&&16\\\hline f'(x)&&+&0&-&\\\hline&&&1998&&& f(x)&&\nearrow&&\searrow&\\&270&&&&1550\\\hline \end{array}

3)  D'après le tableau de variation de f , le maximum de cette fonction f  est égal à 1998, ce qui signifie que le nombre maximal de personnes malades s'élève à 1 998 000.
Par conséquent, le nombre de personnes contaminées n'atteindra pas les deux millions.
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